矩阵初等变换及应用

矩阵初等变换及应用王法辉摘要：矩阵初等变换是高等代数的重要组成部分。

本文对初等变换进行了研究探讨，详细介绍了与矩阵初等变换有关的基础知识。

在阐述矩阵初等变换方法及应用原理的基础上，首先重点讨论该方法在解决高等代数相关计算问题上的应用，如求多项式的最大公因式、求逆矩阵解矩阵方程、求解线性方程组、判定向量的线性相关性、化二次型为标准型、求空间的基等。

尤其是利用矩阵初等变换法求空间的基(解空间、特征子空间、核、值域等)的问题的计算,以具体实例生动的展示出问题的内在关系,最后给出了该方法在解决实际问题中的应用。

本文理论分析与实际相结合，凸现了矩阵初等变换法直接、便利、有效的威力与作用。

关键词：矩阵初等变换；最大公因式；线性相关性；二次型；空间的基1 导言在线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程。

在数学的学习和应用中，矩阵理论是高等代数的重要组成部分，矩阵初等变换方法更是贯穿高等代数理论的始终。

应用初等变换证明命题过程容易被接受，同时也是解决高等代数相关计算问题最直接、便利、有效的方法。

此外，还有大量的各种各样的，表面上看完全没有联系的问题的解决,都可以通过相同的方法实现：矩阵的初等变换。

因此，对矩阵初等变换方法及应用进行探讨，无疑是十分必要和重要的。

目前，有许多文献涉及到对矩阵初等变换方法该的讨论，但比较零散。

在研读文献的基础上，对矩阵初等变换的内涵进一步挖掘，使矩阵初等变换方法的威力作用得以充分展示是重要也是必要的。

2 矩阵及其初等变换2.1 矩阵由n m ⨯个数)j ,,,2,1(==m i a ij（i =1,2, ,j =1,2,n ， ）排成m 行n 列的数表⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 称为m 行n 列的矩阵，简称n m ⨯矩阵。

2.2 矩阵的初等变换及初等矩阵矩阵有行列之分，因此有如下定义定义1 矩阵的初等行（列）变换是指如下三种变换(1)交换矩阵某两行（列）的位置，记为j i r r ↔ )(j i c c ↔；(2)把某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，记为j i kr r + )(j i kc c +；(3)用一个非零常数k 乘以某一行（列），记为i kr )(i kc ，k ≠0；矩阵的初等行变换及初等列变换统称为矩阵的初等变换。

定义2 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。

有以下3种形式(1)互换矩阵E 的i 行和j 行的位置，得⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1101111011),( j i P ；(2)用数域P 种非零数c 乘E 的i 行，得⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=111))(( cc i P ；(3)把矩阵E 的j 行的k 倍加到i 行，有⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1111))(, k k j i P （。

定义3 如果B 可以由A 经过一系列初等变换得到，矩阵A 与B 称为等价的。

2.3 矩阵初等变换的若干性质矩阵的初等变换改变了矩阵的元素,但矩阵初等变换具有以下性质 （1）对矩阵A 施行初等行（列）变换，其列（行）向量组之间的线性关系保持不变。

（2）对矩阵A 施行初等行变换相当于左乘相应的初等矩阵，施行初等列变换相当于右乘相应的初等矩阵。

（3）可逆矩阵可以表示成一系列初等矩阵的乘积。

初等矩阵的逆矩阵也是初等矩阵。

（4）初等变换不改变矩阵的秩。

3 矩阵初等变换在高等代数计算问题中的应用矩阵初等变换与线性方程组的求解密不可分，不仅给解线性方程组带来了极大方便，同时也发展和完善了矩阵理论本身，极大丰富了矩阵理论的应用领域。

矩阵的初等变换方法更是贯穿高等代数理论的始终，在高等代数有关理论的证明及相关计算问题中更是起着巨大的作用。

3.1 求多项式的最大公因式3.1.1 基本概念以][x P 表示数域P 上的一元多项式环。

定义1（最大公因式） 设)()(x g x f ，是][x P 中两个多项式，][x P 中多项式)(x d 称为)()(x g x f ，的一个最大公因式，如果它满足(1) )(x d 是)()(x g x f ，的公因式；(2) )()(x g x f ，的公因式全是)(x d 的因式。

定义2 以][x P 中的一元多项式为元素的矩阵称为多项式矩阵。

定义3 以下3种变换称为多项式矩阵的初等行变换 (1) 交换多项式矩阵的某两行；(2) 用零次多项式(P 中不等于零的数)乘以多项式矩阵的某一行； (3) 用一个多项式乘以多项式矩阵的某一行再加到另一行。

且分别称以上三种变换为第1类，第2类，第3类多项式矩阵的初等行变换。

所说的初等行变换总是指多项式矩阵的行初等变换，所说的矩阵总是指多项式矩阵。

3.1.2 主要结果在高等代数中，求数域P 上两个多项式的最大公因式通常是利用辗转相除法，当多项式的次数较高时，辗转相除法计算较繁琐。

由于多项式辗转相除法主要表现为系数间的运算，因此通常利用分离系数法，使运算相对简化。

同样地，为了简化求多项式最大公因式的运算，考虑将要求最大公因式的两个多项式的系数与二行矩阵表示式对应起来。

考虑][x P 中的多项式)0()()0()(01110111≠++++=≠++++=----m m m mm n n n n n b b x b xb x b x g a a x a x a x a x f其中i a j b ∈P (0,1,2,;0,1,2,)i n j m ==,引入如下记号当m n =时,（)(x f ,)(x g ）↔⎥⎦⎤⎢⎣⎡--011011b b b b a a a a n nn n；当m n >时，（)(x f ,)(x g ）↔⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-010111000b b b a a a a a am m m n n。

由于多项式的最大公因式具有以下基本性质 （1） （)(x f ,)(x g ）=（)(x g ,)(x f ）；（2） 若（)(x f ,)(x h ）=1，则（)(x f ,)(x g ）=（)(x f ,)()(x h x g ）； （3）（)(x f ,)(x g ）=（)()(x kg x f +,)(x g ）, P k ∈； 因此，如上引入的二行矩阵反映了以下事实（1）交换二行矩阵两行的位置，得到的矩阵仍然对应这两个多项式的最大公因式；（2）二行矩阵某一行的k 倍加于另一行得到的矩阵仍然对应这两个多项式的最大公因式。

上述事实意味着数域P 上多项式的最大公因式（)(x f ,)(x g ）可以利用二行矩阵进行初等行变换求得。

具体实施步骤为（1）根据多项式的系数作出（)(x f ,)(x g ）对应的二行矩阵；（2）利用第1、2类初等行变换使得二行矩阵中的行出现端首(左端或右端)为0；（3）向左(或向右)平移二行矩阵中某行，使得这一行端首的0去掉。

这表明（)(x f ,)(x g ）的次数在降低。

反复利用（1）、（2）、（3）直到出现二行矩阵的两行元素对应成比例为止。

3.1.3 计算举例例1 已知数域P 上的一元多项式7787)(346+-+-=x x x x x f ，7373)(235-+-=x x x x g求))(),((x g x f 。

解 构造二行矩阵A 并实施初等行变换⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----−−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=-070370373140731400070370377087012131r r A −−→−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----−−−−−−−−−→−+12149070370300731407314r r 首项不为零将第一行元素轮换使其 1414707003399077022⎡⎤--⎢⎥−−−−−−−−−−→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦将第二行元素轮换使其首项不为零1228271414777070000000332727999970700707002222r r +⎡⎤⎡⎤----⎢⎥⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦21243147700002727997070022r r +⎡⎤--⎢⎥−−−−−−−−−→−−−−→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦将第一行元素轮换使其不为零77000002727070700⎡⎤--⎢⎥−−−−−−−−−−→⎢⎥--⎣⎦将第二行元素轮换使其首项不为零1212777000000000000272770070007007000r r-⎡⎤--⎡⎤⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥--⎣⎦--⎣⎦700000001001000-⎡⎤−−−−−−→⎢⎥⎣⎦第二行除以（） 第二行元素共轮换过3次，所以最大公因式为1)(3+=x x d 。

例2 求多项式3442)(234-+--=x x x x x f ，3452)(23+--=x x x x g ，6116)(23-+-=x x x x h 的最大公因式。

解 构造三行矩阵A 并进行初等行变换12r 12443109000254302543161160161160r A +----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--−−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦01090025430161160-⎡⎤⎢⎥−−−−−−−−−−→--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦对第二行进行轮换，使其首项不为 21312,1090010900051430514300062060620600r r r r ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−−→-−−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦轮换 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---−−−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−−→−++⨯⨯001031000054251400090100131010053514100901131221,61,51r r r r r r ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−−→−⨯⨯0003-10006-2009-01003100062000901103,7532轮换r r 1212039003900026000260001300013000r r ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−→-−−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦轮换所以3))(),(),((-=x x h x g x f 。

3.2 求逆矩阵 解矩阵方程 3.2.1 可逆矩阵定义若对n 级矩阵A 有n 级矩阵B 使E BA AB ==则称A 是可逆的，B 称为A 的可逆矩阵。

其中E 为n 级单位矩阵。

3.2.2 初等变换求逆的原理和步骤由于可逆矩阵A 可表示为一系列初等矩阵的乘积，故由E A A =-1有⎩⎨⎧==EA P P EA P P S s 11因此有如下求逆步骤（1）构造n n 2⨯的矩阵[]E A ｜；（2）对上述矩阵实行初等行变换，当用初等行变换把A 化为单位阵，则E 的位置变成A 的逆矩阵，即[]E A ｜→ []1-A E ｜需要指出的是在此过程中只能用初等行变换。