初中数学三角形知识点总结

初中数学三角形知识点总结

初中数学三角形知识点总结

等边三角形

⑴等边三角形是锐角三角形,等边三角形的内角都相等,且均为60°.

⑵等边三角形每条边上的中线.高线和所对角的平分线互相重合(三线合一)

⑶等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴,对称轴是每条边上的中线.高线或对角的平分线所在的直线.

⑷等边三角形的重要数据

角和边的数量 3

内角的大小60°

⑸等边三角形重心.内心.外心.垂心重合于一点,称为等边三角形的中心.(四心合一)

⑹等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)

三角形的垂心

锐角三角形垂心在三角形内部.

直角三角形垂心在三角形直角顶点.

钝角三角形垂心在三角形外部.

垂心是从三角形的各个顶点向其对边所作的三条垂线的交点.

三角形三个顶点,三个垂足,垂心这7个点可以得到6组四点共圆.

三角形上作三高,三高必于垂心交.

高线分割三角形,出现直角三对整,

直角三角有十二,构成九对相似形,

四点共圆图中有,细心分析可找清,

三角形垂心的性质

设△ABC的三条高为AD.BE.CF,其中D.E.F为垂足,垂心为H,角A.B.

C的对边分别为a.b.c,p=(a+b+c)/2.

1.锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角

形的垂心在三角形外.

2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心;或者说,三角形的内心是它旁心三角形的垂心;

3. 垂心H关于三边的对称点,均在△ABC的外接圆上.

4. △ABC中,有六组四点共圆,有三组(每组四个)相似的直角三角形,且AH·HD=BH·HE=CH·HF.

5. H.A.B.C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组).

6. △ABC,△ABH,△BCH,△ACH的外接圆是等圆.

7. 在非直角三角形中,过H的直线交AB.AC所在直线分别于P.Q,则

AB/AP·tanB+AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC.

8. 设O,H分别为△ABC的外心和垂心,则∠BAO=∠HAC,∠ABH=∠OBC,∠BCO=∠HCA.

9. 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍.

_.

锐角三角形的`垂心是垂足三角形的内心;锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中,以垂足三角形的周长最短(施瓦尔兹三角形,最早在古希腊时期由海伦发现).

_.西姆松定理(西姆松线):从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上.

_. 设锐角△ABC内有一点P,那么P是垂心的充分必要条件是PB_PC_BC+PB_PA_AB+PA_PC_AC=AB_BC_CA.

_.设H为非直角三角形的垂心,且 D.E.F分别为H在BC,CA,AB上的射影,H1,H2,H3分别为△AEF,△BDF,△CDE的垂心,则△DEF≌△H1H2H3.

_.三角形垂心H的垂足三角形的三边,分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线.

温馨提示:上面的很多三角形的垂心性质知识,希望大家都可以记在笔记中了. 解直角三角形:

勾股定理,只适用于直角三角形(外国叫毕达哥拉斯定理) a +b =c , 其中a 和b分别为直角三角形两直角边,c为斜边.

勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数.比如:3,4,5.他们分别是3,4和5的倍数.

常见的勾股弦数有:3,4,5;6,8,_;5,_,_;_,24,26;等等.

解斜三角形:

在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c. 则有(1)正弦定理a/SinA=b/SinB= c/SinC=2R

(R为三角形外接圆半径) (2)余弦定理 a =b +c -2bc_CosA b =a +c -2ac_CosB

c =a +b -2ab_CosC 注:勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况. (3)余弦定理变形公式 cosA=(b +C -a )/2bC

cosb=(a +c -b )/2aC cosC=(a +b -C )/2ab

斜三角形的解法:

已知条件定理应用一般解法

一边和两角 (如a.B.C) 正弦定理由A+B+C=_0˙,求角A,由正弦定理求出b 与c,在有解时有一解.

两边和夹角 (如a.b.c) 余弦定理由余弦定理求第三边c,由正弦定理求出小边所对的角,再

由A+B+C=_0˙求出另一角,在有解时有一解.

三边 (如a.b.c) 余弦定理由余弦定理求出角A.B,再利用A+B+C=_0˙,求出角C 在有解时只有一解.

两边和其中一边的对角 (如 a.b.A) 正弦定理由正弦定理求出角B,由A+B+C=_0˙求出角C,在利用正

弦定理求出C边,可有两解.一解或无解.

勾股定理(毕达哥拉斯定理)

内容:在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方. 几何语言:若△ABC满足ABC=90,则AB+BC=AC

勾股定理的逆定理也成立,即两条边长的平方之和等于第三边长的平方,则这个三角形是直角三角形几何语言:若△ABC满足,则ABC=90.

射影定理(欧几里得定理)

内容:在任何一个直角三角形中,作出斜边上的高,则斜边上的高的平方等于高所在斜边上的点到不是两直角边垂足的另外两顶点的线段长度的乘积.

几何语言:若△ABC满足ABC=90,作BDAC,则BD=ADDC 射影定理的拓展:若△AB C 满足ABC=90,作BDAC, (1)AB=BDBC

(2)AC=CDBC (3)AB_AC=BC_AD

正弦定理

内容:在任何一个三角形中,每个角的正弦与对边之比等于三角形面积的两倍与三边边长和的乘积之比

几何语言:在△ABC中,sinA/a=sinB/b=sinC/c=2S三角形/abc

结合三角形面积公式,可以变形为a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(R是外接圆半径) 余弦定理

内容:在任何一个三角形中,任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边的2倍乘以它们夹角的余弦几何语言:在△ABC中,a=b+c-2bccosA