大题规范练四高考领航二轮数学(理)复习
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
大题规范练(四)
解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
1.(本题满分12分)已知在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,且满足cos A sin A
=sin B -cos C
cos B +sin C ,B 为锐角.
(1)求角A 的大小;
(2)若a =2,c =1,△ABC 内有一点M ,∠AMB =∠BMC =∠CMA =2π3
,求MA +MB +MC 的值.
解:(1)由cos A sinA =sin B -cos C cos B +sin C
,得cos Acos B +cos Asin C =sin Bsin A -cos Csin A ,sin(A +C)=-cos(A +B),
即sin B =cos C =sin π2
-C ,∴B =π2-C 或B +π2-C =π,∴B +C =π2或B -C =π2
(与B 为锐角矛盾,舍去),
∴B +C =π2,A =π2
.(2)如图,设∠MAB =θ,则∠MBA =π3-θ,由A =π2
,a =2,c =1,得B =π
3
,∴∠MBC =θ,∴△AMB ∽△BMC ,∴BM AM =CM BM
=2,∴BM =2AM ,CM =2BM ,在△AMB 中,由余弦定理得,AM 2+(2AM)2-2AM ·2AM cos 2π3=AB 2
=1,
得AM =77,则BM =277,CM =477
,∴MA +MB +MC =7. 2.(本题满分12分)如图,在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,平面
ADD 1A 1⊥平面ABCD ,四边形ABCD 为矩形,AA 1=AD =2AB =2,∠A 1AD =60°,M ,N 分别是BC ,AD 1的中点.
(1)求证:直线MN ∥平面CC 1D 1D ;
(2)求平面A 1CD 与平面DCD 1夹角的余弦值.
解:(1)如图,取DD 1的中点T ,连接NT ,TC ,
在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,四边形AA 1D 1D 为平行四边形,
因为N ,T 分别为AD 1,DD 1的中点,
所以NT ∥AD ,NT =12
AD.因为四边形ABCD 为矩形,M 为BC 的中点,
所以CM ∥AD ,CM =12
AD ,∴CM 綊NT ,所以四边形CMNT 为平行四边形,
所以MN ∥CT ,
又MN?平面CC 1D 1D ,CT?平面CC 1D 1D ,
所以直线MN ∥平面CC 1D 1D.
(2)取AD 的中点O ,连接A 1O ,
因为AA 1=AD =2,∠A 1AD =60°,所以三角形AA 1D 为等边三角形,所以A 1O ⊥AD.因为平面ADD 1A 1⊥平面ABCD ,平面ADD 1A 1∩平面ABCD =AD ,A 1O?平面ADD 1A 1,所以A 1O ⊥平面ABCD.
以O 为坐标原点,过点O 平行于AB 的直线为x 轴,AD 所在直线为y 轴,A 1O 所在直
线为z 轴建立空间直角坐标系,则
A 1(0,0,3),D(0,1,0),C(1,1,0),D 1(0,2,3),所以A 1D →=(0,1,-3),CD →=(-1,0,0),CD 1→=(-1,1,3),DC →=(1,0,0),设平面A 1CD 的法向量为m =(x ,y ,z),