古典概型习题课

分析：样本空间
p( A)
事件A
m n
它们的元素个数n,m
公式 解：每次取一个，取后不放回连续取两次，其样本空间是 Ω={ (a,b), (a,c), (b,a),(b,c),(c,a), (c,b) }
用A表示“取出的两件中恰好有一件次品”这一事件，则 A={ (a,c), (b,c), (c,a), (c,b) }
．
①有限性 （1）判断是否为古典概型； ②等可能 （2）计算所有基本事件的总结果数n． 不重不漏 （3）计算事件A所包含的结果数m． （4）计算
求古典概型的步骤：
事件A包含的基本事件数 PA 试验的基本事件总数
m P ( A) n
1．甲、乙两人随意入住两个房间，甲、乙两人同住一个房 间的概率是( 1 A.4
∴m=3
3 ∴P(A)= 10
【跟踪练习4】做投掷二颗骰子试验，用(x,y)表示结果，其中 x表示第一颗骰子出现的点数，y表示第二颗骰子出现的点数， 5 求：
(1)事件“出现点数之和大于8”的概率是1 (2)事件“出现点数相等”的概率是
18
6
【跟踪练习6】一次发行10000张社会福利奖券，其中有1张 特等奖，2张一等奖，10张二等奖，100张三等奖，其余的不 得奖，则购买1张奖券能中奖的概率
3 (1) 8 15 (2) 56 5 (3) 28
【跟踪练习2】某种饮料每箱装12听，如果其中有2听 不合格，问质检人员从中随机抽取2听，检测出不合 格产品的概率有多大？ 解法：把每听饮料标上号码，合格的10听分别记 作：1，2，„，10,不合格的2听记作a、b,只要检 测的2听中有1听不合格，就表示查出了不合格产 品。 设检测出不合格产品为事件A， 从中依次不放回抽取2个，基本事件有 (1,2),(1,3)„基本事件总数为12×11.这是一个 古典概型。 事件A包含的基本事件数为10×2+2×11， ∴P(A) =42/ 12×11=7/22
答案： C
3．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为 a，从{1,2,3}中随机 选取一个数为 b， 则 b＞a 的概率是 4 A. 5 2 C. 5 3 B. 5 1 D. 5 ( )
解析：分别从两个集合中各取一个数，共有15种取法，其中 3 1 满足b＞a的有3种取法，故所求事件的概率为P＝15＝5.
113 10000
题型二、古典概型的综合应用
例 2.一汽车厂生产 A，B，C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准 型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)： 轿车 A 轿车 B 轿车 C 舒适型 100 150 z 标准型 300 450 600 按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆，其中有 A 类轿车 10 辆． (1)求 z 的值；(2)用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本．将该样本看成一个总体，从中任取 2 辆，求至少有 1 辆舒适 型轿车的概率； (3)用随机抽样的方法从 B 类舒适型轿车中抽取 8 辆， 经检测它们的得分如下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2，把这 8 辆轿车 的得分看成一个总体， 从中任取一个数， 求该数与样本平均数之差的 绝对值不超过 0.5 的概率．
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第十一章
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(1)基本事件为取两个球 ↓(两球一次取出，不分先后，可用集合的形式表示) 把取两个球的所有结果列举出来
↓{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}
↓两球编号之和不大于 4(注意：和不大于 4，应为小于 4 或，至多 一个红球的概率．
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题型一、简单事件的古典概型问题
例 1： （2010 年山东卷）一个袋中装有四个形状大小完全相同的 球，球的编号分别为 1,2,3,4. (1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于 4 的 概率；
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为 m，将球放回袋中， 然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为 n，求 n<m＋2 的 概率．
答案： A
5.在10支铅笔中，有8支正品和2支次品。从中任取2支，恰好都取 28 到正品的概率是
45
6.从分别写上数字1, 2，3，…，9的9张卡片中,任取2张，则取出的 4 两张卡片上的“两数之和为偶数”的概率是
9
7．三张卡片上写有字母A、A、B，将三张卡片随机地 排成一行，恰好排成B、A、A的概率是________．
古典概型习题课
1．古典概型
(1)基本事件的特点
①任何两个基本事件是互斥 的． ②任何事件(除不可能事件)都可以表示成 基本事件 的和． 2．古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型 ，简称古典概 型． (1)试验中所有可能出现的基本事件 只有有限个 ．
(2)每个基本事件出现的可能性 相等
解析：三张卡片共有6种排法，排成B、A、A有两种． 2 1 故P＝6＝3.
1 答案：3
列举法
把试验的所有结果一一都写出来，再从中找 出事件A所包括的结果的个数 另外还有图表求法、树状图求法。
问题引导下的再学习：有放回与无放回问题
引例：从含有两件正品a,b和一件次品c的三件产 品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两 次，求取出的两件中恰好有一件次品的概率。
↓{1,2}，{1,3}
2 1 ↓利用古典概型概率公式 P＝6＝3
(2)两球分两次取，且有放回
↓(两球的编号记录是有次序的，用坐标的形式表示) 基本事件的总数可用列举法表示
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↓(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4) (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4) (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)
A
) 1 B.3 1 C.2 2 D.3
2．从集合 A＝{2,3，－4}中随机选取一个数记为 k，从集合 B ＝{－2，－3,4}中随机选取一个数记为 b，则直线 y＝kx＋b 不经 过第二象限的概率为 2 A. 9 4 C. 9 1 B. 3 5 D. 9 ( )
解析：依题意k和b的所有可能的取法一共有3×3＝9种，其 中当直线y＝kx＋b不经过第二象限时应有k＞0，b＜0，一共 4 有2×2＝4种，所以所求概率为9.
∴m=4
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∴n = 6
4 2 ∴P(A) = 6 3
第十一章 概率
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思考：从含有两件正品a,b和一件次品c的三件产 品中每次任取1件，每次取出后放回，连续取两次， 求取出的两件中恰好有一件次品的概率. 解：有放回的连取两次取得两件，其一切可能的 结 果组成的样本空间是
Ω={ (a,a),(a,b),(a,c), (b,a), (b,b),(b,c),(c,a), (c,b),(c,c) }
∴n=9 用B表示“恰有一件次品”这一事件，则
B={ (a,c), (b,c), (c,a), (c,b) }
∴m=4
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4 ∴P(B) = 9
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【跟踪练习】袋内有3个白球，2个红球，从袋内任取2 个球，求以下事件的概率： （1）A={取得的2个球都是白球}； （2）B={取得的2个球都是红球}； （3）C={取得1白球和1红球}。
5 C. 36
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[自主解答]
若用{1,2,3,4,5,6}代表6处景点，显然甲、乙两人
最后一小时浏览的景点可能为{1,1}、{1,2}、{1,3}、„、{6,6}， 共36种；其中满足题意的“最后一小时他们同在一个景点” 包括{1,1}、{2,2}、{3,3}、„、{6,6}，共6个基本事件，所以 1 所求的概率为6.
[答案] D
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本例条件不变，试求他们游览景点时所在的景点号数之
和小于5的概率．
解：号数之和小于5包含(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(3,1)，共6个基本事件． 6 1 ∴P＝36＝6.
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概率
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练习2．(2012· 龙岩模拟)将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上 的点数，求： (1)两数中至少有一个奇数的概率； (2)以第一次向上的点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标
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解
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温 馨 提 醒
(1) 从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有
{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共 6 个．
从袋中取出的球的编号之和不大于 4 的事件共有{1,2}，{1,3}两个．因此 2 1 6分 所求事件的概率 P＝6＝3. (2)先从袋中随机取一个球，记下编号为 m，放回后，再从袋中随机取一 个球， 记下编号为 n， 其一切可能的结果(m， n)有(1,1)， (1,2)， (1,3)， (1,4)， (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)， (4,4)，共 16 个． 8分 又满足条件 n≥m＋2 的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共 3 个，所以满足条 3 10分 件 n≥m＋2 的事件的概率为 P1＝ . 16 3 13 故满足条件 n<m＋2 的事件的概率为 1－P1＝1－ ＝ . 12分 16 16
第十一章
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