双因素方差分析习题
双因素试验的方差分析
i 1
j 1
要判断因素A，B及交互作用AB对试验结果是否 有显著影响，即为检验如下假设是否成立：
H01 :1 2 a 0
H02 : 1 2 b 0
H03 : ij 0 i 1, 2, , a; j 1, 2, ,b
➢ 总离差平方和的分解定理 仿单因素方差分析的方法，考察总离差平方和
a
Ti.2
b,
i1
p T 2 ab ,
DB
b
T.
2 j
a,
j1
ab
R
X
2 ij
i1 j1
例1 设甲、乙、丙、丁四个工人操作机器Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ各一天， 其产品产量如下表，问工人和机器对产品产量是否有显著 影响？
机器 B 工人 A
ⅠⅡ
Ⅲ
甲
50 63 52
乙
47 54 42
丙
47 57 41
F值
F 值临介值
因素A 因素B
SS A SSB
df A
MS A
SS A df A
FA
MS A MSE
df B
MSB
Байду номын сангаас
SSB df B
FB
MSB MSE
F (a 1 ,
ab n 1) F (b 1 ,
ab n 1)
A B
误差 总和
SS AB
SSE SST
df AB df E dfT
MS AB SS AB
F0.01 3,6 9.78 F0.05 3,6 4.76 F0.01 2,6 10.92
FB F0.01 2,6
结论：工人对产品的产量有显著影响， 机器对产品的产量有极显著影响。
双因素方差分析
1 r rs i 1
j 1
s
ij
1 i. ij s j 1 r 1 . j ij r i 1
s
, i 1, 2...r , i 1, 2...r
, j 1, 2...s
i i.
j . j , j 1, 2...s
j 1 i 1 j 1
s
r
s
诸 ijk 相互独立，均服从
N (0, 2 ) 分布
i 1, 2, , r j 1, 2, , s k 1, 2, , t
这就是有交互作用的方差分析模型。
有交互作用的双因子方差分析:假设
因子A
原假设: ������ H0: 1 2 r 0 ������ 备择假设: ������ H1: 至少一个 i 不同于0 因子B ������ 原假设: ������ H0: 1 2 s 0 ������ 备择假设: ������ H1: 至少一个 j 不同于0 交互作用 原假设: ������ H0:对一切i,j有 ij ������ 备择假设: H1: 至少一个 ij不同于0
有交互作用的双因素方差分析
若 ij i j 则我们称
ij ij i j
为因子A的第i个水平与因子B的第j个水平的交互作用， 它们满足关系式：
i 1 s
r
ij
0, j 1, 2, , s 0, i 1, 2, , r
两种情况分类
分析两个因素(行因素Row和列因素Column)对试 验结果的影响。 ������ 如果两个因素对试验结果的影响是相互独立的， 分别判断行因素和列因素对试验数据的影响，这时 的双因素方差分析称为无交互作用的双因素方差分 析或无重复双因素方差分析(Two-factor without replication)。 ������ 如果除了行因素和列因素对试验数据的单独影 响外，两个因素的搭配还会对结果产生一种新的影 响，这时的双因素方差分析称为有交互作用的双因 素方差分析或可重复双因素方差分析(Two-factor with replication )。
7-2(方差分析)
基本操作 【Contrast钮】 钮 用于对比检验,对各个控制变量不同水平下 用于对比检验 对各个控制变量不同水平下 的均值是否与某个检验值存在差异进行比 较,检验值的指定有 检验值的指定有 Deviation:观测变量的均值 观测变量的均值 Simple:第一水平或最后一水平观测变量的 第一水平或最后一水平观测变量的 均值 Difference:前一水平观测变量的均值 前一水平观测变量的均值 Helmert:后一水平观测变量的均值 后一水平观测变量的均值
基本操作 【Plots】 】 因素变量交互作用图形分析 【Post Hoc】 】 多重比较检验 【Save钮】 钮 将模型拟合时产生的中间结果或参数 保存为新变量供继续分析时用， 保存为新变量供继续分析时用，可保 存的东西有预测值、残差、 存的东西有预测值、残差、异常值诊 断。
基本操作 【Options钮】 钮 选项 Estimated Marginal Means:估计边际均值 估计边际均值
S A× B S A× B = 交互作用 S A× B ( r − 1)( s − 1) ( r − 1)( s − 1)
误
差 SE 和 ST
rs( t − 1)
rst − 1
SE SE = rs( t − 1)
总
二、双因素无重复试验的方差分析
检验两个因素的交互效应,对两个因素的每一 检验两个因素的交互效应 对两个因素的每一 组合至少要做两次试验. 组合至少要做两次试验 如果已知不存在交互作用,或已知交互作用对 如果已知不存在交互作用 或已知交互作用对 试验的指标影响很小,则可以不考虑交互作用 则可以不考虑交互作用. 试验的指标影响很小 则可以不考虑交互作用 对两个因素的每一组合只做一次试验,也可以 对两个因素的每一组合只做一次试验 也可以 对各因素的效应进行分析——双因素无重复试验 双因素无重复试验 对各因素的效应进行分析 的方差分析. 的方差分析
方差分析卡方检验练习题
方差分析与卡方检验练习题本练习题涵盖了方差分析和卡方检验的基概念、方法和应用，包含不同难度等级的题目，旨在帮助学习者巩固知识，提高分析问题和解决问题的能力。
第部分：方差分析 (ANOVA)一、单因素方差分析1. 基本概念题 (500字)简述方差分析的基本思想和假设条件。
* 解释方差分析中组间方差、组内方差和总方差的概念，以及它们之间的关系。
* 说明F检的原理以及在方差分析中的应用。
* 解释方差分析结果中的P值及其意义。
* 比较方差分析与t检验的异同点。
2. 计算题 (000字)某研究者想比较三种不同肥料对小麦产量的影响。
他随机选择了三个地块，每个地块种植了相同数量的小麦，分别施用三种不同的肥料A、B、C。
收获后，测得三个地块的小麦产量如下（单位：k/亩）：肥料A：15, 18, 16, 17, 19 肥料B：20, 22, 21, 19, 23 肥料C：12, 14, 13, 5, 16请根据以上数据，进行单因素方差分析，判断三种肥料对小麦产量是否有显著性差异。
(需写出详细的计算步骤，包括自由度、平方和、均方、F值、P值等，并进行结果解释。
). 应用题 (1000字)一家公司想比较四种不同广告策略对产品销量的影响。
他们随机选择了四个地区，每个地区采用一种不同的广告策略。
三个月后，测得四个地区的销售额如下（单位：万元）：策略A：10, 110, 95, 105 策略B：120, 130, 115, 125 策略C：80, 90, 75,85 策略D：150, 60, 145, 155(1)请根据以上数据，进行单因素方差分析，判断四种广告策略对产品销量是否有显著性差异。
(需写出详细的计算步骤，并进行结果解释。
)(2)如果发现有显著差异，请进行事后检验（例如Tukey检验或LSD检验），找出哪些广告策略之间存在显著性差异。
(需说明所用检验方法的原理和步骤)二、双因素方差分析 (1500字)1. 基本概念题 (50字)•解释双因素方差分析的概念和应用场景。
论文—双因素试验的方差分析
X ijk ~ N (ij , 2 ) （ ij 和 2 未 知 ）， 记 X ijk i = ijk ， 即 有
ijk X ij ijk ~ N (0, 2 ), 故 X ijk ijk 可视为随机误差. 从而得到如下数学模型
X ijk ij ijk， ijk ~ N（0， 2）， 各 ijk 相互独立， i 1, , r; j 1, , s; k 1, , t;
1 st
1 rt
X
j 1 k 1
r t
s
t
ijk
，i=1，2， ，r，
X
j =
X
i 1 k 1
类似地，引入记号： ， i , j , i , j , 易见
i 1
r
i 0 ，
j 1
s
j
0.
为水平 B j 的效应. 这样可以将
仍称 为总平均，称 i 为水平 A i 的效应，称 成
ij
j
ij
表示
= + i + j +
ij
（ i 1, , r; j 1, , s ） ，
(3)
与无重复试验的情况类似，此类问题的检验方法也是建立在偏差平方和的分解上的。 2. 偏差平方和及其分解 引入记号： X =
1 rst
X
i 1 j 1 k 1
r
s
t
ijk
，
X
ij =
1 X ijk ，i=1，2， ，r，j=1，2， ，s， t k 1
t
X
i =
试 验 结 因 素 果 A 因 素 B
双因素方差分析习题
双因素方差分析习题1.某湖水在不同季节氯化物含量测定值如表6.16所示。
问不同季节氯化物含量有无差别? 若有差别，进行32个水平的两两比较。
2.有三种抗凝剂(A1,A2,A3 )对一标本作红细胞沉降速度(一小时值)测定，每种抗凝剂3.将18名原发性血小板减少症患者按年龄相近的原则配为6个单位组，每个单位组中的3名患者随机分配到A、B C三个治疗组中，治疗后的血小板升高情况见表 6.17，问3中治疗方法的疗效有无差别？43解:4.某研究人员以0.3mL/kg剂量纯苯给大鼠皮下注射染毒，每周3次，经45天后，实验动物白细胞综述下降至染毒前的50%左右，同时设置未染毒组。
两组大鼠均按照是否给予升高白细胞药物分为给药组和不给药组，试验结果见表6.18，试作统计分析。
问：（1）这三类人的该项生理指标有差别吗？（）（2）如果有差别，请进行多重比较分析。
（0.05）解：6.将24家生产产品大致相同的企业，按资金分为三类，每个公司的每100元销售收入的生产成本（单位：元）如表6.20所示。
这些数据能否说明三类公司的市场生产成本有差异（假定生产成本服从正态分布，且方差相同）？（0.05）解:7.为了解三种不同配比的饲料对仔猪影响的差异，对三种不同品种的猪各选三头进行试验，分别测得其三个月间体重增加量如表6.21所示。
假定其体重增加量服从正态分布，且1方差相同。
试分析不同饲料与不同品种对猪生长有无显著差异？（0.05）表 6.21解:8.比较3种化肥（A, B两种新型化肥和传统化肥）施撒在三种类型（酸性、中性和碱性）的土地上对作物的产量情况有无差别，将每块土地分成6块小区，施用A, B两种新型化肥和传统化肥，收割后，测量各组作物的产量，得到的数据如表6.22所示、化肥、土地类型及其它们的交互作用对作物产量有影响吗？（0.05）。
SPSS双因素方差分析
SPSS双因素方差分析例1 对小白鼠喂以三种不同的营养素，目的是了解不同营养素增重的效果。
采用随机区组设计方法，以窝别作为划分区组的特征，以消除遗传因素对体重增长的影响。
现将同品系同体重的24只小白鼠分为8个区组，每个区组3只小白鼠。
三周后体重增量结果(克)列于下表，问小白鼠经三种不同营养素喂养后所增体重有无差别？这可以认为是无重复实验的双因素方差分析，SPSS软件版本：18.0中文版。
1、建立数据文件变量视图：建立3个变量，如下图数据视图：如下图：区组号用1-8表示，营养素号用1-3表示。
数据文件见“小白鼠喂3种不同的营养素增重数量.sav”，可以直接使用。
2、统计分析菜单选择：分析-> 一般线性模型-> 单变量点击进入“单变量”对话框将“体重”选入“因变量”框，“区组”、“营养素”选入固定因子框点击右边“模型”按钮，进入“单变量：模型对话框”点击“设定”单选按钮（无重复双因素方差分析不能选全因子！），在“构建项”下拉菜单中选择“主效应”（只能选主效应）把左边的因子与协变量框中区组和营养素均选入右边的模型框中其余选项取默认值就行，点击“继续”按钮，回到“单变量”界面点击“两两比较”按钮，进入下面对话框将左边框中“区组”、“营养素”均选入右边框中再选择两两比较的方法，LSD、S-N-K，Duncan为常用的三种方法，点击“继续”按钮回到“单变量”主界面。
点击“选项”按钮勾选“统计描述”及“方差齐性检验”，设置显著性水平，点击“继续”按钮，回到“单变量”主界面点击下方“确定”按钮，开始分析。
3、结果解读这是一个所分析因素的取值情况列表。
变量的描述性分析这是一个典型的方差分析表，有2个因素“营养素”和“区组”，首先是所用方差分析模型的检验，F值为11.517，P小于0.05，因此所用的模型有统计学意义，即认为至少有一个因素对体重增长有显著影响，可以用它来判断模型中系数有无统计学意义；第二行是截距，它在我们的分析中没有实际意义，忽略即可；第三行是变量是区组，P<0.001，可见有统计学意义（即认为区组对体重增长有显著影响），不过通常我们关心的也不是他；第四行是我们真正要分析的营养素，非常遗憾，它的P值为0.084，没有统计学意义（即认为营养素对体重增长没有显著影响）。
3-2双因素方差分析
s
因子B的偏差平方和 SB r(x j x)2 j 1
反映了因素B的水平间的差异引起的波动。
rs
误差平方和 Se
(xij xi x j x)2
i1 j1
反映了随机误差引起的波动。
在H01，H02为真时
1
2
St
~
2 (rs
均方 44.88 3.53 2.19
36.0
35.5
34.3
36.1
35.8
32.8
28.5
29.4
F 值 显著性
20.49
**
1.61
查表得临界值F0.05(4，12)=3.26，F0.01(3，12)=5.95。由于 FB＜F0.05(4，12)，故认为地块不同对收获量无显著影响。 由于FA＞F0.01(3，12)，故认为品种不同对收获量影响极显著。
F比
FA
Se
SA /(s
/(r 1) 1)(r 1)
FB
Se
SB /(s
/(s 1) 1)(r 1)
对给定的显著性水平，当
FA>F(r-1, (s-1)(r-1))时拒绝H01, FB>F(s-1, (s-1)(r-1))时拒绝H02 .
例3 将土质基本相同的一块耕地分成均等的五个地块，每块又 分成均等的四个小区。有四个品种的小麦，在每一地块内随机分 种在四个区上，每小区的播种量相同，测得收获量如下表（单位： 公斤），试以显著性水平α1=0.05,α2=0.01考察品种和地块对收获 量的影响是否显著。
地块
品种
B1
B2
B3
B4
B5
6-2双因素方差分析
• H0：m1=m2=m3=m4=m5 (地区对销售量无显著影响) • H1：mj (j =1,2,…,5) 不全相等 (有显著影响)
【例】有4个品牌的彩电在5个地区销售，为分析彩电的品牌( 品牌因素)和销售地区(地区因素)对销售量的影响，对每显著 个品牌在各地区的销售量取得以下数据。试分析品牌和销售 地区对彩电的销售量是否有显著影响？(=0.05)
5. 误差项平方和： SSE SST SSR SSC SSRC
SST=SSR+SSC+SSRC+SSE
可重复双因素方差分析表
(基本结构)
误差来源 平方和 自由度
(SS)
(df)
均方 (MS)
F值
P值
F 临界值
行因素 列因素 交互作用
误差
SSR SSC SSRC SSE
k-1 MSR FR r-1 MSC FC (k-1)(r-1) MSRC FRC kr(m-1) MSE
replication)
3. 如果除了行因素和列因素对试验数据的单
独影响外，两个因素的搭配还会对结果产 生一种新的影响，这时的双因素方差分析
称为有交互作用的双因素方差分析或可重 复 双 因 素 方 差 分 析 (Two-factor with
replication )
双因素方差分析的基本假定
1. 每个总体都服从正态分布 ▪ 对于因素的每一个水平，其观察值是来自正态分布
不同品牌的彩电在5个地区的销售量数据
品牌因素 地区1
地区因素 地区2 地区3 地区4
品牌1
365
350
343
340
品牌2
345
368
363
方差分析例题及作业参考答案2015.10.22
第六章 例题及作业参考答案【 P101-例1】 方差齐性检验：242322210:σσσσ===H 05.0981.0>=p 方差齐。
43210:μμμμ===H方差分析表方差来源 离差平方和 由度方差 F 值P 结论 组间 5.399 3 1．800 505.4880.000 * 组内 0.043120.004*：P<0.05不同工艺处理间的氨基酸百分含量有显著性差异。
两两比较：各组按平均值由好到差依次排序，4213x x x x>>> 05.0000.0:05.030.0:210130<==>==p H p H μμμμ破壁和酸处理对氨基酸的百分含量的影响无显著差异。
酸处理和碱处理对氨基酸的百分含量的影响有显著差异。
最佳工艺为破壁和酸处理。
【 P105-例3】 方差齐性检验：242322210:σσσσ===H 05.0079.0>=p 方差齐。
43210:μμμμ===H方差分析表方差来源 离差平方和 由度方差 F 值P 结论 A138.21 3 46.07 10.13 0.000 * 误差e 104.57234.55*：P<0.05不同剂量的葛根素对心脏冠脉血流量有显著性差异。
两两比较：各组按平均值由好到差依次排序，1234x x x x>>> 05.0002.0:05.0122.0:05.049.0:05.036.0:120420230430<==>==>==>==p H p H p H p H μμμμμμμμ1.5g,3g,5g 剂量的葛根素对心脏冠脉血流量彼此之间无显著性差异，与1g 均有显著性差异。
【本题讨论】1、 第一组：建议删除第4、第7个数据，补充试验，以满足大鼠支数的最低要求。
2、 第二组：数据波动过大52.2,25.2==S x，建议补充试验，确定有效试验数据。
3、 鉴于存在以上问题，最终结论可能不客观。
双因素方差分析【最新】
双因素方差分析一、双因素方差分析的含义和类型（一）双因素方差分析的含义和内容在实际问题的研究中，有时需要考虑两个因素对实验结果的影响。
例如上一节中饮料销售量的例子，除了关心饮料颜色之外，我们还想了解销售地区是否影响销售量，如果在不同的地区，销售量存在显著的差异，就需要分析原因，采用不同的推销策略，使该饮料品牌在市场占有率高的地区继续深入人心，保持领先地位，在市场占有率低的地区，进一步扩大宣传，让更多的消费者了解，接受该产品。
在方差分析中，若把饮料的颜色看作影响销售量的因素A，饮料的销售地区看作影响因素B。
同时对因素A和因素B进行分析，就称为双因素方差分析。
双因素方差分析的内容包括：对影响因素进行检验，究竟一个因素在起作用，还是两个因素都起作用，或是两个因素的影响都不显著。
双因素方差分析的前提假定：采样地随机性，样本的独立性，分布的正态性，残差方差的一致性。
（二）双因素方差分析的类型双因素方差分析有两种类型：一个是无交互作用的双因素方差分析，它假定因素A 和因素B的效应之间是相互独立的，不存在相互关系；另一个是有交互作用的双因素方差分析，它假定因素A和因素B的结合会产生出一种新的效应。
例如，若假定不同地区的消费者对某种品牌有与其他地区消费者不同的特殊偏爱，这就是两个因素结合后产生的新效应，属于有交互作用的背景；否则，就是无交互作用的背景。
有交互作用的双因素方差分析已超出本书的范围，这里介绍无交互作用的双因素方差分析。
1.无交互作用的双因素方差分析。
无交互作用的双因素方差分析是假定因素A和因素B的效应之间是相互独立的，不存在相互关系；2.有交互作用的双因素方差分析。
有交互作用的双因素方差分析是假定因素A和因素B的结合会产生出一种新的效应。
例如，若假定不同地区的消费者对某种颜色有与其他地区消费者不同的特殊偏爱，这就是两个因素结合后产生的新效应，属于有交互作用的背景，否则，就是无交互作用的背景。
二、数据结构方差分析的基本思想：通过分析研究中不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定可控因素对研究结果影响力的大小。
方差分析课堂例题-Read
方差分析方差分析是分析试验（或观测）数据的一种统计方法。
在工农业生产和科学研究中，经常要分析各种因素及因素之间的交互作用对研究对象某些指标值的影响。
在方差分析中，把试验数据的总波动（总变差或总方差）分解为由所考虑因素引起的波动（各因素的变差）和随机因素引起的波动（误差的变差），然后通过分析比较这些变差来推断哪些因素对所考察指标的影响是显著的，哪些是不显著的。
一、单因子方差分析某个可控制因素A 对结果的影响大小可通过如下实验来间接地反映，在其它所有可控制因素都保持不变的情况下，只让因素A 变化，并观测其结果的变化，这种试验称为“单因素试验”。
因素A 的变化严格控制在几个不同的状态或等级上进行变化，因素A 的每个状态或等级成为因素A 的一个水平。
若因素A 设定了s 个水平，则分别记为 A 1，A 2，…，A s 。
数学模型：2(,),1,2,...,.i i X N i s μσ= (1)显著性影响问题转化为因素A 不同水平下各随机变量总体的均值是否相等问题，即检验假设012:s H μμμ=== 是否成立 (2)记号ij x ：不同水平下的试验结果，i=1,2,…,s ；j=1,2,…,n i ； n=n 1+n 2+…+n s ：试验总数；总平均：111in s ij i j x x n ===∑∑；总变差平方和：2211()in s Tij i j S x x ===-∑∑；组内平方和（误差平方和）：2211()in s Eij i i j S x x ===-∑∑，随机因素的影响；组间平方和（因素平方和）：2211()in sAi i j S x x ===-∑∑，水平差异的影响；H 0的拒绝域为：22()(1,)(1)A E n s S W F s n s s S α⎧⎫-=>--⎨⎬-⎩⎭检验结果：高度显著：20.012()(1,)(1)AEn s S F s n s s S ->---； 显著：20.010.052()(1,)(1,)(1)AEn s S F s n s F s n s s S ---≥>---； 有一定影响：20.050.12()(1,)(1,)(1)AE n s SF s n s F s n s s S ---≥>---； 无显著影响：20.12()(1,)(1)AEn s S F s n s s S -≤---。
双因素方差分析
双因素方差分析一、无交互作用下的方差分析设A 与B 是可能对试验结果有影响的两个因素，相互独立，无交互作用。
设在双因素各种水平的组合下进行试验或抽样，得数据结构如下表：表中每行的均值.i X （i=1,2,…r ）是在因素A 的各个水平上试验结果的平均数；每列的均值jX .(j=1,2,…,n)是在因素B 的各种水平上试验的平均数。
以上数据的离差平方和分解形式为：SST=SSA+SSB+SSE （6.13） 上式中：∑∑-=2)(X X SST ij(6.14)∑-=∑∑-=2.2.)()(X X n X XSSA i i (6.15)∑-=∑∑-=2.2)()(X Xr X XSSB j j（6.16）∑+-∑-=2..)(X X X X SSE ji ij(6.17)SSA 表示的是因素A 的组间方差总和，SSB 是因素B 的组间方差总和，都是各因素在不同水平下各自均值差异引起的；SSE 仍是组内方差部分，由随机误差产生。
各个方差的自由度是：SST 的自由度为nr-1，SSA 的自由度为r-1，SSB 的自由度为n-1，SSE 的自由度为nr-r-n-1=（r-1）(n-1)。
各个方差对应的均方差是：对因素A 而言： 1-=r SSA MSA （6.18） 对因素B 而言： 1-=n SSB MSB （6.19）对随机误差项而言：1---=n r nr SSEMSE （6.20）我们得到检验因素A 与B 影响是否显著的统计量分别是：)]1)(1(,1[~---=n r r F MSE MSA F A （6.21）)]1)(1(,1[~---=n r n F MSE MSBF B （6.22）【例6-2】某企业有三台不同型号的设备，生产同一产品，现有五名工人轮流在此三台设备上操作，记录下他们的日产量如下表。
试根据方差分析说明这三台设备之间和五名工人之间对日产量的影响是否显著？（α=0.05）。
8.9有交互作用双因素方差分析问题描述
r
mij
j =1
=1 k
k
1
i=1 mi鬃= r
r
mj
j =1
å1 r
mi× = r
mij
j =1
å m×j
=
1 k
k i =1
mij
ai = mi× - m
bj = m×j - m
i =1, 2,..., k
j =1, 2,..., r i =1, 2,..., k j =1, 2,..., r
(ab)ij = mij - mi鬃- m j + m
ì ï
X ij
= mij
+ ai
+bj
+ (ab)ij
+e ijs
ï ïï
e ijs
~
N (0,s
2 ), 各e ijs独立
í ï
i
=1, 2,..., k;
j
=1, 2,..., r; s
=1, 2,..., t
邋 邋 ï k
r
k
r
ï ïî
ai
i =1
= 0; bj
i =1
= 0; (ab)ij
i =1
… ..., X krt
… T鬃r
… X 鬃r
…
Ti鬃
X i鬃
…
…
Tk鬃
X k鬃
总和 总均值
TX
有交互作用双因素方差分析问题描述
所考察的因素记为
因素 共有 个水平 因素 共有 个水平
Xijs ~ N(mij ,s 2)(i =1, 2,..., k; j =1, 2,..., r; s =1, 2,...,t) 其中，
6-3无交互作用双因素方差分析
对因素B：
H ： 0
1 2 3 4 5
地区之间无差别
H1： 1, 2 , 3, 4 , 5 不全相等 地区之间有差别
16
② 计算F值
因素A的列均值分别为：x1 21.6, x2 12.4, x3 16.4, x4 13.2, x5 11.6
s
= s (xi - x )2 + r
2
r
xj- x +
s
2
xij - xi - x j + x
i= 1
j= 1
i=1 j=1
邋 ( ) 邋 ( ) r
s
= s (xi - x )2 + r
2
r
xj- x +
s
2
xij - xi - x j + x
i= 1
j= 1
i=1 j=1
= SSA+ SSB + SSE
现欲检验包装方式和销售地区对该商品销售是否有显著性影响。（a=0.05）15
解：
若五种包装方式的销售的均值相等，则表明不同的 包装方式在销售上没有差别。
① 建立假设
对因素A： H0： 1 2 3 4 5 , 包装方式之间无差别
H1： 1, 2 , 3 , 4 , 5 不全相等, 包装方式之间有差别
方差来源
SOV
A因素影响 B因素影响 误差影响
总和
平方和 自由度 均方和
SS
df
MS
0.681
2028
0.314
4
0.078
1.052
8
F值 Fcale
统计学：方差分析习题与答案
一、单选题1、方差分析的主要目的是（）。
A.研究类别自变量对数值因变量的影响是否显著B.比较各总体的方差是否相等C.判断各总体是否存在有限方差D.分析各样本数据之间是否有显著差异正确答案：A2、在方差分析中，一组内每个数据减去该组均值后所得结果的平方和叫做（）A.组间离差平方和B.组内离差平方和C.以上都不是D.总离差平方和正确答案：C3、在单因素方差分析中，若原假设是H0: α1=α2=⋯=αr=0，则备择假设是（）A. α1>α2>⋯>αrB. α1<α2<⋯<αrC.不全为0D. α1≠α2≠⋯≠αr正确答案：C4、下面选项中，不属于方差分析所包含的假定前提是（）。
A.等方差假定B.独立性假定C.非负性假定D.正态性假定正确答案：C5、只考虑主效应的双因素方差分析是指用于检验的两个因素（）A. 对因变量的影响是有交互作用的B.对自变量的影响是独立的C.对因变量的影响是独立的D. 对自变量的影响是有交互作用的正确答案：C6、下列不属于检验正态分布的方法是（）A.Shapiro-Wilk统计检验法B.饼图C.K-S统计检验法D. 正态概率图正确答案：B7、在单因素方差分析中，用于检验的F统计量的计算公式是（）A.[(n-r)SSA]/[(r-1)SSE]B.SSA/SSEC. SSA/SSTD.[(n-1)SSE]/[(r-1)SSA]正确答案：A8、在只考虑主效应的双因素方差分析中，因素A有r个水平，因素B有s个水平，因素A和B每个水平组合只有一个观测值，观测值共rs个，下面结论正确的是（）A.随机误差的均方差为SSE/(rs-1)B. 因素A检验统计量[SSA/(r-1)]/[SSE/(rs-r-s+1)]C. SSA+SSB=SSTD.因素A的均方差为SSA/r正确答案：B9、在考虑交互效应的双因素方差分析中，因素A有r个水平，因素B有s个水平，因素A、B每个水平组合都有m个观测值，下面结论正确的是（）A.因素A检验统计量[SSA/(r-1)]/[SSE/(rs-r-s+1)]B.SSA+SSB+SSE≤SSTC.SSAB≤SSED.随机误差的均方差为SSE/(rsm-rs+1)正确答案：B10、只考虑主效应的双因素方差分析中，因素A、B的水平数分别是3和4，因素A和B每个水平组合只有一个观测值，则随机误差的自由度等于（）A. 3B.6C.12D.11正确答案：B二、多选题1、对于方差分析法，叙述正确的有（）A.是用于多个总体的方差是否相等的检验B.是用于多个总体是否相互独立的检验C.是区分观测值变化主要受因素水平还是随机性影响的检验D.是用于多个总体的均值是否相等的检验正确答案：C、D2、应用方差分析的前提条件是（）A.各个总体相互独立B.各个总体具有相同的方差C.各个总体均值不等D.各个总体服从正态分布正确答案：A、B、D3、对于方差分析，下面哪些说法是对的？（）A.双因素方差分析一定存在交互效应B.组内均方差一定小于组间均方差C.组内均方差消除了观测值多少对误差平方和的影响D.综合比较了随机因素和系统因素的影响正确答案：C、D4、为研究教学方法和本科生年级对教学效果的影响，将教学方法分为三个水平，本科生年级分为四个水平，对这种方差分析叙述正确的是（）A.双因素方差分析B. 没有交互效应C.三因素方差分析D.未知方差齐性正确答案：A、D5、在只考虑A、B主效应的双因素方差分析中，已知SSA=13004.55，自由度为3；SSE=2872.7，自由度为12；SST=17888.95，自由度为19，则下列结论中正确的有：（）A.统计量FB的值等于2.1008B.因素B的自由度为4C.统计量FA的值等于8.6193D.SSB=2011.7正确答案：A、B、D三、判断题1、在双因素方差分析中，总离差平方和自由度等于因素A的自由度、因素B的自由度、交互作用的自由度、随机误差的自由度相加减去4。
双因素方差分析方法
(
)
dfT , df A , df B , df E ,则
SS A df A MS A = ~ F ( ( a 1) , ( a 1)( b 1) ) FA = SS E df E MS E
SS B df B MS B = ~ F ( ( b 1) , ( a 1)( b 1) ) FB = SS E df E MS E
结论:工人对产品的产量有显著影响, 结论:工人对产品的产量有显著影响, 机器对产品的产量有极显著影响. 机器对产品的产量有极显著影响.
例1的上机操作 的上机操作
原始数据,行因素水平, 原始数据,行因素水平,列因素水平
对应例1 对应例 的数据输入方式
工人对产品产量有显著影响,而机器对产品产量的影响极显著. 工人对产品产量有显著影响,而机器对产品产量的影响极显著.
1 b 水平A α i = ∑ ij = i i 水平 i对试验结果的效应 a j =1 1 a 水平 β j = ∑ ij = i j 水平Bj对试验结果的效应 b i =1 试验误差 ε ij = X ij ij
特性: 特性:
∑ α i = 0;
i =1
a
β j = 0; ε ij ~ N ( 0, σ 2 ) ∑
SST = ∑∑ X ij X
i =1 j =1
a
b
(
)
2
可分解为: 可分解为:SST = SS A + SS B + SS E
SS A = b∑ X i. X
SS B = a ∑ X . j X
j =1 a b
a
i =1 b
(
)
2
称为因素A的离差平方和, 称为因素 的离差平方和, 的离差平方和 对试验指标的影响. 反映因素 A 对试验指标的影响. 称为因素B的离差平方和, 称为因素 的离差平方和, 的离差平方和 对试验指标的影响. 反映因素 B 对试验指标的影响.
双因素重复试验方差分析
S I /((r 1)( s 1)) 从而有FB ~ F ((r 1)( s 1), rs (l 1)) Se /(rs(l 1))
对给定的显著性水平 ，拒绝域分别为
WA {FA : FA F ((r 1), rs(l 1))} WB {FB : FB F (( s 1), rs(l 1))} WI {FI : FI F ((r 1)( s 1), rs(l 1))}
行面和-平方-和-均值
列面和-平方-和-均值
纵向和-平方-和-均值 总平方和
1 R xijk l i 1 j 1 k 1
r s l
2 W xijk i 1 j 1 k 1 r s l
2
可以证明：
S A QA P S B QB P
r
s
l
l ( X ij X i X j X ) 2
i 1 j 1
r
ST [( X ijk X ij ) ( X i X ) ( X j X )
i 1 j 1 k 1
r
s
l
( X ij X i X j X )]2
第k次试验的结果列表如下：
B1 A1 A2 Ar
B2
Bs X 1sk X 2 sk X rsk
X 11k X 12 k X 21k X 22 k X r 1k X r 2 k
假设 X ijk ～N ( ij , 2 ), i 1,, r , j 1,, s, k 1,, t .
(3)
S A /(r 1) 从而有FA ~ F (r 1, rs(l 1)) Se /(rs(l 1)) S 2 当H 02成立时， B ~ ( s 1).且S B与Se相互独立 2
双因素方差分析习题
1.某湖水在不同季节氯化物含量测定值如表 6.16所示。
问不同季节氯化物含量有无差别? 若有差别，进行32个水平的两两比较。
2.有三种抗凝剂(A1,A2,A3 )对一标本作红细胞沉降速度(一小时值)测定，每种抗凝剂3.将18名原发性血小板减少症患者按年龄相近的原则配为6个单位组，每个单位组中的3名患者随机分配到A、B C三个治疗组中，治疗后的血小板升高情况见表 6.17，问3中治疗方法的疗效有无差别？43解:4.某研究人员以0.3mL/kg剂量纯苯给大鼠皮下注射染毒，每周3次，经45天后，实验动物白细胞综述下降至染毒前的50%左右，同时设置未染毒组。
两组大鼠均按照是否给予升高白细胞药物分为给药组和不给药组，试验结果见表 6.18，试作统计分析。
问：（1）这三类人的该项生理指标有差别吗？（）（2）如果有差别，请进行多重比较分析。
（0.05）解：6.将24家生产产品大致相同的企业，按资金分为三类，每个公司的每100元销售收入的生产成本（单位：元）如表6.20所示。
这些数据能否说明三类公司的市场生产成本有差异（假定生产成本服从正态分布，且方差相同）？（0.05）解:7.为了解三种不同配比的饲料对仔猪影响的差异，对三种不同品种的猪各选三头进行试验，分别测得其三个月间体重增加量如表 6.21所示。
假定其体重增加量服从正态分布，且1方差相同。
试分析不同饲料与不同品种对猪生长有无显著差异？（0.05）表 6.21解:8.比较3种化肥（A, B两种新型化肥和传统化肥）施撒在三种类型（酸性、中性和碱性）的土地上对作物的产量情况有无差别，将每块土地分成6块小区，施用A, B两种新型化肥和传统化肥，收割后，测量各组作物的产量，得到的数据如表 6.22所示、化肥、土地类型及其它们的交互作用对作物产量有影响吗？（0.05）。
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1. 某湖水在不同季节氯化物含量测定值如表6.16所示。
问不同季节氯化物含量有无差别？
若有差别，进行32个水平的两两比较。
解：
2.有三种抗凝剂（123,,A A A ）对一标本作红细胞沉降速度（一小时值）测定，每种抗凝剂
3.将18名原发性血小板减少症患者按年龄相近的原则配为6个单位组，每个单位组中的3名患者随机分配到A 、B 、C 三个治疗组中，治疗后的血小板升高情况见表6.17，问3中治疗方法的疗效有无差别？
表6.17 不同人用鹿茸后血小板的升高值/(4
3
10/mm )
解：
4.某研究人员以0.3mL/kg 剂量纯苯给大鼠皮下注射染毒，每周3次，经45天后，实验动物白细胞综述下降至染毒前的50%左右，同时设置未染毒组。
两组大鼠均按照是否给予升高白
细胞药物分为给药组和不给药组，试验结果见表6.18，试作统计分析。
解：
问：（1）这三类人的该项生理指标有差别吗？（）
α=）
（2）如果有差别，请进行多重比较分析。
（0.05
解：
6.将24家生产产品大致相同的企业，按资金分为三类，每个公司的每100元销售收入的生产成本（单位：元）如表6.20所示。
这些数据能否说明三类公司的市场生产成本有差异（假
α=）
定生产成本服从正态分布，且方差相同）？（0.05
解：
7.为了解三种不同配比的饲料对仔猪影响的差异，对三种不同品种的猪各选三头进行试验，分别测得其三个月间体重增加量如表6.21所示。
假定其体重增加量服从正态分布，且1方
α=）
差相同。
试分析不同饲料与不同品种对猪生长有无显著差异？（0.05
8.比较3种化肥（A，B两种新型化肥和传统化肥）施撒在三种类型（酸性、中性和碱性）的土地上对作物的产量情况有无差别，将每块土地分成6块小区，施用A，B两种新型化肥和传统化肥，收割后，测量各组作物的产量，得到的数据如表6.22所示、化肥、土地类型
α=）
及其它们的交互作用对作物产量有影响吗？（0.05
-。