第7章傅里叶变换

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第7章图像处理课后答案

7.1.1 图像金字塔
一系列以金字塔形状排列的分辨率逐步降低的图集合。金字塔的底部是待处理图像的高分辨率表示，而顶部是低分辨率的近似。基级J的尺寸是2J×2J或N×N (J=log2N)，中间级j的尺寸是2j×2j ，其中0<= j <=J。
图7.2b表示，各级的近似值和预测残差金字塔都是以一种迭代的方式进行计算的。第一次迭代和传递时， j = J ，并且2J×2J的原始图像作为J级的输入图像，从而产生J-1级近似值和J级预测残差，而J-1级近似值又作为下一次迭代的输入，得到J-2级近似值和J-1级预测残差。迭代算法：
1, 0 x 0.5 ψ( x) 1, 0.5 x 1 0,在，有了尺度函数和小波函数，可以正式定义小波变换了，它包括：一般小波序列展开、离散小波变换和连续小波变换。
7.3.1 小波序列展开
首先根据小波函数ψ( x)和尺度函数 ( x)为函数f(x)定义小波序列展开：
高斯近似值和预测残差金字塔
基级，第9级
第8级第7级第6级
图像重建
7.1.2 子带编码
另一种与多分辨率分析相关的重要图像技术是子带编码。在子带编码中，一幅图像被分解成为一系列限带分量的集合，称为子带，它们可以重组在一起无失真地重建原始图像。最初是为语音（一维信号）和图像压缩而研制的，每个子带通过对输入进行带通滤波而得到（相当于分解一个频段为若干个子频段）。因为得到的子带的带宽要比原始图像的带宽小，子带可以无信息损失的抽样。原始图像的重建可以通过内插、滤波和叠加单个子带来完成。
k
V Spk an{k ( x)}
7.2.2 尺度函数
现在来考虑由整数平移和实数二值尺度、平方可积函数 ( x) 组成的展开函数集合，即集合{ j ,k ( x)} ： j/2 j j ,k ( x) 2 (2 x k ) 式7.2.10 k决定了 j ,k ( x)在x轴的位置（平移k个单位），j决定了 j ,k ( x) 的宽度，即沿x轴的宽或窄的程度，而2j/2 控制其高度或幅度。由于 j ,k ( x)的形状随j发生变化， ( x) 被称为尺度函数。如果为赋予一个定值，即j = j0，展开集合 { j0 ,k ( x)} 将是 { j ,k ( x)}的一个子集，一个子空间：

信号与系统7-1连续信号的傅里叶变换分析课件

程序
t=linspace(-2,4,400); w=linspace(-15,15,400); f=sym('exp(-2*t)*Heaviside(t)') F=fourier(f); F=simple(F) f1=subs(f); Fv=subs(F); F1=abs(Fv); P1=angle(Fv)*180/pi; subplot(3,1,1),plot(t,f1,'linewidth',2); grid;ylabel('f(t)'); subplot(3,1,2),plot(w,F1,'linewidth',2); grid;ylabel('|F(j\omega)|'); subplot(3,1,3),plot(w,P1,'linewidth',2); grid;ylabel('\angleF(j\omega)(度)');xlabel('\omega (rad/sec)')
Fn
1 T0
T0
2 f (t) e jn0t dt
T0 2
F (
j)
lim
T0
FnT0
f (t) e jt dt
傅里叶变换
f (t) 1 F ( j)e jt d
2
傅里叶反变换
简记：F(j) =F [ f (t)] 称频谱函数；
f (t) = F -1[F(j)] 称为原函数。
或记为： f (t) F( j)
周期信号非周期信号功率信号能量信号
傅里叶级数傅里叶变换傅里叶级数是傅里叶变换的一个特例，而傅里叶变换是傅里叶级数的推广。
2
拉普拉斯变换与傅里叶变换

第七章傅立叶变换

T p j( n - m ) d 0 -T2 e (e ) d t 2p -p e 2p t 2p d t T 其中 wt , 则d ,dt d T T 2p
T 2
j nwt
j mwt *
pe
-
p 这是因为
j( n - m )
1 j( n - m ) d e j( n - m) -p 1 j( n - m )p - j( n - m )p [e -e ] j( n - m) 1 - j( n - m )p j 2 ( n - m )p e [e - 1] 0 j( n - m)

为求an, 计算[fT(t), cosnwt], 即 a
T 2 T 2
fT (t ) cos nwt d t T
-
T 2
0
2
2
cos nwt d t
am T cos mwt cos nwt d t
m 1 n
2

T 2
bm T sin mwt cos nwt d t
1复变函数与积分变换第七章傅立叶变换第七章傅立叶变换71傅立叶积分与傅立叶积分定理72傅氏变换与傅氏逆变换73单位脉冲函数75傅氏变换的性质一傅里叶fourier级数展开71傅立叶积分与傅立叶积分定理在工程计算中无论是电学还是力学经常要和随时间而变的周期函数ftt打交道
复变函数与积分变换
第七章傅立叶变换
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的情况即可, 通常研究在闭区间[-T/2,T/2]内函数变化的情况. 并非理论上的所有周期函数都可以用傅里叶级数逼近, 而是要满足狄利克雷 (Dirichlet)条件, 即在区间[-T/2,T/2]上

(完整版)《复变函数与积分变换》习题册(2)

第一章复数与复变函数本章知识点和基本要求掌握复数的概念和它的各种表示方法及运算; 熟悉复平面、模与辐角的概念;熟练掌握乘积与商的模、隶莫弗公式、方根运算公式；了解区域的概念;理解复变函数的概念; 理解复变函数的极限和连续的概念。

一、填空题1、若等式))(()75(i y i x i i -+=-成立，则=x ______, =y _______.2、设(12)(35)13i x i y i ++-=-,则x = ，y =3、若1231izi i，则z4、若(3)(25)2i i zi,则Re z5、若421iz i i+=-+，则z = 6、设(2)(2)z i i =+-+,则arg z =7复数1z i =-的三角表示式为，指数表示式为 .8、复数i z 212--=的三角表示式为 _________________，指数表示式为_________________. 9、设i z 21=，i z -=12，则)(21z z Arg = _ _____。

10、设4i e 2z π=，则Rez=____________. Im()z = 。

z11、。

方程0273=+z 的根为_________________________________。

12、一曲线的复数方程是2z i -=，则此曲线的直角坐标方程为 . 13、方程3)Im(=-z i 表示的曲线是__________________________.14、复变函数12+-=z z w 的实部=),(y x u _________，虚部=),(y x v _________。

15、不等式114z z -++<所表示的区域是曲线的内部.16二、判断题（正确打√，错误打⨯）1、复数7613i i +>+. （）2、若z 为纯虚数，则z z ≠. （）3、若 a 为实常数，则a a = （）4、复数0的辐角为0.5、()f z u iv =+在000iy x z +=点连续的充分必要条件是(,),(,)u x y v x y 在00(,)x y 点连续。

第7章傅里叶变换与滤波器形状

第7章傅里叶变换与滤波器形状 7.1离散时间傅里叶变换基础离散时间傅里叶变换（DTFT ）是数字信号分析的一个重要工具。

DTFT 把信号或滤波器从时域变换到频域，主要是为了研究信号或滤波器的频率特性。

该变换主要用于分析信号和滤波器的频谱性质。

对于信号，DTFT 提供的信息称为信号的频谱。

对于滤波系统，DTFT 得到的信息称为滤波器的频率响应（frequency response ）。

它由两部分组成：幅度响应（magnitude response ）和相位响应（phase response ）。

幅度响应给出了滤波器的形状，通过它我们可以深入了解滤波器的工作特性。

信号x[n]的离散时间傅里叶变换定义为：()[]jn n X x n e∞-Ω=-∞Ω=∑，这里Ω为数字频率，单位弧度。

记为(){[]}X x n Ω=F利用欧拉公式，DTFT 变换为()[][](cos()sin())jn n n X x n ex n n j n ∞∞-Ω=-∞=-∞Ω==Ω-Ω∑∑变换()X Ω在每个不同的数字频率上可有不同的值，当信号x[n]与正弦或余弦“共振”时，最大。

也就是说，当x[n]以接近频率Ω变化时，()X Ω较大。

离散时间傅里叶变换反应了信号的频率。

例7.1 求如图信号的离散时间傅里叶变换注意，一般情况，DTFT 是复值。

例7.2 求信号x[n]=4(u[n]-u[n-3])的DTFT 。

离散时间傅里叶变换有两个重要的特性，时延特性和周期性。

00[]()[]()Fjn Fx n X x n n eX -Ω−−→Ω-−−→Ω(2)()X X πΩ+=ΩDTFT 是周期性的，周期为2π。

即离散时间傅里叶变换对所有的数字频率Ω，每2π重复一次，不断重复。

7.2.1 频率响应和差分方程对差分方程逐项求DTFT∑∑==-=-Mk kN k kk n x b k n y a 0][][][]2[]1[][][]2[]1[][210210M n x b n x b n x b n x b N n y a n y a n y a n y a M N -++-+-+=-++-+-+0101()()()()()()j jN N j jM M a Y a e Y a e Y b X b eX b eX -Ω-Ω-Ω-ΩΩ+Ω++Ω=Ω+Ω++Ω0101()()()()j jN j jM N M a a e a e Y b b e b e X -Ω-Ω-Ω-Ω+++Ω=+++Ω010010()()()Mjk j jM k M k Nj jN jk N k k b eY b b e b eH X a a e a ea e-Ω-Ω-Ω=-Ω-Ω-Ω=Ω+++Ω===Ω+++∑∑例7.3 求差分方程频率响应y[n]=-0.85y[n-1]+0.5x[n].例7.4 求差分方程频率响应y[n]+0.1y[n-1]+0.85y[n-2]=x[n]-0.3x[n-1]7.2.2 频率响应和传输函数10101010()()()MkMkM k NNkN k k b zb b z b zY z H z X z a a z a za z---=---=+++===+++∑∑010010()()()Mjk j jM k M k Nj jN jk N k k b eY b b e b eH X a a e a e a e-Ω-Ω-Ω=-Ω-Ω-Ω=Ω+++Ω===Ω+++∑∑例 7.5 求滤波器的频率响应，它的传输函数21210.2()10.50.9z H z z z ----=++2210.2()10.50.9j j j e H e e-Ω-Ω-Ω-Ω=++频率响应是脉冲响应的DTFT 。

傅里叶变换

(2-2)
其中
2 an T

T / .2
T / .2
fT ( t ) cos n 0 tdt ( n 0,1,2,)
2 bn T

T / .2
T / .2
fT ( t ) sinn 0 tdt ( n 1,2,3,)
2.1.1
傅里叶级数（续十五）
例2-3 设f(x)是周期为4的函数，它在[－ 2,＋2)上的表达式为
cos n 0 t e
in 0 t
e 2
in 0 t
sinn 0 t
e
in 0 t
e 2i
in 0 t
将上述两式代入式(2-2)，得
a0 ein0t e in0t ein0t e in0t fT ( t ) an bn 2 n 1 2 2i 2.1.1Fra bibliotek傅里叶级数
定义2-1 设f(x)是周期为2的函数，则称三角级数 a0 f ( x ) (an cosnx bn sinnx ) 2 n 1 其中
1 π ak f ( x ) cos kxdx ( k 0,1,2,) π π 1 π bk f ( x ) sinkxdx ( k 1,2,3,) π π
π π 2
2.1.1
续解
傅里叶级数（续四）
1 π 1 π an f ( x ) cos nxdx x cos nxdx π π π 0 1 x 1 π sinnx 2 cosnx π n n 0 0 (当n为偶数时） 1 2 (cos nx 1) 2 2 (当n为奇数时） n π n π π π 1 1 bn f ( x ) sinnxdx x sinnxdx π π π 0 1 x 1 π cosnx 2 sinnx π n n 0 ( 1) n1 ( n 1,2,3, ) n

傅里叶变换的证明

§3.1 引言
法国数学家傅里叶有两个最主要的贡献: 1 周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信号的加权和. 2 非周期信号都可以用正弦信号的加权积分表示. 本章要点: 1 建立信号频谱的概念. 2 利用傅里叶级数的定义式分析周期信号的离散频谱. 3 利用傅里叶积分(变换)分析非周期信号的连续频谱. 4 理解信号时域与频域间的关系. 5 用傅里叶变换的性质进行正、逆变换. 6 掌握抽样信号频谱的计算及抽样定理.

t0 T1
t0
cos(nw m, n 1t ) sin(mw 1t )dt 0 所有
利用正交函数系性质推导系数an , bn
3 满足狄利克雷条件:(充分条件) ①在一个周期内，若有间断点存在，间断点数目应该是有限个 ②在一个周期内,极大值和极小值数目应该是有限个 ③在一个周期内,信号绝对可积

T
n2 f (t ) sin(nw1t )dt 0
n为奇数 n为偶数
2 1 f (t ) [sin(w1t ) 1 3 sin(3w1t ) 5 sin(5w1t ) ]
2 1 1 [cos(w1t 2 ) 3 cos(3w1t 2 ) 5 cos(5w1t 2 ) ]
n1

c0 1 c1 a12 b12 5
0 0 1 arctan
b1 a1
c2 1
Cn
Fn
n
w
相位频谱
w1 2 w1 3w1
幅度频谱
w
二:周期性方波信号的频谱
1
奇函数
1
T1 2
只含正弦项奇次谐波项,奇次正弦项
T1
t
奇谐函数
f (t ) a0 [an cos(nw1t ) bn sin(nw1t )]

信号与系统分析——宗伟 7

4．离散时间与离散频率的傅里叶变换(DFS) 离散时间与离散频率的傅里叶变换(DFS)
离散周期时间信号 x ( k ) 的傅里叶变换 X ( n ) 也是离散周期, 与构成一对傅里叶变换对, 散周期, x ( k ) X ( n )构成一对傅里叶变换对,又称为离散傅里叶级数. 为离散傅里叶级数. 傅里叶级数对为
D F T [ x1 ( k )] = X 1 ( n ), D F T [ x 2 ( k )] = X 2 ( n ),
则
D F T [ x1 ( k ) ⊗ x 2 ( k )] = X 1 ( n ) X 2 ( n )
证明: 证明
D F T [ x1 ( k ) ⊗ x 2 ( k )] = D F T [ ∑ x1 ( i ) x 2 (( k − i )) N G N ( i )]
N
)k
的离散傅里叶变换
W 40 W 40 W 40 x (0) 1 1 1 1 0 0 W 41 W 42 W 43 x (1) 1 − j − 1 j 1 − 2 j = = 2 4 6 W 4 W 4 W 4 x (2) 1 − 1 1 − 1 0 0 3 6 9 x (3) 1 j − 1 − j − 1 2 j W4 W4 W4
频域:周期连续频域周期,连续周期
综合以上三对傅里叶变换的规律可以得出: 综合以上三对傅里叶变换的规律可以得出一个域中的连续性对应于另一个域中的非周期性;一个域中的周期性对应于另一个域中的离散一个域中的周期性对应于另一个域中的离散性. 除了以上三种变换外,还有第四种变换存在,时除了以上三种变换外,还有第四种变换存在, 域中周期离散函数对应于频域中离散周期函数, 域中周期离散函数对应于频域中离散周期函数, 即时域频域之间的傅里叶变换规律4: 即时域频域之间的傅里叶变换规律4: 时域:离散, 时域:离散,周期 DFS 频域:周期, 频域:周期,离散

复变函数与积分变换-第七章-傅里叶变换

t e intdt n
0,1,2,L

这就是Fourier级数的复指数形式，或者写为
6
接下来讨论非周期函数的展开问题。
任何一个非周期函数 f (t) 都可以看成是由某个周期函数 fT(t) 当T时转化而来的。
作周期为T 的函数 fT (t), 使其在[T/2,T/2]之内等于 f (t), 在[T/2,T/2]之外按周期T 延拓到整个数轴上, 则T 越大, fT (t)与 f (t) 相等的范围也越大, 这就说明当T时, 周期函数 fT(t) 便可转化为 f (t), 即有
1
2

f ( )cos(t )d

j

f
(
) sin
(t

)d

d
因 f ( )sin(t )d 是ω的奇函数， f cos t d是的偶函数,
1 F eitd 称为F 的Fourier逆变换，
2
n-1n

又 (n )
1
2

f
(
)e jn
d

e jnt

f
(t
)

lim
n 0
n
T
(n
)n

(n ) d n
( )d

最后可得：
f (t) 1
2

an
2 T
T2
T 2 fT t cosntdt
bn
2 T
T2
T 2 fT t sinntdt
在间断点t 处成立：

傅里叶光学第7章-全息术课件

3.菲涅耳全息图
4.傅里叶变换全息图
5.像全息图
6.模压全息
7.位相全息
8.彩虹全息图
9.体积全息图
10.计算全息
✓全息术的应用
1.全息显示
2.模压全息
3.全息光学元件
4.全息干涉计量
5.全息信息存储
2、波前记录与再现 p227
✓全息成像过程
1、波前记录—
用干涉法记录物光波
干涉图样的记录
2、波前再现—
胶片上的曝光强度为
2
I x, y r0 O x0 , y0 r02 O r0O r0O*
2
3、同轴全息图与离轴全息图
经过显影、定影后，负片的复振幅透过率就正比于曝光强度，即

t x, y tb O r0O r0O*
2

若用一平面波垂直照明全息图，透射光场为
jr x , y
那么，两波相遇叠加的总光场是
U x, y O x, y R x , y
对应的强度分布为
I x, y U x, y O x , y R x , y O x , y R * x , y O * x , y R x , y
U t x, y C0tb C0 O C0 r0O C0 r0O*
2
b) 同轴全息图的波前再现
✓物光和参考光都来自同轴，全息图透射光波中包含的四项都在同一方向传播，
无法分离；
✓在全息图的两侧距离为z0的对称位置产生物体的实像和虚像，成为孪生像；但
观察某一像时，会受到另一离焦的孪生像的干扰；
用衍射法再现物光波
2、波前记录与再现

第七章傅里叶变换

直流分量实际上是所有像素之和
例7.3.2
a=[100 200;100 200]; >> a=repmat(a,4,4) af=fft2(a) af = Columns 1 through 7 9600 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Column 8 0
jω x
dω
通常把以上公式称为傅里叶变换对。通常把以上公式称为傅里叶变换对。函数f(x)和F(u)被称为傅立叶变换对。即对于任一函数f(x)，其傅立叶变换F(u)是惟一的；反之，对于任一函数F(u)，其傅立叶逆变换f(x)也是惟一的。
离散傅里叶变换
连续函数的傅里叶变换是波形分析的有力工具，连续函数的傅里叶变换是波形分析的有力工具，这在理论分析中无疑具有很大价值。在理论分析中无疑具有很大价值。离散傅里叶变换使得数学方法与计算机技术建立了联系，这就为傅使得数学方法与计算机技术建立了联系，里叶变换这样一个数学工具在实用中开辟了一条宽阔的道路。因此，它不仅仅有理论价值，阔的道路。因此，它不仅仅有理论价值，而且在某种意义上说它也有了更重要的实用价值。种意义上说它也有了更重要的实用价值。
yυ N
}e
− j 2π
xu M
= fT列 fT行 f x, y ))) （（（
f ( x, y ) =
M −1 N −1 1 MN =0 =0
∑∑ F (µ ,υ ) ⋅ e µ υ
−1 列 −1 行
j 2π ( xµ + yυ ) M N
=
1 MN
fT −1行 fT −1列 f x, y ))) （（（
傅立叶变换的作用
• （1）可以得出信号在各个频率点上的强度。 • （2）可以将卷积运算化为乘积运算。 • （3）傅氏变换和线性系统理论是进行图像恢复和重构的重要手段。 • （4）傅立叶变换能使我们从空间域与频率域两个不同的角度来看待图像的问题，有时在空间域无法解决的问题在频域却是显而易见的。

7-快速傅里叶变换

将N点序列分解成2个N/2点序列
x(0) x(0)
x(3) x(5)
将N/2点DFT分为两个N/4点DFT
2点DFT
x(0) + +
x(4)
+ -
8点碟2FFT
x(0) x(0)
5 3
按频率抽取（DIF）
x1[n]=x[n]
x2[n]=x[n+N/2]
n=0,1,…,N/2-1
按频率抽取（DIF）
x[2n 1]W
N / 2 1 n 0
( 2 n 1) k N
N / 2 1
nk k x1[n]W N / 2 W N
nk x 2[n]W N / 2
k X 1(k ) W N X 2(k )
上式的最后一步是因为
W [e
2 N
2 j( ) 2 N
]
e
N
4 16 16
2
N 2 - N ( N / 2) log 2 N N log N 2
12 240 4 32 8 64
256
64 256 1024
4096 65536 1048576
4032 65280 1047552
192 1024 5120
384 2048 10240
将N点序列分解成2个N/2点序列
X (k ) X 1(k N / 2) W X 2(k N / 2)
k N k X 1(k ) W N X 2(k )
这是因为：
W
（N、 k 2） N
W
( N / 2) N
W W
k Nห้องสมุดไป่ตู้
k N
将N点序列分解成2个N/2点序列

2021年数理方法课件精美PPT 07第7章一维波动方程的傅里叶解

两边除以 ρΔx，然后取极限Δx→0:
utt ( x, t) =
T0
uxx(x, t) +
f
( x, t )
➢ 弦振动的泛定方程 ut t = a2ux x + f
u(x,t) ➔ x 处的质元在 t 时刻相对平衡位置的位移 f(x,t) ➔ t 时刻 x 处单位质量所受的横向外力
a = T0 / : 弦中横波的波速 T0 ➔ 初始张力，ρ➔质量线密度
• 整个系统初始状况的表达式称为初始条件 • 对弦振动，泛定方程为 ut t = a2 2u + f
需给出弦在初始时刻 t=0 的位移和速度： u( x,0) = ( x), ut ( x,0) = ( x)
• 泛定方程出现时间的 n 阶偏导数时需要 n 个初始条件
• 对物理量的稳态分布，无初始条件
lxntalnbtalnatxunnn??????sinsincos1??????????????lndxlxnxula0sin02??lxnblanxunnt????sin001????????????????202sincos14ldxlxnxnlh??????????????????????lxlxlhhlxxlhxu22220200ll2xux0h分离变量法得出解的一般形式bn0lxntalnnnhtxun????????sincossin????????12228222sincos14lnnnlhan??????????????????2020cos1coslldxlxnlnxlnlxni????????????20sinldxlxnxi??对奇数n计算积分202sin2cos2llnlxnnlnl??????????????22sinlnn??????2sin822????nnh???回顾

第7章离散傅里叶变换性质与应用

{
21
X (ω ) 的幅值和相位
L = 10
DFT的幅值和相位
= L 10, = N 50
22
DFT的幅值和相位
= L 10, = N 100
= L 10, = N 100
23
3 DFT与线性变换的关系
定义 WN 则点和可表示为 N DFT = e − j 2π / N , X (k ) IDFT N −1 1 N −1 − kn kn ( ) ( ) ( ) x n W x n X k W = ∑ ∑ N N N n 0= k 0
N −1
1 2π = X k k 0,1, , N − 1 N N 1 N −1 2π j 2π kn / N = x p ( n) X k e = n 0,1, , N − 1 ∑ N k =0 N
上式给出了从谱的样本来重构周期信号 X (ω ) x p ( n) 的方法。这并不意味可从样本来重构或。 X ( ω ) x ( n)
12
DFT采样的图解说明
例: 序列长度 L 小于采样点数 N
DFT 连续
采样周期化 L≤N
No time aliasing
DFT采样的图解说明（重叠）
例: 序列长度 L 大于采样点数 N
DFT
X ( e jω )
x ( n)
连续
周期化
X N (k ) 采样
xN ( n)
L≥N
time aliasing
0 ≤ n ≤ N −1 x ( n)
当时，由于时域存在泄漏，不能从来重构。 N<L x p ( n)
假如 N ≥ L，则有限时宽为 L 的非周期离散时间信号的谱可以从它在频率 ω k = 2π k / N 的样本完全重构。

第7章偏移 (2)

自激自收条件下，反射同相轴与反射界面之间的关系
2）从广义绕射的观点讨论
地下界面上的每一点均可认为是一个绕射点，它们在入射波的激励下会向界面上方辐射广义绕射波。地下一个绕射点对应到记录上就是一条绕射双曲线，即一大片，这正是一个模糊化过程。
由于真实界面由许多绕射点所组成，它们都辐射绕射波，自激自收剖面上的视界面是所有这些绕射波双曲线的公切线，其位臵与双曲线顶点连线不一致，发生了偏离。
图7-4 叠加记录的偏移脉冲响应 (a)只包含一个孤立脉冲的叠加记录；(b)深度域的偏移脉冲响应
一、圆弧叠加法
叠加剖面上每一个脉冲的偏移响应轨迹为偏移剖面上的1个半圆，偏移响应在半圆轨迹上的振幅与输入脉冲的振幅成正比。叠加剖面上的每个同相轴可以看作由许多脉冲构成，将所有脉冲的偏移响应相加，在相加的过程中，有些振幅得到加强，由强振幅轨迹(同时也是各个半圆的包络线)构成偏移后的反射界面(图7-5)，此时的同相轴反映了地层的真实位置和形态
图7-3 不同观测面上接收到的地震记录示意图
我们把由波场 u ( x, z 0, t ) 推算波场 u ( x, z , t ) 的过程称为波场延拓，由 u ( x, z , t ) 计算 ( x, z , 0)称为成像。延拓和成像是波动方程偏移的两个重要步骤。以上讨论的是绕射点的情况，由于反射界面可以看作绕射点的集合，因此上面的讨论适合于任何反射界面的。
偏移处理就是将绕射波能量正确地会聚于其双曲线顶点，结果能量收敛、模糊化消除、界面也自然恢复到其真实位臵处(即双曲线顶点连线位臵)。
3）从波场分析的角度来讨论
可以将偏移处理过程看作为自激自收剖面形成的反过程。众所周知，波场函数既是时间变量的函数，又是空间变量的函数: u ( x, y, z, t ) ,地下任何一点处均存在着波场，地震记录仅是地面处的波场值: u ( x, y,0, t ) 偏移处理也就是将已知的地面波场值(自激自收记录剖面)作为边界条件反过来求地下各点处波场值的过程。

七章傅里叶变换和色散关系

T
T /2 f (t ) ei 00t dt
T /2
(n 0)
cn

an
i bn 2

1 2
2 T
T /2
T /2 f (t) cos n0t d t
2i
T
T /2
T /2 f (t) sin n0t d t
1
T
T /2 T /2
f (t)
cos n0t i
非正弦周期函数:矩形波
u(t)

1,

1,
T / 2 t 0 0t T/2
u
1
t T / 2 o T / 2
1
可以用不同频率正弦波叠加构成！ 4
u 8 sin t T
u 8 (sin t 1 sin 3t)
T
3
u 8 (sin t 1 sin 3t 1 sin 5t)
考察复数形式的傅里叶级数:

f (t)
c eint n
n
(n 0,1, 2, )
cn

1 T
T/2 f (t) eintd t
T /2
16
T/2
设 lim
f (t)dt 存在，我们形式定义非周期函数的
T T /2
“傅里叶级数”:

f (t) lim T
c e in0t n
c eint n
n
n
cn

1 T
T/2 f (t)eintd t
T /2
n n0
(n 0,1, 2, )
15
§7.2 傅里叶变换 1 傅里叶积分和傅里叶变换