余弦定理优质课

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全国高中数学优质课余弦定理教学设计

《余弦定理》教学设计一、教学内容解析本节内容选自普通高中课程标准实验教科书人教A版《数学》必修5第一章《解三角形》第一节正弦定理和余弦定理。

第一节约4课时，2课时通过探究证明正弦定理，应用正弦定理解三角形；2课时通过探究证明余弦定理，应用余弦定理解三角形。

本节课是余弦定理的第一课时，属于定理教学课。

正余弦定理是定量研究三角形边角关系的基础，它们为解三角形提供了基本方法，为后续解决测量等实际问题提供了理论基础和操作工具。

余弦定理是继正弦定理之后的解三角形又一有力工具，完善了解三角形体系，为解决三角形的边角关系提供了新的方法；是对任意三角形“边、角、边”和“边、边、边”问题进行量化分析的结果，将两种判定三角形全等的定性定理转化为可计算的公式。

纵观余弦定理的发展史，它的雏形出现公元前3世纪。

在欧几里得《几何原本》卷二对钝角三角形和锐角三角形三边关系的阐述中，利用勾股定理将余弦定理的几何形式进行了证明。

1593年，法国数学家韦达首次将欧几里得的几何命题写成了我们今天熟悉的余弦定理的三角形式，直到20世纪，三角形式的余弦定理才一统天下。

“余弦定理是作为勾股定理的推广而诞生的，以几何定理的身份出现，直到1951年，美国数学家荷尔莫斯在其《三角学》中才真正采用解析几何的方法证明了余弦定理，至于向量方法的出现，更是晚近的事了。

”从新旧教材的内容设计对比来看，无论是问题的提出，定理的证明，简单应用都呈现出变化。

旧教材数学第二册（下）中，余弦定理被安排在第五章《平面向量》的第二节解斜三角形中。

基于特殊到一般的数学思想，从直角三角形切入，提出问题后，直接用向量的方法推导定理。

新教材将余弦定理安排在独立章节《解三角形》中,首先给出探究：如果已知一个三角形的两边及其所夹的角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形，从量化的角度研究这个问题，也为余弦定理解三角形的类型做了铺垫。

在定理的推导过程中，同样用了向量方法，但在推导前提出思考：联系已经学过的知识，我们从什么途径来解决这个问题？新教材还结合余弦定理和余弦函数的性质，分别对三种形状的三角形进行了量化分析，旧教材没有涉及此内容。

《余弦定理》优质获奖精品教案 (7)

课题: §1.1.2余弦定理授课类型：新授课●教学目标知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。

●教学重点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用； ●教学难点勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。

●教学过程 Ⅰ.课题导入C如图1．1-4，在∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b 和∠C ，求边c b aA c B(图1．1-4)Ⅱ.讲授新课 [探索研究]联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。

由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

A如图1．1-5，设CB a =，CA b =，AB c =，那么c a b =-，则 b c()()2222 2c c c a b a ba ab b a ba b a b=⋅=--=⋅+⋅-⋅=+-⋅ C a B从而 2222cos c a b ab C =+- (图1．1-5)同理可证 2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。

即 2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-2222cos c a b ab C =+-思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：222cos 2+-=b c a A bc 222cos 2+-=a cb B ac 222cos 2+-=b ac C ba[理解定理]从而知余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。

第1课时余弦定理(优秀经典公开课课件)

a2＋c2－b2
cos B＝______2_a_c_________，
a2＋b2－c2 cos C＝______2_a_b_________
导学 2 解三角形一般地，三角形的三个角 A，B，C 和它们的对边 a，b，c 叫做三角形的 __元__素____．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做___解__三__角__形___．
题型三判断三角形的形状(一题多变) [例 3] 在△ABC 中，若(a－c·cos B)·b＝(b－c·cos A)·a，判断△ABC 的形状．
[解析] (角化边)∵(a－c·cos B)·b＝(b－c·cos A)·a， ∴由余弦定理可得a－c·a2＋2ca2c－b2·b＝b－c·b2＋2cb2c－a2·a，整理得(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2，即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0， ∴a2＋b2－c2＝0 或 a2＝b2. ∴a2＋b2＝c2 或 a＝b. 故△ABC 为直角三角形或等腰三角形．
[基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在三角形中，勾股定理是余弦定理针对直角三角形的一个特例．( ) (2)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及夹角的情况．( ) (3)已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的．( ) (4)在△ABC 中，若 b2＋c2＞a2，则∠A 为锐角．( )
A．60°
B．45°或 135°
C．120°
D．30°
(2)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 b2＝ac，c＝2a，则 cos
B＝( )
A．41
B．43
C．
2 4
D．
2 3
解析 (1)∵c2＝a2＋b2－2abcos C， ∴a2－c2＋b2＝2abcos C． ∴ab＝2abcos C． ∴cos C＝21.∴C＝60°. (2)cos B＝a2＋2ca2c－b2＝a2＋24aa·22－a 2a2＝43. 答案 (1)A (2)B

余弦定理优质示范课市公开课一等奖课件名师大赛获奖课件

的夹角为∠C，求边c.
c2 a2 b2 2ab cos C
c
解法一：向量法
AB CB CA
﹚
2
2
c | AB | AB CB CA
2
2
CB CA 2CA CB
a2 b2 2ab cos C
c2 a2 b2 2ab cos C
探究：在△ABC中，已知CB = a, AC= b，CB与CA
的夹角为∠C，求边c.
b cosAC, b sin C
c2 a2 b2 2ab cos C
办解法法二二：：作坐高标法法
b
c
c (b cos C a)2 (b sin C 0)2
C Da B
a,0
c b2 cos2 C 2ab cos C a2 b2 sin2 C
c2 a2 b2 2ab cos C
cos C a2 b2 c2
2ab
注意：（11、）熟已悉知定三理边的形，式求构三造个特角点，; 注意“平方”“夹角”“余
弦”等（22、）当已∠知C＝两9边0和时，它则们c的osC夹＝角0，，∴求c第2＝三a2＋边b，2，进即而余弦定理是还勾股可定求理其的它推两广个，勾角股。定理是余弦定理的特例
SABC 12 bc sin A 12 ac sin B 12 ab sin C
5.运用正弦定理能够解决哪些解三角形的问题？
①已知两角
-
②已知两边
。
任意一和边其中一边和的对角
ab sin A sin B
岛屿A
岛屿B
120°
?
岛屿C
用正弦定理能否直接求出 AC？
探究：在△ABC中，已知CB = a, CA= b，CB与CA

【余弦定理优质课教学设计】余弦定理优秀教学设计优秀9篇

【余弦定理优质课教学设计】余弦定理优秀教学设计优秀9篇余弦定理教案篇一本节知识是职业高中数学教材第五章第九节《解三角形》的内容，与初中学习的勾股定理有密切的联系，在日常生活和工业生产中也时常有解三角形的问题，在实际测量问题及航海问题中都有着广泛的用，而且解三角形和三角函数联系在高考当中也时常考一些解答题。

并且在探索建立余弦定理时还用到向量法，坐标法等数学方法，同时还用到了数形结合，方程等数学思想。

因此，余弦定理的知识非常重要。

特别是在三角形中的求角问题中作用更大。

做为职业高中的学生必须学好学透这节知识根据上述教材内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征及原有知识水平，制定如下教学目标：①理解掌握余弦定理，能正确使用定理②培养学生教形结合分析问题的能力③培养学生严谨的推理思维和良好的审美能力。

教学重点：定理的探究及应用教学难点：定理的探究及理解对于职业高中的高一学生，虽然知识经验并不丰富，但他们的智利发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，所以我在授课时注重引导、启发和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。

根据教材的内容和编排的特点，为更有效地突出重点，突破难点，以学生的发展为本，遵照学生的认识规律，本讲遵照以教师为主导，以学生为主体，训练为主线的指导思想，采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“余弦定理的发现”为基本探究内容，让学生的思维由问题开始，到发想、探究，定理的推导，并逐步得到深化。

突破重点的手段：抓住学生情感的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想，积极探索，以及及时地鼓励，使他们知难而进。

另外，抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给以适当的提示和指导。

突破难点的方法：抓住学生的能力线，联系方法与技能使学生较易证明余弦定理，另外通过例题和练习来突破难点，注重知识的形成过程，突出教学理念的创新。

余弦定理优秀教学设计优秀5篇

余弦定理优秀教学设计优秀5篇作为一位杰出的教职工，时常会需要准备好教案，借助教案可以提高教学质量，收到预期的教学效果。

怎样写教案才更能起到其作用呢？下面是的我为您带来的余弦定理优秀教学设计优秀5篇，希望大家可以爱好并共享出去。

余弦定理教案篇一《余弦定理》教案一、教材分析《余弦定理》选自人教A版高中数学必修五第一章第一节第一课时。

本节课的紧要教学内容是余弦定理的内容及证明，以及运用余弦定理解决“两边一夹角”“三边”的解三角形问题。

余弦定理的学习有充分的基础，中学的勾股定理、必修一中的向量学问、上一课时的正弦定理都是本节课内容学习的学问基础，同时又对本节课的学习供应了确定的方法引导。

其次，余弦定理在高中解三角形问题中有侧紧要的地位，是解决各种解三角形问题的常用方法，余弦定理也常常运用于空间几何中，所以余弦定理是高中数学学习的一个特别紧要的内容。

二、教学目标学问与技能：1、理解并把握余弦定理和余弦定理的推论。

2、把握余弦定理的推导、证明过程。

3、能运用余弦定理及其推论解决“两边一夹角”“三边”问题。

过程与方法：1、通过从实际问题中抽象出数学问题，培育同学学问的迁移本领。

2、通过直角三角形到一般三角形的过渡，培育同学归纳总结本领。

3、通过余弦定理推导证明的过程，培育同学运用所学学问解决实际问题的本领。

情感态度与价值观：1、在交流合作的过程中加强合作探究、团结协作精神，体验解决问题的成功喜悦。

2、感受数学一般规律的美感，培育数学学习的喜好。

三、教学重难点重点：余弦定理及其推论和余弦定理的运用。

难点：余弦定理的发觉和推导过程以及多解情况的判定。

四、教学用具一般教学工具、多媒体工具（以上均为命题教学的准备）余弦定理教案篇二一、教材（一）教材地位与作用《余弦定理》是必修5第一章《解三角形》的第一节内容，前面已经学习了正弦定理以及必修4中的任意角、诱导公式以及恒等改换，为后面学习三角函数奠定了基础，因此本节课有承上启下的作用。

省级优质课《余弦定理》教案设计

课题: 余弦定理教学目标:1.知识与技能目标（1）能选用适当的方法证明余弦定理（主要是向量法）；（2）能从余弦定理得到它的推论；（3）能利用余弦定理及推论解三角形（两类）. 2.过程与能力目标(1)通过用向量的方法证明余弦定理，体现向量的工具性，加深对向量知识应用的认识．(2)通过启发、诱导学生发现和证明余弦定理的过程，培养学生观察与分析、归纳与猜想、抽象与概括等逻辑思维能力． 3.情感与态度目标（1）通过余弦定理与勾股定理的对比，体会特殊与一般的关系.（2）通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，理解事物之间的普遍联系与辩证统一.教学重点:余弦定理及推论证明和其基本应用．教学难点:用向量知识证明余弦定理时的思路分析与探索．教学过程:I.情景引入我省有很多隧道, 技术人员在修建每个隧道前（打通前）都需要确定隧道长度.其方法是:先在地面上选一适当位置A ，量出A 到山脚B 、C 的距离,再利用测量仪器测出A ∠的大小,最后通计算求出山脚的长度BC.大家想知道工程技术人员是怎样计算出来的吗?Ⅱ.讲授新课探索研究这其实是个数学问题:“三角形中已知两边及夹角,求第三边.” 其对应数学模型: 在ABC ∆中,已知AB c =,AC b =及A A ∠=,求()a BC 即.学情分析：在学习本节内容之前学生已经学习了解直角三角形以及利用正弦定理解斜三角形的知识。

大多数同学已掌握，并能熟练应用这一知识。

教学准备：投影（学生展示用），通过学生讨论，老师引导的方法突破难点.把问题作为教学的出发点，直接引出课题．激发学生的求知欲，明确本课要解决的问题.3分钟后请学生回答,若没人想出老师需进一步启发、引导.和的数量AC AB积引入.让学生感受到向量的威力，同时培养学生类比推理问题的能力.。

余弦定理(优秀课件)

北师大版必修5· 新课标· 数学
第二章解三角形
人教 3．余弦定理与勾股定理版必 (1)勾股定理是余弦定理的特殊情况，在余弦定理表达修 2 2 2 2 2 2 一式中令A＝90°，则a ＝b ＋c ；令B＝90°，则b ＝a ＋c ； 2＝a2＋b2. 令 C ＝ 90 °，则 c 新课 (2) 在△ ABC 中，若 a2<b2 ＋ c2 ，则 A 为⑧ ________ 角，标反之亦成立；若 a2 ＝ b2 ＋ c2 ，则 A为⑨________ 角，反之亦地 2>b2＋c2，则A为⑩________角，反之亦成立．成立；若 a 理
由正弦定理知，AC＝2rsinB， AC ∴r＝ ≈2.5(km)． 2sinB r2＋BC2－r2 由余弦定理知，cos∠OBC＝＝0.74， 2rBC ∴∠OBC≈42° . 故医院应建在△ABC 的内部的点 O 处，使 OB 约为 2.5 km，且∠OBC 约为 42° .
北师大版必修5· 新课标· 数学
人教版必修一 · ·
6＋ 2 解析：cos15° ＝cos(45° －30° )＝ 4 . 由余弦定理知 c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋8－2 2×( 6＋ 2)＝
新课 8－4 3，标 2 ∴ c ＝ 8 － 4 3 ＝ 6 － 2 ＝ 6－ 2. 地理 a c 由正弦定理得sinA＝sinC，
· ·
北师大版必修5· 新课标· 数学
第二章解三角形
人教解析：在△ABC中，由余弦定理：版必 BC2 ＝ AB2 ＋ AC2 － 2AB·AC·cos∠BAC ＝ 32 ＋ 52 －修一 2×3×5·cos120°＝49， ∴BC＝7，新课设BD＝x，则DC＝7－x，由内角平分线定理：标地理

余弦定理优秀教学设计【优秀7篇】

余弦定理教案篇一今天我说课的内容是余弦定理，本节内容共分3课时，今天我将就第1课时的余弦定理的证明与简单应用进行说课。

下面我分别从教材分析。

教学目标的确定。

教学方法的选择和教学过程的设计这四个方面来阐述我对这节课的教学设想。

一、教材分析在本节课中教学重点是余弦定理的内容和公式的掌握，余弦定理在三角形边角计算中的运用；教学难点是余弦定理的发现及证明；教学关键是余弦定理在三角形边角计算中的运用。

二、教学目标的确定1、知识与技能：熟练掌握余弦定理的内容及公式，能初步应用余弦定理解决一些有关三角形边角计算的问题；2、过程与方法：掌握余弦定理的两种证明方法，通过探究余弦定理的过程学会分析问题从特殊到一般的过程与方法，提高运用已有知识分析、解决问题的能力；3、情感态度与价值观：在探究余弦定理的过程中培养学生探索精神和创新意识，形成严谨的数学思维方式，培养用数学观点解决问题的能力和意识、三、教学方法的选择基于本节课是属于新授课中的数学命题教学，根据《学记》中启发诱导的思想和布鲁纳的发现学习理论，我将主要采用“启发式教学”和“探究性教学”的教学方法即从一个实际问题出发，发现无法使用刚学习的正弦定理解决，造成学生在认知上的冲突，产生疑惑，从而激发学生的探索新知的欲望，之后进一步启发诱导学生分析，综合，概括从而得出原理解决问题，最终形成概念，获得方法，培养能力。

在教学中利用计算机多媒体来辅助教学，充分发挥其快捷、生动、形象的特点。

四、教学过程的设计为达到本节课的教学目标、突出重点、突破难点，在教材分析、确定教学目标和合理选择教法与学法的基础上，我把教学过程设计为以下四个阶段：创设情境、引入课题；探索研究、构建新知；例题讲解、巩固练习；课堂小结，布置作业。

具体过程如下：1、创设情境，引入课题利用多媒体引出如下问题：A地和B地之间隔着一个水塘现选择一地点C，可以测得的大小及，求A、B两地之间的距离c。

【设计意图】由于学生刚学过正弦定理，一定会采用刚学的知识解题，但由于无法找到一组已知的边及其所对角，从而产生疑惑，激发学生探索欲望。

《余弦定理教案》课件

《余弦定理教案》PPT课件第一章：余弦定理的概念与背景1.1 余弦定理的定义介绍余弦定理的定义和表达式解释余弦定理在几何学中的应用1.2 余弦定理的证明简要介绍余弦定理的证明过程解释余弦定理的证明方法及其合理性第二章：余弦定理在三角形中的应用2.1 三角形中的边长关系利用余弦定理求解三角形中的边长解释余弦定理在解决三角形边长问题时的作用2.2 三角形中的角度关系利用余弦定理求解三角形中的角度解释余弦定理在解决三角形角度问题时的作用第三章：余弦定理在三角形的判定中的应用3.1 三角形的判定条件利用余弦定理判定三角形的类型（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）解释余弦定理在三角形判定中的重要性3.2 三角形的判定实例提供一些实例，让学生通过余弦定理进行三角形的判定引导学生运用余弦定理解决实际问题第四章：余弦定理在实际问题中的应用4.1 实际问题引入通过引入一些实际问题，引发学生对余弦定理的思考解释余弦定理在解决实际问题中的应用价值4.2 实际问题解决方法提供一些实际问题，让学生运用余弦定理进行解决引导学生将余弦定理应用于实际问题的解决中强调余弦定理在几何学中的重要性和广泛应用5.2 余弦定理的拓展介绍一些与余弦定理相关的拓展知识引导学生进一步学习和研究余弦定理的更多内容第六章：余弦定理的图形解释6.1 余弦定理的直观理解通过图形演示，解释余弦定理的几何意义强调图形在理解余弦定理中的应用6.2 余弦定理的图形应用提供一些图形实例，让学生通过余弦定理进行分析和解释引导学生运用余弦定理解决图形相关问题第七章：余弦定理的变换与性质7.1 余弦定理的变换介绍余弦定理在不同变换下的性质和应用解释变换对余弦定理的影响和变化规律7.2 余弦定理的性质介绍余弦定理的一些基本性质引导学生理解和运用余弦定理的性质解决相关问题第八章：余弦定理与其他数学概念的联系8.1 余弦定理与三角函数的关系解释余弦定理与三角函数之间的联系强调余弦定理在三角函数中的应用和重要性8.2 余弦定理与其他数学概念的联系介绍余弦定理与其他数学概念（如向量、矩阵等）的联系引导学生探索余弦定理在其他数学领域的应用第九章：余弦定理的综合应用实例9.1 综合应用实例一提供一个综合性的实例，让学生运用余弦定理进行解决强调余弦定理在解决综合性问题中的应用和重要性9.2 综合应用实例二提供另一个综合性的实例，让学生运用余弦定理进行解决引导学生运用余弦定理解决实际问题强调余弦定理在几何学和其他数学领域中的重要性和广泛应用10.2 余弦定理的拓展介绍一些与余弦定理相关的拓展知识引导学生进一步学习和研究余弦定理的更多内容重点和难点解析1. 余弦定理的定义与证明：理解余弦定理的基本概念和表达式是学习的基础，需要重点关注。

余弦定理优质课市公开课一等奖课件名师大赛获奖课件

归纳：
cos A b2 c2 a2 2bc
cos B a2 c2 b2 2ac
cosC a2 b2 c2 2ab
运用余弦定理能够解决下列两类有关三角形的问题：
（1）已知三边，求三个角 ; （2）已知两边和它们的夹角，求第三边，进而还可求其它两个角。
典型例题：
例1：cos A 3 21 , B 150, cos C 5 7
14
14
例2：c 3, A 90 练习：
1、 2 2、A 1200 3、30.5
规定： 1.组长带领小构组员确认需要解说的环节； 2.有展示任务的小组要先完毕本组任务小展示； 3.全部小组由组长、副组长主讲，其它组员补充、
质疑；
规定：
1.每组选派一名组员登场展示； 2.每组展示完毕，由各组自由点评、质疑、释疑； 3.全部同窗注意听讲并适时做好笔记。
§ 1.1.2 余弦定理
【学习目的】
1、余弦定理的两种表达形式，并会用余弦定理解决解三角形。
2、培养学生在方程思想指导下解决解三角形问题能力 3、主动参加，合作交流，提高学生的学习爱好和探究精神
【重点难点】重点：余弦定理的基本应用. 难点：余弦定理的灵活应用.
定理的证明 A
证明：在三角形ABC中，
总结：
余弦定理可解决的几类问题 : (1)已知三边, 解三角形;
(2)已知两边和其中一边对角, 解三角形. (3)已知两边和两边夹角, 解三角形.
巩固练习
7
1.
8
3
2.
4
3.A
4. 2
5. (1) 2 (2) 2
6. (1) 2 (2) B 45
7. (1) 1 (2) 8 7 2
3

余弦定理优质课 ppt课件

∴ C ≈ 36°或144°(舍).
例3、已知△ABC中，a=8,b=7,B＝600,
求c及S△ABC
解 b 2 ： c 2 a 2 2 accB os 7 2 c 2 8 2 2 8 c c6 o 00 s
整理得：c2-8c+15=0
解得：c1=13, c2=5
SABC
a 2
c1s
inB
解：方法一：根据余弦定理，
a²=b²+c²-2bccosA =60²+34²-2×60×34×cos41o
≈1 676.82， ∴a≈41(cm).
余弦定理优质课
例1 在△ABC中，已知b=60 cm，c=34 cm， A=41° ，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 cm）. {接上页} 由正弦定理得，
隧道工程设计经常要测算山脚的长度工程技术人员先在地面上选一适当的位置a量出a到山脚bc的距离再利用经纬仪测出a对山脚bc即线段bc的张角最后通过计算求出山脚的长度bc已知
余弦定理优质课
1.1.2
精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你是否会认为老师的教学方法需要改进？
三边(a,b,c)
正弦定理余弦定理
由正弦定理求出角B,再求角C,最后求出c边.可有两解,一解或无解.
先由余弦定理求出其中两个角,再利用内角和为180°求出第三个角.
余弦定理优质课
练习 C A
1 20
练习
练习
ABC中,
（1）a＝4，b＝3，C＝60°，则c＝__1_3__；
（2）a = 2, b = 3, c = 4, 则C = _1_0_4_._5_°. （3）a＝2，b＝4，C＝135°，则A＝_1_4_._6_°_.

余弦定理优秀课件

三角形的角度与边长的关系
角度与边长的关系
在三角形中，角度和边长之间存在一定的关系，如正弦定理和余弦定理。
余弦定理的引入
余弦定理是三角形边角关系的一个重要定理，它可以帮助我们解决与三角形边长和角度相关的问题。
余弦定理的引入
余弦定理的定义
余弦定理是三角形边角关系的一个重要定理，它描述了三角形三边与其对应角的余弦值之间的关系。
应用二
在解决立体几何问题时，余弦定理可以用来计算空间几何体的表面积和体积，例如球体、圆锥体等。
余弦定理与其他定理的关系
关系一
余弦定理与正弦定理密切相关，它们在解决三角形的边角关系问题时常常相互转换。
关系二
余弦定理与勾股定理也有一定的联系，勾股定理是余弦定理的一个特例，即当三角形ABC为直角三角形时，有 a^2+b^2=c^2。
题目4
在三角形ABC中，已知A = 45°，B = 60°， a = 15, 求边c的大小。
综合习题
题目5
在三角形ABC中，已知a = 14, b = 16, C = 120°，求角B的大小以及边c的大小。
题目6
在三角形ABC中，已知A = 30°，B = 45°，a = 10, 求边c的大小以及角C的大小。
推论三
若三角形ABC中，角A和角B为锐角，且满足cosA=√(1-sin^2A)， cosB=√(1-sin^2B)，则三角形
ABC为锐角三角形。
余弦定理在空间几何中的应用
应用一
在三维空间中，余弦定理可以用来解决与平面、直线和点相关的问题，例如判断点、线、面的位置关系，计算点到平面的距离等。
05
习题与解答
基础习题
题目1

(优质课)正、余弦定理及其应用

BD2 + CD2 - CB2 202 + 212 - 312 1 cosβ = = =- , 2BD·CD 2×20×21 7
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∴sinβ=
4 3 . 7
而sinα=sin(β-60°)=sinβcos60°-sin60°cosβ ° ° °
4 3 1 3 1 5 3 = × + × = , 7 2 2 7 14 21 AD 在△ACD中, 中 = o sin60 sinα
考点三
应用问题
某观测站C在城的南偏西由城A出发的一某观测站在城A的南偏西 °的方向由城出发的一在城的南偏西20°的方向,由城条公路,走向是南偏东 ° 在处测得公路上处测得公路上B处有一条公路走向是南偏东40°,在C处测得公路上处有一走向是南偏东千米,正沿公路向城走去,走了人,距C为31千米正沿公路向城走去走了千米后到距为千米正沿公路向A城走去走了20千米后到此时CD间的距离为千米,问这人还要走多少达D处,此时间的距离为千米问:这人还要走多少处此时间的距离为21千米千米才能到达A城千米才能到达城?
3. 2
∵a>b,∴A=60°或A=120°. ∴ ° ° ①当A=60°时,C=180°- 45°- 60°=75°, ° ° ° ° °
bsinC 6 + 2 = . ∴c= sinB 2
②∵当A=120°时,C=180°- 45°- 120°=15°, ° ° ° ° °
bsinC 6 − 2 = . ∴c= sinB 2
正弦定理、正弦定理、余弦定理及应用
a = 1.正弦定理 sinA 正弦定理: 正弦定理
b sinB