习题解答6(弯曲变形)
材料力学第七章课后题答案 弯曲变形
(a) (b)
7
该梁的位移边界条件为：
在x 0处， w0 dw 在x 0处， 0 dx 将条件(c)与(d)分别代入式(b)和(a)，得 D 0，C 0 4．建立挠曲轴方程 将所得 C 与 D 值代入式(b)，得挠曲轴的通用方程为
1 Fa 2 F 3 3Fa [ x x xa EI 4 6 4 由此得 AC 段、 CD 段和 DB 段的挠曲轴方程依次为 w
5．计算 wC 和 θ B 将 x a 代入上述 w1或w2 的表达式中，得截面 C 的挠度为
41qa 4 ( ) 240EI 将以上所得 C 值和 x 2a 代入式(a)，得截面 B 的转角为 wC θB qa 3 7 4 16 1 187 203qa 3 [ ] EI 24 24 24 720 720 EI ()
(4)
D1 0 ， C1
由条件（4） 、式（a）与（c） ，得
qa 3 12 EI
C2
由条件（3） 、式（b）与（d） ，得
qa 3 3EI
D2
7qa 4 24 EI
3. 计算截面 C 的挠度与转角 将所得积分常数值代入式（c）与（d） ，得 CB 段的转角与挠度方程分别为
q 3 qa 3 x2 6 EI 3EI 3 q qa 7 qa 4 4 w2 x2 x2 24 EI 3EI 24 EI 将 x2=0 代入上述二式，即得截面 C 的转角与挠度分别为
5．计算 wC 和 θ B 将 x a 代入上述 w1 或 w2 的表达式中，得截面 C 的挠度为
Fa 3 ( ) 12 EI 将以上所得 C 值和 x 3a 代入式(a)，得截面 B 的转角为 wC
材料力学习题解答(弯曲变形)
Pl 2
梁的挠曲线方程和转角方程是
D1 = 0
D2
=
−
1 24
Pl 3
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 2EEIvI2'v1'==P2P2xx2212−−PPlxlx2 1+
3 16
Pl
2
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 2EEIvI2v1==P6P6xx2313−−P2Pl2lxx2212+
3 16
Pl 2 x2
−
1 24
Pl 3
(6) 最大挠度和最大转角发生在自由端 令x2=l：
⋅a
=
−
qa4 3EI
上海理工大学 力学教研室
7
θB
= θ B(1)
+ θB(2)
+ θ B(3)
=
−
qa3 4EI
fB
=
f B (1)
+
fB(2)
+
f B ( 3)
= − 5qa4 24EI
7.10. 桥式起重机的最大载荷为 P=20 kN。起重机大梁为 32a 工字钢，E=210 GPa，l=8.7 m。 规定[f]=l/500，试校核大梁刚度。
⎪ ⎪⎩
M
2
(
x2
)
=
−
q
(l
− x2 2
∈
[
l 2
,
l
]
(2) 挠曲线近似微分方程
⎧ ⎪⎪
EIv1"
=
M1( x1)
=
− 3ql 2 8
+
ql 2
x1
⎨
⎪ ⎪⎩
EIv2"
=
M2(x2 )
第七章 弯曲变形(习题解答)
7-2c 梁受力、尺寸、刚度如图所示，求A 处的转角，以及C 、D 截面的挠度。
解：（1）求反力写弯矩方程：)3()(2)(2211x a P x M BCx P x M AB--=-=（2）分段积分''1112)(E I y x P x M AB-=-=''222)3()(EIy x a P x M BC=--=121'14C x P EIy +=222'2)3(2C x a P EIy +--=11131112D x C x P EIy ++=222322)3(6D x C x a P EIy ++-+=（3）边界、连续条件定积分常量00,0111=→==D y x⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==-=→⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+--=+⨯=+⨯+-⨯=⨯+⨯→⎩⎨⎧=====25673)23(2)2(402)23(602)2(1202322221221222313212121Pa D Pa C Pa C C a a P C a P D a C a a P a C a P y y a x x θθ时，(4)该梁的转角方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈+--∈-=]3,2[(67)3(2]2,0[(3422221221'a a x Pax a P a x Pa x P EIy该梁的挠曲线方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-+-+∈-=]3,2[(2567)3(6]2,0[(31223223211231a a x Pa x Pax a P a x x Pa x P EIy(5)将横坐标值代入相应的式子可求出EIPay EIPa y EIPaD C A 4,,3332-==-=θ习题7-2c 图 习题7-5图7-5 用叠加法求图示外伸梁C 截面的挠度和转角。
解：（1）将原结构的荷载分解，如图所示。
（2）查表可得各简单载荷作用下的θC 、y C 之值。
并将其叠加，得所求θC 、y C 之值。
材料力学弯曲变形答案
第一章 绪论一、是非判断题1.1 材料力学的研究方法与理论力学的研究方法完全相同。
( ) 1.2 内力只作用在杆件截面的形心处。
( ) 1.3 杆件某截面上的内力是该截面上应力的代数和。
( ) 1.4 确定截面内力的截面法，适用于不论等截面或变截面、直杆或曲杆、基本变形或组合变形、横截面或任意截面的普遍情况。
( ) 1.5 根据各向同性假设，可认为材料的弹性常数在各方向都相同。
( ) 1.6 根据均匀性假设，可认为构件的弹性常数在各点处都相同。
( ) 1.7 同一截面上正应力ζ与切应力η必相互垂直。
( ) 1.8 同一截面上各点的正应力ζ必定大小相等，方向相同。
( ) 1.9 同一截面上各点的切应力η必相互平行。
( ) 1.10 应变分为正应变ε和切应变γ。
( ) 1.11 应变为无量纲量。
( ) 1.12 若物体各部分均无变形，则物体内各点的应变均为零。
( ) 1.13 若物体内各点的应变均为零，则物体无位移。
( ) 1.14 平衡状态弹性体的任意部分的内力都与外力保持平衡。
( )1.15 题1.15图所示结构中，AD 杆发生的变形为弯曲与压缩的组合变形。
( )1.16 题1.16图所示结构中，AB 杆将发生弯曲与压缩的组合变形。
( )二、填空题1.1 材料力学主要研究 受力后发生的 ，以及由此产生的 。
1.2 拉伸或压缩的受力特征是 ，变形特征是 。
1.3 剪切的受力特征是 ，变形特征是 。
1.4 扭转的受力特征是 ，变形特征是 。
B题1.15图题1.16图1.5 弯曲的受力特征是 ，变形特征是 。
1.6 组合受力与变形是指 。
1.7 构件的承载能力包括 ， 和 三个方面。
1.8 所谓 ，是指材料或构件抵抗破坏的能力。
所谓 ，是指构件抵抗变形的能力。
所谓 ，是指材料或构件保持其原有平衡形式的能力。
1.9 根据固体材料的性能作如下三个基本假设 ， ， 。
工程力学六 弯曲变形解析
当x1 x2 a时,
w1 w2 (1 2 )
w1 w2
EIw2
Pb l
x2
P( x2
a)
CB段：
EIw2
EI2
Pb l
x22 2
P
( x2
a)2 2
C2
EIw2
Pb l
x23 6
P
( x2
a)3 6
C2 x2
D2
由连续性条件，可求得
C1 C2
D1 D2
由边界条件，可求得
C1
C2
M pa
P PL
2
PL 2
x
P
qa2
2
q
M
qa
x qa 2 2
x
pa
§6.2 挠曲线近似微分方程及其积分
一、挠曲线近似微分方程的导出
力学公式 数学公式
1 M z (x)
EIz
d 2w
1
dx2
[1 ( dw)2 ]3/2
dx
纯弯曲梁变形后中性层的曲率 公式，对于横力弯曲（l>5h） 可近似使用。EIZ称为梁的抗 弯刚度。
最大转角和最大挠度分别为：
得：
ql 3 C ,
D0
24
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
q (6lx2 4x3 l 3 )
24 EI
w qx (2lx2 x3 l3) 24EI
max
A
B
ql 3 24EI
wmax
w
x l 2
5ql 4 384EI
例： 已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬臂梁在集中力P作用下的转角方
确定积分常数： （1）边界条件
固定端：w = 0,θ = 0
材料力学B试题6弯曲变形
弯曲变形1。
已知梁的弯曲刚度EI 为常数，今欲使梁的挠曲线在x =l /3处出现一拐点，则比值M e1/M e2为：（A) M e1/M e2=2； （B ） M e1/M e2=3；（C ） M e1/M e2=1/2； （D) M e1/M e2=1/3.答:(C)2。
外伸梁受载荷如致形状有下列(A)（B)、（C ）,(D)答:(B)3. 简支梁受载荷并取坐标系如图示，则弯矩M 、剪力F S 与分布载荷q 之间的关系以及挠曲线近似微分方程为： （A ）EI x M xw q xF FxM )(d d ,d d ,d d 22SS ===；(B ）EI x M x w q x F F x M )(d d ,d d ,d d 22S S =-=-=; （C)EI x M xw q x F F x M )(d d ,d d ,d d 22S S -==-=;(D ）EI x M xw q x F F x M )(d d ,d d ,d d 22S S -=-==。
答：（B ）4。
弯曲刚度为EI 的悬臂梁受载荷如图示,自由端的挠度EIl M EI Flw B 232e3+=（↓)则截面C 处挠度为：（A ）2e 3322323⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛l EI M l EI F （↓）;（B ）233223/323⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛l EI Fl l EI F （↓）； （C）2e 3322)3/(323⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛l EI Fl M l EI F （↓）；(D)2e 3322)3/(323⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛l EI Fl M l EI F (↓）.答：（C ）5. 画出（a ）、（b)、(c ）三种梁的挠曲线大致形状。
答：6.7.(a ）、(b)刚度关系为下列中的哪一种: (A) （a)＞（b ）； (B) (a)＜(b)；（C ） (a)=（b ）； （D) 不一定. 答：(C)8。
材料力学第06章(弯曲变形)
M －
ql 2
2
x
静定基的另一种取法：
q B A l q
A
B
变形协调方程：
A q M 0
MA
l
C q
A
[例10] 结构如图，求BC 杆拉力。 变形协调方程： 解：
EA
L1 B
wB L
ΔL
∵
L q
EI
B´
FN
wB wq wFN
wB
FN L1 L EA
B
A
FN L3 qL4 8 EI 3EI
[例4] 用逐段刚化法求B点挠度。 l A C a F B
wB w1 w2
a C F B w1
=
l A
刚化AC段
a C
F B w1
等价
+
l
a
F
B
F 等价
A C
M=Fa
A
C
C
w2
刚化BC 段
w2
l A C
a
F B
3 Fa 解： w1 3EI
Ml w2 C a a 3EI
及最大转角。 解： （1）建立坐标系并写出弯矩方程 A x l
w
F
B x
M ( x) F (l x) Fl Fx
（2）写出微分方程并积分
（3）应用位移边界条件求积分常数 当x=0时，w=0， θ=w´=0
EIw M ( x) Fl Fx
Fx C EI w Flx 1 2
A
§6–5 简单超静定梁 q A
B
l
静定梁
q B A l 超静定梁
一次静不定
A
测试题-弯曲变形(答案)
班级：学号：姓名：《工程力学》弯曲变形测试题一、判断题（每小题2分，共20分）1、梁弯曲变形后，最大转角和最大挠度是同一截面。
（×）2、不同材料制成的梁，若截面尺寸和形状完全相同，长度及受力情况也相同，那么这两根梁弯曲变形时，最大挠度值相同。
（×）3、EI是梁的抗弯刚度，提高它的最有效、最合理的方法是改用更好的材料。
（×）4、梁的挠曲线方程随弯矩方程的分段而分段，只要梁不具有中间铰，则梁的挠曲线仍然是一条光滑、连续的曲线。
（√）5、梁弯曲后，梁某点的曲率半径和该点所在横截面位置无关。
（×）6、梁上有两个载荷，梁的变形与两个载荷加载次序无关。
（√ ）7、一般情况下，梁的挠度和转角都要求不超过许用值。
（√ ）8、在铰支座处，挠度和转角均等于零。
（×）9、绘制挠曲线的大致形状，既要根据梁的弯矩图，也要考虑梁的支撑条件。
（√ ）10、弯矩突变的截面转角也有突变。
（×）二、单项选择题（每小题2分，共20分）1、梁的挠度是（B ）。
A. 横截面上任一点沿梁轴方向的位移B. 横截面形心沿垂直梁轴方向的位移C. 横截面形心沿梁轴方向的线位移D. 横截面形心的位移2、在下列关于挠度、转角正负号的概念中，（C）是正确的。
A. 转角的正负号与坐标系有关，挠度的正负号与坐标系无关B. 转角的正负号与坐标系无关，挠度的正负号与坐标系有关C. 转角和挠度的正负号均与坐标系有关D. 转角和挠度的正负号均与坐标系无关3、挠曲线近似微分方程在（D ）条件下成立。
A. 梁的变形属于小变形 B .材料服从胡克定律C. 挠曲线在xoy平面内D. 同时满足A、B、C4、等截面直梁在弯曲变形时，挠曲线的最大曲率发生在（D ）处。
A. 挠度最大B. 转角最大C. 剪力最大D. 弯矩最大5、应用叠加原理求梁横截面的挠度、转角时，需要满足的条件有（C ）A. 梁必须是等截面的B. 梁必须是静定的C. 变形必须是小变形；D. 梁的弯曲必须是平面弯曲6、两简支梁，一根为钢、一根为铜，已知它们的抗弯刚度相同。
材料力学习题册答案-第6章_弯曲变形
第六章弯曲变形一、是非判断题1.梁的挠曲线近似微分方程为Eiy=M(x)。
(V)2．梁上弯矩最大的截面，挠度也最大，弯矩为零的截面，转角为零。
(X)3.两根几何尺寸、支撑条件完全相同的静定梁，只要所受载荷相同，则两梁所对应的截面的挠度及转角相同，而与梁的材料是否相同无关。
(X)4.等截面直梁在弯曲变形时，挠曲线的曲率最大值发生在转角等于零的截面处。
(X)5.若梁上中间铰链处无集中力偶作用，则中间铰链左右两侧截面的挠度相等，转角不等。
(V)6.简支梁的抗弯刚度EI相同，在梁中间受载荷F相同，当梁的跨度增大一倍后，其最大挠度增加四倍。
(X)7.当一个梁同时受几个力作用时，某截面的挠度和转角就等于每一个单独作用下该截面的挠度和转角的代数和。
(V)8.弯矩突变的截面转角也有突变。
(X)二、选择题1.梁的挠度是(D)A横截面上任一点沿梁轴线方向的位移B横截面形心沿梁轴方向的位移C横截面形心沿梁轴方向的线位移D横截面形心的位移2.在下列关于挠度、转角正负号的概念中，（B）是正确的。
A转角的正负号与坐标系有关，挠度的正负号与坐标系无关B转角的正负号与坐标系无关，挠度的正负号与坐标系有关C转角和挠度的正负号均与坐标系有关D转角和挠度的正负号均与坐标系无关3.挠曲线近似微分方程在（D）条件下成立。
A梁的变形属于小变形B材料服从胡克定律C挠曲线在xoy平面内D同时满足A、B、C4.等截面直梁在弯曲变形时，挠曲线的最大曲率发生在（D）处。
A挠度最大B转角最大C剪力最大D弯矩最大5.两简支梁，一根为刚，一根为铜，已知它们的抗弯刚度相同。
跨中作用有相同的力F二者的（B）不同。
A支反力B最大正应力C最大挠度D最大转角6.某悬臂梁其刚度为EI,跨度为1,自由端作用有力F。
为减小最大挠度，则下列方案中最佳方案是（B）A梁长改为l/2，惯性矩改为I/8B梁长改为31/4,惯性矩改为1/2C梁长改为51/4,惯性矩改为31/2D梁长改为31/2,惯性矩改为1/47.已知等截面直梁在某一段上的挠曲线方程为：y（x）=Ax2（41x-612-x）,则该段梁上（B）现4个积分常数，这些积分常数需要用梁的边界条件和光滑连 续条件来确定。
第六章 弯曲应力(习题解答)
6-3、图示矩形截面梁受集中力作用，试计算1-1横截面上a 、b 、c 、d 四点的正应力。
解：（1）外力分析，判变形。
荷载在纵向对称面内，与轴线垂直，梁发生平面弯曲。
中性轴z 轴过形心C 与载荷垂直，沿水平方向。
（2）内力分析，弯矩图如图（b ）所示，1-1横截面的弯矩为：1115230(M -=-⨯=-⋅kN m)（3）应力分析，梁上边有弯矩图，上侧纤维受拉。
1-1横截面上的a 点处于拉伸区，正应力为正；c 点处于中性层上，正应力为零；b 、d 两点处于压缩区，正应力为负。
3111111max2301011.1110.1800.36a a zzzM M M y y I I W σ---⨯=⋅=⋅===⨯⨯Pa MPa 。
11.11b a σσ=-=-MPa0c σ= 31133010(0.1500.050)7.4110.1800.312d d zM y I σ-⨯=-⋅=-⨯-=-⨯⨯Pa MPa37M kN V 图(kN)(a)(c)(b)(c)(e)(d)2+q l /8MkN ·m)(f)(b)180q题6-3图 题6-5图6-5、两根矩形截面简支木梁受均布荷载q 作用，如图所示。
梁的横截面有两种情况，一是如图(b)所示是整体，另一种情况如图(c)所示是由两根方木叠合而成（二方木间不加任何联系且不考虑摩擦）。
若已知第一种情况整体时梁的最大正应力为10MPa ，试计算第二种情况时梁中的最大正应力，并分别画出危险截面上正应力沿高度的分布规律图示。
解：（1）外力分析，判变形。
荷载在纵向对称面内，与轴线垂直，梁发生平面弯曲。
第一种情况中性层为过轴线的水平纵向面，中性轴z 轴过整体形心C 与载荷垂直，沿水平方向。
而第二种情况，两根木梁以各自的水平纵向面为中性层发生弯曲，两根中性轴为与荷载垂直的水平形心主轴。
如图所示。
（2）内力分析，判危险面：弯矩图如图（b ）所示，跨中截面为危险面。
第06章弯曲变形题解
第6章 弯曲变形习题解答6-1 用直接积分法求下列各梁的挠曲线方程和最大挠度。
梁的抗弯刚度EI 为已知。
（a ）解：（1）弯矩方程 0≤ x ≤l+aM (x )=qlx －qx 2/2+q<x-l>2/2-ql 2/2（2）积分 EI θ (x )= qlx 2/2－qx 3/6+q<x-l>3/6-ql 2x /2+CEI ν(x )= qlx 3/6－qx 4/24+q<x-l>4/24-ql 2x 2/4+Cx+D （3）定常数x = 0 θ = 0 → C = 0 x = 0 ν= 0 → D = 0νmax =ν B =)341(84laEI ql +-(↓)（b ）解：（1）支反力 F A = M o / l (↑), F C =－M o / l (↓) （2）弯矩方程 0≤ x ≤ 4l/3M (x )= M o x / l －M o <x-l> / l （3）积分EI θ (x )= M o x 2 / 2l － M o <x-l>2 /2 l +CEI ν(x )= M o x 3 / 6l － M o <x-l>3/6 l +C x+D （4）定常数x = 0 ν= 0 → D = 0x = l ν= 0 → C =－M o l /6νmax =ν B =EIl M o 62(↑)6-2 写出下列各梁的边界条件，并根据弯矩图和支座情况画出挠度曲线的大致形状。
解：x = 0 ν= 0 x = a ν= 0x = l ν= ∆k = M o / lk x = 3a ν= ∆l = Fa /2EA(b) ν(b) (a)x = 0 θ = 0 x = 0 ν= 0 x = 0 ν=0 x = 3a ν= 0x = 0 ν= 0 x = 0 ν= 0 , θ = 0x =2a ν=0 x = 2a ν= 06-3 用叠加法求下列各梁C 截面的挠度和B 截面的转角。
材料力学典型例题及解析 6.弯曲变形典型习题解析
弯曲变形典型习题解析1 试用积分法写出图示梁的挠曲轴方程，说明用什么条件决定方程中积分常数，画出挠曲轴大致形状。
图中C 为中间铰。
为已知。
I E解题分析：梁上中间铰处，左、右挠度相等，转角不相等。
解：设支反力为，如图示。
yB A yA FM F、、1、建立各段挠曲轴近似微分方程并积分 将梁分为AC 、CB 、BD 段。
AC 段 a x ≤≤10挠曲轴近似微分方程 11x FM w I E yA A ⋅−=′′转角方程1211'12C x Fx Mw IE yA A+−= (a) 挠度方程1113121162D x C x F x M w I E y A A ++−=(b)CB 段 )(2b a x a +≤≤挠曲轴近似微分方程2"2x FMw I E yA A ⋅−=转角方程 222222C x F xM w I E yA A+−=′(c)挠度方程2223222262D x C xFx M w I E yA A++−= (d)BD 段 l x b a ≤≤+3)(挠曲轴近似微分方程[])(333b a x Fx FM w I E yB yA A+−+−=′′转角方程[]32323332)(2C b a x F x F x M w I E yB yA A++−+−=′ (e) 挠度方程[]33333332336)(62D x C b a x FxFxM w I E yB yA A+++−+−= (f)2、确定积分常数共有6个积分常数。
需要6个位移边界条件和光滑连续条件。
332211D C D C D C 、、、、、题1图M A边界条件：，代入(b)得 01=x 01=w 01=D (g)0'1=w 代入(a)得 01=C(h)b a x +=2，02=w (i)连续条件： ， a x x ==2121w w =(j) b a x x +==32， 32w w ′=′ (k) 32w w =(l)联立(i)、(j)、(k)、(l)，可求出。
材料力学 第6章 弯曲变形
6-1 弯曲变形的实例
弯曲变形
摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会 影响零件的加工精度，甚至会出现废品。
第6章
6-1 弯曲变形的实例
弯曲变形
桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难， 出现爬坡现象。
第6章
6-1 弯曲变形的实例
弯曲变形
但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的 弹性变形，以满足特定的工作需要。 例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以 缓解车辆受到的冲击和振动作用。
F l [ ( x a)3 x 3 (l 2 b 2 ) x] 6 EIl b
F l 1 [ ( x a) 2 x 2 (l 2 b 2 )] 2 EIl b 3
第6章
6-5 叠加法求梁的位移 叠加法求梁的挠曲线
弯曲变形
梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角， 等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代 数和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。
3. 增大梁的弯曲刚度：主要增大I值，在截面面积不变的情况下，采用
适当形状，尽量使面积分布在距中性轴较远的地方。例如：工字形、箱 形等。
q
A B l B l A
q
A
q
B
第6章
6-7 提高弯曲刚度的一些措施
弯曲变形
第6章
6-7 提高弯曲刚度的一些措施
弯曲变形
1) 支承条件：
y
w 0; w 0
弯曲变形
y
y
w0
F A
w0
2) 连续条件：挠曲线是光滑连续唯一的
C
B
w|
x C
w|
x C
， |
x C
|
弯曲变形
3）建立相当系统 (以多余约束反力代 替多余约束。) 4）变形协调条件
f B = f BP + f BY = 0
B
f B = 0(VB = 0)
5）物理关系 查表 : Pa 2 f BP = + ( 3L − a ) 6 EI Z 3 YB L f BY = − B 3EI Z
6）补充方程:
Pa 2 YB L3 ( 3L − a ) − =0 6 EI Z 3EI Z
PL2 → D1 = D2 = 0, C1 = C2 = 24
4）求θC和VC： θ
4）求θC和VC： θ
1 3 1 L 3 PL2 BC段：EI zV = − Px + P( x − ) + x 6 3 2 24 PL3 1 L 3 PL2 PL3 V |x = L = − + P( L − ) + ×L= − (↓) 6 3 2 24 12 EI Z
6）刚度校核：
令 = 0(即 = 0处) V' θ L →x= 3
f
max
M 0 2 M 0L − x + =0 2L 6
=
M 0 L2 9 3EI Z
< [ f ] 刚度满足要求。
例二、长度为L的梁AC，其EI为常数，在自由端承 受集中力P（如图），试求自由端C的挠度和转角。 解： 1）外力分析： RA = P(↓), R B = 2 P ( ↑ ) 2）内力分析及挠曲线 微分方程及其积分 AB段：0 ≤ x ≤ L / 2 ) (
M 0L C = 6
5）求θA，θB。
M 0L （ θ A = θ (0 ) = 6 EI Z M 0L θ B = θ (L ) = − （ 3EI Z
材料力学习题弯曲变形
弯曲变形基本概念题一、选择题1.梁的受力情况如图所示，该梁变形后的挠曲线如图（）所示(图中挠曲线的虚线部分表示直线，实线部分表示曲线)。
2. 如图所示悬臂梁，若分别采用两种坐标系，则由积分法求得的挠度和转角的正负号为（）。
题2图题1图A．两组结果的正负号完全一致B．两组结果的正负号完全相反C．挠度的正负号相反，转角正负号一致D．挠度正负号一致，转角的正负号相反3.已知挠曲线方程y = q0x(l3 - 3lx2 +2 x3)∕(48EI)，如图所示，则两端点的约束可能为下列约束中的（）。
题3图4. 等截面梁如图所示，若用积分法求解梁的转角、挠度，则以下结论中（）是错误的。
A．该梁应分为AB、BC两段进行积分B．挠度积分表达式中，会出现4个积分常数-26-题4图 题5图 C ．积分常数由边界条件和连续条件来确定D ．边界条件和连续条件表达式为x = 0，y = 0；x = l ，0==右左y y ，0='y 5. 用积分法计算图所示梁的位移，边界条件和连续条件为( )A ．x = 0，y = 0；x = a + l ，y = 0；x = a ，右左y y =，右左y y '=' B ．x = 0，y = 0；x = a + l ，0='y ；x = a ，右左y y =，右左y y '=' C ．x = 0，y = 0；x = a + l ，y = 0，0='y ；x = a ，右左y y =D ．x = 0，y = 0；x = a + l ，y = 0，0='y ；x = a ，右左y y '=' 6. 材料相同的悬臂梁I 、Ⅱ，所受荷载及截面尺寸如图所示。
关于它们的最大挠度有如下结论，正确的是（ ）。
A ． I 梁最大挠度是Ⅱ梁的41倍 B ．I 梁最大挠度是Ⅱ梁的21倍 C ． I 梁最大挠度与Ⅱ梁的相等 D ．I 梁最大挠度是Ⅱ梁的2倍题6图 题7图 7. 如图所示等截面梁，用叠加法求得外伸端C 截面的挠度为（ ）。
工程力学六 弯曲变形解析
材料服从胡克定律 小变形
各种载荷与它所引起的变 形成线性关系。
二、第一类叠加法——载荷叠加法
当梁上同时作用有几种载荷时，可分别求出每一种载荷单独作用 下的变形，然后将各个载荷单独引起的变形叠加，得这些载荷共同作用 时的变形。
已知：q、l、EI
求：wC ,B
v
+
v
= +
v
例： 用叠加法求 wC、 A、B
比较方便。
例 求外伸梁ABC的外伸端A的挠度。
解：用逐段分析求和法。
q
（1）将AB段刚化
1 qa2
w1 -B a - 2 3EI
A
l a - qa3l 6EI
a
B
l qa
C
（2）将BC段刚化
w2
-
qa4 8EI
A w1
B
C
qa2/2
（3）最后结果
w
w1
w2
qa4 8EI
qa3l 6EI
q
m
C
A
B
a
l
•边界条件 x1 0, wA 0,A 0; x2 a l, wB 0;
•连续条件 x1 x2 a, w1 w2 wC ;
q
a
A
l
B
•边界条件
x1 0, wA 0,;
x2
l, wB
-
ql a 2 EA
-
qla ; 2EA
内容回顾： 1.挠度和转角
y
w x
规定：向上的挠度为正 逆时针的转角为正
对于等截面直梁，有：
EI
M(x)d x C
EIw M (x)d x d x Cx D
说明：
d2w M (x) dx2 EI
材料力学-第七章弯曲变形 上课例题
x
l
EIw M( x) Fl Fx (2)
对挠曲线近似微分方程进行积分
EIw
Flx
Fx 2 2
C1
(3)
EIw
Flx 2 2
Fx 3 6
C 1x
C2
(4)
F
Bx
2
EIw
Flx
Fx 2 2
C1
(3)
EIwFlx 22Fx 3 6
C 1x
C
2q
将AB 段看成B端固定的悬臂
梁,BC段看成简支梁.
A
B截面两侧的相互作用为：
2qa
a
MB qa2
2q
2qa
MB qa2
MB qa2
A
B
B
2qa
q
B
D
a
2a
q D
C
C
23
2qa
简支梁BC的受力情况与
q
外伸梁AC 的BC段的受力情
况相同
MB qa2
B
D
由简支梁BC求得的B,wD
q
qa 3 3EI
(B )MB
MBl 3EI
2qa3 3EI
C
(wD )q
5ql 4 384EI
5qa4 24EI
(wD )MB
MBl2 16EI
qa4 4EI
由叠加原理得:
C
B
( B)q
(B )MB
qa3 3EI
wD
建筑力学—弯曲变形及答案
第七章 组合变形本章主要讨论建筑工程中常见的组合变形的强度计算问题。
其中斜弯曲、拉（压）与弯曲、偏心拉（压）组合变形的强度计算问题是本章的重点。
第一节 组合变形的概念前面的章节分别研究了杆件在轴向拉（压）、剪切、扭转、平面弯曲基本变形下的强度和刚度计算。
但在工程实际中，结构中一些杆件的受力情况是复杂的，往往同时发生两种或者两种以上的基本变形，这种由两种或两种以上的基本变形组合而成的变形称为组合变形。
例如，图7-1a 所示的烟囱，除自重引起的轴向压缩外，还有水平方向的风力引起的弯曲变形，即同时产生两种基本变形。
又如，图7-1b 所示的备有吊车的厂房柱，作用在立柱上的荷载1F 和2F ,其合力的作用线一般不在立柱轴线上，此时，立柱即发生压缩变形又发生弯曲变形。
再如，图7-1c 所示的曲拐轴，在荷载F 作用下，曲拐AB 段同时发生扭转和弯曲变形。
上述这些杆件的变形，都是结构杆件发生组合变形的工程实例。
图7-1由上一章梁的弯曲可知：外力沿横向作用在梁的纵向对称平面内，梁将发生平面弯曲变形。
那么，外力虽然沿梁的横向（垂直于轴线），但不作用在纵向对称平面内时，梁会发生怎样的变形呢?实验及理论研究得知，此时梁轴线变形后弯成的曲线已不在荷载的作用平面内，即不属于平面弯曲，这种弯曲称为斜弯曲。
若外力不沿梁的横向（斜交于轴线），但力作用仍在纵向对称平面内，梁将发生拉（压）与弯曲组合变形。
若作用外力虽然沿杆件轴向方向，但不与轴线重合，杆件也将发生拉（压）与弯曲组合变形，称为偏心拉（压）。
对发生组合变形的杆件计算应力和变形时，可将荷载进行简化或分解，使简化或分解后得到的静力等效的荷载，每类荷载各自只引起一种基本变形，分别计算，再进行叠加，就得到由原来的荷载所引起的组合变形的应力和变形，这就是组合变形的分析方法和组合变形计算的叠加原理。
这里需要强调的是：叠加原理是在满足小变形和力与位移成线性关系的条件下才适用。
本章将主要讨论斜弯曲、拉压与弯曲、偏心拉伸（压缩）组合变形的强度计算问题。
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习题解答
P861-46-l31 积分法 坐标
M
M
C
A
m = 0 FB =
B
0.5l
FC x ymaxl
FB 弯矩方程
挠曲线近似微分方程 挠曲线方程
M(x) d2y
EI dx2
y(x)=
M [( 6EIl
x
-
l
)3
-
l
2x
+
l
3]
积分
EIq =
转角方程
EIy =
q(x)= 6EMIl[3(
qA = 6EI qB =0 yD =12EI
yC = 8EI
P88 47-1(a) 叠加法 F
MF
A
B
l
P224 表19-1 序号1 P224 表19-1 序号3
qBM =
Ml EI
qBF =
Fl2 2EI
Ml2 yBM == qBM + qBF
=
l 2EI
(2M+Fl)
yB = yBM + yBF
=
l2 (3M+2Fl) 6EI
量纲
先求q
P88 47-1(b)
q
A a
M(qa2) F(qa)
B
C
a
qC
=
qCM
+
qCF +
qCq
=-
4qa3 3EI
yC
=
yCM
+
yCF +
yCq
=-
7qa4 8EI
P224 表19-1 序号1
qCM = -
M(2a) = EI
qA = qAM + qAF
Fl2 = 48EI
qB = qBM + qBF
= - 5Fl2 48EI
Fl3 yC = yCM + yCF = 48EI
P89 47-3(c)
q
F(qa)
A
B C
a
a
P225 表19-1 序号11
qCq
=
qBq
=
-
qa3 24EI
P226 表19-1 序号12
qCF =
5qa3 6EI
qC
=
qCq
+
qCF
=
19qa3 24EI
yC = yCq +
yCF
=
5qa4 8EI
yCq
=qBq·a
=-
qa4 24EI
2qa4 yCF = 3EI
P90 48-1 q
A
B
l b
1 2
ql2
smax
=
M│max MWz图
≤ [s ]
h
M│max
=
1 2
B处转角 x = l
x :
-
l)2- l
qB =
2]边界条件 - Ml
6EI
x x
= =
0, l,
l = FC
= Ml (l - x)
2=Ml (Mlx(-xl
-l )2
) +C
M( 6l y=
y=
x0: 0:
l )3 + Cx + D
D C
= =
1
6 -
Ml2 1 6 Ml
A处挠度
x
=
l 2
:
Ml 2
P86 46-2(b)
弯矩方程
x
M
AC M1(x)= - M BC M2(x)= 0
挠曲线近似微分方程
A
C
a
l
B
AC
EI
d2y1 dx2
=
M
BC
EI
d2y2 dx2
=
0
积分
EI
dy1 dx
=
Mx
+ C1
EI
dy2 dx
=
C2
EIy1=
1 2
Mx2 + C1x +D1
EIy2= C2x + D2
边 界
x = 0,q1= 0: C1= 0
连 续
x = a,
q2= q1= qC
=
Ma EI
C2= Ma
条 件
x = 0, y1= 0: D1= 0
条 件
x = a,
y2=
y1
=
yC
=
Ma2 2EI
D2 =
-
1 2
Ma2
q1(x)=
Mx EI
y1(x)=
Mx2 2EI
q2(x)=
Ma EI
y2(x)=
Ma 2EI
(2x
-
a)
qB
=
Ma EI
yB
=
Ma 2EI
(2l
-
a)
P87 46-4 q
mA = 0
FB =
9 4
qa
Fy = 0
FA =
3 4
qa
A xD
FA a
B a
C弯矩方程 AB
FBaM1(x)=
3 4
qax -
1 2
qx2
BC M2(x)= -
q 2 (3a - x)2
y边条1(E界件xEqI)yx1IxE=(1d=d==xI2y2x)4201dad1q=E4,,2=xyy2yIq2(1141q16qx==xE=a4403-q0I-12(:2x:33443挠qDCax-qxx113a曲2=3=83-+-x9qq403线463aa+aaxx3qC近3x2a2连条1+)xx似+4续件+yCa微2D1(2xxq)1x分a==)E4Eq22=方aa2II(2y,,Edd程x42qyyqxI=)E222===2dId=q[4q2y6x-y((B1E2q2=336q=I=aaq[0(-B-a2q:3x=x3a)D(-)043-:42(+qa=x+C34a)--aCa423=x3-832x+x)x16q-C2+)aq92D34aa]324]
讨论:
yA = 16EI x = (1-
0.0625 误差 2.6％
令q
1 )l 3
= 0: ymax
Ml 2 = 9 3 EI
0.06415
P86 46-2(a) q x
弯矩方程
AC
BC
边界条件Eqy11I((xxyEAxx1==I=))0dd00==.-5y,,x4lq1y181挠8q211qE===EllCqI曲-Il00((x41::39线03EqCD.+ll5xxIl1近11lx32-==6d2d-2q似+20x04Bxyl823x21M2微连 续 条 件xq)3=2)l1分+-2x(yxxq2xC==q2(方2)+l1x(22ll=xCx)x程,,+q+=)1-yD22==833q=2148lqyq(8q4q11qlEEE=43E=2BAIIIlqIy=[Cy-d[dCC27x41y=x7==l)8263q2E(1=-ql84q3l97EI8E-M(-l2q(Il3Ix6qEl2l-4)(d-dIx(4x2xx)ly+y))2-DC42B=53+x=]226=-=)=Cl2q333-2424qxB8+7x1(38-41(CC+ql8E5l1q-Dl24-5l4Ixq3x2l)l4)4]22
2qa3 EI
yCM
=-
M(2a)2 2EI
=-
2qa4 EI
P224 表19-1 序号3
qCF = qBF
Fa2 qa3 = 2EI = 2EI
P224 表19-1 序号5
yCF = yBF + qBF·a
=
Fa3 3EI
+ qBF·a
=
5qa4 6EI
qCq = qBq
qa3 = 6EI
yCq = yBq + qBq·a
=
qa4
8EI + qBq·a
=
7qa4 24EI
P88 47-2(a) F
M(Fl) F
A
C
B
0.5l
0.5l
P225 表19-1 序号8
qAM
=-
Ml 24EI
=-
Fl2 24EI
= qBM
yCM = 0
P225 表19-1 序号9
qAF =
Fl2 16EI
= - qBF
Fl3 yCF = 48EI