工科数学期末复习题
(完整word版)大一工科类高数期末考试复习题
第二章末考复习题一、选择题1.函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=1312)(3x xx x x f 在x =1处的导数为（ ） A.1 B 。
2 C 。
3 D.不存在2．设f （x )=arccos （x 2），则f ＇（x )=( ） A ．211x--B ．212xx --C ．411x--D ．412xx --3。
设函数f （x)可导,又y=f(—x ），则y '=（ ） A 。
)x (f ' B 。
)x (f -' C 。
-)x (f ' D 。
-)x (f -' 4。
设f (x ）=2x ，则f ″（x )=（ ） A.2x ·ln 22 B.2x ·ln4 C.2x ·2 D 。
2x ·45．设f(x)=ln4,则0x lim→∆=∆-∆+x)x (f )x x (f ( ）A ．4B ．41C ．0D ．∞6.设y=x 4+ln3,则y '=（ )A.4x 3B.31x 43+C.x 4lnx D 。
x 4lnx+317．设⎪⎩⎪⎨⎧==-,2,3t t e y e x 则=dx dy （ ）A ．t e 232B ．t e 232-C ．y x -D ．—xy 8．设y=ln(2x+3)，则y '=（ ) A ．)3x 2(21+ B ．3x 2+ C ．3x 21+ D ．3x 22+9．设y=arcsinx 2,则dy=（ ) A ．dx x1x 24- B ．4x1x 2- C ．dx x1x 24+ D ．4x1x 2+10．f （x)在点x 0的左导数)x (f 0-'及右导数)x (f 0+'都存在且相等是f(x ）在点x 0可导的( ） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．无关条件 D ．充分必要条件11．设⎩⎨⎧==tsin y t cos x ,则4t dxdyπ==（ ）A ．-1B ．22-C ．22 D ．1 12、.若函数f （x)在点x 0处可导且0)x (f 0≠'，则曲线y=f （x)在点（x 0， f （x 0））处的法线的斜率等于（ ） A.)x (f 0'- B 。
工科数学复习题答案
工科数学复习题答案一、选择题1. 在数学中，极限的概念是基础且重要的，下列哪个选项不正确？A. 极限是函数在某一点附近的行为B. 极限可以是无穷大C. 极限是一个具体的数值D. 函数在某一点可能没有极限答案：C2. 微分方程是描述物理现象的重要工具，下列哪一项不是一阶微分方程的特点？A. 只含有一个未知函数及其一阶导数B. 方程中未知函数的阶数为1C. 可以表示为dy/dx = f(x)D. 可以表示为d^2y/dx^2 = f(x)答案：D3. 积分学是数学中的一个重要分支，下列关于定积分的描述哪个是错误的？A. 定积分可以用来计算曲线下的面积B. 定积分的值与积分路径无关C. 定积分是不定积分的特例D. 定积分的值取决于积分区间的上下限答案：B二、填空题1. 函数f(x) = x^2 + 3x - 2在x = 1处的导数是________。
答案：62. 曲线y = x^3 - 2x^2 + x在x轴上的截距是________。
答案：0, 13. 根据泰勒公式，函数f(x) = e^x在x = 0处的泰勒展开式为________。
答案：1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...三、解答题1. 求函数f(x) = sin(x)的不定积分。
答案：∫sin(x)dx = -cos(x) + C2. 解微分方程dy/dx - 2y = 3x^2，初始条件为y(0) = 1。
答案：首先求解特征方程r - 2 = 0，得到r = 2。
然后求齐次方程的通解y_h(x) = Ce^(2x)。
接下来求特解，设特解为y_p(x) =Ax^2 + Bx + C，代入原方程得到A = 1，B = 0，C = 0。
所以特解为y_p(x) = x^2。
因此，原微分方程的解为y(x) = Ce^(2x) + x^2，代入初始条件y(0) = 1，得到C = 1，所以最终解为y(x) = e^(2x) + x^2。
工科数学分析期末试卷
工科数学分析期末试卷1.(10分) 设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有二阶导数，且f(a)=f(b)=0。
证明：存在 $\\xi \\in (a,b)$，使得 $f''(\\xi)= -\\frac{4}{(b-a)^2}f(\\xi)$。
2.(15分) 求解微分方程初值问题：$$ \\begin{cases} y'' + 2y' + 5y = 0 \\\\ y(0) = 2 \\\\ y'(0) = -2\\end{cases} $$3.(15分) 计算 $\\int_{-\\infty}^{\\infty} \\frac{e^{-x^2}}{1+x^2} dx$。
4.(20分) 设 $\\{a_n\\}$，$\\{b_n\\}$ 均为正数数列，$\\lim_{n\\to \\infty} \\frac{a_{n+1}}{a_n} = a$，$\\lim_{n \\to \\infty}\\frac{b_{n+1}}{b_n} = b$，证明：$$ \\lim_{n \\to \\infty}\\frac{(a_1b_1)(a_2b_2)\\cdots(a_nb_n)}{(ab)^n} = 1 $$5.(20分) 设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有二阶导数，f(a)=f(b)=0，且f″(x)+k2f(x)=0，其中k>0。
证明：对任意$\\epsilon > 0$，存在 $0<\\delta \\leq \\frac{1}{2}(b-a)$，使得当$\\left|\\frac{h}{\\delta}\\right|<1$ 时，有$$ \\left|\\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2} - k^2f(x)\\right| <\\epsilon $$6.(20分) 计算 $\\int_{0}^{1} \\frac{\\ln(1+x)}{x} dx$。
大学工科数学分析期末考试___29(答案)B
20XX年复习资料大学复习资料专业：班级：科目老师：日期：一、 填空题1. 1,2a b ==； 2．0； 3．023 0(cos ,sin )d f d πϕρϕρϕρρ⎰⎰；4．21223(cos sin )t t x C e C e C t C t =++； 5．24()t f t π；6．22(,)2f x y x y =-+二、 选择题（B ） （C ） （B ） (D)三、 1 解：21)('f x f xz+=∂∂ϕ，………………… (4分)2212112)(']1)(')('[)('f y f y x f x yx zψψϕϕ+-+-=∂∂∂………………… (7分) 2解：添加辅助线段BA ：1=y ，11 :-→x ，则BA C +构成正向封闭曲线. xy e P y 12-=，y xe Q y cos -=，x e y P y 12-=∂∂，y e xQ =∂∂，x y P x Q 12=∂∂-∂∂，…..…(3分)⎰⎰--+-=+BABAC y y dy y xe dx xy e I )cos ()12(………………… (5分) 11112(12)01Dxdxdy e x dx ex--=--=-⎰⎰⎰………………… (8分)2e =.………………… (9分)3解：记1,4:221=≤+z y x S ，并取下侧．……………… (2分) 根据高斯公式可得1122(()d d d d ()d d S S S I x z y z x z x y x x y +=--Λ+Λ++Λ⎰⎰⎰⎰2()VDdv y x dxdy =-+⎰⎰⎰⎰⎰……………… (5分)=5 1()D z dz dxdy ⎰⎰⎰2222 00sin 8412d d πθρθρρπππ+=+=⎰⎰．……………… (9分)四、解：在点P 处沿该切线方向的曲线切线方程：1191161--=-=-z y x ，………………… (5分)22(1,1,1)(1,1,1)(1,1,1)(1,1,1)(,2,3)(0,1,4)21)2132u y yz xy xz z xy u u l ∇=----=-∂=∇-=∂…………………(20XXXX 分)五、解：解得特征根为210321===λλλ，， ……………… (3分)对应的特征向量是,021,122,201321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=r r r ……………… (9分)所以通解为：()X t =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022202122t tt t t e e e e e ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321c c c ． ………………… (11分)六、解：利用积分与路径无关的条件可得0)(21)(9)(2=+'-''x f x f x x f x ………… (4分)解得7231)(x C x C x f += ………… (7分)利用初始条件得⎩⎨⎧=+=+77312121C C C C ,所以120,1,C C ==7()f x x =………… (9分)(0,3)2(1,1)[()11()]32()B A x f x xf x dy f x ydx '--⎰(0,3)877(1,1)1432324B A x dy x ydx x dx =-+=-=⎰⎰………… (20XXXX 分)七、证明：由条件(,)(,)0xx yy f x y f x y +=，(,)0xy f x y ≠易得对D 内任意点(,)x y ，(,)(,)(,)(,)(,)xx xy f xy yy f x y f x y H x y f x y f x y ⎛⎫=⎪⎝⎭是不定的，………(4分)所以在D 内不存在极值点，故(,)z f x y =的最大值和最小值只能在D 的边界上取得…………………(6分)。
21春《工科数学基础》期末复习题及参考答案(新平台)
Ｄ．
D． (，1)
）
A． f (x)dx F (x)
B． F (x)dx f (x)
C． f (x)dx F (x) C
D． F (x)dx f (x) C
51．若 f (x) 的一个原函数是 1 ，则 f (x) （ ） x
A． ln | x |
1
B．
x
C．
1 x2
52．
A．
1 1
1 x2
dx
[
1x]11
2
B．
2 1
1 x2
dx
[
1 x
]12
1 2
3
C． 1 x dx 1 ln2
0 x 1
三、计算题
1.
lim
x2
x2 x
x6 2 2x
.
4．设 y （2x 3)e2x ，求 dy .
6．设 y (3 2x)5 ，则 y |x1 .
8．
(2 x
2 x
x 1
A． (,1),(1,)
B．[2, ）
）
C． (2,)
D． [2,1), (1,)
2
39． lim(1 x) x （ ） x0
A． e2
B． e2
C． e
40．设 f (x) x3 ，则 lim f (x) f (1) （
）
x1 x 1
Ａ．3
Ｂ．1
41．设函数 y e3x ，则 dy （ ）
4． y (2x 3)e2x (2x - 3）(e2x ) (4x 4)e2x dy (4x 4)e2x dx
5．设
y
1
x x2
，
y
(x)(x2 1) x(x2 (x2 1)2
工科数学分析(下)考试题(带答案)培训资料
工科数学分析（下）期末考试模拟试题姓名：___________得分: _________一、填空题（每小题3分，满分18分）1、设()xz y x z y x f ++=2,,，则()z y x f ,,在()1,0,1沿方向→→→→+-=k j i l 22的方向导数为_________.2.,,,-__________.222L L xdy ydx L x y=⎰+Ñ设为一条不过原点的光滑闭曲线且原点位于内部其走向为逆时针方向则曲线积分1,()cc x y x y ds +=+=⎰Ñ3.设曲线为则曲线积分 ___________4、微分方程2(3xy y)dx 0x dy +-=的通解为___________5、2sin(xy)(y)______________.y yF dx x=⎰的导数为 6、{,01,0x (x),2x e x f x ππππ--≤<≤≤==则其以为周期的傅里叶级数在点处收敛于_____________.二、计算下列各题（每小题6分，满分18分） 1. (1) 求极限lim0→→y x ()xy yx y x sin 11232+-(2) 220)(lim 22y x x y x y +→→2.设f ，g 为连续可微函数，()xy x f u ,=，()xy x g v +=，求xvx u ∂∂⋅∂∂（中间为乘号）.3..222V z x y z V +=设是由所围成的立体,求的体积.三、判断积数收敛性（每小题4分，共8分）1. ∑∞=1!.2n n n nn2.∑∞=-1!2)1(2n n nn四、（本小题8分）求向量场2(23)()(2)x z xz y y z =+-+++A i j k u r r r u r 穿过球面∑： 222(3)(1)(2)9x y z -+++-=流向外侧的通量； 五、（本小题7分）2(1sin )cos ,(0,1)(0,1)y y lx e x dy e xdx l x A B +--=-⎰计算其中为半圆到的一段弧。
东南大学工数期末考试试题
东南大学工数期末考试试题一、选择题（每题3分，共30分）1. 以下哪个选项是实数集的符号表示？A. \( \mathbb{N} \)B. \( \mathbb{Z} \)C. \( \mathbb{Q} \)D. \( \mathbb{R} \)2. 函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \) 的最小值出现在哪个点？A. \( x = 0 \)B. \( x = 2 \)C. \( x = 4 \)D. \( x = -2 \)3. 以下哪个是二阶微分方程的解？A. \( y = e^{2x} \)B. \( y = e^{-x} \)C. \( y = x^2 + 2x \)D. \( y = \ln(x) \)4. 以下哪个积分是发散的？A. \( \int_0^1 x dx \)B. \( \int_1^\infty \frac{1}{x^2} dx \)C. \( \int_0^1 \frac{1}{x} dx \)D. \( \int_0^1 e^{-x} dx \)5. 以下哪个是线性无关的函数集？A. \( \{1, x\} \)B. \( \{1, x, x^2\} \)C. \( \{1, x, x^3\} \)D. \( \{1, x, x^2, x^3\} \)6. 以下哪个是拉格朗日中值定理的应用？A. 计算函数 \( f(x) \) 在区间 \( [a, b] \) 上的平均变化率B. 证明 \( \sin(x) \) 和 \( x \) 在 \( [0, \pi] \) 上是线性相关的C. 证明 \( e^x \) 是其自身的导数D. 计算函数 \( f(x) \) 在区间 \( [a, b] \) 上的原函数7. 以下哪个是多元函数偏导数的定义？A. \( \frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h} \)B. \( \frac{\partial f}{\partial y} = \lim_{h \to 0}\frac{f(x, y+h) - f(x, y)}{h} \)C. 两者都是D. 两者都不是8. 以下哪个是傅里叶级数的应用？A. 求解线性微分方程B. 求解非线性微分方程C. 求解积分问题D. 求解线性代数问题9. 以下哪个是泰勒级数展开的应用？A. 近似计算 \( e^x \)B. 近似计算 \( \sin(x) \)C. 近似计算 \( \ln(x) \)D. 所有选项10. 以下哪个是数值分析中的插值方法？A. 多项式插值B. 拉格朗日插值C. 牛顿插值D. 所有选项二、填空题（每题2分，共20分）11. 函数 \( f(x) = \sin(x) \) 在区间 \( [0, 2\pi] \) 上的最大值是________。
工程数学本期末试题及答案
工程数学本期末试题及答案【工程数学本期末试题及答案】一、选择题（每题5分，共20题）1. 下列哪个不是函数的定义？A. 函数的定义域B. 函数的值域C. 函数的图像D. 函数的导数2. 设函数 f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 6x + 1，求 f'(2) 的值。
A. 24B. 28C. 32D. 363. 若函数 f(x) = e^x，则 f'(x) 等于：A. e^xB. x^eC. e^(x-1)D. 04. 以下哪个不是极限的定义？A. 函数在某点处的连续性B. 函数的左极限C. 函数的右极限D. 函数的无穷极限5. 设函数 f(x) = x^2 - 3x + 2，求 f(-2) 的值。
A. 2B. 4C. 6D. 86. 已知函数 f(x) = sin(2x)，则 f"(x) 的值为：A. -2sin(2x)B. 2cos(2x)C. -4sin(2x)D. 4cos(2x)7. 若函数 f(x) = ln(x)，则 f'(x) 等于：A. e^(1/x)B. 1/xC. 1/(ex)D. x^28. 函数 f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 3 的最大值为：A. 5B. 6C. 7D. 89. 函数 f(x) = 2x^2 + 3x - 1 的最小值为：A. -1B. 0C. 1D. 210. 已知函数 f(x) = x^3，则函数 f(x) 在（-∞，+∞）上的取值范围是：A. [0,+∞)B. (-∞,0]C. (-∞, +∞)D. [0,1]二、填空题（每题5分，共10题）1. 设函数 f(x) = 3x^2 + 2x - 5，则 f'(x) = ___________。
2. 函数 y = e^(-x) 的图像是一条 ___________ 曲线。
3. 若函数 f(x) = ln(x)，则 f"(x) = ___________。
高等数学(工科类)期末试卷含答案
学年第 学期《高等数学（工科类）》课程期末考试试题（A 卷） 适用班级：专科 考试类别：闭卷笔试 命题教师： 审题教师：_ _ ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬（答题时间100分钟，满分100分）一、 判断题（对的打“∨”，错的打“×”，每小题2分，共30分）。
1．x y 3sin =不是基本初等函数。
（ ）2．若)(x f 在o x 无定义，则)(x f y =在o x 处不连续。
（ ）3．无穷大的倒数为无穷小。
（ ）4．只有基本初等函数在定义区间内连续。
（ ）5．若)0()0(+=-o o x f x f ，则)(x f 在o x 处连续。
（ ）6．无穷小的和必为无穷小 。
（ ）7．连续函数的导数存在。
（ ）8．x y sin =的二阶导数x y sin -=''。
（ ）9．函数的微分是可导函数在一点处改变量的线性主部。
（ ）10．函数)(x f y =在点o x 处连续，则)(x f 在点o x 处可导。
（ ）11．若)(x f 在][b a ,上可导，且)()(a f b f =，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使0)(=ξf 。
（ ）12．若)(o x f '=0，则o x x =为函数)(x f 的极值点。
（ ）13．函数xy 1=在定义域内既无最大值又无最小值。
（ ）14．极值点必为拐点。
（ ）15．函数)(x f 的不定积分是其全体原函数。
（ ）二、 选择题(每小题3分，共15分)。
1．下列说法中不正确的是 。
A ． )(lim x f x +∞→及)(lim x f x -∞→均存在但不相等，则)(lim x f x ∞→不存在；B ．若)(x f 在点o x 有定义，则)(lim x f o x x →存在； C ．若)(lim x f x ∞→不存在； ，则)0()0(+=-o o x f xf ； D ．当0>x 时，2ln )(x x f =与x xg ln 2)(=是相同函数。
2021-2022学年工科数学分析期末试题
工科数学分析期末试题题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十十一总分 得分 签名一. 填空题（每小题4分, 共20分）1、极限___________________________。
2、设是由方程确定，则_________________。
3、_______________________________。
4、曲线的斜渐近线方程为_____________________________。
5、设函数在上连续，其二阶导数的图形如右图所示，则曲线在上拐点坐标为:___________________________________________。
22ln(1sin )limcos 1x x t dt x ®+=-ò)(x f y =(2)x y y x e --=1lim [()1]n n f n ®¥-==++òpp -dx x xx x |)|cos 1sin (2223322arctan(1)1x y x x =+-+)(x f ),(+¥-¥)(x f ¢¢)(x f y =),(+¥-¥二、（8分）设。
（1）当时，求； （2）证明当时，恒等于常数，并确定此常数值。
三. (8分) 已知， 求 在上的表达式，并讨论在上的连续性。
22()2arctan arcsin1xf x x x=++0x >()f x ¢1³x ()f x 10()0x x f x x x +<ì=í³î1()()x F x f x dx -=ò[1,1]-()F x [1,1]-四. (8分) (1)求不定积分；(2)求广义积分五、（8分）设曲线方程为。
（1）求曲线在处的切线方程；（2）求曲线在处的曲率。
ò+dx e e x x )1ln(ò¥++1)1(xx dx 1cos r q =+2p q =2p q =六. (8分) 求微分方程满足条件的解。
工科数学复习题
工科数学复习题一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(-x) = -f(x)D. f(x) = x2. 极限lim(x→0) (sin x)/x 的值是：A. 0B. 1C. ∞D. -13. 以下哪个选项是微分方程的解？A. y = e^xB. y = x^2C. y = ln xD. y = sin x4. 曲线y = x^2 在点(1,1)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 2D. 45. 以下哪个选项是二阶可导函数？A. f(x) = |x|B. f(x) = x^3C. f(x) = e^xD. f(x) = ln x二、填空题（每题3分，共15分）1. 若函数f(x)在点x=a处可导，则f'(a)表示________。
2. 函数f(x) = x^3 - 3x + 2的一阶导数是________。
3. 极限lim(x→∞) (1 + 1/x)^x 的值是________。
4. 曲线y = x^2 + 3x + 2 在点x=1处的切线方程是________。
5. 微分方程dy/dx - 2y = 0 的通解是________。
三、计算题（每题10分，共30分）1. 计算极限lim(x→0) [(x^2 + 1) / (x - 1)]。
2. 求函数f(x) = x^2 - 4x + 3在区间[1, 3]上的最大值和最小值。
3. 解微分方程dy/dx + 2y = x^2，其中y(0) = 1。
四、证明题（每题15分，共30分）1. 证明函数f(x) = x^3 在R上是连续的。
2. 证明如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，并且f(a)f(b) < 0，则至少存在一点c∈(a, b)，使得f(c) = 0。
五、应用题（每题20分，共20分）1. 某工厂生产一种产品，其成本函数为C(x) = 5x + 100，其中x是生产数量。
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《工科数学2》综合练习（2013级机械、建筑专业）《工科数学2》课程是江苏城市职业学院高职专科工科各专业的一门必修的重要公共基础课和一门重要的工具课。
一方面它为学生学习后继课程打好基础，另一方面它对学生学科思维的培养和形成具有重要意义。
本课程共2学分，课内学时30。
工科数学2的考核由平时成绩占30%和期末考试占70%组成。
下面给出各章的复习重点，并附练习题供同学们复习时参考。
一、无穷级数本章重点：级数的收敛、发散与收敛级数的和等概念，级数收敛的必要条件，正项级数的比较审敛原理及比值审敛法，交错级数的莱布尼茨审敛法，级数的绝对收敛与条件收敛的概念，幂级数的收敛半径与收敛域的求法。
二、向量代数与空间解析几何本章重点：向量及其线性运算，向量的坐标表达式，数量积和向量积，平面及直线的方程。
三、多元函数微分学及应用本章重点：多元函数的概念，偏导数，全微分，多元复合函数求导法则，隐函数的偏导数和二元函数的极值。
四、多元函数积分学及应用本章重点：二重积分的概念和计算，二重积分的应用。
一、填空题1. 点)3,5,2(M 到平面0532=++-z y x 的距离是__________________.2. 直线 31020x y z -=⎧⎨+=⎩ 的方向向量为__________________________.3. 平面 4x y z -= 的法向量为_______________________.4. 310x +=是平行于________________坐标平面的平面.5.561x t y z =+⎧⎪=⎨⎪=⎩是平行于__________坐标轴的直线. 6. 向量 (1,1,2)a =-与 (0,1,1)b =的夹角θ=______________________. 7. 函数 1ln()z x y =+ 的定义域是______________________.8. 可微函数 (,)f x y 在点00(,)x y 达到极值，则必有______________________. 9. 设函数 u z v =，其中2,x u e v x x ==+，则dz dx=______________________. 10. 设函数 2(,)()f u v u v =+ ，则,x f xy y ⎛⎫= ⎪⎝⎭______________________. 11. 设二元函数 8223z x x y y =++ ，则2zx y∂=∂∂______________________. 12. 设二元函数 2xyz yx e =+ ，则11x y dz ===______________________.13.累次积分10(,)dxf x y dy ⎰改变积分次序成为___________________________.14. 累次积分⎰⎰-221),(x x xdy y x f dx在极坐标系下可化为___________________________.15. 若数项级数1n n u ∞=∑的通项满足1||n p u n ≤，则当p ______ 1时，级数1n n u ∞=∑收敛.16. 等比级数nn q∞=∑当||q ___________ 时收敛.17. 若数项级数1n n u ∞=∑的通项满足1lim1n n nu u ρ+→∞=>，则级数1n n u ∞=∑ ___________ . 18. 若级数1nn u∞=∑条件收敛，则级数1||nn u∞=∑必定 ___________ .二、单项选择题 1. 直线431232+=+=-z y x 与平面3=-+z y x 的位置关系是（ ）. A . 平行且不相交 B . 垂直 C . 重合 D . 斜交 2. 平面360x y z ++-=与三个坐标轴的截距分别为（ ）.A . 3,1,1B . 3,1,6-C . 6,2,2-D . 2,6,6 3. 向量（ ）是单位向量.A. (1,1,1)B. 111,,333⎛⎫⎪⎝⎭ C. (0,1,0)- D. 11,0,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ 4. 以下等式正确的是（ ）.A. i j k j +=⋅B. i j k ⋅=C. i i j j ⋅=⋅D. i i i i ⨯=⋅ 5. 设三向量,,a b c ，其中0c ≠，λ是一实数，若（ ），则a b =. A. a b λλ= B. a c b c ⋅=⋅ C. a c b c ⨯=⨯ D. a c b c ⋅=⋅，且 a c b c ⨯=⨯ 6. 若函数 (,)f x y xy =，则 (,)f x y x y +-= ( ) .A. 2()x y + B. 2()x y - C. 22x y + D. 22x y - 7.函数(,)f x y =的定义域是（ ）.A . 0x y +>B . ln()0x y +≠C . 1x y +>D . 1x y +≠ 8. 设函数 yz x =，则1x e y z y==∂=∂ ( ) .A. eB.1eC. 1D. 0 9. 设函数 sin xz e y =，则 dz = ( ) .A. sin cos xxe ydx e ydy + B. cos xe ydxdyC. sin xe ydx D. cos xe ydy10. 设方程 0yy xe -=决定函数()y y x =，则dydx= ( ) .A. 1y y e xe -B. 1y y e xe -C. 1y y xe e -D. 1y yxe e -11. 对于函数 (,)f x y ， 则结论（ ）正确. A . 若在点(,)x y 连续，则两个偏导数存在 B . 若在点(,)x y 存在两个偏导数，则在(,)x y 连续 C . 若在点(,)x y 存在两个偏导数，则在(,)x y 不一定连续 D . 若在点(,)x y 偏导数不存在，则在(,)x y 必不连续 12. 由曲面224y x z --=和0=z 及柱面122=+y x 所围的体积是（ ）.A . ⎰⎰-22204dr r r d πθ B .⎰⎰--22224dr r r d ππθ C . ⎰⎰-12204dr r d πθD . ⎰⎰-122044dr r r d πθ13. 二重积分(,)Df x y d σ=⎰⎰（ ），其中积分区域22:(1)1D x y -+≤.A .21(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰ B . 2c o s22(c o s ,s i n )d f r r r dr πθπθθθ-⎰⎰C.2(,)f x y dy ⎰ D .1(,)f x y dy ⎰14. 二重积分22/2/4(,)x x dxf x y dy ⎰⎰交换积分次序后成为（ ）.A .102(,)ydy f x y dx ⎰ B .21(,)ydyf x y dx ⎰C .220(,)y dy f x y dx ⎰ D .22(,)ydyf x y dx ⎰15. 下列级数中，收敛的级数是（ ）.A .2111n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ B .111n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ C .31113n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ D.12n n ∞=⎛ ⎝∑16. 当条件（ ）成立时，级数()1nn n uv ∞=+∑一定发散.A .1nn u∞=∑发散，且1nn v∞=∑发散 B .1nn u∞=∑发散C .1nn u∞=∑发散，且1nn v∞=∑收敛 D .1nn v∞=∑ 发散17. 若正项级数11,nnn n u v∞∞==∑∑满足(1,2,)n n u v n ≤=，则结论（ ）是正确的.A . 若1nn u∞=∑发散，则1nn v∞=∑也发散 B . 若1nn u∞=∑收敛，则1nn v∞=∑也收敛C . 若1nn u∞=∑发散，则1nn v∞=∑收敛 D . 若1nn u∞=∑收敛，则1nn v∞=∑发散18. 幂级数221212-∞=∑-n n nx n 的收敛半径是（ ）. A ．2 B ．1 C ．2 D ．21三、计算应用题1. 已知一平面通过(4,0,2),(5,1,7)A B -两点，且平行于x 轴，求该平面方程.2. 求通过点 (2,5,3)- 且与xoz 平面平行的平面方程.3. 一平面平分两点(1,2,3),(2,1,4)A B -间的线段，且和它垂直，求该平面方程.4. 求通过点(1,2,1)-且与两平面210,210x y z x y z +-+=+-+=平行的直线方程.5. 求通过点(2,3,4)-且与平面3240x y z -+-=垂直的直线方程.6. 一直线通过点(2,3,4)-，且与z 轴垂直并相交，求该直线方程.7. 设ln(2)yz x y x=- ， 求1111,x x y y z z x y====∂∂∂∂ .8. 设ln z xy y = ， 求dz . 9. 方程 ln ln 1xyzez x ++= 决定函数(,)z f x y =，求,z z x y∂∂∂∂.10. 方程 3336x y z xyz +++= 决定函数(,)z f x y =，求,z z x y∂∂∂∂. 11. 方程z ye =决定函数(,)z f x y =，求dz .12. 方程 sin yx z z e =+决定函数(,)z f x y =，求dz .13. 从斜边长为l 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形. 14. 求内接于半径为 R 的球且有最大体积的长方体.15. 要造一个容量等于常数V 的长方体无盖水池，问如何选择尺寸，才使其表面积最小？ 16. 计算二重积分Dσ，其中D 为半圆域：224,0x y x +≤≥.17. 计算二重积分 22()Dx y d σ+⎰⎰，其中D 为半圆域：222,0x y x y +≤≥. 18. 计算二重积分 Dyd σ⎰⎰，其中D 是由2,y x y ==所围成的区域.19. 计算二重积分cos()Dx y d σ+⎰⎰，其中D 是由,,0y x y x π===所围成的区域.20. 求由四个平面0,0,1,1x y x y ====所围柱体被平面623z x y =--截得的立体体积.21. 求由曲面 222z x y =+ 和 2262z x y =-- 所围成的立体体积.22. 判别下列数项级数的敛散性：（1）11n n ∞=+∑；（2）21!2n n n ∞=∑；（3）21cos 32nn n n π∞=∑.23. 判别下列数项级数的敛散性：（1）11(10)n n n ∞=+∑；（2）221(1)1n n n n ∞=-+∑. 24．在曲面 9)(22-=+z y x 上求一点，使该点到原点的距离最短．综合练习参考答案一、填空题 1.14143 2. (0,1,2)- 3. (4,1,1)-- 4. yoz 5. x 轴 6. arccos67. 0x y +>且1x y +≠ 8. 0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''== 9. 222()x x x x e xe e x x --+ 10. 221x y y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭11. 6x 12. (2)(1)e dx e dy +++ 13. 2111(,)y dyf x y dx -⎰⎰ 14. ⎰⎰θππθθθcos 2024)sin ,cos (rdr r r f d 15. > 16. 1< 17. 发散 18. 发散二、单项选择题1. C2. D3. C4. C5. D6. D7. C8. A9. A 10. B 11. C 12. D 13. B 14. A 15. C 16. C 17. A 18. A三、计算应用题1. 920y z --=2. 50y +=3. 26270x y z -+-=4. 121311x y z +--==- 5. 234312x y z -+-==- 6. 234230x y z -+-==- 7. 2,1- 8. ln (ln 1)y ydx x y dy ++9. 22xyz xyz xyz e z x yze x +-+， 21xyz xyz xz e xyze -+ 10. 2233x yz z xy +-+，2233y xzz xy+-+11. )2dz zdx e =-+ 12. sin cos 1y zdx e dy dz x z -+=- 13.14.15.16.222283Dd r dr ππσθπ-==⎰⎰ 17.2cos 22230()Dx y d d r dr πθσθ+=⎰⎰⎰⎰240334cos 4444d ππθθπ==⨯⨯=⎰18.21140013()220Dx yd dx ydy x x dx σ==-=⎰⎰⎰⎰ 19.cos()cos()(sin 2sin )2yDx y d dy x y dx y y dy ππσ+=+=-=-⎰⎰⎰⎰⎰20. 1100(623)(623)D V x y d dx x y dy σ=--=--⎰⎰⎰⎰1097222x dx ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭⎰ 21.222200(633)3(2)D V x y d d r rdr πσ=--=-⎰⎰⎰42664r r ππ⎛=-= ⎝22. （1）发散 （2）发散 （3）收敛23. （1）收敛 （2）发散 24. (0,0,3)±。