2019小学奥数-工程问题(教师版)

（1

工程问题

在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是：工作量=工作效率×时间.探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”.

解题关键是把“一项工程”看成1个单位，抓住数量关系：工作效率×工作时间=工作

总量，来解答。

要善于利用常见的数学思想方法，如假设法、转化法、代换法等。工作的先后顺序可以

改变（假设）；

要善于抓住工作效率之间的关系，并适当将它转化为工作时间和工作量之间的关系，这

样的转化和代换，往往能化难为易。

【例1】★用计算机录入一份书稿，甲单独做10天可以完成，乙单独做15天可以完成。那么，乙中途休息了天。

【解析】假设乙中途没有生病休息，那么甲、乙两个人8天完成的工作量为

14

+）×8=

10153

多完成的工作量就是乙休息时干出来的，所以乙休息的天数为

（41

-1）÷=5（天）315

【小试牛刀】一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作？

【解析】解一：甲做了3天，完成的工作量是311221 =，乙还需完成的工作量是1-=，要÷=4 933336

（天）

解二：9与6的最小公倍数是18.设全部工作量是18份.甲每天完成2份，乙每天完成3份.乙完成余下工作所需时间是（18-2×3）÷3=4（天）

解三：甲与乙的工作效率之比是6∶9=2∶3.甲做了3天，相当于乙做了2天.乙完成余下工作所需时间是6-2=4（天）

【例2】★★一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？

【解析】乙效：61，乙需50天；甲效：111，甲需75天。

(1-)÷40=-=

3050305075

【例3】★★某工程先由甲单独做63天，再由乙单独做28天即可完成；如果由甲、乙两人合作，需48天完成.现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？

【解析】

1

1-⨯2-⨯2⎪÷=天

1

8

【解析】此题可以将“甲、乙两人合作，需48天完成”转化成“甲做48天，乙做48天完成”。对比得：甲做63-48=15（天）等于乙做48-28=20（天），由此得出甲效是乙效的

204

=

153

所以甲先单独做42天，比63天少做了63-42=21（天），相当于乙要做21⨯

4

3=28（天）

因此，乙还要做28+28=56（天）

【小试牛刀】一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成.现在两队合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）.问从开始到完工共用了多少天时间？【解析】乙休息时甲单独做8天，甲休息时乙单独做2天，共完成工作量

8213

+=

103015

余下的工作量是两队共同合作的，需要的天数是(1-

1311

)÷(+)=1（天）

151030

从开始到完工共用2+8+1=11天

【例4】★★一池水，甲、乙两管同时开，5小时灌满，乙、丙两管同时开，4小时灌满。现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时。乙单独开几小时可以灌满？

【解析】(1-

111

⨯2-⨯2)÷(6-2-2)=

5420

1÷

1

20=20（小时）

【点评】要善于运用转化，根据“现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时灌满”，我们可以把乙管的6小时分成3个2小时，第一个2小时和甲同时开，第二个2小时和丙同时开、第三个2小时单独开。这样就变成了甲、乙同时开2小时，乙、丙同时开2小时，乙独开2小时，正好灌满一池水。

【小试牛刀】一项工程，甲独做6天完成，甲3天的工作量，乙要4天完成。两队合做2天后由乙队独做，还要几天才能完成？

1

⨯3÷4=

68

⎛1⎫110

⎝6⎭83

【例5】★★★一项工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成．若甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，……，两人如此交替工作，请问：完成任务时，共用了多少小时？

【解析】①若甲、乙两人合作共需多少小时？

②甲、乙两人各单独做7小时后，还剩多少？

，甲一人独做需要1÷

④共用了多少小时？

【点评】在工程问题中，转换条件是常用手法。“甲做1小时，乙做1小时，他们相当于合作1小时，也即是每2小时，相当于合做1小时．”这样先算一下一共进行了多少个这样的2小时，余下部分问题就好解决了．

【例6】★★一件工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成，甲、丙两人合作要60天完成.问甲一人独做需要多少天完成？

【解析】设这件工作的工作量是1.

甲乙两人合作每天完成

111

；乙丙两人合作每天完成；甲丙两人合作每天完成，

364560

1111

甲、乙、丙三人合作每天完成(++)÷2=

36456030

所以甲每天完成

1111

-==90（天）

30459090

【例7】★★某项工作，甲组3人8天能完成工作，乙组4人7天也能完成工作.问甲组2人和乙组7人合作多少时间能完成这项工作？

【解析】设这项工作的工作量是1.

甲组每人每天能完成

1111

÷3=；乙组每人每天能完成÷4=

824728

1111

甲组2人和乙组7人每天能完成⨯2+⨯7=，他们合作要1÷=3（天）

242833

【例8】★★★甲、乙两管同时打开，9分钟能注满水池.现在，先打开甲管，10分钟后打开乙管，经过3分钟就注满了水池.已知甲管比乙管每分钟多注入0.6立方米水，这个水池的容积是多少立方米？

【解析】设水池容量为1.甲、乙两管共同注水3分钟，注入水量是

31

=

93

11112

甲每分钟注入水量是(1-)÷10=；乙每分钟注入水量是-=

31591545

12

因此水池容积是0.6÷(-)=27（立方米）

1545

【小试牛刀】蓄水池有甲、乙、丙三个进水管，甲、乙、丙管单独灌满一池水依次需要10，12，15时。上午8点三个管同时打开，中间甲管因故关闭，结果到下午2点水池被灌满。问：甲管在何时被关闭？

【解析】上午9时。

【例9】★★★（小学数学奥林匹克决赛第9题）甲、乙两项工程分别由一、二队来完成。在晴天，一队完成甲工作要12天，二队完成乙工程要15天；在雨天，一队的工作效率要下降40％，二队的工作效率要下降10％。结果两队同时完成工作，问工作时间内下了多少天雨？

【解析】解法一：设晴天有x天，雨天有y天，