初三数学培优之一元二次方程的整数根

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一元二次方程整数根问题的解法技巧

7 7
时,
1 2
7 ( 舍去). 故所有正数 a 的和是: 1 +
①
+
2 (x + 6) ≥ 1, 解得 - 4 ≤ x ≤ 2. 取 x 的整数 (x + 2) 2 值为 x = - 4, - 3, - 1, 0, 1, 2, 分别代入 ①, 得 a 的整
26;
= [ a (a + 2) ] 2 是完全平方式, 则原方程可用十字相乘
当 2m + 1 = 49 时, m = 24, 方程两根分别为 38,
52.
法因式分解为: [ ax -
《数学教学通讯》 2005 年 9 月 ( 下半月) ( 总第 238 期) ③ 令 ∃ = p t + q = n 2 ( 或 ( 2n + 1) 2 ) , 由此求出 t 后代入原方程, 先求出两根, 再求参数. 例 5 ( 1991 年南昌市初中数学竞赛题) 已知 a 为整数, 方程 x + ( 2a + 1) x + a = 0 有整数根 x 1、 x 2,
6 (k + 1) = 1.
解得 k = 8, 或 k = 46. 分别代入
41 130 ,2或 , - 17. 9 9
原方程可解得方程的有理根为 -
∴ x 1 = - n2, x 2 = ∴
4 4
(n + 1) 2 ,
4
x2 1
-
x2 2
=
4
(- n2) 2
-
三、利用一元二次方程根与系数的关系求解
= k (k + 2) ,
2
k- 1 = 1k
1
k
( 因 k 为实数, 此时不能推出 k = 1, - 1) ・・ ② - ① 消去参数 k , 得 x 1 x 2 - x 1 - x 2 = 2,

一元二次方程专题能力培优(含答案)

一元二次方程专题能力培优(含答案)解得：m≠2m10当m≠2时，原方程可化为x-m+1=0.2.C解析：将方程化简可得(m-6)x+(m-6)=0，由于常数项为0，所以m-6=0，即m=6.3.a=2解析：由于一次项系数为0，所以根据一元二次方程的求根公式可得：x1=x2=-b/2a，代入a-b+c=0中得a=2.4.a=2解析：将方程化简可得(2a-4)x+(3a+6)x+(a-8)=0，由于一次项系数为0，所以2a-4+3a+6=0，解得a=2.5.D解析：由题可得另一个根为-b，代入x1x2=a/c=-a/b得到b=-2a，代入a-b得到a=2b，所以a-b=2b-b=b=2.6.a/2解析：由于a-b+c=0，所以c=b-a，代入一元二次方程的求根公式可得x1=(b+√(b^2-4ac))/2a，x2=(b-√(b^2-4ac))/2a，代入x1x2=a/c得到a=(b^2-a^2)/(b-a)，解得a/2=b-a，即a=2b-2a，解得a/2.7.2012解析：由一元二次方程的求根公式可得a=2013/2+√(2013^2/4-1)，代入a-2012a-2013/2得到2012.2或者当m+1+（m-2）≠0且m+1=1时，它是一元一次方程。

解得：m=-1，m=0.因此，当m=-1或m=0时，为一元一次方程。

给定方程m^2-1=0，解得m=-1.因为m-1≠0，所以这是一元一次方程。

解方程3a+6=0，得到a=-2.因此，这是一元一次方程。

根据题意，方程x+bx+a=0的一个根是-a（a≠0）。

由此得到a-b=-1.解方程x^2=1，得到x=±1.因此，x=-1.已知实数a是一元二次方程x-2013x+1=0的解，因此a-2013a+1=0.解得a=-1/2012.若方程25x-(k-1)x+1=0的左边可以写成一个完全平方式，则k的值为-8或9.如果代数式x+6x+m是一个完全平方式，则m=9.用配方法证明：无论x为何实数，代数式-2x^2+4x-5的XXX小于零。

专题培优-一元二次方程的整数根(含答案)

一元二次方程的整数根1.使一元二次方程x2+3x+m=0有整数根的非负整数m的个数为( )．A. 0B. 1C. 2D. 32.满足(n2-n-1)n+2＝1的整数n有________个．3.已知关于x的方程（a－1）x2＋2x－a－1＝0的根都是整数，那么符合条件的整数a有________个．4.方程x2+px+q=0的两个根都是正整数，并且p+q＝1992，则方程较大根与较小根的比等于________.5.已知k为整数，且关于x的方程(k2-1)x2-3(3k-1)x+18=0有两个不相同的正整数根，则k＝________.6.关于x的一元二方程4x2+4mx+m2+m-10=0(m为正整数)有整数根，则满足条件的m值的个数为________个．7.已知关于x的方程((m2−1)x2−3(3m−1)x+18=0有两个正整数根(m是整数)．△ABC的三边a，b，c满足c=2√3，m2+a2m−8a=0，m2+b2m−8b=0．求：(1)m的值；(2)△ABC的面积．8.当k为何整数时，方程(k2-1)x2-6(3k-1)x+72＝0有两个不相等的正整数根?9.当n为何整数时，关于x的一元二次方程x2-3nx+2n2-6=0的两根都为整数?10.求这样的正整数a，使得方程ax2+2(2a-1)x+4a-7=0至少有一个整数解．11.设关于x的一元二次方程(k2-6k+8)x2+(2k2-6k-4)x+k2＝4的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值．12.已知m，n为正整数，关于x的方程x2-mnx+(m+n)=0有正整数解，求m，n的值．13.k为何值时，关于x的方程x2-4mx+4x+3m2-2m+4k=0的根是有理数?14.已知关于x的一元二次方程x2+cx+a=0的两个整数根恰好比方程x2+ax+b=0的两个根都大1，求a+b+c的值．15.已知一元二次方程x2+ax+b=0，①有两个连续的整数根，一元二次方程x2+bx+a=0，②有整数根，求a，b的值．答案1.C2.43.54.9975.26.47.解：（1）∵关于x 的方程（m 2-1）x 2-3（3m -1）x +18=0有两个正整数根（m 是整数）．∵a =m 2-1，b =-9m +3，c =18，∴b 2-4ac =（9m -3）2-72（m 2-1）=9（m -3）2≥0，设x 1，x 2是此方程的两个根，∴x 1•x 2=c a =18m 2−1，∴18m 2−1也是正整数，即m 2-1=1或2或3或6或9或18，又m 为正整数，∴m =2；（2）把m =2代入两等式，化简得a 2-4a +2=0，b 2-4b +2=0当a =b 时，a =b =2±√当a ≠b 时，a 、b 是方程x 2-4x +2=0的两根，而△＞0，由韦达定理得a +b =4＞0，ab =2＞0，则a ＞0、b ＞0．①a ≠b ，c =2√3时，由于a 2+b 2=（a +b ）2-2ab =16-4=12=c2 故△ABC 为直角三角形，且∠C =90°，S △ABC =12ab =1．②a =b =2-√2，c =2√3时，因2(2−√2)＜2√3，故不能构成三角形，不合题意，舍去． ③a =b =2+√2，c =2√3时，因2(2+√＞2√3，故能构成三角形．S △ABC =12×（2√）×√=√综上，△ABC 的面积为1或√． 8.解：∵k 2-1≠0∴k ≠±1∵△=36（k -3）2＞0∴km ≠3用求根公式可得：x 1=6k−1，x 2=12k+1∵x 1，x 2是正整数∴k -1=1，2，3，6，k +1=1，2，3，4，6，12，解得k =2．这时x 1=6，x 2=4． 9.解：原方程变形得(x −2n)(x −n)=6，∵x ，n 均为整数，∴原方程化为{x −2n =±2,x −n =±3或{x −2n =±3,x −n =±2或{x −2n =±6,x −n =±1或{x −2n =±1,x −n =±6，解得n =-1或1或-5或5．10.解：原方程变形为(x ＋2)2a =2x ＋7(x ≠−2)，解得a =2x ＋7(x ＋2)2.∵a ≥1，∴2x ＋7(x ＋2)2⩾1，∴-3≤x ≤1，∴x 可取值为-3，-1，0，1，分别代入a =2x ＋7(x ＋2)2中，解得a ＝1或a ＝5或a =74或a ＝1．又∵a 是正整数，∴当a ＝1或a ＝5时，方程至少有一个整数解. 11.解：原方程可化为[(k −4)x ＋(k −2)][(k −2)x ＋(k ＋2)]=0，∵k 2−6k ＋8=(k −4)(k −2)≠0，∴x 1=−k−2k−4=−1−2k−4，x 2=−k ＋2k−2=−1−4k−2， ∴k −4=−2x 1＋1，k −2=−4x 2＋1(x 1≠−1,x 2≠−1)，消去k ，得x 1x 2＋3x 1＋2=0. ∴x 1(x 2＋3)=−2．由于x 1，x 2都是整数，∴{x 1=−2,x 2＋3=1或{x 1=1,x 2＋3=−2或{x 1=2,x 2＋3=−1.或{x 1=−2,x 2=−2或{x 1=1,x 2=−5或{x 1=2,x 2=−4． ∴k =6或3或103.经检验均满足题意．12.解：设方程x 2−mnx +(m +n )=0的两根分别为：x 1,x 2，∵m ，n 为正整数，∴x 1+x 2=mn >0,x 1⋅x 2=m +n >0，∴这两个根x 1,x 2均为正数，又∵(x 1−1)(x 2−1)+(m −1)(n −1)=x 1x 2−(x 1+x 2)+1−[mn −(m +n )+1]=(m +n )−mn +1+[mn −(m +n )+1]=2，其中(x 1−1)(x 2−1)，m −1，n −1均非负，而为两个非负整数和的情况仅有0+2；1+1；2+0.∵(x 1−1)(x 2−1)=x 1x 2−(x 1+x 2)+1=m +n −mn +1,(m −1)(n −1)=mn −(m +n )+1，∴{m +n −mn +1=0mn −(m +n)+1=2或{m +n −mn +1=1mn −(m +n )+1=1或{m +n −mn +1=2mn −(m +n)+1=0，解得：{m =2n =3或{m =3n =2或{m =2n =2或{m =1n =5或{m =5n =1.13.解：根据题意得：△=(-4m +4)2-4×(3m 2-2m +4k )=4(m 2-6m +4-4k )，∵方程的解为有理数，∴4(m 2-6m +4-4k )是一个完全平方数，即4-4k =9，解得：k =-54. 14.解：设方程x 2+ax +b =0的两个根为α，β，∵方程有整数根，设其中 α，β为整数，且α≤β，则方程x 2+cx +a =0的两根为α+1，β+1，∴α+β=-a ，(α+1)(β+1)=a ，两式相加，得 αβ+2α+2β+1=0，即 (α+2)(β+2)=3，∴{α+2=1β+2=3或{α+2=−3β+2=−1.解得{α=−1β=1或{α=−5β=−3.又 ∵a =-(α+β)=-[(-1)+1]=0，b =αβ=-1×1=-1，c =-[(α+1)+(β+1)]=-[(-1+1)+(1+1)]=-2，或a =-(α+β)=-[(-5)+(-3)]=8，b =αβ=(-5)×(-3)=15，c =-[(α+1)+(β+1)]=-[(-5+1)+(-3+1)]=6， ∴a =0，b =-1，c =-2；或者a =8，b =15，c =6，∴a +b +c =0+(-1)+(-2)=-3或a +b +c =8+15+6=29，故a +b +c =-3，或29．15.解：设方程①的两个根式n ,n +1,则{n +(n +1)=−a n(n +1)=b∴a =-(2n +1)，b =n (n +1)，则方程②可变为x 2+n (n +1)x -(2n +1)=0③，∵方程③有整数根，视n 为主元，∴n 2x +n (x -2)+x 2-1=0④有整数解，∴设△=(x -2)2-4x (x 2-1)=x 2+4-4x 3=p 2（p 为正整数），∴x 2(1-4x )=(p +2)(p -2)⑤.∵p +2＞p -2，∴{p +2=x 2p −2=1−4x ⑥，{p +2=x p −2=(1−4x)x ⑦，{p +2=1−4x p −2=x2⑧，{p +2=(1−4x)x p −2=x ⑨，由⑥得：x 2+4x -1=0，解得：x 1=-5，x 2=1，把x 1=-5代入③得：n =-3或n =85（不合题意，舍去），当n =-3时，a =5，b =6，把x 2=1代入③得：n 1=0，n 2=1，当n =0时，a =-1，b =0，当n =1时，a =-3，b =2，对⑦，⑧，⑨继续讨论.综上所述，{a =−1b =0或{a =−3b =2或{a =5b =6.。

中考复习讲义一元二次方程的整数根问题及应用(含答案)

有_______个．
9 6 ， x2 ， 6k 9k 5 3 15， 3；当 6 k 1，这时 k 7 ，，，当 9 k 1 3， 9 时，x1 是整数，，2 ， 3 ， 6 时，x2 是 6 7 ，， 9 15 时原方程的解为整数．整数这时 k 10 ，， 8 11， 7， 12 ， 15 ， 3 综上所述， k 3，， k 3，， 6 7 ，， 9 15 【答案】
1 3 1 m2 4 [(k 1)m k 2 k ] 4 4 4 3 1 m2 (k 1)m k 2 k 4 4 k 1 2 3 1 ) k 2 k ，整理得 3k 2 k 0 所以为完全平方式，因此 ( 2 4 4
解得 k 0 或 k
1 3
【例2】 m 为给定的有理数， k 为何值时，方程 x2 4 1 m x 3m2 2m 4k 0 的根为有理数？
【答案】 5 4
【解析】∵ [4 1 m ]2 4 3m2 2m 4k
22 m2 6m 4k 4
m 6 n 16 m 6 n 8 因此或 m 6 n 2 m 6 n 4 m 15 m 14 解得或 n 7 n 4 m 15 当时，方程 x2 (m 2) x 4m 0 为 x2 17 x 60 0 ，解得 x 5 或 x 12 n 7
m 24 【答案】
2(m 1) 50 14 ，不妨设 x1 x2 ，则 x1 32 ， x2 18 2 2
故 m 24 ．满足为完全平方数只是条件之一，另外一个条件也必须同时满足，要引起注意．

【中考冲刺】初三数学培优专题 04 根与系数关系(含答案)(难)

根与系数关系阅读与思考根与系数的关系称为韦达定理，其逆定理也成立，是由16世纪的法国数学家韦达所发现的．韦达定理形式简单而内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用，主要体现在： 1．求方程中字母系数的值或取值范围； 2．求代数式的值；3．结合根的判别式，判断根的符号特征； 4．构造一元二次方程； 5．证明代数等式、不等式．当所要求的或所要证明的代数式中的字母是某个一元二次方程的根时，可先利用根与系数的关系找到这些字母间的关系，然后再结合已知条件进行求解或求证，这是利用根与系数的关系解题的基本思路，需要注意的是，应用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有两个实数根，所以，应用根与系数的关系解题时，必须满足判别式△≥0．例题与求解【例1】设关于x 的二次方程22(4)(21)10m x m x -+-+=(其中m 为实数)的两个实数根的倒数和为s ，则s 的取值范围是_________.【例2】如果方程2(1)(2)0x x x m --+=的三个根可以作为一个三角形的三边长，那么，实数m 的取值范围是_________.A ．01m ≤≤B ．34m ≥C ．314m <≤D ．314m ≤≤【例3】已知α，β是方程2780x x -+=的两根，且αβ>．不解方程，求223βα+的值．【例4】设实数,s t 分别满足22199910,99190s s t t ++=++=并且1st ≠，求41st s t++的值．【例5】（1）若实数,a b 满足258a a +=，258b b +=，求代数式1111b a a b --+--的值；（2）关于,,x y z 的方程组32236x y z axy yz zx ++=⎧⎨++=⎩有实数解(,,)x y z ，求正实数a 的最小值；（3）已知,x y 均为实数，且满足17xy x y ++=，2266x y xy +=，求432234x x y x y xy y ++++的值．【例6】 ,,a b c 为实数，0ac <0++=，证明一元二次方程20ax bx c ++=有大于1的根．能力训练A 级1．已知m ，n 为有理数，且方程20x mx n ++=2，那么m n += ．2．已知关于x 的方程230x x m -+=的一个根是另一个根的2倍，则m 的值为． 3．当m = 时，关于x 的方程228(26)210x m m x m -+-+-=的两根互为相反数；当时，关于x 的方程22240x mx m -+-=的两根都是正数；当时，关于m的方程23280x x m ++-=有两个大于2-的根．4．对于一切不小于2的自然数n ．关于x 的一元二次方程22(2)20x n x n -+-=的两根记为,n n a b (2)n ≥则223320072007111(2)(2)(2)(2)(2)(2)a b a b a b +++=------ ．5．设12,x x 是方程222(1)(2)0x k x k -+++=的两个实根，且12(1)(1)8x x ++=，则k 的值为（） A ．31-或 B ．3- C ．1 D ．12k ≥的一切实数 6．设12,x x 是关于x 的一元二次方程22x x n mx ++-=的两个实数根，且1210,30x x x <-<，则（）A ．12m n >⎧⎨>⎩B ．12m n >⎧⎨<⎩C ．12m n <⎧⎨>⎩D ．12m n <⎧⎨<⎩7．设12,x x 是方程220x x k +-=的两个不等的实数根，则22122x x +-是（）A ．正数B ．零C ．负数D ．不大于零的数8．如图，菱形ABCD 的边长是5，两对角线交于O 点，且AO ，BO 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，那么m 的值是（）A ．3-B ．5C ．53-或D ．53-或9．已知关于x 的方程：22(2)04m x m x --=．（1）求证：无论m 取什么实数值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若这个方程的两个根是12,x x ，且满足212,x x =+求m 的值及相应的12,x x ．10．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程2430kx x +-=的两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）是否存在这样的实数k ，使12123222x x x x +-=成立？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．11．如图，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，过C 点作CD ⊥AB 于D ，设AD ＝m ，BD ＝n ，且AC 2：BC 2＝2：1；又关于x 的方程012)1(24122=-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192，求整数m 、n 的值．DBAC12．已知,m n 是正整数，关于x 的方程2()0x mnx m n -++=有正整数解，求,m n 的值．B 级1．设1x ，2x 是二次方程032=-+x x 的两根，则3212419x x -+= ．2．已知1ab ≠，且有25199580a a ++=及28199550b b ++=则ab= ． 3．已知关于x 的一元二次方程2610x x k -++=的两个实数根是12,x x ，且221224x x +=，则k = ．4．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程22x ax a ++=的两个实数根，则1221(2)(2)x x x x --的最大值为．5．如果方程210x px ++=（p ＞0）的两根之差为1，那么p 等于（）A ．2B ．4CD 6．已知关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12,x x ，且22127x x +=，则212()x x -的值是 ( )A ．1B ．12C ．13D ．257．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是 ( ) A ．23 B ．25C ．5D ．2 8．设213a a +=，213b b +=且a b ≠，则代数式2211a b +的值为（） A ．5 B ．7 C ．9 D ．119．已知,a b 为整数，a b >，且方程233()40x a b x ab +++=的两个根,αβ满足关系式(1)(1)(1)(1)ααββαβ+++=++．试求所有整数点对(,)a b ．10．若方程2310x x ++=的两根,αβ也是方程620x px q -+=的两根，其中,p q 均为整数，求,p q 的值．11. 设,a b 是方程2310x x -+=的两根，c ，d 是方程2420x x -+=的两根，已知a b c dM b c d c d a d a b a b c+++=++++++++．求证：（1）222277a b c d M b c d c d a d a b a b c +++=-++++++++；（2）33334968a b c d M b c d c d a d a b a b c+++=-++++++++．12．设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的一元二次方程222(2)310x m x m m +-+-+=有两个不相等实数根12,x x ．（1）若22126x x +=，求m 的值；（2）求22121211mx mx x x +--的最大值．13．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值．根与系数的关系例1. 152s ≥-且3,5s s ≠-≠ 例2. C 提示: 设三根为121,,x x ,则121x x -< 例 3. 设223,A βα=+223,B αβ=+ 31004A B += ①A B -= ② 解由① ②联立的方程组得1(4038A =-例 4. 0,s ≠故第一个等式可变形为211()99()190,s s ++= 又11,,st t s≠∴是一元二次方程299190x x ++=的两个不同实根, 则1199,19,t t s s+=-=即199,19.st s t s +=-=故41994519st s s st s++-+==- 例5. (1) 当a b =时, 原式=2; 当a b ≠时, 原式=-20, 故原式的值为2或-20 (2) 由方程组得232,326(6),x y a z x y z az +=-=-+易知3,2x y 是一元二次方程22()6(6)0t a z t z az --+-+=的两个实数根,0∴∆≥, 即2223221440z az a -+-≤,由z 为实数知,22'(22)423(144)0,a a ∆=--⨯⨯-≥解得a 故正实数a(3) xy 与x y +是方程217660m m -+=的两个实根,解得11,6x y xy +=⎧⎨=⎩或6,()xy 11.x y +=⎧⎨=⎩舍原式=()()222222212499x y x y xy x y +-++=．例6 解法一：∵ac ＜0，2=40b ac ∆-＞，∴原方程有两个异号实根，不妨设两个根为x 1，x 2，且x 1<0<x 2，由韦达定理得x 1+ x 2=b a -，12c x x a =，由0+=，得0b ca a =，即)12120x x x ++=，解得2x =，假设2x，则，由10x ＜推得3-不成立，故2x ；假设21x ≥1，由10x ＜推得10x ，矛盾．故21x ＜21x ＜．解法二：设()2f x ax bx c =++，由条件得)b =，得)3355f a c a c =++=+=， ()1f a b c a a c ⎤=++=-⎦．若a ＞0，0c ＜，则0f ＜，()10f ＞；若a ＜0，0c ＞，则0f ＞，()10f ＜．∴0ac ＜时，总有()10f f .＜1之间．A 级 1．3 2．2 3．-2 m ＞2 0＜m ≤183提示：12x -＞，22x -＞与124x x +-＞，124x x ⋅＞不等价．4．100134016- 提示：由条件得2n n a b n +=+，22n n a b n ⋅=-，则()()()2221n n a b n n --=-+，则()()211112221n a b n n ⎛⎫=-- ⎪--+⎝⎭．5．C 6．C 7．A 8．A 9．提示：（1）()2=2120m ∆-+＞（2）2124m x x =-≤0，m =4或m =0． 10．（1）43k -＞且0k ≠ （2）存在k =4 11．由题意得2m n =，224840n m n --+＜．当n =1时，m =2；当n =2时，m =4． 12．设方程两根为1x ，2x ，则1212,.x x mn x x m n +=⎧⎨=+⎩∵m ，n ，1x ，2x 均为正整数，设121x x ≥≥，1m n ≥≥，则()1212x x x x mn m n +-=-+，即有()()()()1211112x x m n --+--=，则()()()()12112,1,0,110,1,2.x x m n ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩∴123,2,5,2,2,1,5,2,3,1,2,2.x x m n =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩故5,2,3,1;2; 2.m m m n n n ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩ B 级 1．0 提示：由条件得21130x x +-=，22230x x +-=，∴2113x x =-，2223x x =-，∴()3211111111333343x x x x x x x x =-=-+=-+=-，∴原式=()()121212434319431241944x x x x x x ---+=--++=++．又∵121x x +=-,∴原式=0． 2．853．5 4．638- 提示：()2=240a ∆-+＞，原式=2963632488a ⎛⎫---- ⎪⎝⎭≤． 5．D 6．C 7．B 8．B9．()231αβαβ+-=，由根与系数关系得()241a b ab +-=，即()21a b -=，a -b =1．又由0∆≥得()2316a b ab +≥，从而()24a b +≤．由a -b =1，()24a b +≤，得满足条件的整数点对（a ，b ）是（1,0）或（0，-1）． 104447αβ+=，662248p αβαβ-==-，()2244227q αβαβαβ-==-． 11．a +b =3,c +d =4,ab =1,cd =2,a +b +c +d =7,222219a b c d +++=．(1)原式=()()()()7a a b c d a b c d d a b c d d a b c aa b c d a b c b c d+++-+++++-+++=-++++++…+77777.b c d b c d M c d a d a b a b c+-+-+-=-++++++（2）原式=()()()()2222a a b c d a b c d d a b c d d a b c b c da b c+++-+++++-+++=++++…+()()22227774968M a b c d M --+++=-．12．（1）m =．（2）原式=()()()22212121221212352312122m x x x x x x m m m x x x x ⎡⎤+-+⎛⎫⎣⎦=-+=-- ⎪-++⎝⎭．∵11m -≤≤,∴当m =-1时，22121211mx mx x x +--的最大值为10． 13．设20x ax b ++=的两根分别为,αβ（其中,αβ为整数且αβ≤），则方程20x cx a ++=的两根分别为1,1αβ++，又∵,(1)(1)a a αβαβ+=-++=，两式相加，得2210αβαβ+++=，即(2)(2)3αβ++=，从而2123αβ+=⎧⎨+=⎩，或2321αβ+=-⎧⎨+=-⎩，解得12αβ=-⎧⎨=⎩，或53αβ=-⎧⎨=-⎩，∴012a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，或8156a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴3a b c ++=-或29．。

数学培优竞赛新方法(九年级)-第5讲-一元二次方程的整数解

要注意有可能是一次方程，根据问
【例 2 】已知 a 、 b 都是整数，方程 ax 2 bx 2008 0 的相异两根都是质数，则 3a b
的值为 ( )
（太原市竞赛题）
A． 100
B． 400
C ． 700 D ． 1000
思路点拨由韦达定理 a 、 b 的关系式，结合整数性质求出 a 、 b 、 c 的值．
（全国初中数学联赛题）
9．设关于 x 的二次方程 (k 2 6k 8) x2 (2k 2 6k 4)x k 2 4 的两根都是整数，试求满足条
件的所有实数 k 的值．
（全国初中数学联赛题）
10 ．边长为整数的直角三角形，若其两直角边是方程 x2 ( k 2) x 4k 0 的两根，求 k 的
值并确定直角三角形三边之长。
（江西省竞赛题）
11 ．已知 a ，b 都是正整数，试问关于 x 的方程 x2 abx 1 (a b) 0 是否有两个整数解？ 2
如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明。
（全国初中数学竞赛题）
综合创新
12 ．已知 p ， q 为整数，且是关于 x 的方程 x2
p2 11 15 x ( p q) 16
求出 m 的值；如果没有，请说明理由．
（第十七届江苏省竞赛题）
思路点拨整系数方程有有理根的条件是为完全平方数．
设△= (2m 1) 2 4(2m 1) 4m2 4m 5 (2m 1) 2 4 n 2 ( n 为整数 )解不定方程，讨论 m 的存
在性．
注：一元二次方程 ax2 bx c 0 (a ≠0) 而言，方程的根为整数必为有理数，而△= b2 4ac 为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件．

苏科版九年级数学上册一元二次方程的根与系数的关系- 专题培优训练【含答案】

苏科版九年级数学上册一元二次方程的根与系数的关系- 专题培优训练一、选择题1、若x 1，x 2是一元二次方程x 2+10x +16=0的两个根，则x 1+x 2的值是（）A ．﹣10B ．10C ．﹣16D ．162、一元二次方程x 2+4x ﹣3=0的两根为x 1、x 2，则x 1•x 2的值是（）A ．4B ．﹣4C ．3D ．﹣33、已知x 1，x 2是一元二次方程2x 2﹣3x +1＝0的两个根，下列结论正确的是（）A ．x 1+x 2=-23B ．x 1•x 2＝1C ．x 1，x 2都是有理数D ．x 1，x 2都是无理数4、已知关于x 的一元二次方程x 2+mx +n=0的两个实数根分别为x 1=﹣2，x 2=4，则m +n 的值是（）A ．﹣10B ．10C ．﹣6D ．2 5、若关于x 的方程x 2+3x +a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（）A ．﹣2B ．2C ．4D ．﹣36、已知实数x 1，x 2满足x 1+x 2=7，x 1x 2=12，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（）A ．x 2﹣7x +12=0B ．x 2+7x +12=0C ．x 2+7x ﹣12=0D ．x 2﹣7x ﹣12=07、若一元二次方程x 2﹣x ﹣2＝0的两根为x 1，x 2，则（1+x 1）+x 2（1﹣x 1）的值是（）A ．4B ．2C ．1D ．﹣28、若方程x 2﹣2x ﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（）A ．12B ．10C ．4D ．﹣4 9、若α，β是关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m ＝0的两实根，且βα11+＝﹣32，则m 等于（） A ．﹣2 B ．﹣3 C ．2 D ．310、关于x 的一元二次方程x 2+2mx +2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y 的一元二次方程y 2+2ny +2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根； ②（m ﹣1）2+（n ﹣1）2≥2； ③﹣1≤2m ﹣2n ≤1，其中正确结论的个数是（） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个二、填空题11、若方程x 2﹣3x +2＝0的两根是α、β，则α+αβ+β＝．12、若方程240x x c -+=的一个根为23+，则方程的另一个根为，c = ．13、设1x 、2x 是方程()222120x k x k -+++=的两个不同的实根，且()()12118x x ++=，则k 的值是．14、已知关于x 的方程x 2+（a ﹣2）x +a +1＝0的两实根x 1、x 2满足42221=+x x ，则实数a ＝． 15、已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2+2x +k ﹣1＝0的两个实数根，且x 12+x 22﹣x 1x 2＝13，则k 的值为．16、已知关于x 的一元二次方程x 2﹣4x +m ﹣1＝0的实数根x 1，x 2，满足3x 1x 2﹣x 1﹣x 2＞2，则m 的取值范围是．17、已知α，β是关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2﹣x +1＝0两个实根，且满足（α+1）（β+1）＝m +1，则m 的值为．18、关于x 的方程（a ﹣1）x 2+2x ﹣a ﹣1＝0的根都是整数，则整数a ＝．19、已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2+（3k +1）x +2k 2+1＝0的两个不相等实数根，且满足（x 1﹣1）（x 2﹣1）＝8k 2，则k 的值为．20、已知a ，b 是一元二次方程x 2+x ﹣1＝0的两根，则3a 2﹣b 22a +的值是．三、解答题21、已知于x 的元二次方程x 2﹣6x +2a +5＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）求a 的取值范围；（2）若x 12+x 22﹣x 1x 2≤30，且a 为整数，求a 的值．22、已知关于x 的方程222(2)50x m x m +++-=有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值．23、已知关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +（4m +1）＝0有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若该方程的两个实数根为x 1、x 2，且|x 1﹣x 2|＝4，求m 的值．24、已知关于x 的方程24280x x m --+=的一个根大于1，另一个根小于1，求m 的取值范围．25、已知关于x 的方程kx 2﹣3x +1＝0有实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若该方程有两个实数根，分别为x 1和x 2，当x 1+x 2+x 1x 2＝4时，求k 的值．26、如果实数,a b 分别满足222a a +=，222b b +=，求11a b+的值一、选择题1、若x 1，x 2是一元二次方程x 2+10x +16=0的两个根，则x 1+x 2的值是（）A ．﹣10B ．10C ．﹣16D ．16【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和即可．解：∵x 1，x 2一元二次方程x 2+10x +16=0两个根，∴x 1+x 2=﹣10．故选：A ．2、一元二次方程x 2+4x ﹣3=0的两根为x 1、x 2，则x 1•x 2的值是（）A ．4B ．﹣4C ．3D ．﹣3【分析】根据根与系数的关系求解．解：x 1•x 2=﹣3．故选D ．3、已知x 1，x 2是一元二次方程2x 2﹣3x +1＝0的两个根，下列结论正确的是（）A ．x 1+x 2=-23B ．x 1•x 2＝1C ．x 1，x 2都是有理数D ．x 1，x 2都是无理数【分析】利用根与系数的关系对A 、B 进行判断；根据根的判别式对C 、D 进行判断． x 1+x 2=23，x 1x 2=21，所以A 、B 选项错误，因为△＝（﹣3）2﹣4×2×1＝1，所以x1，x2都是有理数，则C选项正确，D选项错误．故选：C．4、已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则m+n的值是（）A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．2【分析】根据根与系数的关系得出﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n，求出即可．解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，∴﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n，解得：m=﹣2，n=﹣8，∴m+n=﹣10，故选A．5、若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣3【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根和，两根积，即可求出a的值和另一根．解：设一元二次方程的另一根为x1，则根据一元二次方程根与系数的关系，得﹣1+x1=﹣3，解得：x1=﹣2．故选A．6、已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）A．x2﹣7x+12=0 B．x2+7x+12=0 C．x2+7x﹣12=0 D．x2﹣7x﹣12=0【分析】根据以x1，x2为根的一元二次方程是x2﹣（x1+x2）x+x1，x2=0，列出方程进行判断即可．解：以x1，x2为根的一元二次方程x2﹣7x+12=0，故选：A．7、若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两根为x1，x2，则（1+x1）+x2（1﹣x1）的值是（）A．4 B．2 C．1 D．﹣2A解：根据题意得x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，所以（1+x1）+x2（1﹣x1）＝1+x1+x2﹣x1x2＝1+1﹣（﹣2）＝4．故选：A．8、若方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（）A．12 B．10 C．4 D．﹣4A解：∵方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，∴α+β＝2，αβ＝﹣4，∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝4+8＝12；故选：A ．9、若α，β是关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m ＝0的两实根，且βα11+＝﹣32，则m 等于（） A ．﹣2 B ．﹣3 C ．2 D ．3B解：α，β是关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m ＝0的两实根，∴α+β＝2，αβ＝m ，∵+＝＝＝﹣，∴m ＝﹣3；故选：B ．10、关于x 的一元二次方程x 2+2mx +2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y 的一元二次方程y 2+2ny +2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②（m ﹣1）2+（n ﹣1）2≥2； ③﹣1≤2m ﹣2n ≤1，其中正确结论的个数是（） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】①根据题意，以及根与系数的关系，可知两个整数根都是负数；②根据根的判别式，以及题意可以得出m2﹣2n≥0以及n2﹣2m≥0，进而得解；③可以采用根与系数关系进行解答，据此即可得解．解：①两个整数根且乘积为正，两个根同号，由韦达定理有，x1•x2=2n＞0，y1•y2=2m＞0，y1+y2=﹣2n＜0，x1+x2=﹣2m＜0，这两个方程的根都为负根，①正确；②由根判别式有：△=b2﹣4ac=4m2﹣8n≥0，△=b2﹣4ac=4n2﹣8m≥0，∵4m2﹣8n≥0，4n2﹣8m≥0，∴m2﹣2n≥0，n2﹣2m≥0，m2﹣2n+n2﹣2m+2=m2﹣2m+1+n2﹣2n+1≥2，（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2，②正确；③由根与系数关系可得2m﹣2n=y1y2+y1+y2=（y1+1）（y2+1）﹣1，由y1、y2均为负整数，故（y1+1）•（y2+1）≥0，故2m﹣2n≥﹣1，同理可得：2n﹣2m=x1x2+x1+x2=（x1+1）（x2+1）﹣1，得2n﹣2m≥﹣1，即2m﹣2n≤1，故③正确．故选：D．二、填空题11、若方程x2﹣3x+2＝0的两根是α、β，则α+αβ+β＝．【分析】利用根与系数的关系可得出α+β＝3，αβ＝2，将其代入α+αβ+β中即可求出结论．∵方程x2﹣3x+2＝0的两根是α、β，∴α+β＝3，αβ＝2，∴α+αβ+β＝α+β+αβ＝3+2＝5．故5．12、若方程240x x c -+=的一个根为2+，则方程的另一个根为，c = ．2-1c =根据韦达定理，124x x +=，因为12x =+22x =-所以(12221c x x =⋅==13、设1x 、2x 是方程()222120x k x k -+++=的两个不同的实根，且()()12118x x ++=，则k 的值是．1k =由根与系数的关系得()1221x x k +=+，2122x x k ⋅=+．且有()()224142840k k k ∆=+-+=->，即12k >．所以()()12118x x ++=．从而2230k k +-=，解之得3k =-或1k =．又12k >，所以1k =．14、已知关于x 的方程x 2+（a ﹣2）x +a +1＝0的两实根x 1、x 2满足42221=+x x ，则实数a ＝． 3﹣11解：∵关于x的方程x2+（a﹣2）x+a+1＝0的两实根为x1、x2，∴△＝（a﹣2）2﹣4（a+1）≥0，即a（a﹣8）≥0，∴当a≥0时，a﹣8≥0，即a≥8；当a＜0时，a﹣8＜0，即a＜8，所以a＜0．∴a≥8或a＜0，∴x1+x2＝2﹣a，x1•x2＝a+1，∵x12+x22＝4，（x1+x2）2﹣2x1•x2＝（2﹣a）2﹣2（a+1）＝4，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝（2﹣a）2﹣2（a+1）＝4，解得a＝3±11．∵3＜11＜4，∴6＜3+＜7（不合题意舍去），3﹣＜0；∴a＝3﹣．故a＝3﹣11．15、已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的两个实数根，且x12+x22﹣x1x2＝13，则k的值为．—2解：根据题意得：x1+x2＝﹣2，x1x2＝k﹣1，x12+x22﹣x1x2＝13＝﹣3x1x2＝4﹣3（k﹣1）＝13，k＝﹣2，故﹣2．16、已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0的实数根x1，x2，满足3x1x2﹣x1﹣x2＞2，则m的取值范围是．3＜m≤5解：依题意得：，解得3＜m≤5．故答案是：3＜m≤5．17、已知α，β是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x+1＝0两个实根，且满足（α+1）（β+1）＝m+1，则m的值为．—1解：根据题意可得α+β＝﹣＝﹣＝，αβ＝＝，∴（α+1）（β+1）＝αβ+α+β+1＝++1＝m+1，即m2﹣m﹣2＝0，解得m＝﹣1或m＝2，∵m﹣1≠0，∴m≠1，当m＝2时，△＝b2﹣4ac＝﹣3＜0，无实数根，故m≠2，当m＝﹣1时，△＝b2﹣4ac＝9＞0，有实数根，故m＝﹣1．故答案是﹣1．18、关于x 的方程（a ﹣1）x 2+2x ﹣a ﹣1＝0的根都是整数，则整数a ＝．【分析】分两种情况讨论：当a ＝1时，x ＝1；当a ≠1时，△＝4a 2≥0，x 1+x 2=a -12，再由已知，可得1﹣a ＝±1，1﹣a ＝±2，求出a 的值即可．当a ＝1时，2x ﹣2＝0，解得x ＝1；当a ≠1时，（a ﹣1）x 2+2x ﹣a ﹣1＝0，△＝4a 2≥0，x 1+x 2=a -12，x 1•x 2=a a -+11=－112--a ， ∵根都是整数，∴1﹣a ＝±1，1﹣a ＝±2，∴a ＝0或a ＝2或a ＝﹣1或a ＝3，故答案为0或1或﹣1或2或3．19、已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2+（3k +1）x +2k 2+1＝0的两个不相等实数根，且满足（x 1﹣1）（x 2﹣1）＝8k 2，则k 的值为．1解：∵x 1，x 2是关于x 的方程x 2+（3k +1）x +2k 2+1＝0的两个实数根，∴x 1+x 2＝﹣（3k +1），x 1x 2＝2k 2+1．∵（x 1﹣1）（x 2﹣1）＝8k 2，即x 1x 2﹣（x 1+x 2）+1＝8k 2，∴2k 2+1+3k +1+1＝8k 2，整理，得：2k 2﹣k ﹣1＝0，解得：k 1＝﹣，k 2＝1．∵关于x 的方程x 2+（3k +1）x +2k 2+1＝0的两个不相等实数根，∴△＝（3k +1）2﹣4×1×（2k 2+1）＞0，解得：k ＜﹣3﹣2或k ＞﹣3+2， ∴k ＝1．故1．20、已知a ，b 是一元二次方程x 2+x ﹣1＝0的两根，则3a 2﹣b 22a +的值是．【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．由题意可知：a +b ＝﹣1，ab ＝﹣1， a 2＝1-a ，∴原式＝3（1﹣a ）﹣b +a -12＝3﹣3a ﹣b+a -12＝3﹣2a ﹣（a +b ）+a-12 ＝3﹣2a +1+a -12＝4﹣2a+a-12＝4+a a a -+-12222 ＝4+aa a -+--122)1(2＝4+4＝8，故8．三、解答题21、已知于x 的元二次方程x 2﹣6x +2a +5＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）求a 的取值范围；（2）若x 12+x 22﹣x 1x 2≤30，且a 为整数，求a 的值．（1）a ＜2（2）a 的值为﹣1，0，1解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +2a +5＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，∴△＞0，即（﹣6）2﹣4（2a +5）＞0，解得a ＜2；（2）由根与系数的关系知：x 1+x 2＝6，x 1x 2＝2a +5，∵x 1，x 2满足x 12+x 22﹣x 1x 2≤30，∴（x 1+x 2）2﹣3x 1x 2≤30，∴36﹣3（2a +5）≤30，∴a ≥﹣，∵a 为整数，∴a 的值为﹣1，0，1．22、已知关于x 的方程222(2)50x m x m +++-=有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值．-1有实数根，则△≥0，且22121216x x x x +=+，联立解得m 的值．依题意有：12212221212222(2)5164(2)4(5)0x x m x x m x x x x m m +=-+⎧⎪=-⎪⎨+=+⎪⎪∆=+--≥⎩由①②③解得：1m =-或15m =-，又由④可知m ≥94- ∴15m =-舍去，故1m =-23、已知关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +（4m +1）＝0有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若该方程的两个实数根为x 1、x 2，且|x 1﹣x 2|＝4，求m 的值．（1）m ≤2 （2）m=1解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +（4m +1）＝0有实数根，∴△＝（﹣6）2﹣4×1×（4m +1）≥0，解得：m ≤2．（2）∵方程x 2﹣6x +（4m +1）＝0的两个实数根为x 1、x 2，∴x 1+x 2＝6，x 1x 2＝4m +1，∴（x 1﹣x 2）2＝（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2＝42，即32﹣16m ＝16，解得：m ＝1．24、已知关于x 的方程24280x x m --+=的一个根大于1，另一个根小于1，求m 的取值范围．52m > 设1x ，2x 是方程的两根，且11x >，21x <，即110x ->，210x -<，因此1212121212(1)(1)()10284164(28)0x x x x x x x x m x x m --=-++<⎧⎪=-+⎪⎨+=⎪⎪∆=+->⎩，解得52m >．25、已知关于x 的方程kx 2﹣3x +1＝0有实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若该方程有两个实数根，分别为x 1和x 2，当x 1+x 2+x 1x 2＝4时，求k 的值．（1）k ≤49 ；（2）k=1 解：（1）当k ＝0时，原方程为﹣3x +1＝0，解得：x ＝，∴k ＝0符合题意；当k ≠0时，原方程为一元二次方程，∵该一元二次方程有实数根，∴△＝（﹣3）2﹣4×k ×1≥0，解得：k ≤49．综上所述，k 的取值范围为k ≤．（2）∵x 1和x 2是方程kx 2﹣3x +1＝0的两个根，∴x 1+x 2＝，x 1x 2＝．∵x 1+x 2+x 1x 2＝4，∴+＝4，解得：k ＝1，经检验，k ＝1是分式方程的解，且符合题意．∴k 的值为1．26、如果实数,a b 分别满足222a a +=，222b b +=，求11a b+的值当a b ≠时，111a b +=；当a b =时，当13a b ==-+1131a b +，当13a b ==-1113a b+= 由题意知：,a b 为方程2220x x +-=的两个根，且0,0a b ≠≠，解方程2220x x +-=得：11x =-+21x =--⑴当a b ≠时，有2a b +=-，2ab =-，11212a b a b ab +-∴+===-；⑵当a b =时，方程的根为11x =-+21x =--当1a b ==-+1121a b a ∴+===+；当1a b ==--1121a b a ∴+==-。

初中数学一元二次方程整数根问题

一元二次方程整数根问题形如02=++c bx ax 的一元二次方程的整数根是一元二次方程的性质中较为复杂的问题，它不仅涉及到二次方程的相关知识，而且还经常用到因式分解、整除和不定方程的解法等有着知识，具有较强的综合性和技巧性。

因此成为近年来各种自招考试的热点。

下面就以试题为例，谈谈这类题的几种解题常用方法。

一、根与系数之间的关系设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x ，则1212,,b c x x x x a a+=-=反之，若两数12,x x 满足1212,b cx x x x a a+=-=，则这两数是方程20ax bx c ++=的两根。

利用根与系数的关系（韦达定理），可以不直接求方程20(0)ax bx c a ++=≠而知其根的正负性质：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠在240b ac ∆=-≥的条件下：(1)0ca <时，方程的两根必然一正一负； (2)0ba -≥时，方程的正根不小于负根的绝对值；(3)0ba -<时，方程的正根小于负根的绝对值；(4)0ca>时，方程的两根同正或同负.1、当含有某个参数k 的一元二次方程的左边比较容易分解成两个一次因式的积时，我们可以先利用因式分解直接求方程的解，通常它们是关于k 的分式形式的解。

然后利用其根是整数的要求来解不定方程。

2、一元二次方程02=++c bx ax 在042≥-=∆ac b 时有实数根ab x 2∆±-=，所以要使整系数的一元二次方程有整数根，必须ac b 42-=∆为完全平方数，并且∆±-b 为a 2的整数倍。

故处理此类问题，常可用判别式来解决，又可细分为两类：（1）先求参数范围。

可由不等式0≥∆求出参数的范围，再求解。

（2）再设参数法，即设2k =∆（k 是整数）。

当2k =∆为关于原参数的一次式时，用代入法来解；当2k =∆为关于原参数的二次式时，用分解因式法来解。

九年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第二讲一元二次方程根的判别式(含答案)

第二讲一元二次方程根的判别式趣通引路】话说小精灵拜数学高手为师，苦练了十八般数学技艺．一日师傅韦达对小精灵道：“师傅给你一件随身法宝——“Δ”，出去闯荡一下吧！”“小精灵拜别师傅韦达，来到“方程堡”，守门将喝道：“来者何人？”小精灵拱手答道：“晚辈小精灵奉师傅之命前来方程经见识见识．”守门将道：“先要破我一方程方能进堡！“说时迟，那时快，只见守门将挥手将许多数字、字母和符号排成2x 2＋2xy ＋7y 2－10x －18y ＋19＝0，并且问道：“你能说出实数x 、y 的值吗？”小精灵取出法宝灵机一动，将上式中的y 看成已知数，把它整理成关于x 的一元二次方程2x 2＋(2y －10)x ＋(7y 2－18y ＋19)＝0．好哇！因为x 是实数，上面的方程必有实数根，所以Δ≥0，即(2y －10)2－4×2(7y 2－18y ＋19)≥0，可得(y －1)2≤0，一下子便得到了y ＝1，再将y ＝1代人原方程就可得x ＝2．小精灵这里用的法宝“Δ”是什么呢？它就是一元二次方程根的判别式．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），当Δ＞0时，有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，有两个相等的实数根；当Δ＜0时，没有实数根，反过来也成立．知识延伸】例1 已知关于x 的二次方程x ²＋p 1x ＋q 1＝0与x 2＋p 2x ＋q 2＝0，求证：当p 1p 2＝2(q 1＋q 2)时，这两个方程中至少有一个方程有实根．证明设这两个方程的判别式为Δ1，Δ2，则Δ1＋Δ2＝2212p p +－4(q 1＋q 2)．∵p 1p 2＝2(q 1＋q 2)，∴Δ1＋Δ2＝2212p p +－2p 1p 2＝(p 1－p 2)2≥0．∴Δ1≥0与Δ2≥0中至少有一个成立，即两个方程中必有一个方程有实根．点评：两个方程中至少有一个方程有实根，可转化为证明Δ1＋Δ2≥0；本题还可用反证法来证明，即假设Δ1＜0且Δ2＜0，则Δ1＋Δ2＜0，但Δ1＋Δ2＝(p 1－p 2)2≥0，两者矛盾，从而导出原题结论成立．例2 求函数y ＝(4－x )＋解析设u ＝x ，则u ＞0且y ＝4＋u ． ∴(u ＋x )2＝4(x 2＋9)，即3x 2－2ux ＋36－u 2＝0． ∵x ∈R ，故以上方程有解．∴Δ＝(2u )2－4×3×(36－u 2)≥0，即u ≥27．又u ＞0，∴u4y x =-+ 的最小值为4+x .好题妙解】佳题新题品味例已知实数1234,,,a a a a 满足22222124213423()2()0a a a a a a a a a +-+++= ，求证：2213=a a a ⋅ 解析把已知等式看成关于a 4的方程。

初三数学知识点专题讲解与训练5---一元二次方程的整数根(培优版)

例题与求解
【例
1】
已知关于
的方程 x
(4 − k)(8 − k)x2
− (80 −12k)x
+ 32
=
0 的解都是整数，求整数 k
的值.
（绍兴市竞赛试题）解题思路：用因式分解法可得到根的表达式，因方程类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定k 的值才能全面而准确.
【例 2】 p,q 为质数且是方程 x2 −13x + m = 0 的根，那么 q + p 的值是（ pq
x2 + 2(y − 50)x + (y2 − y) = 0 ，于是将问题转化为求一元二次方程有理根、整数根的问题.
【例 6】试求出所有这样的正整数解a ，使得二次方程 ax2 + 2(2a −1)x + 4(a − 3) = 0 至少有一个整
数根.
（“祖冲之杯”竞赛试题）
解一题个思关于路：a 的本一题有元一两种次方解法程来. 由解于答a；的或次考数虑较因低方，程可根考为虑整“数反，客故为其主判”别，式以为a 为平元方，式以. x 为已知数整理成
ab
．A 2213
． 58
B
21
． 2402
C
49
． 365
D
38
6．若 x2 + mx − 6 = 0的两个根都是整数，则 m 可取值的个数是（）
．A 2 个．B 4 个
．C 6 个
D．以上结论都不对
7．方程
x2
+
px
+
1997
=
0
恰有两个整数根
x1,
x2
，则
(

一元二次方程整数根

一元二次方程整数根
一元二次方程是指形如ax+bx+c=0的方程，其中a、b、c是实数且a≠0。

解一元二次方程的方法有很多，其中最基本的方法就是求
出方程的根。

根据求根公式，一元二次方程的根可以表示为：
x = (-b ±√(b-4ac)) / 2a
如果方程有两个不相等的实数根，那么称这个方程有两个实数根；如果方程只有一个实数根，那么称这个方程有一个实数根；如果方程没有实数根，那么称这个方程没有实数根。

现在考虑一种特殊情况：如果一元二次方程的系数a、b、c都是整数，那么这个方程是否一定有整数根呢？
答案是不一定。

事实上，有些一元二次方程的系数都是整数，但是它们却没有整数根。

比如方程x+2x+1=0就没有整数根。

因为我们
可以发现，如果x是一个整数，那么x和2x也一定都是整数，但是
1却不是x+2x的平方，所以方程没有整数根。

但是，对于一些特殊的一元二次方程来说，它们的确存在整数根。

比如方程x-5x+6=0就有两个整数根，分别是2和3。

因为我们可以
发现，如果x是2或3，那么x-5x+6的值就分别是0，0，所以2和
3就是这个方程的两个整数根。

总的来说，虽然一元二次方程的整数根不一定存在，但是在一些特殊情况下，它们的确存在，并且可以通过适当的方法求解。

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九年级奥数培优一元二次方程的整数根

A 卷1. 28210xx （填：“有”或“没有”）有理根。

2. 关于x 的方程2120xmx 至少有一个整数根，则整数m 可取值的个数是个。

3. 已知n 为正整数，方程2(31)360xx n 有一个整数根，则n。

4. 满足1aba b的整数对(,)a b 共有对。

5. 关于x 的方程22(2)10x a x a有两个整数根，则整数a 的值是。

6. 关于x 的方程2(11)50xa x a 有两个整数根，则实数a 的值是。

7. 若关于x 的一元二次方程2530xxa 有两个正整数根，则a 的值是，方程的解是。

8. 设p 为质数，且方程25800xpx p 两个根都是整数，则p 的值为。

9. 方程2223298xxy y 的正整数解的组数是。

10. 求使关于x 的二次方程222170a xax a的两根都是整数的所有正数a 的和是。

二、解答题11. 已知方程2340x x m 有两个整数根，求证：（1）两个根中，一个是奇数而另一个是偶数；（2）m 是负的偶数。

12. 若关于x 的二次方程20ax bx c有实根，且a b c 、、都是奇数，求证：此方程必有两个无理根。

B 卷一、填空题1. 关于x 的方程22(21)430axa x a 至少有一个整数根，则整数a 的值为。

2. 要使方程2(1)(1)0kxk x k 的根都是整数，k 的值应等于。

3. 关于x 的方程2222(2)(26)40kk xkk x k有两个不相等的整数根，则整数k 的值为。

4. 关于x 的方程22(23)3100x m x mm 至少有一个正整数根，正整数m 的值为。

5. 若p q 、都是正整数，方程2111993022pxqx 的两根都为质数，则2pq。

6.设m 为正整数，且440m ，若方程222(23)41480x m x m m 的两根均为整数，则m 。

7. 关于x 的方程2310,4xmxm ①与222(6)40,xm x m ②若方程①的两个实数根的平方和等于方程②的一个整数根，则m。

一元二次方程的整数根问题的解题策略分析

一元二次方程的整数根问题的解题策略分析摘要：一元二次方程的整数根问题是初中数学竞赛常见的题型，由于这类问题涵盖了整数的性质，一元二次方程的相关知识，并且融合了许多数学思想方法而备受命题者的青睐，然而笔者发现，许多学生在解答这类问题时，仍然没有系统的思考方法，还要走很多的弯路，有时对题目甚至无从下手。

本文将常见的一元二次方程整数根问题的解法进行了整理，现分类讲解如下。

关键词：一元二次方程整数根整除根与系数关系一、利用一元二次方程两根的因式分解形式求解例1、当m是什么整数时，关于x的一元二次方程x2-mx-2m2-4=0的根为整数。

分析与解：由原方程得：x2-mx-2m2-4=4，分解因式，得(x+m)(x-2m)=4由于x、m均为整数，所以x+m、x-2m也为整数，故它们的取值有如下可能：解得，当m=0时，x=±2；当m=1时，x1=3,x2=-2；当m=-1时，x1=-3,x2=2；综上所述：当m=0、-1、1时，原方程的根为整数。

说明：当一元二次方程的根与参数都为整数时，可以利用因式分解将一元二次方程ax2+bx+c=zh整数（a≠0）化为a（x-x1）(x-x2)=整数（a≠0）的形式后再利用整除的性质求解。

二、利用一元二次方程根的判别式求解例2、m是何整数时，关于x的一元二次方程(m2-1)x2-6(3m-1)x+72=0有两个不相等的正整数根。

分析与解：由题意可知，m2-1≠0，即m≠±1，△=36（m-3）2，发现△是一个完全平方式，即方程的两根是可以表示为两个有理式：再利用整除性，要使得x1,x2都是正整数，则m-1=1、6、2、3；m+1=1、12、2、6、3、4，即可解得m=2、3，又考虑到方程是两个不相等的实数根，所以m≠3，综上所述：m=2。

说明：当判别式△是一个完全平方式或完全平方数时，即一元二次方程的根可以用有理式表示，则可直接求出方程的两根，再结合整除的性质进行求解；例3、当m是何整数时，关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0与x2-4mx+4m2-4m-5=0的根都是整数。

初三数学提高班方程的整数根

初三数学提高班方程的整数根一、一元二次方程有整数根的判定条件设整系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)(※)则(1)方程(※)有整数根 ⊿=b2－4ac是完全平方数,且a能整除b与c(2)方程(※)有一个整数根时,另一个必是有理数根(当a=1时, 另一个根必是整数根)二、一元二次方程有整数根时,方程中所含参数与方程的整数根求法有：(1)先求出方程的根,再确定参数的取值; (2)利用根的判别式;(3)利用韦达定理; (4)参数交换法。

三、例题选讲1、m取何整数时,方程(m2－1)x2－6(3m－1)x+72=0的根都是正整数？2、求出所有这样的正整数a，使得二次方程ax2+2(2a－1)x+4(a－3)=0至少有一个整数根。

3、当x为何有理数时代数式9x2+23x－2的值恰好为两个连续正偶数的乘积?4、已知关于x的方程(a－1)x2+2x－a－1=0的根都是整数，那么符合条件的整数有_____个。

5、求使关于x的方程(a+1)x2－(a2+1)x－2a3－6=0只有整数根的所有整数a。

6、若直角三角形的两条直角边都是整数,且是方程mx2－2x－m+1=0的根(m为整数)，这样的三角形是否存在？若存在,求出满足条件的所有三角形的三边长;若不存在,请说明理由。

7、求所有正实数a使得方程x2－ax+4a=0仅有整数根。

8、已知a、b为整数,若一元二次方程x2－ax a－b+(2a－b－1)x+a2+a－b－4=0的根都是整数,求a、b的值。

9、设方程a 2x 2+ax+1－7a 2=0的两根都是整数,求所有正数a 。

10、m 取何实数时,关于x 的方程(m －6)(m －9)x 2+(15m －117)x+54=0只有整数根？11、若x 、y 为正整数,使得2xy 能整除x 2+y 2－x,则x 为完全平方数12、已知a 、b 为正整数,且满足49422=+++b ab a b a ,求a 、b 的值13、已知正整数a 、b 、c 满足a ＞b ＞c,且⎩⎨⎧=+++++-=+++++-0)()(9810)()(636ca bc ab c b a ca bc ab c b a ，求a 、b 、c 的值。

专题培优-一元二次方程的整数根（含答案）

专题培优-⼀元⼆次⽅程的整数根（含答案）⼀元⼆次⽅程的整数根1.使⼀元⼆次⽅程x2+3x+m=0有整数根的⾮负整数m的个数为( )．A. 0B. 1C. 2D. 32.满⾜(n2-n-1)n+2＝1的整数n有________个．3.已知关于x的⽅程（a－1）x2＋2x－a－1＝0的根都是整数，那么符合条件的整数a有________个．4.⽅程x2+px+q=0的两个根都是正整数，并且p+q＝1992，则⽅程较⼤根与较⼩根的⽐等于________.5.已知k为整数，且关于x的⽅程(k2-1)x2-3(3k-1)x+18=0有两个不相同的正整数根，则k＝________.6.关于x的⼀元⼆⽅程4x2+4mx+m2+m-10=0(m为正整数)有整数根，则满⾜条件的m值的个数为________个．7.已知关于x的⽅程((m2?1)x2?3(3m?1)x+18=0有两个正整数根(m是整数)．△ABC的三边a，b，c满⾜c=2√3，m2+a2m?8a=0，m2+b2m?8b=0．求：(1)m的值；(2)△ABC的⾯积．8.当k为何整数时，⽅程(k2-1)x2-6(3k-1)x+72＝0有两个不相等的正整数根?9.当n为何整数时，关于x的⼀元⼆次⽅程x2-3nx+2n2-6=0的两根都为整数?10.求这样的正整数a，使得⽅程ax2+2(2a-1)x+4a-7=0⾄少有⼀个整数解．11.设关于x的⼀元⼆次⽅程(k2-6k+8)x2+(2k2-6k-4)x+k2＝4的两根都是整数，求满⾜条件的所有实数k的值．12.已知m，n为正整数，关于x的⽅程x2-mnx+(m+n)=0有正整数解，求m，n的值．13.k为何值时，关于x的⽅程x2-4mx+4x+3m2-2m+4k=0的根是有理数?14.已知关于x的⼀元⼆次⽅程x2+cx+a=0的两个整数根恰好⽐⽅程x2+ax+b=0的两个根都⼤1，求a+b+c的值．15.已知⼀元⼆次⽅程x2+ax+b=0，①有两个连续的整数根，⼀元⼆次⽅程x2+bx+a=0，②有整数根，求a，b的值．答案1.C2.43.54.9975.26.47.解：（1）∵关于x 的⽅程（m 2-1）x 2-3（3m -1）x +18=0有两个正整数根（m 是整数）．∵a =m 2-1，b =-9m +3，c =18，∴b 2-4ac =（9m -3）2-72（m 2-1）=9（m -3）2≥0，设x 1，x 2是此⽅程的两个根，∴x 1?x 2=c a =18m 2?1，∴18m 2?1也是正整数，即m 2-1=1或2或3或6或9或18，⼜m 为正整数，∴m =2；（2）把m =2代⼊两等式，化简得a 2-4a +2=0，b 2-4b +2=0当a =b 时，a =b =2±√当a ≠b 时，a 、b 是⽅程x 2-4x +2=0的两根，⽽△＞0，由韦达定理得a +b =4＞0，ab =2＞0，则a ＞0、b ＞0．①a ≠b ，c =2√3时，由于a 2+b 2=（a +b ）2-2ab =16-4=12=c2 故△ABC 为直⾓三⾓形，且∠C =90°，S △ABC =12ab =1．②a =b =2-√2，c =2√3时，因2(2?√2)＜2√3，故不能构成三⾓形，不合题意，舍去．③a =b =2+√2，c =2√3时，因2(2+√＞2√3，故能构成三⾓形．S △ABC =12×（2√）×√=√综上，△ABC 的⾯积为1或√． 8.解：∵k 2-1≠0∴k ≠±1∵△=36（k -3）2＞0∴km ≠3⽤求根公式可得：x 1=6k?1，x 2=12k+1∵x 1，x 2是正整数∴k -1=1，2，3，6，k +1=1，2，3，4，6，12，解得k =2．这时x 1=6，x 2=4． 9.解：原⽅程变形得(x ?2n)(x ?n)=6，∵x ，n 均为整数，∴原⽅程化为{x ?2n =±2,x ?n =±3或{x ?2n =±3,x ?n =±2或{x ?2n =±6,x ?n =±1或{x ?2n =±1,x ?n =±6，解得n =-1或1或-5或5．10.解：原⽅程变形为(x ＋2)2a =2x ＋7(x ≠?2)，解得a =2x ＋7(x ＋2)2.∵a ≥1，∴2x ＋7(x ＋2)2?1，∴-3≤x ≤1，∴x 可取值为-3，-1，0，1，分别代⼊a =2x ＋7(x ＋2)2中，解得a ＝1或a ＝5或a =74或a ＝1．⼜∵a 是正整数，∴当a ＝1或a ＝5时，⽅程⾄少有⼀个整数解. 11.解：原⽅程可化为[(k ?4)x ＋(k ?2)][(k ?2)x ＋(k ＋2)]=0，∵k 2?6k ＋8=(k ?4)(k ?2)≠0，∴x 1=?k?2k?4=?1?2k?4，x 2=?k ＋2k?2=?1?4k?2，∴k ?4=?2x 1＋1，k ?2=?4x 2＋1(x 1≠?1,x 2≠?1)，消去k ，得x 1x 2＋3x 1＋2=0. ∴x 1(x 2＋3)=?2．由于x 1，x 2都是整数，∴{x 1=?2,x 2＋3=1或{x 1=1,x 2＋3=?2或{x 1=2,x 2＋3=?1.或{x 1=?2,x 2=?2或{x 1=1,x 2=?5或{x 1=2,x 2=?4．∴k =6或3或103.经检验均满⾜题意．12.解：设⽅程x 2?mnx +(m +n )=0的两根分别为：x 1,x 2，∵m ，n 为正整数，∴x 1+x 2=mn >0,x 1?x 2=m +n >0，∴这两个根x 1,x 2均为正数，⼜∵(x 1?1)(x 2?1)+(m ?1)(n ?1)=x 1x 2?(x 1+x 2)+1?[mn ?(m +n )+1]=(m +n )?mn +1+[mn ?(m +n )+1]=2，其中(x 1?1)(x 2?1)，m ?1，n ?1均⾮负，⽽为两个⾮负整数和的情况仅有0+2；1+1；2+0.∵(x 1?1)(x 2?1)=x 1x 2?(x 1+x 2)+1=m +n ?mn +1,(m ?1)(n ?1)=mn ?(m +n )+1，∴{m +n ?mn +1=0mn ?(m +n)+1=2或{m +n ?mn +1=1mn ?(m +n )+1=1或{m +n ?mn +1=2mn ?(m +n)+1=0，解得：{m =2n =3或{m =3n =2或{m =2n =2或{m =1n =5或{m =5n =1.13.解：根据题意得：△=(-4m +4)2-4×(3m 2-2m +4k )=4(m 2-6m +4-4k )，∵⽅程的解为有理数，∴4(m 2-6m +4-4k )是⼀个完全平⽅数，即4-4k =9，解得：k =-54. 14.解：设⽅程x 2+ax +b =0的两个根为α，β，∵⽅程有整数根，设其中α，β为整数，且α≤β，则⽅程x 2+cx +a =0的两根为α+1，β+1，∴α+β=-a ，(α+1)(β+1)=a ，两式相加，得αβ+2α+2β+1=0，即 (α+2)(β+2)=3，∴{α+2=1β+2=3或{α+2=?3β+2=?1.解得{α=?1β=1或{α=?5β=?3.⼜∵a =-(α+β)=-[(-1)+1]=0，b =αβ=-1×1=-1，c =-[(α+1)+(β+1)]=-[(-1+1)+(1+1)]=-2，或a =-(α+β)=-[(-5)+(-3)]=8，b =αβ=(-5)×(-3)=15，c =-[(α+1)+(β+1)]=-[(-5+1)+(-3+1)]=6，∴a =0，b =-1，c =-2；或者a =8，b =15，c =6，∴a +b +c =0+(-1)+(-2)=-3或a +b +c =8+15+6=29，故a +b +c =-3，或29．15.解：设⽅程①的两个根式n ,n +1,则{n +(n +1)=?a n(n +1)=b∴a =-(2n +1)，b =n (n +1)，则⽅程②可变为x 2+n (n +1)x -(2n +1)=0③，∵⽅程③有整数根，视n 为主元，∴n 2x +n (x -2)+x 2-1=0④有整数解，∴设△=(x -2)2-4x (x 2-1)=x 2+4-4x 3=p 2（p 为正整数），∴x 2(1-4x )=(p +2)(p -2)⑤.∵p +2＞p -2，∴{p +2=x 2p ?2=1?4x ⑥，{p +2=x p ?2=(1?4x)x ⑦，{p +2=1?4x p ?2=x2⑧，{p +2=(1?4x)x p ?2=x ⑨，由⑥得：x 2+4x -1=0，解得：x 1=-5，x 2=1，把x 1=-5代⼊③得：n =-3或n =85（不合题意，舍去），当n =-3时，a =5，b =6，把x 2=1代⼊③得：n 1=0，n 2=1，当n =0时，a =-1，b =0，当n =1时，a =-3，b =2，对⑦，⑧，⑨继续讨论.综上所述，{a =?1b =0或{a =?3b =2或{a =5b =6.。

一元二次方程教案(初中数学培优)

一元二次方程教案
课程名称
一元二次方程
教学目标
重点：一个概念、一个式子、一个思想.
1.通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．
2.模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义．
3.掌握一元二次方程的一般形式及其有关概念并能解决一些概念性的题目．
4.加深对方程思想的认识.
第一节课教学过程
（1）5x2－1＝4x
a=5 b=-4 c=-1
（2）（2x＋1）2－（x－3）（2x－1）＝6x
a=2 b=5 c=-2
4.下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？
-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．
分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可．
解：将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或x=-3
（5）的过程如下：
4x2+12x+9=4x2-x+4x-1
4x2+12x+9-4x2+x-4x+1=0
9x+10=0
2.根据一元二次方程的概念确定相应字母的值
若是关于x的一元二次方程.求m的值.
注意：二次项系数不能为0
答案：m=-2
3.将一元二次方程化为一般形式，并写出：二次项系数、一次项系数及常数项。
那么移动后梯子的底端距墙为（x+6）米。
根据题意有：
72+（x+6）2=102
化简得：
x2+12x－15=0
学生活动：回答老师的相关提问
讲解方法：讲授法（结合互动）
步骤三：时间分配：3’
教师活动:（提出问题）

初中数学：一元二次方程的有理根与整数根

初中数学：一元二次方程的有理根与整数根整系数一元二次方程有有理根的充要条件是：为一有理数的平方。

而有整数根，△必为一完全平方式。

这里a、b、c皆为整数，前者△是有理数的平方，而非一般认为的完全平方式。

而后者△为一完全平方式只是必要条件，不是充分条件。

一、与有理根有关的问题例1、m为有理数，问k为何值时，方程的根为有理数？解：原方程即：如若有有理根，则应是某一有理数的平方，可知，从而。

本题也可这样解：原方程化为如有有理根，则得二、与整数根有关的问题例2、若方程有整数根，且m、n为自然数，则m、n的值有__________个。

解：有整数根，则为一完全平方式，设为，于是即视<1>为m的一元二次方程，它应有整数解，由可见（1）令，则<1>式为（2）若要有整数解，则应为完全平方式。

令，则因为所以有如下两种情形。

无整数解，舍去。

代入<2>式得：所以或（舍去）将代入（*）式得：所以满足条件。

由对称性（方程系数是对称的）知也是所求。

（2）令，则<1>式为<3>若有整数解，则应为某一完全平方式，故令，则因为所以又有两种情形。

代入<3>式得：或（舍去）将代入（*）得：所以为所求。

代入<3>式得：或（舍去）将代入（*）式得：，有整数解，故为所求。

由对称性知也为所求。

故符合题意的整数对m、n有（5，1）、（1，5）、（3，2）、（2，3）、（2，2）共5个。

三、与因式分解有关的问题例3、m是什么整数时，能分解成两个连续自然数的积？解：设（n为自然数），则原问题即m为何值时关于n的一元二次方程<1>有正整数解，所以应为某整数的平方，设为。

则化为因为m是整数，故再次利用有整数解的条件，应有是某一整数的平方，也即为一完全平方数，又设为，于是，即或因为所以又因是偶数，故与有相同的奇偶性，故<3>式只对划线部分有解。

①②③④由①解得：，此时<2>式为：或（舍去）由②解得：，此时<2>式为：或（舍去）由③解得：，此时<2>式为：或（舍去）由④解得：，此时<2>式为：或（舍去）经检验，均为所求值，所以时，能分解成两个连续的自然数的积。

中考数学专题一元二次方程的整数根

解题思路：把 x2 xy 2 y2 29 看作关于 x 的二次方程，由 x 为整数得出关于 x 的二次方程的
根的判别式是完全平方数，从而确定 y 的取值范围，进而求出 x 的值.
【例 4】试确定一切有理数 r ，使得关于 x 的方程 rx2 (r 2)x r 1 0 有根且只有整数根.
于______________.
5．两个质数 a, b 恰是 x 的整系数方程 x2 21x t 0 的两个根，则 b a 等于（） ab
A． 2213
B． 58 21
2402
C．
49
D． 365 38
6．若 x2 mx 6 0 的两个根都是整数，则 m 可取值的个数是（）
A．2 个
例题与求解
【例 1】已知关于 x 的方程 (4 k)(8 k)x2 (80 12k)x 32 0 的解都是整数，求整数 k 的值.
（绍兴市竞赛试题）解题思路：用因式分解法可得到根的表达式，因方程类型未指明，故须按一次方程、二次方程两
种情形讨论，这样确定 k 的值才能全面而准确.
【例 2】 p, q 为质数且是方程 x2 13x m 0 的根，那么 q p 的值是（
x2 2( y 50)x ( y2 y) 0 ，于是将问题转化为求一元二次方程有理根、整数根的问题.
【例 6】试求出所有这样的正整数解 a ，使得二次方程 ax2 2(2a 1)x竞赛试题）
解题思路：本题有两种解法. 由于 a 的次数较低，可考虑“反客为主”，以 a 为元，以 x 为已知数整理成
A．100
B．400
C．700
D．1000
（太原市竞赛试题）
9．求所有的实数 k ，使得方程 kx2 (k 1)x (k 1) 0 的根都是整数. （“祖冲之”邀请赛试题）

中考数学培优(含解析)之一元二次方程附答案

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．解下列方程：（1）x 2﹣3x=1．（2）12（y+2）2﹣6=0．【答案】(1)12313313,22x x +-==;(2)12223,223y y =-+=-- 【解析】试题分析：（1）利用公式法求解即可；（2）利用直接开方法解即可；试题解析：解：（1）将原方程化为一般式，得x 2﹣3x ﹣1=0， ∵b 2﹣4ac=13＞0 ∴．∴12313313,22x x +-==．（2）（y+2）2=12， ∴或，∴12223,223y y =-+=--2．已知：关于的方程有两个不相等实数根．（1）用含的式子表示方程的两实数根；（2）设方程的两实数根分别是，（其中），且，求的值．【答案】（I ）kx 2+（2k －3)x+k －3 = 0是关于x 的一元二次方程．∴由求根公式，得． ∴或（II ），∴．而，∴，．由题意，有∴即（﹡）解之，得经检验是方程（﹡）的根，但，∴【解析】（1）计算△=（2k-3）2-4k （k-3）=9＞0，再利用求根公式即可求出方程的两根即可；（2）有（1）可知方程的两根，再有条件x 1＞x 2，可知道x1和x2的数值，代入计算即可．一位数学老师参加本市自来水价格听证会后，编写了一道应用题，题目如下：节约用水、保护水资源，是科学发展观的重要体现.依据这种理念，本市制定了一套节约用水的管理措施，其中规定每月用水量超过（吨）时，超过部分每吨加收环境保护费元.下图反映了每月收取的水费（元）与每月用水量（吨）之间的函数关系. 请你解答下列问题：3．将m 看作已知量，分别写出当0<x<m 和x>m 时，与之间的函数关系式；4．按上述方案，一家酒店四、五两月用水量及缴费情况如下表所示，那么，这家酒店四、五两月的水费分别是按哪种方案计算的？并求出的值.月份用水量（吨）水费（元）四月3559.5五月80151【答案】5．已知关于x 的一元二次方程()2204mmx m x -++=. （1）当m 取什么值时，方程有两个不相等的实数根；（2）当4m =时，求方程的解.【答案】（1）当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根；（2）1x =，234x =. 【解析】【分析】（1）方程有两个不相等的实数根，>0∆，代入求m 取值范围即可，注意二次项系数≠0；（2）将4m =代入原方程，求解即可. 【详解】（1）由题意得：24b ac ∆=- =()22404mm m+->，解得1m >-. 因为0m ≠，即当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根.（2）把4m =带入得24610x x -+=，解得1x =，2x =. 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况以及求解，熟练掌握根的判别式以及一元二次方程求解是加大本题的关键.6．已知关于x 的方程mx 2+(3﹣m)x ﹣3=0(m 为实数，m≠0)． (1) 试说明：此方程总有两个实数根．(2) 如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m 的值. 【答案】(1)()2243b ac m -=+≥0；(2)m=-1,-3. 【解析】分析: （1）先计算判别式得到△=（m -3）2-4m •（-3）=（m +3）2，利用非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）利用公式法可求出x 1=3m，x 2=-1，然后利用整除性即可得到m 的值．详解: （1）证明：∵m ≠0，∴方程mx 2+（m -3）x -3=0（m ≠0）是关于x 的一元二次方程， ∴△=（m -3）2-4m ×（-3） =（m +3）2，∵（m +3）2≥0，即△≥0， ∴方程总有两个实数根；（2）解：∵x =()()332m m m--±+ ，∴x1=-3，x2=1，m∵m为正整数，且方程的两个根均为整数，∴m=-1或-3．点睛: 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．7．“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法．例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图10、图n 有多少个点？我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是6×1=6个；图2中黑点个数是6×2=12个：图3中黑点个数是6×3=18个；所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是、．请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上），再完成以下问题：（1）第5个点阵中有个圆圈；第n个点阵中有个圆圈．（2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵．【答案】60个，6n个；（1）61；3n2﹣3n+1，（2）小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．【解析】分析：根据规律求得图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个；（1）第2个图中2为一块，分为3块，余1，第2个图中3为一块，分为6块，余1；按此规律得：第5个点阵中5为一块，分为12块，余1，得第n个点阵中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1，（2）代入271，列方程，方程有解则存在这样的点阵．详解：图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个，故答案为：60个，6n个；（1）如图所示：第1个点阵中有：1个，第2个点阵中有：2×3+1=7个，第3个点阵中有：3×6+1=17个，第4个点阵中有：4×9+1=37个，第5个点阵中有：5×12+1=60个，…第n个点阵中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1，故答案为：60，3n2﹣3n+1；（2）3n2﹣3n+1=271，n2﹣n﹣90=0，（n﹣10）（n+9）=0，n1=10，n2=﹣9（舍），∴小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．点睛：本题是图形类的规律题，采用“分块计数”的方法解决问题，仔细观察图形，根据图形中圆圈的个数恰当地分块是关键．8．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【答案】（1）4元或6元；（2）九折.【解析】【详解】解：（1）设每千克核桃应降价x元.根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+x2×20）=2240，化简，得 x2﹣10x+24=0，解得x1=4，x2=6.答：每千克核桃应降价4元或6元.（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元.∵要尽可能让利于顾客，∴每千克核桃应降价6元. 此时，售价为：60﹣6=54（元），54100%=90%60⨯. 答：该店应按原售价的九折出售.9．阅读材料:若22228160m mn n n -+-+=，求m 、n 的值. 解:22228160m mn n n -+-+=，222(2)(816)0m mn n n n ∴-++-+= 22()(4)0m n n ∴-+-=， 0,40m n n ∴-=-=， 4,4n m ∴==.根据你的观察，探究下面的问题:（1）己知2222210x xy y y ++++=，求x y -的值.（2）已知△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足2268250a b a b +--+=，求边c 的最大值.（3）若己知24,6130a b ab c c -=+-+=，求a b c -+的值.【答案】（1）2（2）6（3）7 【解析】【分析】（1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出x 与y 的值，即可求出x ﹣y 的值；（2）将已知等式25分为9+16，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出a 与b 的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出c 的长；（3）由a ﹣b =4，得到a =b +4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出b 与c 的值，进而求出a 的值，即可求出a ﹣b +c 的值．【详解】（1）∵x 2+2xy +2y 2+2y +1=0 ∴（x 2+2xy +y 2）+（y 2+2y +1）=0 ∴（x +y ）2+（y +1）2=0 ∴x +y =0 y +1=0 解得：x =1，y =﹣1 ∴x ﹣y =2；（2）∵a 2+b 2﹣6a ﹣8b +25=0 ∴（a 2﹣6a +9）+（b 2﹣8b +16）=0 ∴（a ﹣3）2+（b ﹣4）2=0 ∴a ﹣3=0，b ﹣4=0解得：a =3，b =4∵三角形两边之和＞第三边∴c ＜a +b ，c ＜3+4，∴c ＜7．又∵c 是正整数，∴△ABC 的最大边c 的值为4，5，6，∴c 的最大值为6；（3）∵a ﹣b =4，即a =b +4，代入得：（b +4）b +c 2﹣6c +13=0，整理得：（b 2+4b +4）+（c 2﹣6c +9）=（b +2）2+（c ﹣3）2=0，∴b +2=0，且c ﹣3=0，即b =﹣2，c =3，a =2，则a ﹣b +c =2﹣（﹣2）+3=7．故答案为7．【点睛】本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．10．自2018年1月10日零时起，高铁开通，某旅行社为吸引广大市民组团去仙都旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过10人，人均旅游费用为200元，如果人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150元．()1如果某单位组织12人参加仙都旅游，那么需支付旅行社旅游费用________元； () 2现某单位组织员工去仙都旅游，共支付给该旅行社旅游费用2625元，那么该单位有多少名员工参加旅游？【答案】（1）2280；（2）15 【解析】【分析】对于（1）根据人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150来求解；对于（2）设这次旅游可以安排x 人参加，而由10×200＝2000＜2625，可以得出人数大于10人，则根据x 列出方程：（10＋x ）（200－5x ）＝2625，求出x ，然后根据人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150来求出x 的范围，最后得出x 的值. 【详解】（1）2280()2因为1020020002625⨯=<．因此参加人比10人多，设在10人基础上再增加x 人，由题意得：()()1020052625x x +-=．解得 15x = 225x =， ∵2005150x -≥， ∴010x <≤，经检验 15x =是方程的解且符合题意，225x =（舍去）．1010515x +=+=答：该单位共有15名员工参加旅游．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用，根据题意作出判断，列出一元二次方程，求解方程，舍去不符合题意的解，从而得出结果.。

初中数学培优：有关一元二次方程的整数根问题06

初中数学培优：有关一元二次方程的整数根问题06
初中数学培优：有关一元二次方程的整数根问题06
有关一元二次方程的整数根问题，在这几年的竞赛中经常出现，而解决这类问题,通常都是通过讨论其判别式，利用根与系数的关系或因式分解等方法，然后通过检验确定答案.具体操作时，应视具体问题的特征,恰当地选择解题方法.
评注判别式法是处理一元二次方程有整数根的常用方法.当判别式的二次项系数为负时，一般通过解不等式得到关于参数的一个有限区间，再根据参数为整数，可以求得解.
评注当一元二次方程的所含的字母为整数,且次数为一次时，可利用变换主元的方法来求解.本题也可以利用判别式来处理.
【分析】虽然题目要求至少有一个整数根，但根据韦达定理，知若有一个正整数根，则另一根也必为正整数，所以等价于两根都是正整数根时，求所有的素数对(p，q).。