傅里叶变换

sinat πt
的傅里叶变
4
ˆ(ξ ) = f F
−1
a −a
e
−iξt
dt = − 1 2π
1 iξ
e−iξt|a −a 2sinaξ ξ
=
2sinaξ ξ
ˆ(ξ )] = [f
+∞ −∞
eiξt dξ .
(由 于 f (x) = F
−1
ˆ(ξ )] = [f
1 2π
+∞ −∞
ˆ(ξ )eiξt dξ .) f
+∞ 0
sinξ ξ
dξ =
π 2
另一方面
ˆ ˆ(x) = 2πf (−x) f
g (ξ ) =
sinaξ πξ
1 ˆ = f (ξ ) 2π
故
1 ˆ ˆ(ξ ) = f (−ξ ) = f (ξ ) g ˆ(ξ ) = f 2π
6
2. 单 位 脉 冲 函 数 (δ 函 数 ) 在工程和物理现象中，从集中分布的量，如 集 中 质 量 ， 集 中 点 电 荷 ， 点 热 源 ， 单 位 脉 冲, 冲 击力的瞬时作用等的研究中会遇到在原点等于 ∞， 在 其 他 地 方 为 0 的 Dirac 函 数 . 这 种 函 数 不 是 高 等 数 学 中 的 普 通 函 数 ， 而 是 广 义 函 数. 这 种函数在工程和物理中有重要意义. δ 函 数 的 定 义 δ 函 数 是 定 义 在 (−∞, ∞) 内 满足如下条件的函数: ∞ x = x0 1. δ (x − x0) = 0 x = x0
再由奇函数的积分性质可得
1 2π
+∞ −∞
1 ξ
sinaξ (isinξt)dξ = 0.
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再由偶函数的积分性质可得
π 2 sinaωcosξtdξ =
π 4
| t| < a | t| = a |t| > a (a > 0)
+∞ 0
1 ξ
0
如果取 t = 0, a = 1, 有
+∞
2.
−∞
δ (x − x0)dx = 1
可以把 δ (x − x0) 看成 某种含参数 ε 的普通函 数 δ (x − x0) 的（ 弱）极限. 例如 取 1 x0 < x < x 0 + ε ε 1. δ ((x − x0) = 0 x = x0
δ (x − x0) 有 如 下 的 两 个 性 质 :
f (t) = 1 0 | t| ≤ a |t| > a (a > 0)
ˆ, 且 利 用 傅 里 叶 积 分 证 明 的傅里叶变换 f π 2 sinaωcosωtdω =
π 4
| t| < a | t| = a | t| > a
+∞ −∞
1 ω
0
其中 (a > 0). 并 利 用 对 称 公 式 求 g (t) = 换. 解: 由傅里叶变换的定义
F [sgnt] = 2F [H (t)]−F [1] = = 2 iξ . 2 iξ +2πδ (ξ )−2πδ (ξ )
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性 质 4 设 方 程 ϕ(t = 0) 有 m 个 重 根 t1, t2, ...., tm, 则 有
m
δ [ϕ(t)] =
k=1
δ (t − tk ) |ϕ (tk )|
[δ (ξ −a)] =
1
+∞
δ (ξ −a)e
iξx
dξ =
1
eiξa
解
F
−1
[δ (ξ − a)] =
11
1 2π
eiξa
F[
1 2π
eiξa] = δ (ξ − a)
所以
F [ cosax] = F [ eiax+e−iax] = π [δ (ξ −a)+δ (ξ +a) ] 2 同样可得 F [ sinax] = iπ [δ (ξ + a) − δ (ξ − a) ] 1
∞
δ (−x − 0)ϕ(x)dx
−∞ −∞
= −
+∞
δ (t − 0)ϕ(−t)dt
∞
= ϕ(−0) =
−∞
δ (x − 0)ϕ(x)dx
性质 2 设 α(x) 在点 x0 的邻域内 连续, 则 α(x)δ (x − x0) = α(x0)δ (x − x0) 特别地，若 α(x0) = 0 则 α(x0)δ (x − x0) = 0. 证明 对任意 连续函数 ϕ(x) 应 用筛选 性质 , 有
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(a) lim δ (x − x0) =
→0+
+∞ 0
+∞
x = x0 x = x0
(b)
lim
→0+
δ (x − x0)dx = 1
−∞
定 理 (筛 选 性 质) 对 在 点 a < x0 < b 的 邻 域 内 连续的任 意函数 ϕ(x) 有
b
δ (x − x0)ϕ(x)dx = ϕ(x0)
第一章 傅里叶变换
傅立叶级数 设 f (x) 是以 [−l, l] 为周期的平 方可积函数
f (x) = a0 + (ak cos + bk sin ) 2 l l k=1 称 为 f (x) 的 傅 立 叶 级 数 。 只 要 f (x) 在 [−l, l] 上分段连 续，则级数一 致收敛于 f (x)。 f (x) = 1 2π
傅里叶变换的性质
1. 线 性 性质 设 ˆ(ξ ) = F [f (x)] , g f ˆ(ξ ) = F [g (x)]. α, β 是 常 数 ; 则 ˆ(ξ ) + β g F [αf (x) + βg (x)] = αf ˆ(ξ ). ˆ(ξ ) + β g F −1[αf ˆ(ξ )] = αf (x) + βg (x).
1ˆ ξ dx = − f ( ) a a
4 . 微 分 性 质 设 当 |x| → ∞ 时 , f (x) → 0, ˆ(ξ ) = F [f (x)] 则 则 且f ˆ(ξ ) F [f (x)] = iξ f d ˆ F [−ixf (x)] = f (ξ ) dξ 公式称为象函数的导数公式.
特 别 地 , 当 t1 = 0 为 一 个 根 时 , 有 δ (t) δ (at) = , a = 0, a为 常 数 |a| 当 t1 = −a, t2 = a, 为两个 根时, 有
δ (t −a ) =
2 2
δ (t − a) + δ (t + a) 2|a|
, a = 0, a 为 常 数
+∞ −∞
1
+∞
2π −∞ iξ 1 +∞ sinξx 1 + dξ = 2 π 0 ξ
12
=
1 + 2 1 − 2
1 2 1 2
| x| > 1 | x| < 1
+∞
注意
0
sinξx ξ
+∞
dξ =
0
sint t
dt =
π 2
例 求符号函数的
sgnt = 1 −1 t>0 t<0
的傅里叶变换 解 由于 sgnt = 2H (t) − 1, 有 所以
证明 对任意连续 函数 ϕ(x), 取 limx→0+ ϕ(x) = 0, 有
∞
H (x)ϕ(x)dx
−∞ ∞
=−
−∞
H (x)ϕ (x)dx
∞
= H (x)ϕ(x)|∞ −∞ −
∞
ϕ (x)dx
0
= ϕ(0) =
−∞ ∞
δ (x)ϕ(x)dx
[H (x) − δ (x)]ϕ(x)dx
−∞
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H (x) − δ (x) = 0
例 证明单位阶 跃函数 H (x) 的傅里叶 变换 1 F [H (x)] = + πδ (ξ ) iξ 证明 设
F [f (x)] = 1 iξ + πδ (ξ )
则
f (x) = F = 1 2
−1
[f (ξ )] = δ (ξ )e
iξx
1 2π dξ +
+∞
[
−∞
1 iξ
+πδ (ξ )]eiξxdξ 1 eiξxdξ
解: 由傅里叶变换的定义
ˆ(ξ ) = f
0
2
+∞
e−βte−iξtdt =
0
+∞
e−(β+iξ)tdt
=− F
−1
1 β + iξ
∞ e−(β+iξ)t|+ 0
=
β − iξ β2 + ξ2
iξt e dξ 2
ˆ(ξ )] = [f
1 2π
+∞ −∞
β − iξ β2 + ξ
=
1 2π
+∞ −∞
+∞ +∞
1
∞
kπx
kπx
{
−∞ −∞
ˆ(ξ )e−iξx dx}f (ξ )eiξx dξ . f
+∞ −∞
ˆ(ξ ) = F [f (x)] = f
f (x)e−iξx dx .
ˆ(ξ ) 的 傅 里 叶 逆 变 换 记 作 f f (x) = F
−1
ˆ(ξ )] = [f
1 2π
+∞ −∞
ˆ(ξ )eiξx dξ . f
+∞ 0
1 ω
sinaωcosωtdω = 1 2π
f (t) | t| = a 1 [f (t − 0) + f (t + 0)] |t| = 2 2sinaξ ξ eiξt dξ .
又F
=
−1
ˆ(ξ )] = [f
+∞ −∞
+∞ −∞
1 2π
1 ξ
sinaξ (cosξt + isinξt)dξ .
15
证明当 a > 0 时, 令 t = ax, 有
+∞
F [f (ax)] =
−∞
f (ax)e−iaxdx
ξ
=
1 a
+∞ −∞
f (x)e−i a tdt
1ˆ ξ = f( ) a a 当 a < 0 时, 令 t = ax, 有 F [f (ax)] = 1 a
−∞ +∞
f (x)e
ξ −i a x
a
当 (a, b) = (−∞, +∞) 时 ，有
∞
δ (x − x0)ϕ(x)dx = ϕ(x0)
−∞
引 理 1 若 f (x) 是广义函数 , 若对在 (a, b) 内 的任意连续函数有
b
f (x)ϕ(x)dx = 0
a
则 f (x) = 0.
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性质 1 δ (x) 是偶函数. 证明对任 意连续函数 ϕ(x) 作变换 t = −x，有
(β − iξ )(cos ξt + i sin ξt) β2 + ξ2
dξ
1 2π
+∞ −∞
β (cos ξt) β2 1 + ξ2
dξ =
1 π
0
+∞
β (cos ξt) β2 + ξ2
dξ
+∞ −∞
−iξ (i cos ξt) β2 + ξ2
2π
+∞ 0
dξ = 0 f (t)
1 π
β cos ξt + ξ sin ξt β2 + ξ2
f (t) = e−βt 0 t≥0 t<0
ˆ, 且 利 用 傅 里 (β > 0 为 常 数 ) 的 傅 里 叶 变 换 f 叶积分公式证明: πe−βt t>0 +∞ β cos ωt + ω sin ωt π dω = t=0 2 2 2 β +ω 0 0 t<0
t
dξ =
1 [f (t − 0) + f (t + 0)
2
ˆ(ξ ) 作 傅 里 叶 变 换 对 f
3
ˆ ˆ(x) = F [f ˆ(ξ )] = f = 2π [ 1 2π
+∞ −∞
+∞ −∞
ˆ(ξ )e−iξx dξ . f
ˆ(ξ )eiξ(−x) dξ ] = 2πf (−x) f
例 5 求矩形脉冲函数
证毕. 性质 4
δ (x − x0) 的 傅 里 叶 变 换 与 逆 变 换
+∞
F [δ (x−x0)] =
−∞
δ (x−x0)e−iξxdx = e−iξx0
特 别 地 , 当 x0 = 0 时 有
ˆ(ξ ) = F [δ (x)] = 1 δ F
−1
2π −∞ 2π 特别地, 当 a = 0 时有 1 i∗0∗ξ 1 1 −1 F [δ (ξ )] = e = , F[ ] = δ (ξ ) 2π 2π 2π 即ˆ 1 = F [1] = 2πδ (ξ )
+∞
=
−∞ +∞
f (x − x0)e−iξxdx
=
−∞
f (τ )e−iξτ e−iξx0 dx.
类似地也可证明第二式成立. 证毕.
ˆ(ξ ) = F [f (x)] a = 0 为 常 3. 相 似 性 质 设 f 数, 则 1ˆ ξ F [f (ax)] = f ( ) a a 特别地， 若 取 a = −1, 则 可得翻转公式 ˆ(−ξ ) F [f (−x)] = f
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2. 位 移 性 质 设 a, x0
ˆ(ξ ) = F [f (x)] f 均为常数; 则 ˆ(ξ ). F [f (x − x0)] = e−iξx0 f ˆ(x). F −1[f (ξ − a)] = eiaxf
证 明 由 F 变 换 定 义 , 令 x − x0 = τ 则
F [f (x − x0)]
例 1 求矩形脉冲函数
1 0 ˆ. 的傅里叶变换 f f (t) = | t| ≤ a |t| > a (a > 0)
解: 由傅里叶变换的定义
1
ˆ(ξ ) = f
a −a
e−iξtdt = −
1 iξ
e−iξt|a −a =
2sinaξ ξ
例 2 求 f (x) = 1 傅里叶 变换. 例 3 求 f (x) = cosax 傅里叶变换. 例 4 求单边指数衰减函数
∞
α(x)δ (x − x0)ϕ(x)dx
−∞ ∞
=
−∞ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
δ (x − x0)α(x)ϕ(x)dx = α(x0)ϕ(x0)
∞
= α(x0)
−∞
δ (x − x0)ϕ(x)dx
9
∞
=
−∞
α(x0)δ (x − x0)ϕ(x)dx
证毕. 性质 3 H (x) = δ (x) 其中
H (x) = 1 0 x>0 x<0