时间序列分解法

（3）计算周期因素C。用序列TC除以T即可得到 周期变动因素C。 （4）将时间序列的T、S、C分解出来后，剩余的 即为不规则变动，即：
Y y I TSC
四、时间序列分解预测法的应用 上例的分解模型为
yt Tt St Ct It
现预测2012年第二季度的销售额
t=50 T=2736.101+38.95436× 50 = 4683.819
一、指数曲线模型及其应用
指数曲线预测模型为：
ˆt aebt y
(a 0)
对函数模型 y ˆt aebt 做线性变换得：
ln yt ln a bt
令
Yt ln yt , A ln a ，则
Yt A bt
这样，就把指数曲线模型转化为直线模型了。
(一 )
确定预测模型。
适用的二次曲线模型为：
2 ˆ yt b0 b1t b2t
(二)
年份 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 合计
进行二次曲线拟合，计算模型参数。
时序(t) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0
yt
10.0 18.0 25.0 30.5 35.0 38.0 40.0 39.5 38.0 274.0
4.3 多 项 式 曲 线 趋 势 外 推 法
2 k ˆ yt b0 b1t b2t bk t
一、二次多项式曲线模型及其应用
二次多项式曲线预测模型为：
ˆt b0 b1t b2t y
2
y2 ，…， yn ，令 设有一组统计数据 y1 ，
ˆt ) ( yt b0 b1t b2t 2 ) 2 最小值 Q(b0 , b1 , b2 ) ( yt y
例 题
• 例 1 以下为某公司1993年到2002年历史销售数据， 请运用差分法，确定适用模型的类型。
年份
销售额 （万元）
1993
1994
1995 1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
68.32 83.04 99.15 116.75 136.06 156.41 178.45 201.75 226.76 253
其条件是不变或变化不大。
二 、趋势模型的种类 多项式曲线外推模型：
一次（线性）预测模型：
ˆt b0 b y 1t
2 ˆ 二次（二次抛物线）预测模型： yt b0 b1t b2t
2 3 ˆ y b bt b t b t 三次（三次抛物线）预测模型： t 0 1 2 3
(三) 进行预测 若要预测2005年的销售量，则t=5 y2005 35.05 3.57 5 0.69 52 36.15(万件)
二、三次多项式曲线预测模型及其应用 三次多项式曲线预测模型为：
ˆt b0 b1t b2t b3t y
2
3
yn ，令 设有一组统计数据 y1 ，y2 ，…，
由
A ln a
解
a eA
二、修正指数曲线模型及其应用
修正指数曲线预测模型为：
2 t ˆ ˆt yt a bc y a bc (0 c 1)
初期迅速增长(b>0)或递减(b<0) 中期增长或递减速度逐降 最后趋向于常数
模型参数计算： 分解法 1. 收集能被3整除的历史统计数据，即以3n为时序； 2. 分组计算各组数据总和：
（1）运用移动平均法剔除长期趋势和周期变化，得 到序列TC。然后再用按月（季）平均法求出 季节指数S。
两次移动平均 TC 不含季节因素和不规则变动因素
Y/TC 按季平均
SI 进行修正 S
（2）做散点图，选择适合的曲线模型拟合序列的长 期趋势，得到长期趋势T。
直线拟合
T=2736.101+38.95436t 求长期趋势T序列
274 9b0 0 60b2 214 0 60b1 0 1613.5 60b 0 708b 0 2
解得
b0 35.05, b1 3.57 b2 0.69
二次多项式的模型为：
yt 35.05 3.57t 0.69t 2 (原点为2000 年)
一般形式：
ˆt b0 b1t b2t 2 bk t k y
指数曲线预测模型： 一般形式 ：
ˆt ae y
bt
修正的指数曲线预测模型 ：
ˆt a bc y
t
对数曲线预测模型：
ˆt a b ln t y
生长曲线预测模型： 皮尔曲线预测模型 ：
L yt 1 ae bt
指数曲线模型差分：
ˆt ae y
bt
ˆt a bc 修正指数曲线模型差分： y
t
差分法识别标准：
差分特性 使用模型
一阶差分相等或大致相等 二阶差分相等或大致相等
三阶差分相等或大致相等 一阶差分比率相等或大致相等 一阶差分的一阶比率相等或大致相等
一次线性模型 二次线性模型
三次线性模型 指数曲线模型 修正指数曲线模型
yt 10.0 18.0 25.0 8.0 7.0 -1.0 30.5 35.0 38.0 40.0 39.5 38.0 5.5 4.5 3.0 -1.5 2.0 -0.5 -1.5 -1.0
y t′
y t〞
-1.5 -1.0
-1.0 -2.5
结合散点图和差分分析，可以看出大致的曲线增长 模式，较符合二次曲线模型。则我们对该种模型进 行参数拟合。
y
i 0
n 1
2 n 1 i n
i
y y
i i 2n
3n 1
i
3. 利用三组和求a, b, c.
(1) 描散点图，初步确定预测模型。 (2) 计算一阶差比率。
结合散点图和差分分析，选择指数曲线模型。
ˆt aebt y
(a 0)
(二) 计算模型参数。
年份 时序(t)
yt
Yt ln yt
Yt
2
tYt
合计
0
根据直线模型公式
tY ntY 2 2 b t nt A Y bt
（2） 季节变动因素（S） 是经济现象受季节变动影响所形成的一种长 度和幅度固定的周期波动。 （3） 周期变动因素（C） 周期变动因素也称循环变动因素，它是受各 种经济因素影响形成的上下起伏不定的波动。 （4） 不规则变动因素（I） 不规则变动又称随机变动，它是受各种偶然 因素影响所形成的不规则变动。
龚珀兹曲线预测模型 ：
ˆ t ka y
bt
三、趋势模型的选择
图形识别法： 这种方法是通过绘制散点图来进行的，即将 时间序列的数据绘制成以时间t为横轴，时序观察 值为纵轴的图形，观察并将其变化曲线与各类函 数曲线模型的图形进行比较，以便选择较为合适 的模型。
差分法： 利用差分法把数据修匀，使非平稳序列达到 平稳序列。 一阶向后差分可以表示为：
2 t 1 t 1 n n
即：
y nb0 b1 t b2 t 2 2 3 ty b t b t b t 0 1 2 2 2 3 4 t y b t b t b t 0 1 2
解这个三元一次方程就可求得参数。
一、趋势外推法概念和假定条件
趋势外推法概念： 当预测对象依时间变化呈现某种上升或下降 趋势，没有明显的季节波动，且能找到一个合适 的函数曲线反映这种变化趋势时，就可以用趋势 外推法进行预测。
趋势外推法的两个假定： （1）假设事物发展过程没有跳跃式变化；
（2）假定事物的发展因素也决定事物未来的发展，
解这个四元一次方程就可求得参数。
( 一)
确定预测模型。
(1) 描散点图，初步确定预测模型。 (2) 计算三阶差分。 结合散点图和差分分析，选择三次多项式曲线模型。
2 3 ˆ yt b0 b1t b2t b3t
(二)
年份
进行三次多项式曲线拟合，计算模型参数。
时序(t) -3 -2 -1 0 1 2 3
t
2
t
4
ty
t2 y
16 9 4 1 0 1 4 9 16 60 708 214.0 1613.5
代入三元一次方程组
y nb0 b1 t b2 t 2 2 3 ty b t b t b t 0 1 2 2 2 3 4 t y b t b t b t 0 1 2
例2
下表是某商品销售量：
商品销售量
年份
1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004
30.5 35.0 38.0 40.0 39.0 38.0
销售量(万件) 10.0 18.0 25.0
( 一)
确定预测模型。
(1) 描散点图，初步确定预测模型。
(2) 计算差分 差分计算表
二、时间序列分解模型 时间序列y可以表示为以上四个因素的函数，
即：
yt f (Tt , St , Ct , It )
时间序列分解的方法有很多，较常用的模型 有加法模型和乘法模型。
加法模型为：
yt Tt St Ct It
乘法模型为：
yt Tt St Ct It
三、时间序列的分解方法
ˆt ) ( yt b0 b1t b2t 2 b3t 3 ) 2 最小值 Q(b0 , b1 , b2 , b3 ) ( yt y
2 t 1 t 1 n n
即：
y nb0 b1 t b2 t 2 b3 t 3 2 3 4 ty b0 t b1 t b2 t b3 t 2 2 3 4 5 t y b t b t b t b t 0 1 2 3 3 3 4 5 6 t y b t b t b t b t 0 1 2 3
yt
t
2
t
4
t
6
ty
t y
2Βιβλιοθήκη Baidu
t y
3
合计
0
四元一次方程组
y nb0 b1 t b2 t 2 b3 t 3 2 3 4 ty b t b t b t b t 0 1 2 3 2 2 3 4 5 t y b t b t b t b t 0 1 2 3 3 3 4 5 6 t y b t b t b t b t 0 1 2 3
可简化为
2 y nb b t 0 2 2 2 4 t y b t b t 0 2 2 4 ty b t b t 1 3 3 4 6 t y b t b t 1 3
4.4 指 数 曲 线 趋 势 外 推 法
yt yt yt 1
二阶向后差分可以表示为：
yt yt yt 1 yt 2 yt 1 yt 2
差分法： 一次线性模型差分： 二次线性模型差分：
ˆt b0 b y 1t
ˆt b0 b1t b2t 2 y
2 3 ˆ 三次线性模型差分为： yt b0 bt 1 b2t b3t
第二季度的季节指数S=109.3855% C=99%
Y=TSC=
时间序列分解法预测值
季度
2012 1 T S 1.121397
C
0.98
预测值
4644.865
4683.819 4722.773 4761.728
2
3 4
1.093855
0.753595 1.031154
0.99
1 1
4.2 趋 势 外 推 法 概 述
第四章 时间序列分解法 和趋势外推法
4.1 4.2 4.3 4.4 时间序列分解法 趋势外推法概述 多项式曲线趋势外推法 指数曲线趋势外推法
4.5
4.6
生长曲线趋势外推法
曲线拟合优度分析
4.1 时间序列分解法
一、时间序列的分解
经济时间序列的变化受到长期趋势、季节变 动、周期变动和不规则变动这四个因素的影响。 其中： （1） 长期趋势因素（T） 反映了经济现象在一个较长时间内的发展 方向，它可以在一个相当长的时间内表现为一种 近似直线的持续向上或持续向下或平稳的趋势。