《立体几何》微专题4 空间中常见的组合体

四､典型例题 例 1 如图所示，平行四边形 ABCD 中，AB＝2BD＝2，且 AB⊥BD．将其沿 BD 折成直二面 角，所得的四面体 A－BCD 的外接球表面积为( )
A
B
D
B
D
C
A1
B1
D1
B1
D1
C1
类型 1
A
B
D
D
C
B
A1
B1
D1
M
B1
D1
C1
特征: 三棱锥中交于同一顶点的三条棱两两垂直． 类型 2
A
B
D
D
C
B
A1
B1
D1
B1
D1
C1
特征: 三棱锥的四个面都为直角三角形． 类型 3
2
A
B
D
B
D
C
A1
B1
D1
M
B1
D1
C1
特征: 三棱锥中的对棱相等． 类型 4
用以及利用重要截面“降维”处理，以供参考．
二､知识梳理
1．判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错的打“×”．
(1)在空间中，到定点的距离等于定长的所有点的集合叫球面．( √ )
(2)用一个平面去截球面，所得图形均为圆面．( × )
(3)球的小圆的圆心与球心的连线垂直于这个小圆所在平面．( √ )
(4)经过球面上不同的两点只能作一个大圆．( × )
④若直棱柱的所有顶点都在同一个球面上，则该球的球心 O 是直棱柱的两个底面外接圆圆
心的连线的中点．半径的求解往往通过抓含球心的截面，将空间问题平面化，从而得解．
【多面体的内切球问题】
方法提炼:
1．利用等体积法求内切球半径；2．抓含球心与切点的截面．
(1)正方体的内切球问题
①球与正方体各个面均相切
C
M
截面图同球的内接长方体类似．
以上模型给我们指明了研究球内接多面体的两个常见处理方法:①构造长方体；②对称
图形抓轴截面．对于非以上模型，以确定球心位置､球半径为突破口，常见的确定球心的方
法有:①到球面上不在同一平面的四点距离相等的点为球心；②球心在过小圆圆心且垂直于
小圆所在平面的直线上；③球的两个平行截面的圆心的连线垂直于这两个截面，且经过球心；
2． 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 a，顶点都在一
个球面上，则该球的表面积为( B )
O
A．πa2
B．73πa2
C．131πa2
D．134πa2
3．一个长方体的长､宽､高分别为 6cm､4cm､2cm，则该长方体的外接球的体积为___563 14π
________cm3．
4．地球半径为 R，A､B 是北纬 45°纬线圈上两点，它们的经度差是 90°，则 A､ B 两地在球 面上的最短距离为_____π3R _____． 编写意图 1．区分球面与球体､大圆与小圆､球面距离等相关概念．
解、组合到对图形的再加工，从几何论证到代数运算，处处展现了组合体对学生空间思维能
力的考查，对强化学生的化归思想、空间问题平面化的“降维”意识都起到了举足轻重的作
用．由于组合体尤其是多面体外接球、内切球问题一直是全国卷中一个重要考点，且均以选
择题、填空题形式呈现，本文将阐述解决组合体问题的两个常用处理手段：模型的识别与运
OEM
中，OM2＝r2－112a2；又
ΔODF∽ΔMDC
得:h－rOM＝
b， 33a
可求得该球半径．(其中 a，b，h 分别为正三棱锥的底面边长､侧棱长､高、r 为球半径，M 为
5
底面三角形中心，F 为球 O 与侧棱 CD 的切点，E 为球与底边 AB 的切点) 当三棱锥为正四面体时，F为棱CD的中点且E，O，F三点共线． 大家可自行研究正三棱柱､正八面体的类似问题． 【其他组合体】 方法提炼: 1．抓含各类立体图形重要特征的截面(如顶点､切点､球心､半径､正多面体的中心等) 2．将空间问题平面化来 “降维”处理．
2．常用结论与性质:(1)球的直径等于球的内接长方体的对角线长；
(2)用两个平行平面去截一个球，所得圆面圆心的连线经过球心且垂直于这两个截面；
1
(3)球的小圆的圆心和球心的连线垂直于小圆所在的平面．反之，球心在球的小圆所在平面上 的射影是小圆的圆心． 三､常见模型识别 【球的内接多面体】 1．常见能补成长方体的三棱锥及截面图． 已知长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则长方体对角线长､外接球半 径满足:BD1＝2R＝ a2＋b2＋c2．
N
A
B
O
D1
C1
A1
B1
O
L
K
易知 r＝12a．(其中 r 为内切球半径，a 为正方体边长，K，L，M，N 分别为棱 B1C1， A1D1，
AD， BC 中点)
4
②球与正方体各条棱均相切
D
C
A
B
O D1 A1
C1 B1
K
L
O
N
M
易知 r＝ 22a．(其中 r 为内切球半径，a 为正方体边长，K，L，M，N 分别为棱 AD， BC， B1C1，A1D1 中点 ) (2)正三棱锥的内切球问题 ①球与正三棱锥各个面均相切
D D
C
O
F
O
A
BE
M
C
由截面图可得:VD－ABC＝13S·r
及h－r＝ h0
r ．(其中 63a
S，a，r，h，h0 分别为正三棱锥的表面积
､底面边长､内切球半径､高､斜高，M 为底面三角形中心，F 为球 O 与平面 DAB 的切点)
*②球与正三棱锥各条棱均相切
D
D
F C
O O
A
EM
C
B
由截面图可得:在直角三角形
A
B
M
C
B
M
O
O
F
D
N
E
D
N
设正三棱柱的高为 h，底面三角形边长为 a，球半径为 R，则它们满足的关系式为: (h2)2＋13a2＝R2．
3
(3)球中内接正四棱锥
A
A
O
E
B
M
D
B
C
O
M
D
设正四棱锥的高为 h，底面正方形边长为 a，球半径为 R，则它们满足的关系式为: (h－R)2＋12a2＝R2 (正四棱锥内接于半球时也满足) ． (4)球中内接正四棱柱
《立体几何》微专题 4 空间中常见的组合体
一、内容解析
立体几何作为研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科，是和人们日
常生活最为接近的一门学科，是提升学生直观想象的数学素养的最有力工具．而生活中的物
体更加复杂多样，因此近些年以来，对一些简单组合体的考查成为了全国卷的热点之一．在
研究由熟悉的空间几何体组成的陌生组合体的过程中，从直观感知到模型实验，从图形的分
A
B
D
B
D
C
A1
B1
D1
M
B1
D1
C1
特征:两直角三角形共斜边，无需补形，利用球面定义直接获得球心位于斜边中点．
2．球内接正三棱锥､正三棱柱及截面图
(1)球中内接正三棱锥
D
D
OA
O
B
M
C
B
MN
D
A B
M
C O
Dቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
MN
O
设正三棱锥的高为 h，底面三角形边长为 a，球半径为 R，则它们满足的关系式为: (R－h)2＋13a2＝R2． (2)球中内接正三棱柱