第7章 傅里叶变换

3
5
7
u 4 (sin t 1 sin 3t 1 sin 5t 1 sin 7t 1 sin 9t)
3
5
7
9
u(t) 4 (sint 1 sin3t 1 sin5t 1 sin 7t )
3
5
7
( t ,t 0)
在 微 积 分 中 ， 我 们 学 过傅 里 叶 级 数 ， 我 们 知 道， 一 个
2 题。在这种情形中所有 的参数是实数，利用实 变量的分析技术 也能解决模型的分析问 题，然而，运用复变量 能极大地简化计 算，并且能深入理解参 数的本质。为此，我们 需要将一个函数 表示为正弦函数类的方 法，同时还需要一个连 接实变量和复变 量的方法。此外，把复 杂的运算化为较为简单 的运算，常常采 用一种变换技巧。
函 数FL(t )的 极 限 为F (t ),即 是
lim
L
FL
(t)
F
(t).
因 此 ， 我 们 得 到 函 数F (t)在 整 个 实 数 集 合 上 的 正弦
函 数 表 示 ， 即 对 任 意 的 t ,有
4 sin t, 4 1 sin 3t, 4 1 sin 5t, 4 1 sin 7t,
3
5
7
u 4 (sin t 1 sin 3t)
3
u 4 (sin t 1 sin 3t 1 sin 5t)
3
5
u 4 (sin t 1 sin 3t 1 sin 5t 1 sin 7t)
fL(
t
)
n
1 L
L/ 2 L/ 2
fL( t
)einwt dt einwt
.
下 面 我 们 研 究 非 周 期 函数 的 一 个 类 似 的 表 示
问 题. 为 了 方 便 ， 我 们 假 设 非周 期 函 数F ( t )在 区 间( ,)内 连 续 、 可 积 ， 且 绝 对可 积 ， 考 虑 区 间 （ L / 2, L / 2）,则F ( t )在 此 区 间 上 有 三 角级数表示
e inwt bn
e inwt 2i
a0 an ibn einwt an ibn einwt .
2 n1 2
2
记c0
a0 2
1
L
L/2
L/ 2 f L (t )dt,
cn
an
ibn 2
1 L
L/2 L/2
fL(t)cos(nwt)dt i
L/2 L/2
fL(t)sin(nwt)dt
1 L/2
L L/2 fL(t )(cos(nwt) isin(nwt))dt
1 L
L/2 L/2
f L (t )einwt dt,
n 1,2,.
cn
an
ibn 2
1 L
L/ 2 L/ 2
fL(
t
)einwt dt ,
n 1,2,.
将上述3个式子写成一种统一的表示
1
cn L
L/ 2 L/ 2
an
2 L
L/2
L/ 2 f L (t )cos(nwt)dt,
n 1,2,,
bn
2 L
L/2
L/ 2 f L (t )sin(nwt)dt,
n 1,2,.
f L (t )
源自文库
a0 2
(ancos(nwt )
n1
bnsin(nwt )),
上面公式将一个周期函 数表示成正弦函数类的 和， 称为函数 f L (t )的傅里叶级数 .
以L为 周 期 的 函 数fL( t ),如 果 在 区 间 L / 2, L / 2 上 连续 ， 那 么在 L / 2, L / 2上 可以 展 开成 傅 里 叶级数
f L (t )
a0 2
(ancos(nwt )
n1
bnsin(nwt )),
其中w
2
L
, a0
2 L
L/2
L/ 2 f L (t )dt,
F ( t ) cneinwt ,
n
Lt L,
2
2
其中系数为
1
cn L
L / 2 F ( t )einwt dt ,
L/ 2
n 0,1,2,.
这 样 ， 在 一 个 长 为L的 区 间 上 我 们 得 到 函 数F (t)
的 一 个 正 弦 函 数 类 表 示.当L越 大 时 ，FL(t)与F (t) 相 等 的 范 围 也 越 大 ， 可以 猜 测 当L 时 ， 周 期
除了上述三角函数表示的形式外，傅里叶级数还可 以转换成复指数形式，而且在工程和理论研究中使 用更加广泛.
由欧拉公式 : cost eit eit ,sint eit eit
2
2i
因 此 ， 傅 里 叶 级 数 可 以表 示 成
fL( t )
a0 2
n1
an
e inwt
e inwt 2
§7.1 傅里叶变换
在物理学中，最简单的 波是谐波(正弦波)，它可表示
为Asin(wt )，其中A是振幅，w是角频率， 是初相位.
其它的波如矩形波,锯齿形波等往往都可以用 一系列谐波叠加表示出来.
1, 当 t 0
非正弦周期函数:矩形波
u
u(t )
1,
当0 t
1
o
t
1
不同频率正弦波逐个叠加
fL( t
)e inwt dt ,
n 0,1,2, ,
则 傅 里 叶 公 式 可 以 表 示成 复 指 数 形 式 为
f L ( t ) c0 ( cne inwt cne inwt ) n1
cne inwt .
n
这 就 是 傅 里 叶级 数 的 复指 数 形 式. 将 系 数 用 积 分 表示出来，则可写成为
第7章 傅里叶变换
§7.1 傅里叶变换
§7.2 函数及其傅里叶变换
§7.3 傅里叶变换的性质 §7.4 卷积
很多工程中的 问题最终可以归以归结为一个线 统对一个正弦
函数的输入的反应，余弦函数 cosx sin(x ),与正弦函数相
2
差 个相位，因此余弦函数 的输入也可以归结为正 弦函数的问
例如，取对数能将数量 的乘法和除法运算变成 对数的和 与差，对运算的结果取 指数，就得到原来数量 的乘积或 商。把乘法和除法的运 算变成加法和减法的运 算，就是 将复杂的运算变成简单 的运算的一个典型的例 子。
本章介绍的傅里叶变换和下一章的拉普拉斯 变换是常见的两种积分变换，他们建立了将 一个函数表示为正弦函数和的公式，实现了 实变量和复变量之间的连接，同时还能将对 函数的微分运算变换成函数的乘法运算，将 一个微分方程问题变成一个代数方程问题求 解。因此他们不仅在理论上，而且在工程中 得到大量的应用。