【课件-高等数学】_第1节 导数的概念

y
曲线 C : y f (x) 在 M 点处的切线
割线 M N 的极限位置 M T
(当 时)
切线 MT 的斜率
o
4
y f (x)
N
CM
T
x0 x x
k tan lim tan
割线 M N 的斜率 tan
f (x) f (x0 ) x x0
k lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
例1. 研究函数 y x 2 , y x 2 与 y log 2 x 在 x 1 临近函数图形的特点.
5
3
1
0.2 -1
1.0
1.8
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解: y x 2 在 x 1 处 y | x 1 2 x | x 1 2
| x 1
1 ln 2
该函数所对应的曲线在点(1,0)处切线的斜率为 1
1
ln 2
反映该函数在 x 1 处因变量的增长率为ln 2
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.
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第三章 一元函数 的导数、微分及其应用
第一节 导数的概念
第二节 导数的运算
第三节 微分的概念与应用
第四节 微分中值定理
第五节 导数的应用 f (b) f (a) f '( )(b a)
b
f (x)dx F (b) F (a)
a
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定义2 . 设函数 y f (x) 在点 x0的某个右 (左)
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邻域内有定义, 若极限
lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x0 x x0
x
( x 0 )
( x 0 )
x0
存在,则称此极限值为 f (x) 在 x0 处的右 (左) 导数, 记作
f (x0 ) ( f (x0 ))
若 lim y x0 x
,
也称
f
(x)
在
x0 的导数为无穷大
.
若函数在开区间 I 内每点都可导, 就称函数在 I 内可导.
此时导数值构成的新函数称为导函数.
记作: y ;
f (x) ; dy ; d f (x) .
dx dx
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x0
y x
lim
x0
f (x0
x) x
f (x0 )
lim
h0
f (x0 h) h
f (x0 )
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lim
x x0
f (x) f (x0 ) lim y
x x0
x0 x
若上述极限不存在 , 就说函数 在点 x0不可导.
2020年8月11日星期二
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第一节 导数的概念
一、引例 二、导数的定义 三、导数的意义 四、函数的可导性与连续性的关系
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一、 引例
1. 变速直线运动的速度
设描述质点运动位置的函数为
s f (t)
则 t0 到 t 的平均速度为
该函数所对应的曲线在点(1,1)处切线的斜率为2， 反映该函数在 x 1 处因变量的增长率为2；
y x2 在 x 1 处 y |x1 2x3 |x1 2
该函数所对应的曲线在点(1,1)处切线的斜率为-2，
反映该函数在 x 1 处因变量的减少率为2；
y log2 x
在
x 1 处
y |x1
1 x ln 2
即
f (x0 )
lim
x 0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
函数 y f (x) 在点 x0 可导的充分必要条件
是 f (x0 )与 f (x0 ) 存在, 且 f (x0 ) f (x0 ).
简写为 f (x0) 存在
f( x0 ) f ( x ) 数学与生物信息0学教研室
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若
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
lim
x0
y x
存在, 则称函数 f ( x) 在点 x0 处可导, 并称此极限为
y f ( x) 在点 x0 的导数. 记作:
y xx0 ;
f (x0 ) ;
dy dx
x
x0
Baidu Nhomakorabea
;
d f (x) dx x x0
即
y
x x0
f
(x0 )
lim
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运动质点的位置函数 s f (t)
在 t0 时刻的瞬时速度
f (t0 )
o t0
v lim
t t0
f (t) f (t0 ) t t0
f (t0 )
5
f (t) s t
曲线 C : y f (x) 在 M 点处的切线斜率
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三、导数的意义
1. 导数的物理意义 加速度 是速度增量与时间增量之比的极限 角速度 是转角增量与时间增量之比的极限 线密度 是质量增量与长度增量之比的极限
电流强度 是电量增量与时间增量之比的极限
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2. 导数的几何意义
v
f (t) f (t0 ) t t0
而在 t0 时刻的瞬时速度为
v lim
t t0
f (t) f (t0 ) t t0
自由落体运动
s
1 2
gt
2
f (t0 )
o t0
f (t)
t
s
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2. 曲线的切线斜率
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
f (t0 )
o t0
f (t)6
t
s
y
y f (x)
N
CM
T
o x0 x x
所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .
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二、导数的定义
定义1 . 设函数 y f ( x) 在点 x0 的某邻域内有定义 ,
k lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
f (x0 )
y y f (x)
N
CM
T
o x0 x x
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瞬时速度
v lim
t t0
f (t) f (t0 ) t t0
切线斜率
k lim