高中数学必修五数列求和方法总结附经典例题和答案详解

n 3) 3(12 2 2
n2) (1 2
n)
＝ n2 (n 1) 2 n(n 1)( 2n 1) n(n 1)
2
2
2
（分组求和）
＝ n( n 1)2 (n 2) 2
例 28.
解：设 Sn
1 (1 1) (
a
1 4) ( a 2
7)
1 (an 1
3n 2)
将其每一项拆开再重新组合得
11
Sn
(1 a
a2
c
，从而可得
b2 b1
c
c
1
1
=
(
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).
(an b1)( an b 2) (b2 b1 ) an b1 an b 2
常见的拆项公式有：
①1
1 1；
n(n 1) n n 1
②
1
11 (
1 );
(2 n 1)(2 n 1) 2 2n 1 2n 1
③
1
1 ( a b );
a b ab
④ Cnm 1
C
m n
6 24
2n 2n 1
………………………………②
（设制错位）
①－②得
1
22 2 2
(1 )Sn 2
2 22
23
24
2 2n 2n 2n 1
（错位相减 ）
1 2n 2 2n 1 2n 1
∴
n2 Sn 4 2 n 1
例 25. 解：设 an
1 n n1
n1 n
（裂项）
则 Sn
1
12
1 23
1
（裂项求和）
an an 1
⑶分组法求和 有一类数列，既不是等差数列， 也不是等比数列， 若将这类数列适当拆开， 可分为几个
等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可
. 一般分两步：①找通向项公式
②由通项公式确定如何分组 .
例 27. 求数列 {n(n+1)(2n+1)} 的前 n 项和 .
例 28.
求数列的前 n 项和： 1
1
Cnm;
⑤ n n! (n 1)! n!.
1
⑥
n( n 1)( n 2)
11
1
[
]
2 n( n 1) ( n 1)( n 2)
……
例 25. 求数列
1 ,
1
,,
1
, 的前 n 项和 .
1 22 3
n n1
1
2
例 26. 在数列 {a n} 中， an
n1 n1
项的和 .
n ，又 bn n1
2
，求数列 {b n} 的前 n
②将数列 an bn 的每一项分别乘以 bn 的公比，然后在错位相减，进而可得到数列
an bn 的前 n 项和 .
此法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法 .
例 23. 求和： Sn 1 3x 5x 2 7x3
(2n 1) xn 1 ( x 0)
例 24. 求数列
2, 2
4 22
,
6 23
,
,
2 2
n
n
,
前 n 项的和 .
⑵裂项相消法
c 一般地，当数列的通项 an (an b1)( an b 2 ) ( a,b1,b2, c为常数） 时，往往可将 an
变成两项的差，采用裂项相消法求和 . 可用待定系数法进行裂项：
设 an
，通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得
an b1 an b2
1 1,
a
1 4, a 2
1 7, , a n 1
3n 2
⑷倒序相加法 如果一个数列
an ，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒
着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特征：
a1 an a2 an 1 ...
例 29. 求证：
C
0 n
3
C
1 n
………………………①
把①式右边倒转过来得
Sn
(2n
1)C
n n
1 a n 1 ) (1 4 7
3n 2) （分组）
当 a＝1 时， Sn n (3n 1)n ＝ (3n 1)n
2
2
（分组求和）
当 a 1时， Sn
1 1 an
1 1
a
(3n 1)n ＝ a a1 n
2
a1
(3n 1) n 2
例 29. 证明： Sn
C
0 n
3C
1 n
5C
2 n
(2n
1)
C
n n
5
C
2 n
( 2n
1)C
n n
( n 1)2 n
例 30. 求 sin 2 1 sin 2 2 sin2 3
sin 2 88 sin 2 89 的值
⑸记住常见数列的前
① 1 2 3 ... n
n 项和：
n(n 1) ;
2
② 1 3 5 ... (2 n 1) n2;
③ 12
22 32 ... n 2
n1
n1
例 27. 解：设 ak k (k 1)( 2k 1) 2k 3 3k 2 k
1 (
1 )] （裂项求和）
n n1
n
n
∴ Sn
k (k 1)( 2k 1) ＝ (2k 3 3k 2 k )
k1
k1
将其每一项拆开再重新组合得
n
Sn＝ 2 k 3
k1
n
3 k2
k1
n
k
k1
（分组）
＝ 2(13 23
(2n 1) xn
1x
∴
( 2n 1) xn 1 ( 2n 1)xn (1 x)
Sn
(1 x) 2
例 24.
解：由题可知， {
2n 2n
}
的通项是等差数列
{2n} 的通项与等比数列
{
1 2n
} 的通
项之积。
设 Sn
24 2 22
6 23
2n 2n
…………………………………①
1 Sn 2
2 22
4 23
………………………． ①
设 xSn 1x 3 x2 5x3 7 x4
( 2n 1)x n ………………………． ②（设制错位）
①－②得 (1 x) Sn 1 2x 2x2 2 x3 2 x4
2x n 1 (2n 1) xn （错位相减 ）
再利用等比数列的求和公式得：
(1 x)Sn
1 xn 1 1 2x
数列专项之求和 -4
（一）等差等比数列前 n 项求和
1、 等差数列求和公式： Sn n (a1 an) na1 n(n 1) d
2
2
2、等比数列求和公式： Sn
na1 a1(1 q n )
1q
( q 1)
a1 a n q 1q
(q 1)
（二）非等差等比数列前 n 项求和
⑴错位相减法
② 数列 an 为等差数列，数列 bn 为等比数列，则数列 an bn 的求和就要采用此法 .
n n1
＝ ( 2 1) ( 3 2) ＝ n11
( n 1 n)
例 26. 解： ∵ an ∴ bn
1
2
n1 n1
2
1
8(
nn 1 n
22
nn n1 2 1 ) （裂项） n1
∴ 数列 {b n} 的前 n 项和
1 11 11
Sn 8[(1 ) (
)(
)
2 23 34
＝ 8(1 1 ) ＝ 8n
1 n(n 1)(2n 1).
6
④ 13 23 33
n 3 [ 1 n( n 1)] 2 2
答案详解
例 23. 解：由题可知， { (2n 1) xn 1 } 的通项是等差数列 {2n －1} 的通项与等比
数列 { xn 1 } 的通项之积。
Sn 1 3 x 5 x2 7x 3
( 2n 1)x n 1