数理统计总复习课件

s 0.037%,设测定值总体服从正态分布N(, 2 ),试在 5%显著水平下，分别检验假设（1）H0： 0.5%; （2）H0： 0.04%。
解：（1）检验H0： 0.5%，H1： 0.5%，
H
的拒绝域为：
0
t

x
s/ n
t (n 1)
2
经计算：
t

ln L() N ln (n N ) ln(1 )
令 d ln L = N n N 0, 解得：ˆ N
d 1
n
所以的极大似然估计为ˆ N n
考题（7 2006级 32学时）
三、(本题14分)设总体X的概率密度为：
f
(
x,

)




2

x
2
,
0 x ，其中未知参数 0,
0, 其他
X1,L , Xn是来自X的样本，求（1）的矩估计；
（2）的极大似然估计。
解：1，E( X )

x f ( x)d x

0
2x2
2 dx

2
3
令1

E( X )

A1

X

2，
(1

)
0,
x

,
0 x 1, 1
其他
求参数的极大似然估计。
考题（9 2005级 256学时）
三、(本题8分)设X1,
X2,L
,
X
为服从泊松分布
n
()的总体X的一个样本，求的极大似然估计量。
考题1（0 2004级 32学时）
三、(本题8分)设总体X的概率密度为：
（2）求的置信水平为0.95的置信区间；
解（1）E( X ) E(eY ) e y f ( y)dy

1

e
ye(
y )2 2
dy

2 1
e2

2

1
[ y( 1)]2
e 2 dy
2
1
e 2
（2）的置信区间为：
y
（2）某种元件的寿命（单位:h）服从上述指数分布，
现从中抽得容量为16的样本，得样本均值为510(h),
试求元件平均寿命的置信水平为0.90的单侧置信下
限。
解：（1）Q
P

2nX


2
(
2n)


1 ,

P


2nX

2
(
2n)


1
,
即的单侧置信下限为
综上，认为工厂生产正常。
考题（6 2008级 24学时,作业题） 六、(本题14分)某工厂正常生产时，排出的污水 中动植物油的浓度X~N(10,2 )，2未知，今阶段性 抽取10个水样，测得平均浓度为10.（8 mg / L),标准 差为1.（2 mg / L)，问该工厂生产是否正常？ ( 0.05, t0.025(9) 2.2622,）
f
(
x)


2

x
2
,
0 x ，其中未知参数 0,
0, 其他
X1,L , Xn是样本，求的矩估计和最大似然估计。
（此题和2008级的第三大题一样的.)
考题（6 2007级 64学时 作业P153 四）
七、(本题8分)设X1,L , Xn为总体X的样本， X的密度函数为：
（2）检验假设；H0： 10，H1： 10 取统计量：t X 10 ~ t(9) S / 10
拒绝域为 t t0.025(9) 2.2622
Q t 10.8 10 2.1028 2.2622， 1.2 / 10
所以接受H0，即可以认为排出的污水中动植物油 的平均浓度是1（0 mg / L）。
1
X 1
n
2 似然函数为:L( xi , ) f ( xi , )
i 1

(
x1 x2

L
n
xn )
1
,

0,
xi 1(i 1, 2,L , n) 其他
当xi 1(i 1, 2,L , n)时，L( ) 0,取对数得
n
ln L( ) nln ( 1) ln xi , 两边对 求导，

18 ( 2
0.025
9)
,

18
2 0.975
(9)
，即为（0.9462，6.6667）；
（2）D


X2 3


1 2
D

X2 2


1 2
D[2(1)]

2 2
；
由于D


X2 3


2 2
是2的单调减少函数，
置信区间为


是样本观察值，样本方差s2 2,
（1）求 2的置信水平为0.95的置信区间；
（2）已知Y

X2
2
~

2
(1),
求D(
X

2 3
)的置信水平
为0.95的置信区间；(
2 0.975
(
9)

2.70,
2 0.025
(9)

19.023).
解：（1）2的置信水平为0.95的置信区间为：

题型分析
一、有关矩估计法及极大似然估计法方面的题型 考题（1 2009级 24学时） 五、(本题18分)设随机变量X的分布函数为：
F
(
x;
,

)

1

(
x
)
,
x ，其中参数 0, 1,
0,
x
设X1, X2，L , Xn是来自X的简单随机样本，
（1）当 1时，求未知参数的矩估计量；
考题（3 2008级 48学时）
三、(本题10分)设总体X 在[0, ]上服从均匀分布， 其中 ( 0)未知，(X1,L , Xn)为来自总体X的样本， 求的矩估计量。（见教材P127-128的例6.2)
考题（4 2008级 48学时）
七、(10分)设某种元件的使用寿命X的概率密度为
f
i 1
得
d ln L =
d
n


n i 1
ln
xi令
d ln L
d

0, 可得

n
n
ln Xi
i 1
故的最大似然估计量为 ˆ n n .
ln Xi
i 1
考题（8 2005级 224学时）
三、(本题8分)设X1,
X2,L
,
X
为总体的样本，
n
X的密度函数为：
f
(
x)

（2）当 1时，求未知参数的极大似然估计量；
（3）当 2时，求未知参数的极大似然估计量。
解：（1）当 1时，X的概率密度函数为：
f
(
x)



x 1
,
0,
x1 x1
E( X )

x f ( x)d x

1
x

x 1d x

1
1.（2 mg / L)，问该工厂生产是否正常？
(

0.05, t0.025(9)

2.2622,

2 0.025
(
9)

19.023,
Fra Baidu bibliotek
2 0.975
(
9)

2.700)
解（：1）检验假设H0：2 1，H1：2 1；
取统计量：2

(n
1)S 2

2 0
拒绝域为：2

2
1
L( xi , ) 0；取对数并求导得：
d ln L =2n 0,所以L单调增加。
d
因此当取x1, x2,L , xn的最小值时，L( )取最大值。
所以的极大似然估计为ˆ min{ x1, x2,L , xn}.
考题（5 2007级 32学时） 六、(本题10分)设随机变量X的概率密度为
x
s/ n
4.10 t (n 1) t0.025(9) 2.26,
2
故拒绝H0
（2）检验H0： 0.04%，H1： 0.04%，
H
的拒绝域为
0
(n 1)s2
2

2
1

(
n

1)
2


2 0.975
(
9)

2.7
或 (n 1)s2
2


2
(
n
3
得ˆ 3 X为参数的矩估计量。
2
2 似然函数为:
L( xi , )
n i 1
2 xi
2
2n
2n
n i 1
xi ，0
xi
,(i 1, 2,L
, n)
而L( )是的单调减少函数，所以的极大似然估计
量为ˆ max{ X1, X2,L , Xn}.

1)


2 0.025
(
9)
19.02
2
经计算：(n 1)s2
2

7.70
没有落在拒绝域中，故接受H0
考题（2 2009级 24学时）
七、(本题10分)假设0.50,1.25，0.80, 2.00是来自总体
X的简单随机样本值，已知Y ln X ~N(,1),
（1）求X的数学期望E( X )；

X,
解得的矩估计量为ˆ X .
X 1
（2）似然函数为：
L( )
n
f
(
xi
)



(
x1 x2

L
n
xn ) 1
,
i 1

0,
xi 1,(i 1, 2L , n) 其它
n
当xi 1时, 对数似然函数为ln L( ) nln ( 1) ln xi

2nX 2 (2n)
（2） 2 16 5010 3764.706 42.585
考题（5 2008级 24学时,作业题）
六、(本题14分)某工厂正常生产时，排出的污水
中动植物油的浓度X ~ N (10,1)，今阶段性抽取10个
水样，测得平均浓度为10.（8 mg / L),标准差为

(
n

1)

2 0.975
(9)

2.70
2
或2


2
(
n
1)

2 0.025

19.023，
2
经计算：2

(n 1)s2

2 0

9 1.22 1
12.96
由于2

12.96
(
2.700,
19.023)，故接受H
，即可以
0
认为排出的污水中动植物油浓度的方差为2 1。

x 1
,
0,
x 1, 其中未知参数 1,
x 1.
X1,L , Xn为来自X的简单随机样本，
求（1）的矩估计量；
（2）的最大似然估计量。
解：1，由于E( X )

x f ( x; )d x


1
x

x 1d x

, 1
令 X，解得参数的矩估计量ˆ X .
1 n
z
2
,
y

1 n
z
2
，
y 1 (ln 0.5 ln1.25 ln 0.8 ln 2) 0 4
故总体均值的置信区间为 (0.98, 0.98)
考题（3 2008级 24学时）
四、(本题14分)设总体X ~ N (, 2 ),且x1, x2, L , x10
, 0 x 1 f ( x, ) 1 , 1 x 2；其中未知参数 0
0,
其他
设N为样本值x1,L , xn中小于1的个数，求的极
大似然估计。
解：似然函数为:
n
L( xi , ) f ( xi , ) N (1 )nN
i 1
i 1
令
d
ln L( ) d

n


n i 1
ln
xi

0
解得的极大似然估计量为ˆ n n
ln Xi
i 1
（3）当 2时，X的概率密度函数为：
f
(
x)


2 2
x3
,
0,
似然函数为：
x x
L( )
n
f
(
xi
)



(
2n 2n
(
x)

2e2( x

0,
),
x ，其中
其他

0为未知参数,
又设x1,L , xn是X的一组样本观察值，求参数的
极大似然估计。
解：似然函数为:
n
L( xi , )

2n
e
2

i 1
(
xi

)
,
当xi
,(i

1, 2,L
, n)；
L( xi , ) 0, 其他。当xi ,(i 1, 2,L , n)时，
x1 x2 L xn )3
,
i 1

0,
xi ,(i 1, 2L , n)
其它
当xi 时,越大，L( )越大，所以的极大似然估计 量为 ˆ min{ X1, X2,K , Xn}
考题（2 2008级 24学时） 三、(本题14分)设随机变量X的概率密度为：
f
(
x)
f
(
x)

(

1) 0,
x
,
0 x 1, 其它
其中 1是未知参数，X1, X2,L , Xn为总体X
的一个容量为n简单随机样本，求参数的极大
似然估计量。
这个题目和2005级 224学时的类似。
二、有关区间估计及假设检验方面的题型
考题（1 2009级 24学时） 四、(本题12分)测定某种溶液中的水分，它的10个 测定值给出样本均值为：x 0.452%, 样本均方差为：
2 2
,
2 2
，即为（0.3000，2.1137）。
考题（4 2008级 24学时）
五、(本题10分)设总体X 服从参数为的指数分布,
其中 0未知，X1,L , X10为取自总体X的样本，若
已知U

2

n i 1
Xi
~
2(2n),求
（1）的置信水平为1 的单侧置信下限；