积分变换第6讲拉氏变换的性质及应用

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《拉氏变换详解》课件

积分性质
积分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$，则 $int_{0}^{infty} f(t) dt$ 的拉普拉斯变换为 $- frac{1}{s} F(s)$。
应用
积分性质在求解初值问题和极值问题时非常有用，可以方便地得到原函数的表达式。
微分性质
微分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$，则 $f^{(n)}(t)$ 的拉普拉斯变换为 $s^{n} F(s) - s^{n-1} f(0-) - s^{n-2} f'(0-) - ldots - f^{(n-1)}(0-)$。
卷积定理
总结词
卷积定理是拉普拉斯变换的一个重要特性，它描述了函数与其导数之间的卷积关系。
详细描述
卷积定理表明，对于任意实数t，如果函数 f(t)与其导数f'(t)的拉普拉斯变换都存在，则它们之间的卷积结果等于零。这个定理在信号处理、控制系统等领域有着广泛的应用，可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质
，再通过反变换得到 (y(t))。
控制系统的稳定性分析
总结词
通过拉普拉斯变换，可以分析控制系统的稳定性，为系统设计和优化提供依据。
详细描述
对于线性时不变控制系统，通过拉普拉斯变换，可以将其转化为传递函数的形式。根据传递函数的极点和零点分布，可以判断系统的稳定性。如果所有极点都在复平面的左半部分，则系统是稳定的。如果极点在右半部分或等于零，则系统是不稳定的。此外，系统的动态性能也可以通过传递函数的极点和零点分布进行分析和优化。
03
动态行为。
2023
PART 02
拉普拉斯变换的应用
REPORTING
在微分方程中的应用

数学物理方法拉氏变换

1 c j st (1)利用公式 f (t ) F (s)e ds c j 2 πj
(2)对简单形式的F(s)可以查拉氏变换表得原函数 (3)把F(s)分解为简单项的组合
F ( s ) F1 ( s ) F2 ( s ) Fn ( s )
f (t ) f1 (t ) f 2 (t ) f n (t )
K2 Kn ( s p1 ) F (s) K1 ( s p1 ) s p s p 2 n
令 s = p1 方法2
求极限的方法
N (s)(s pi ) K i lim s pi D(s)
返回上页下页
N (s)(s pi ) K i lim s pi D(s)
2. 拉氏变换的定义
定义 [ 0 , ∞)区间函数 f(t)的拉普拉斯变换式：
简写 F (s) L f (t ) ， f (t ) L F (s)
-1
F ( s ) f (t )e st dt 0 1 c j st F ( s ) e d s f (t ) c j 2 πj
s 1
3
d K 21 [( s 1) 2 F ( s )] s 1 d [ s 4 ] 4 s 1 ds ds s
f (t ) 4 4e 3te
t
t
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小结由F(s)求f(t) 的步骤： n =m 时将F(s)化成真分式和多项式之和 N 0 (s) F (s) A D(s)
(2) f (t ) δ ( t )的象函数
1 L[ (t )] s d (t ) 1 L (t ) L[ ] s 0 1 dt s 2 d f ( t ) ' 推广：L[ ] s[ sF ( s) f (0 )] f (0 ) 2 dt 2 ' s F ( s) sf (0 ) f (0 )

积分变换第6讲拉氏变换的性质及应用

的拉氏变换.
s -1

(习题一,1(5)),由积分性质

1 s -1
2
ds

s

s
1 1 1 1 s -1 s - 1 - s 1 d s 2 ln s 1 2 s 1 2 ln s 1 s -1

13
如果积分则有

f (t ) t
d t存在, 按(2.10)式, 取s 0
F ( s) E s
2 2
(1 e
-
T 2
s
), 其中
2 T
从而
L [ fT (t )] F (s) 1- e
- sT

E s
2 2

1 1- e
-s T 2
26
这是一个求周期函数拉氏变换的简单方法, 即设fT(t) (t>0)是周期为T的周期函数, 如果
fT (t ) f (t ) 0 0t T 其他
而所以 L [m!] m!L [1] L [t ]
m
m! s (Re( s ) 0).
7
m! s
m 1
此外, 由拉氏变换存在定理, 还可以得到象函数的微分性质: 若L [f(t)]=F(s), 则 F '(s)=L [-tf(t)], Re(s)>c. (2.6) 和 F(n)(s)=L [(-t)nf(t)], Re(s)>c. (2.7) 这是因为对于一致绝对收敛的积分的积分和求导可以调换次序

t
f (t ) d t , 则有
0
h(t ) f (t ), 且h(0) 0 由上述微分性质, 有 L [ h(t )] sL [ h(t )] - h(0) sL [ h(t )], 即 f (t ) d t 1 L L 0 s

常微分方程课件：拉普拉斯变换及应用

estdt 1 est 1
0
0
s 0s
当a 0时 eat (t ) (t )
(3)单位冲激函数
L[ (t)]
(t )e st dt
0 (t)es0dt 1
0
0
2 拉普拉斯变换的基本性质一、线性
若L[ f1(t )] F1(S ) , L[ f2(t )] F2(S )
00
SF (S) f (0)
例3 应用导数性质求下列函数的象函数：
1) f (t) cos(t);
2) f (t) (t).
解 : 1)L[cos(t)] L[ 1 d (sin(t))] dt
1
(s
s2
2
0)
s2
s
2
2)由于 (t) d (t), L[ (t)] 1
dt
s
上述函数的定义域为[0， ∞)，求其象函数。
解： 1)L[sin(t )] L[ 1 (e jt e jt )]
2j 1[ 1 1 ]
2 j S j S j
S2 2
2)L[K (1 eat )] L[K ] L[Ke at ] K K Ka s s a s(s a)
设：L[ f (t)] F (S) 当t t0时，f (t t0 ) 0
则：L[ f (t t0 ) (t t0 )] est0 F(S)
证：L[ f (t t0 )]
0
f
(t
t0 )estdt
令t t0
t0
est0
f (t t0 )estdt
f ( )es d
则 L[af1(t) bf2(t)] aF1(S ) bF2(S )
证：0[af1(t ) bf2 (t )]est dt

积分变换laplace

(n)
(t ) s F ( s ) s
n
n1
f (0) s
n 2
f ( 0 ) f
( n1)
(0)
17
例1 求
f
t
t
m
的拉氏变换（m为正整数）。
m 1
解由于 f
0
f 0 f
(m )
0
0, 而 f
m
t
存在常数 M > 0及c 0, 使得
|f (t)| M e c t, 0 t <. 则 f (t)的拉氏变换
F ( s)

f ( t )e d t
st
0
在半平面Re(s)>c上一定存在, 并且在Re(s) > c的半平面内, F(s)为解析函数.
6
y
Mect
f (t)
O

e
st
dt
1 s
e
st
0
1 s
0
L [ u ( t )]
1 s
(R e ( s ) 0 ) .
4
例2 求指数函数 f (t)=e kt 的拉氏变换(k为实数).
解根据拉氏变换的定义, 有
L[ f ( t )]

e e
kt
st
dt
0

e
( sk ) t
L a 1 f 1 ( t ) a 2 f 2 ( t ) a 1 F 1 ( s ) a 2 F 2 ( s ),
1
L
b1 F 1 ( s ) b 2 F 2 ( s ) b1 f 1 ( t ) b 2 f 2 ( t ) .

拉氏变换与Z变换的基本公式及性质

拉氏变换与Z变换的基本公式及性质拉氏变换（Laplace Transform）是一种重要的信号分析工具，它将时域函数转换为复域函数，使得分析和处理复杂的差分方程、微分方程、线性时不变系统等问题变得更加简单。

拉氏变换的定义如下：对于一个定义在半轴t≥0上的实值函数f(t)，它的拉氏变换F(s)定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt其中s是一个复变量，e^(-st)是一个复数系数。

拉氏变换的基本公式：1.映射常数L{1}=1/s2. $L{e^{at}}=\frac{1}{s-a}, Re(s)>a$3.时间平移L{f(t-a)u(t-a)} = e^(-as)F(s)4.频域平移L{e^(as)f(t)} = F(s-a)5.合并函数L{f(t)+g(t)}=F(s)+G(s)6.乘法L{f(t)g(t)}=F(s)*G(s)7.单位冲激函数L{δ(t-a)} = e^(-as)拉氏变换的性质：1.线性性质L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)2.积分性质L{∫[0,t]f(τ)dτ}=1/s*F(s)3.拉氏变换的导数性质L{f'(t)}=sF(s)-f(0)4.初始值定理f(0+) = lim(s->∞) sF(s)5.最终值定理lim(t->∞) f(t) = lim(s->0) sF(s)Z变换是一种由离散信号而来的变换，它将离散序列变换到复平面上。

Z变换的定义如下：对于一个离散序列x[n]，它的Z变换X(z)定义为：X(z)=Z{x[n]}=∑[-∞,∞]x[n]z^(-n)其中z是一个复变量。

Z变换的基本公式：1.映射常数Z{1}=12.单位序列Z{δ[n]}=13.线性性质Z{ax[n] + by[n]} = aX(z) + bY(z)4.平移Z{x[n-a]}=z^(-a)X(z)5.单位冲激响应函数Z{h[n]}=H(z)6.时域乘法Z{x[n]y[n]}=X(z)Y(z)Z变换的性质：1.线性性质Z{ax[n] + by[n]} = aX(z) + bY(z)2.移位性质Z{x[n-k]}=z^(-k)X(z)3.初始值定理x[0] = lim(z->∞) X(z)4.最终值定理lim(n->∞) x[n] = lim(z->1) (1-z^(-1))*X(z)5.时域卷积性质Z{x[n]*y[n]}=X(z)Y(z)6.时域乘法性质Z{x[n]y[n]}=X(z)Y(z)总结：拉氏变换和Z变换都是用于信号分析和处理的重要工具。

拉氏变换及应用

§2-3拉普拉斯变换及其应用时域的函数可以通过线性变换的方法在变换域中表示，变换域的表示有时更为简捷、方便。

例如控制理论中常用的拉普拉斯变换，简称拉氏变换，就是其中的一种。

一、拉氏变换的定义已知时域函数，如果满足相应的收敛条件，可以定义其拉氏变换为(2-45)式中，称为原函数，称为象函数，变量为复变量，表示为(2-46)因为是复自变量的函数，所以是复变函数。

有时，拉氏变换还经常写为(2-47)拉氏变换有其逆运算，称为拉氏反变换，表示为(2-48)上式为复变函数积分，积分围线为由到的闭曲线。

二、常用信号的拉氏变换系统分析中常用的时域信号有脉冲信号、阶跃信号、正弦信号等。

现复习一些基本时域信号拉氏变换的求取。

(1)单位脉冲信号理想单位脉冲信号的数学表达式为(2-49)且(2-50)所以(2-51)说明：单位脉冲函数可以通过极限方法得到。

设单个方波脉冲如图2-13所示，脉冲的宽度为，脉冲的高度为，面积为1。

当保持面积不变，方波脉冲的宽度趋于无穷小时，高度趋于无穷大，单个方波脉冲演变成理想的单位脉冲函数。

在坐标图上经常将单位脉冲函数表示成单位高度的带有箭头的线段。

由单位脉冲函数的定义可知，其面积积分的上下限是从到的。

因此在求它的拉氏变换时，拉氏变换的积分下限也必须是。

由此，特别指明拉氏变换定义式中的积分下限是,是有实际意义的。

所以，关于拉氏变换的积分下限根据应用的实际情况有，，三种情况。

为不丢掉信号中位于处可能存在的脉冲函数，积分下限应该为。

(2)单位阶跃信号单位阶跃信号的数学表示为(2-52)又经常写为(2-53)由拉氏变换的定义式，求得拉氏变换为(2-54)因为阶跃信号的导数在处有脉冲函数存在，所以单位阶跃信号的拉氏变换，其积分下限规定为。

(3)单位斜坡信号单位斜坡信号的数学表示为(2-55)图2-15单位斜坡信号另外，为了表示信号的起始时刻，有时也经常写为(2-56)为了得到单位斜坡信号的拉氏变换，利用分部积分公式得(2-57)(4)指数信号指数信号的数学表示为(2-58)拉氏变换为(2-59)(5)正弦、余弦信号正弦、余弦信号的拉氏变换可以利用指数信号的拉氏变换求得。

拉氏变换.doc

控制原理补充讲义——拉氏变换拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量S的乘积，将时间表示的微分方程，变成以S表示的代数方程。

一、拉氏变换与拉氏及变换的定义1、拉氏变换：设有时间函数，其中，则f(t)的拉氏变换记作：称L—拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。

f(t)—原函数拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)：1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。

2)当时，，M，a为实常数。

2、拉氏反变换：将象函数F（s）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。

—拉氏反变换符号关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。

二、典型时间函数的拉氏变换在控制系统分析中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个或几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。

注意：六大性质一定要记住1．单位阶跃函数2．单位脉冲函数3．单位斜坡函数4．指数函数5．正弦函数sinwt由欧拉公式：所以，6．余弦函数coswt其它的可见下表：拉氏变换对照表)1sin(122ϕξωξωξω----t e n t nn三、拉氏变换的性质1、线性性质若有常数k1，k2,函数f1(t),f2(t),且f1(t),f2(t)的拉氏变换为F1(s),F2(s), 则有：，此式可由定义证明。

2、位移定理(1)实数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a有,其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表示f(t)延迟时间a.证明：，令t-a=τ,则有上式=例：求其拉氏变换(2)复数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一常数a,有证：例：求的拉氏变换3、微分定理设f(t)的拉氏变换为F(s),则其中f(0+)是由正向使的f(t)值。

拉普拉斯变换性质及反演

b p a
p f( ) a
数学物理方法
（7）卷积定理
若 f1 ( p) L[ f1 (t )] ， f 2 ( p) L[ f 2 (t )]
t
则 L[ f1 (t )* f 2 (t )] f1 ( p) f 2 ( p) ，其中积。在傅里叶变换中我们定义了两个函数的卷积： f1 (t ) * f 2 (t ) f1 ( ) f 2 (t )d
a y ( p) y ( p) 2 2 p p 1
1 1 解得 y ( p ) a ( 2 4 ) p p
1 3 从而 y (t ) a (t t ) 6
数学物理方法
（三）黎曼－梅林反演公式* 在上两种方法都不能求出原函数时，原则上总是可以采用
n
数学物理方法
（4）相似性定理
1 p L[ f (at )] f ( ) a a
（5）位移定理 L[ e t f( t) f ( ] p 请大家仿照傅里叶积分变换验证。
)
计算 eat cos t ， e at sin t ， eat cht ， eat sht 的拉普拉斯变换函数。解：略。例 6.2.6
e ap 1 解：由于的原函数为 H (t ) ，应用延迟定理有 p p 1 的原函数为 H (t a) ，又由位移定理有的原函 pb bt 数为 e 。应用卷积定理，有
t e ap 1 L [ ] H ( a)e b (t ) d 0 p ( p b)
t 1 1 L [ 2 ] ( )et d t 1 et 0 p p 1 1
6.3 拉普拉斯变换的反演
数学物理方法

常见信号拉氏变换

常见信号拉氏变换拉普拉斯变换是一种非常重要的数学工具，广泛应用在信号处理和控制系统中。

在这篇文章中，我们将介绍一些常见的信号及其拉普拉斯变换，并解释其在实际应用中的意义和作用。

首先，我们来了解一下拉普拉斯变换的基本概念。

拉普拉斯变换是一种积分变换，它将一个时间域上的函数转变为一个复平面上的函数。

在连续时间系统中，拉普拉斯变换可以将微分和积分方程转化为代数方程，从而简化系统的分析和求解。

在信号处理中，常见的信号类型包括连续时间信号和离散时间信号。

在连续时间信号中，最常见的信号包括单位阶跃函数、冲激函数和正弦函数等。

单位阶跃函数在时间t=0时从0跳变到1，描述了系统的开关行为，其拉普拉斯变换可以表示为1/s，其中s是复频域变量。

冲激函数表示一个瞬时的脉冲信号，其拉普拉斯变换为1，即δ(t)的拉普拉斯变换为1。

而正弦函数在时间域中以周期性振荡的形式出现，在频域中则表现为位于正负无穷处的脉冲，其拉普拉斯变换可以用1/(s^2+w^2)来表示，其中w是正弦函数的频率。

在离散时间信号中，最常见的信号是单位样值函数和指数函数等。

单位样值函数表示在t=0时为1，其它时刻为0的序列，其拉普拉斯变换可以表示为1/(1-e^-s)，其中s是离散频域变量。

指数函数在离散时间序列中以指数增长或衰减的形式出现，其拉普拉斯变换可以用1/(1-e^(-a*s))来表示，其中a是指数函数的增长或衰减系数。

拉普拉斯变换在实际应用中扮演着重要的角色。

在信号处理中，拉普拉斯变换可以帮助我们理解信号的频域特性，如频率响应和滤波器设计等。

在控制系统中，拉普拉斯变换可以将微分方程转换为代数方程，从而使系统的分析和设计更加简单和直观。

除了上述介绍的常见信号类型，还有许多其他类型的信号也可以通过拉普拉斯变换进行分析和处理。

例如，矩形波、三角波和高斯函数等都有其特殊的拉普拉斯变换表达式，它们在不同的应用中起到了重要的作用。

综上所述，拉普拉斯变换是一种非常强大的数学工具，用于信号处理和控制系统分析。

拉普拉氏变换

1
f1 ( t ) A 2 f 2 ( t ) A1 f1 ( t ) A2 f 2 ( t )
[ f 2 ( t )] F2 ( S )
A1 F1 ( S ) A 2 F2 ( S )
0 A1 f1 ( t ) A 2 f 2 ( t )e st dt 证： A1 f1 ( t ) A 2 f 2 ( t )
s0
例2：
R
(t)
校验：

+
u
uc (0 ) 0 du RC u (t ) dt
1 SRCU ( S ) U ( S ) S 1 U(S) S (1 SRC )
- C
1 1 u(0 ) lim S lim 0 s S (1 SRC ) s (1 SRC ) 1 u( ) lim 1 s 0 (1 SRC )
简写 F (s)
s为复频率
f ( t )
s j
应用拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析法，又称运算法。
2. 拉氏变换的定义
t < 0 , f(t)=0
正变换
F (s) f (t )e st dt 0 1 c j st f (t ) c j F (s)e ds 2j
设：
注
[ f ( t )] F ( s )
则：
[ f ( t t0 )] e st F ( s )
0
f ( t t0 ) 0 当 t t0
证：
令t t0
f(t - t )
0

t f ( t t0 )e
0

0
f ( t t0 )e st dt

拉氏变换微分定理

拉氏变换微分定理
拉氏变换是将时间函数f(t)变换为复变函数F(s),或作相反变换。

时域⑴变量t是实数，复频域F(三)变量S是复数。

变量s又称“复频率二拉氏变换建立了时域与复频域(S域)之间的联系。

s=jw,当中的j是复数单位，所以使用的是复频域。

拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换，又名拉氏变换。

拉氏变换是一个线性变换，可将一个有参数实数t(t≥0)的函数转换为一个参数为复数S的函数。

拉普拉斯变换在许多工程技术和科学研究领域中有着广泛的应用，特别是在力学系统、电学系统、自动控制系统、可靠性系统以及随机服务系统等系统科学中都起着重要作用。

拉氏变换是一个线性变换，可将一个有引数实数t(t≥0)的函数转换为一个引数为复数s的函数。

f(t)表示实变量t的一个函数，F(三)表示它的拉普拉斯变换，它是复变量S=。

+j∖∖u0026owega;的一个函数，其中。

和∖∖u0026owega;均为实变数J2=-l0F(三)和f(t)间的关系由下面定义的积分所确定:拉普拉斯变换。

拉氏变换的作用：求解方程得到简化。

且初始条件自动包含在变换式里。

拉氏变换将“微分”变换成“乘法”，“积分”变换成“除法”。

即将微分方程变成代数方程。

拉氏变换将时域中卷积运算变换成“乘法”运算。

利用系统函数零点、极点分布分析系统的规律。

拉氏变换的基本性质

频移性质的意义
频移性质表明信号在时域中乘以指数函数对应于频域中的平移。
微分性质
微分定理
若$f(t)$的拉氏变换为$F(s)$，则$f'(t)$的拉氏变换为$sF(s)-f(0^-)$。
微分性质的意义
微分性质建立了信号时域微分与频域之间的关系，便于通过拉氏变换求解微分方程的初值问题。
积分性质
积分定理
拉氏变换的基本性质
目录
• 引言 • 拉氏变换的基本性质 • 拉氏变换的收敛域 • 拉氏反变换 • 拉氏变换在电路分析中的应用 • 拉氏变换在信号处理中的应用
01 引言
拉氏变换的定义
拉氏变换是一种线性积分变换
它将一个有实数变量t（t≥0）的函数转换为一个复数变量s的函数。
转换公式
对于实数变量t的函数f(t)，其拉氏变换F(s)定义为F(s)=∫[0,∞)f(t)e^(-st)dt，其中s为复数
电路分析
在电路分析中，拉氏反变换常用于将电路的频率响应转换回时域响应，以便分析电路的动态行为。
控制系统
在控制系统中，拉氏反变换可用于将控制系统的传递函数转换回时域，以便分析系统的稳定性和性能。
信号处理
在信号处理中，拉氏反变换可用于将信号的频谱转换回时域信号，以便进行信号的重构和分析。
05 拉氏变换在电路分析中的应用
确定收敛域。
收敛域与函数性质的关系
函数增长性与收敛域
函数增长越快，其拉氏变换的收敛域越小；反之，函数增长越慢，其收敛域越大。
函数奇偶性与收敛域
对于偶函数，其拉氏变换的收敛域关于实轴对称；对于奇函数，其收敛域关于原点对称。
函数周期性与收敛域
周期性函数的拉氏变换在相应的周期内收敛，而在其他区域可能发散。

拉氏变换

s 3
7
f (t ) 3e (t ) 7e (t )
3t
N ( p1 ) p t N ( p2 ) p t N ( pn ) p t f (t ) ' e ' e ' e D ( p1 ) D ( p2 ) D ( pn )
1 2 n
原函数的一般形式
二单位冲激函数
1. 单位脉冲函数 p(t) p(t) 1/ 0
1 p( t ) [ ( t ) ( t )]
t

p( t )dt 1
2. 单位冲激函数 (t)
1/
p(t)
- / 2
定义
/2
t
lim p( t ) ( t )
0
利用部分分式可将F(s)分解为：
待定常数
Kn K1 K2 F ( s) s p1 s p2 s pn
f (t ) K1e K 2e
p1t
p2t
K n e
返回
pn t
上页下页
待定常数的确定：方法1
K i F ( s)( s pi ) s pi i 1 、 2、 3、 n
K1， 2 F ( s )( s j )s j
返回上页下页
(2) 若 D(s) 0 具有共轭复根
p1 j p2 j
N (s) N (s) F (s) D(s) (s j )(s j ) D1 (s)
K1 K2 N1 (s) s j s j D1 (s)
st 0

(s c ) t

第06章_拉普拉斯变换

f ( )e p ( t0 )d
0
e
t0 p

0
f ( )e p d
e
t0 p
f ( p)
WangChengyou © Shandong University, Weihai
数学物理方法
第6章拉普拉斯变换
t
15
(6) 位移定理 [e 证明： [e
其中积分 f (t )e pt dt称为拉普拉斯积分，f ( p )称为函
0

数f (t )的拉普拉斯变换函数(像函数)，f (t )称为原函数。
拉普拉斯变换存在的充分条件：(1) 在0≤t<∞的任一有限区间上，除了有限个第一类间断点外，函数f(t)及其导数是处处连续的；(2) 存在常数M>0和σ≥0，使得对于任何的t值(0≤t<∞)，有 f (t ) Me t σ的下界称为收敛横标，用σ0表示。特别说明：大多数函数都满足该条件！
d
1 p f( ) a a
WangChengyou © Shandong University, Weihai
数学物理方法
第6章拉普拉斯变换
14
(5) 延迟定理
[ f (t t0 )] e
t0 p
f ( p)
pt
证明： [ f (t t0 )]

0

f (t t0 )e dt
WangChengyou © Shandong University, Weihai
Байду номын сангаас
数学物理方法
第6章拉普拉斯变换
11
(2) 导数定理
[ f '(t )] pf ( p) f (0)

拉式变换(增补)

f (t) = f1(t) + f2(t) +⋅ ⋅ ⋅ + fn(t)
象函数的一般形式：象函数的一般形式：
N(s) a0s + a1s +⋅ ⋅ ⋅ + am F(s) = (n≥ m) = n n−1 D s) b s + b s +⋅ ⋅ ⋅ + bn ( 0 1
m m−1
n 设 > m F(s)为分，真式
e-αtε(t)
e-αt sinω ε(t) t
e-αttnε(t)
s s2 +ω2
1 s +α
ω 2 2 (s +α) +ω
−st0
n ! (s +α)n+1
L f (t −t0 )ε(t −t0 )] = e F(s) [
三、拉普拉斯反变换的部分分式展开
用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。把求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。由象函数求原函数的方法：由象函数求原函数的方法：
[ f (t)] = F(s) +e−sTF(s) + e−2sTF(s) +⋅ ⋅ ⋅ 1 1 1
= F(s)[e 1
−sT
+e
−2sT
+e
−3sT
1 F(s) +⋅ ⋅ ⋅] = 1 −sT 1−e
1 [ f (t)] = F(s) 1 −sT 1−e
T 本中 f1(t) = ε(t) − ε(t − ) 例： 2
f (t) =ε(t)
F(s) = [ε(t)] = ∫ ε(t)e dt =

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