一道根式函数题的6种解法
高中数学 第二章 基本初等函数(1) 2.1.1 指数与指数幂的运算 第一课时 根式学案(含解析)
2．1。
1指数与指数幂的运算第一课时根式根式［提出问题]（1）若x2＝9，则x是9的平方根,且x＝±3；(2）若x3＝64，则x是64的立方根，且x＝4;(3）若x4＝81，则x是81的4次方根，且x＝±3;(4）若x5＝－32，则x是－32的5次方根，且x＝－2。
问题1：观察(1)(3），你认为正数的偶次方根都是两个吗？提示:是．问题2:一个数的奇次方根有几个？提示:1个．问题3:由于22＝4，小明说,2是4的平方根;小李说，4的平方根是2，你认为谁说的正确？提示：小明．[导入新知]根式及相关概念（1）a的n次方根定义:如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n〉1，且n∈N＊。
（2)a的n次方根的表示：n的奇偶性a的n次方根的表示符号a的取值范围n为奇数错误!Rn为偶数±错误![0，＋∞）（3)根式：式子错误!叫做根式,这里n叫做根指数，a叫做被开方数．［化解疑难]根式记号的注意点（1）根式的概念中要求n>1，且n∈N＊。
（2）当n为大于1的奇数时，a的n次方根表示为错误!(a∈R);当n为大于1的偶数时，错误!(a≥0)表示a在实数范围内的一个n次方根，另一个是－错误!，从而错误!n＝a.根式的性质［提出问题]问题1：错误!3，错误!3，错误!4分别等于多少？提示:2，－2，2.问题2:错误!，错误!，错误!，错误!分别等于多少?提示：－2,2,2,2.问题3：等式错误!＝a及（错误!)2＝a恒成立吗？提示：当a≥0时,两式恒成立；当a〈0时，a2＝－a,（a)2无意义．［导入新知］根式的性质(1）(错误!）n＝a（n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，且n〉1）．(2)错误!＝错误!(3)错误!＝0。
(4）负数没有偶次方根．[化解疑难]（错误!)n与错误!的区别（1)当n为奇数，且a∈R时，有错误!＝(错误!)n＝a;(2)当n为偶数，且a≥0时，有错误!＝（错误!）n＝a。
求函数最值问题常用的10种方法
较大小，确定最值．
解析 因为f′(x)＝3x2－3，所以令f′(x)＝0，得x＝
－1(舍正)．又f(－3)＝－17，f(－1)＝3，f(0)＝1，
比较得，f(x)的最大值为3，最小值为－17.故填3， －17. 点评 (1)利用导数法求函数最值的三个步骤：第一， 求函数在(a，b)内的极值；第二，求函数在端点的函 数值f(a)、f(b)；第三，比较上述极值与端点函数值 的大小，即得函数的最值．(2)函数的最大值及最小 值点必在以下各点中取得：导数为零的点，导数不存 在的点及其端点．
三、换元法 换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换 原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决 的一种数学方法．在学习中，常常使用的换元法有 两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体 问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复 杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从 而求出原函数的最值．如可用三角代换解决形如a2 ＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题．
【例 4】设 x，y，z 为正实数，x－2y＋3z＝0，则 y 2 xz
的最小值为________． 分析 先利用条件将三元函数化为二元函数，再利用基 本不等式求得最值．
解析 因为x－2y＋3z＝0，
x＋3z
y2 x2＋9z2＋6xz
所以y＝
2
，所以 ＝ xz
4xz
.
y2 6xz＋6xz
又x，z为正实数，所以由基本不等式，得 ≥
∴Δ＝(3y＋3)2－4(y－1)(4y4)≥0，11
解得7≤y≤7(y≠1)．综上得ymax＝7，ymin＝7.
点评 判别式法的应用，对转化的(y－1)x2＋(3y＋3)x ＋4y－4＝0来说，应该满足二次项系数不为0，对二次 项系数为0时，要另行讨论，对本题若y－1＝0，即 y＝1，有(3＋3)x＋4－4＝0，所以x＝0.一般来说， 利用判别式法求函数的最值，即根据g(y)x2＋h(y)x＋
5、不等式解法1(整式、分式、根式)
§6.5 不等式的解法（一）【一线名师精讲】基础知识串讲解不等式的基本原则：1、解不等式实质是一个等价变形的过程，当元的取值范围扩大时，应与原有取值范围求交集。
2、解不等式是一个由繁到简的转化过程，其转化的总思路为：3、解含有等号的不等式时，应该将等式与不等式分开解答后取并集。
基本类型不等式的解法： (一)、整式不等式的解法 1、一元一次不等式标准形式：b ax >或)0(≠<a b ax .解法要点：在不等式的两端同时除以a 后，若<a 则不等号要反向。
2、一元二次不等式标准形式：02>++c bx ax 或02<++c bx ax （其中0>a ）。
解法要点：解一元二次不等式一般可按以下步骤进行：（1）整形：将不等式化为标准形式。
（2）求根：求方程02=++c bx ax 的根。
（3）写解：根据方程02=++c bx ax 根的情况写出对应不等式的解集。
当两根明确时，可由“大于0，两根外；小于0，两根内”的口诀写解，当0≤∆时，则可由函数c bx ax y ++=2的草图写解。
3、一元高次不等式（可分解因式型） 标准形式：0)())((21>---n x x x x x x a 或0)())((21<---n x x x x x x a ()0>a 。
解法要点：用“数轴穿根”的方法最为简便，一般可按如下步骤进行：（1）整形：将不等式化为标准形式。
（2）求根：求出对应方程的根。
（3）穿根：将方程的根标在数轴上，用一条曲线从右上方开始依次穿过。
方程有重根时，奇数重根按正常情况穿过，偶数重根则不穿过，反弹回来后继续穿根。
即“奇过偶不过”。
（4）写解：数轴上方所对应曲线的区间为)())((21>---n x x x x x x a 的解，数轴下方所对应曲线的区间为0)())((21<---n x x x x x x a 的解。
巧用三角换元法解含根式的函数值域题
ö ø
≤
1
，
∴ f (x) = x +
1 - x2的值域 为 éêë
2 2
，1ùú û
.
解答形如 f (x) = kx + a - bx2 的函数值域问题，需首
先设 x =
a b
cos2
θ
,将原函数化为
y
=
k
a b
cos
θ
+
a sin θ
的形式，然后利用辅助角公式将三角函数式化简，再
根据三角函数的有界性来求得函数的值域.
sin
α2∙2
sin
β 2
+
2
cos
α2∙2
cos
β 2
= 2 cos （α2 - 2β） ≤ 2 ，
(x - z)(y - z) + (x + z)(y + z)
即
xy
≤2.
该函数式较为复杂，需首先将不等式进行变形，
然后令
z x
= cos α,
z y
= cos β
，通过三角换元，将问题转
化为三角函数最值问题，通过三角恒等变换将三角函
例 2.试求 f (x) = x - 4 + 15 - 3x 的值域.
解：设 x = 4 + cos2θ(0 ≤ θ ≤ π) ，
∴原函数为 y = 4 + cos2θ - 4 + 15 - 3(4 + cos2θ)
=
cos2θ +
3 sin2θ = cos θ +
3 sin
θ
=
2
sinæè
θ
+
求函数的值域、最值的13种方法
⑦单调性法：先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值．这种求解方
法在高考中是必考的，且多在解答题的某一问中出现．
⑧导数法：设函数 f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，则 f(x)在[a，b]上的最
大值和最小值应为 f(x)在(a，b)内的各极值与 f(a)，f(b)中的最大值和最小值．利用这种
方法二：（判别式法）由
1 y＝x＋ ＋1，得
x2＋(1－y)x＋1＝0.
x
∵方程有实根，∴Δ＝(1－y)2－4≥0.即(y－1)2≥4，∴y－1≤－2 或y－1≥2.得y≤－1 或y≥3.
1 （x＋1）（x－1）
方法三：（导数法）令 y′＝1－ ＝
<0，得－1<x<0 或 0<x<1.
x2
x2
∴函数在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，此时y≥3；函数在(－1，0)上递减，在(－∞，－1)上递增，
此时 y≤－1.∴y≤－1 或 y≥3.即函数值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
(4)方法一：（单调性法）定义域为{x|x≥－1}，函数y＝2x，y＝ 1＋x均在[－1，＋∞)上递增，
故 y≥2×(－1)＋ 1＋（－1）＝－2.
方法二：（换元法）令 1＋x＝t，则 t≥0，且 x＝t2－1.
∴y＝2t2＋t－2＝2(t＋1)2－17≥－2(t≥0)．∴函数值域为[－2，＋∞)． 48
cx＋d
2x＋1 sinx＋2
③反解法：适用于分子、分母只含有一次项的函数（即有理分式一次型），也可用于易反解出
自变量的函数类型.
④配方法：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)及二次型函数 y＝a[f(x)]2＋b[f(x)]＋c(a≠0) ⑤换元法：换元法有两类，即代数换元和三角换元．如可用三角代换解决形如 a2＋b2＝1 及部
21种解题方法与技巧全汇总
21种解题方法与技巧全汇总，这对学生也太有用了！01 解决绝对值问题主要包括化简、求值、方程、不等式、函数等题，基本思路是：把含绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。
具体转化方法有：①分类讨论法:根据绝对值符号中的数或式子的正、零、负分情况去掉绝对值。
②零点分段讨论法：适用于含一个字母的多个绝对值的情况。
③两边平方法：适用于两边非负的方程或不等式。
④几何意义法：适用于有明显几何意义的情况。
02 因式分解根据项数选择方法和按照一般步骤是顺利进行因式分解的重要技巧。
因式分解的一般步骤是：提取公因式→选择用公式→十字相乘法→分组分解法→拆项添项法03 配方法利用完全平方公式把一个式子或部分化为完全平方式就是配方法，它是数学中的重要方法和技巧。
配方法的主要根据有：04 换元法解某些复杂的特型方程要用到“换元法”。
换元法解方程的一般步骤是：设元→换元→解元→还元05 待定系数法待定系数法是在已知对象形式的条件下求对象的一种方法。
适用于求点的坐标、函数解析式、曲线方程等重要问题的解决。
其解题步骤是：①设②列③解④写06 复杂代数等式复杂代数等式型条件的使用技巧：左边化零，右边变形。
①因式分解型：(-----)(----)=0 两种情况为或型②配成平方型：(----)^2+(----)^2=0 两种情况为且型07 数学中两个最伟大的解题思路(1)求值的思路列欲求值字母的方程或方程组(2)求取值范围的思路列欲求范围字母的不等式或不等式组08 化简二次根式基本思路是：把√m化成完全平方式。
即：09 观察法10 代数式求值方法有：(1)直接代入法(2)化简代入法(3)适当变形法（和积代入法）注意：当求值的代数式是字母的“对称式”时，通常可以化为字母“和与积”的形式，从而用“和积代入法”求值。
11 解含参方程方程中除过未知数以外，含有的其它字母叫参数，这种方程叫含参方程。
解含参方程一般要用‘分类讨论法’，其原则是：(1)按照类型求解(2)根据需要讨论(3)分类写出结论12 恒相等成立的有用条件(1)ax+b=0对于任意x都成立关于x的方程ax+b=0有无数个解a=0且b=0。
例谈含根式函数值域的求解方法
例谈含根式函数值域的求解方法作者：葛云云来源：《中学生数理化·自主招生》2020年第01期求函数值域是高考的重点及热点，很多问题最后都转化为求函數的值域得以解决。
其中求含根式的函数值域是特殊的一个类型，平常大家碰到的频率也较高，其求解思路多样，方法多变，下面对这一类问题的几种求解策略进行举例分析。
一、函数单调法例1 求函数的值域。
解：函数的定义域为，由复合函数的单调性可知，在定义域内是单调递减的，所以函数在定义域内是单调递增的，故其值域为。
启示：利用函数单调性求解函数问题是最常用的方法，解题时可预先判断函数的单调性，充分抓住函数的相关性质。
二、换元法例2 求函数的值域。
解：该题与例1相差一个符号，若利用单调性求其值域，会发现在定义域内，为单调递减，故函数整体的单调性不显著。
此时，可采取换元法，令t=则，所以该函数为开门向上的抛物线一部分，最小值取在对称轴t=l处，故其值域为[-1，+∞）。
启示：换元法可将含根式函数变为初等函数，而初等函数值域的求解一般较为简单，需要注意的是换元后的新函数定义域发生了变化。
三、平方法例3 求函数y=的值域。
解：先找到函数的定义域为[-1，1]，将函数两边进行平方，可得万，发现∈[O，1]，因此y2∈[2，3]，最后得到函数的值域为。
启示：该种方法适用于两个根式内x项的系数恰好互为相反数的情况，因其平方后，平方项的和可变为常数。
此外，变量x便集中在一个根式内，可有效降低分析难度，利于值域的顺利求解。
四、导数法例4 求函数y=的值域。
解：该题和例3也相差不大，为两个根式相加，若采用平方法，变量x还是没能全部集中于根号内，不利于求解值域。
此外，其单调性也不直观，可采用导数法。
函数的定义域为，对函数求导得得x∈（1/4，1]，此时函数在该区域内递减，同理可得函数在上递增。
故其值域为启示：利用导数寻找函数的单调性·通过单调性得到值域。
这种方法应该是求函数值域时万能的方法，一般川在函数较为复杂或者其单调性不显著时。
函数专题：函数值域的6种常用求法-【题型分类归纳】
函数专题：函数值域的6种常用求法一、函数的最大（小）值1、最大值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作y max＝f(x0)．2、最小值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作y min＝f(x0)．3、几何意义：函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点，它们不一定只有一个．二、求函数值域的6种常用求法1、单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)．（1）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则y max＝f(b)，y min＝f(a)．（2）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则y max＝f(a)，y min＝f(b)．（3）若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．2、图象法：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合．（1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域．（2）()f x的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下(或靠上)的部分为该()f x函数的图象，从而利用图象求得函数的值域．3、配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围.4、换元法：换元法是将函数解析式中关于x 的部分表达式视为一个整体，并用新元t 代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值(值域)．（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围． （2）换元的作用有两个：①通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的．②可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理 5、分离常数法：主要用于含有一次的分式函数，形如+=+ax b y cx d或2++=+ax bx e y cx d （a ，c 至少有一个不为零）的函数，求其值域可用此法以+=+ax by cx d为例，解题步骤如下： 第一步，用分子配凑出分母的形式，将函数变形成=++a ey c cx d的形式， 第二步，求出函数=+e y cx d 在定义域范围内的值域，进而求出+=+ax by cx d的值域。
泰勒级数题型总结(12种题型)
泰勒级数题型总结(12种题型)本文总结了泰勒级数的12种题型，详细说明了每种题型的求解方法和适用条件。
1. 常函数泰勒展开- 题型描述：对常函数进行泰勒展开。
- 求解方法：根据泰勒展开公式，将常函数展开成无穷级数，并计算前n项。
- 适用条件：适用于任何常函数。
2. 幂函数泰勒展开- 题型描述：对幂函数进行泰勒展开。
- 求解方法：根据泰勒展开公式，将幂函数展开成无穷级数，并计算前n项。
- 适用条件：适用于幂函数，如x^n、e^x等。
3. 三角函数泰勒展开- 题型描述：对三角函数进行泰勒展开。
- 求解方法：根据泰勒展开公式，将三角函数展开成无穷级数，并计算前n项。
- 适用条件：适用于各种三角函数，如sin(x)、cos(x)等。
4. 指数函数泰勒展开- 题型描述：对指数函数进行泰勒展开。
- 求解方法：根据泰勒展开公式，将指数函数展开成无穷级数，并计算前n项。
- 适用条件：适用于指数函数，如e^x。
5. 对数函数泰勒展开- 题型描述：对对数函数进行泰勒展开。
- 求解方法：根据泰勒展开公式，将对数函数展开成无穷级数，并计算前n项。
- 适用条件：适用于对数函数，如ln(x)。
6. 复合函数泰勒展开- 题型描述：对复合函数进行泰勒展开。
- 求解方法：根据链式法则和泰勒展开公式，将复合函数展开成无穷级数，并计算前n项。
- 适用条件：适用于各种复合函数，如sin(x^2)、ln(1+x)等。
7. 根式函数泰勒展开- 题型描述：对根式函数进行泰勒展开。
- 求解方法：根据泰勒展开公式，将根式函数展开成无穷级数，并计算前n项。
- 适用条件：适用于各种根式函数，如√(1+x)。
8. 多项式函数泰勒展开- 题型描述：对多项式函数进行泰勒展开。
- 求解方法：根据泰勒展开公式，将多项式函数展开成无穷级数，并计算前n项。
- 适用条件：适用于多项式函数。
9. 分段函数泰勒展开- 题型描述：对分段函数进行泰勒展开。
- 求解方法：根据泰勒展开公式，将分段函数展开成无穷级数，并计算前n项。
极限方法总结
8各项的拆分相加 （来消掉中间的大多数） （对付的还是数列极限）
可以使用待定系数法来拆分化简函数
9求左右求极限的方式（对付数列极限） 例如知道Xn与Xn+1的关系， 已知Xn的极限存在的情况下， xn的极限与xn+1的极限时一样的 ，应为极限去掉有限项目极限值不变化
10 2 个重要极限的应用。 这两个很重要 ！！！！！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值 。 地2个就如果x趋近无穷大 无穷小都有对有对应的形式
2分子分母都是有界变量与无穷大量加和求极限：分子与分母同时除以该无穷大量凑出无穷小量与有界变量的乘积结果还是无穷小量。
3等差数列与等比数列和求极限：用求和公式。
4分母是乘积分子是相同常数的n项的和求极限：列项求和
5分子分母都是未知数的不同次幂求极限：看未知数的幂数，分子大为无穷大，分子小为无穷小或须先通分。
必须是 函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导， 直接用无疑于找死！！）
必须是 0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！
当然还要注意分母不能为0
落笔他 法则分为3中情况
1 0比0 无穷比无穷 时候 直接用
2 0乘以无穷 无穷减去无穷 （ 应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以 无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后 这样就能变成1中的形式了
首先说下我的感觉， 假如高等数学是棵树木得话，那么 极限就是他的根， 函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎， 可见这一章的重要性。
为什么第一章如此重要？ 各个章节本质上都是极限， 是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面
首先 对 极限的总结 如下
初三数学二次根式试题答案及解析
初三数学二次根式试题答案及解析1.若在实数范围内有意义，则x的取值范围是【答案】x≤。
【解析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围。
根据题意得：1﹣3x≥0，解得：x≤。
【考点】二次根式有意义的条件。
2.函数中，自变量x的取值范围是．【答案】．【解析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须．【考点】1．函数自变量的取值范围；2．二次根式有意义的条件．3.若a＜＜b，且a，b为连续正整数，则b2﹣a2=．【答案】7【解析】∵32＜13＜42，∴3＜＜4，即a=3，b=4，所以a+b=7．【考点】估算4.二次根式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≥﹣2B．x＞﹣2C．x＜2D．x≤2【答案】B．【解析】根据被开方数大于等于0，得﹣2x+4≥0，解得x≤2．故选B．【考点】二次根式有意义的条件．5.使有意义的的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C．【解析】∵有意义∴3x-1≥0解得：．故选C．【考点】二次根式有意义的条件．6.在函数中，自变量a的取值范围是．【答案】a≥2．【解析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列不等式求解．根据题意得：a-2≥0，解得a≥2，则自变量a的取值范围是a≥2．【考点】1．函数自变量的取值范围; 2．二次根式有意义的条件．7.将1、、、按右侧方式排列．若规定（m，n）表示第m排从左向右第n个数，则（7，3）所表示的数是；（5，2）与（20，17）表示的两数之积是．【答案】；3【解析】根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m﹣1排有（m﹣1）个数，从第一排到（m﹣1）排共有：1+2+3+4+…+（m﹣1）个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第m排第n个数到底是哪个数后再计算．解：（7，3）表示第7排从左向右第3个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1，第7排是奇数排，最中间的也就是这排的第4个数是1，那么第3个就是：；从图示中知道，（5，2）所表示的数是；∵第19排最后一个数的序号是：1+2+3+4+…+19=190，则（20，17）表示的是第190+17=207个数，207÷4=51…3，∴（20，17）表示的数是．∴（5，2）与（20，17）表示的两数之积是：×=3．故答案为：；3．8.已知实数a在数轴上的对应点，如图所示，则化简所得结果为【答案】2a+1．【解析】：由数轴表示数的方法得到a＞0，然后利用二次根式的性质得到原式=|a|+|a+1|=a+a+1，再合并即可．试题解析:∵a＞0，∴原式=|a|+|a+1|=a+a+1=2a+1．考点: 1.二次根式的性质与化简；2.实数与数轴．9.当1<x<3时，|1-x|+等于_________________【答案】2【解析】=|a|=当1<x<3时，1-x<0,x-3<0.∴原式=(x-1)+(3-x)=2.10.已知长方形的长是cm，宽是cm，求与此长方形面积相等的圆的半径.【答案】r=.【解析】利用面积公式列出方程·=πr2，解得r=.11.已知0＜x＜1，化简：-.【答案】2x.【解析】-=-=- ,因为0＜x＜1，所以原式=x+-(-x)=x+-+x=2x.12.计算：【答案】14.【解析】根据有理数的乘方、绝对值、零次幂、立方根、负整数指数幂的意义进行计算即可求出代数式的值.试题解析：.考点: 实数的混合运算.13.下列各式中计算正确的是（）。
局部换元法求解一类多元“根式和”问题
局部换元法求解一类多元 根式和 问题刘㊀波(靖江市斜桥中学ꎬ江苏靖江２１５０００)摘㊀要:在各级各类竞赛中ꎬ经常出现目标式为关于多个变量的 根和式 的不等式证明或求最值等一类问题.这类问题结构简明ꎬ形式优美ꎬ但内涵丰富ꎬ抽象程度高ꎬ综合性较强ꎬ探究这类问题的解法颇有必要.本文通过具体实例介绍运用 局部换元 方法求解数学竞赛试题.关键词:局部换元ꎻ多元ꎻ根式和中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３３－０００２－０３收稿日期:２０２３－０８－２５作者简介:刘波(１９８５.９－)ꎬ男ꎬ江苏省靖江人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀在一定条件背景下ꎬ对于目标式中出现形如ｕ(ｘ)＋ｕ(ｙ)＋ｕ(ｚ)或ｕ(ｘꎬｙ)＋ｕ(ｙꎬｚ)＋ｕ(ｚꎬｘ)的多元 根式和 ꎬ诸如不等式证明或求最值㊁范围等问题ꎬ我们可用局部换元的方法进行求解ꎬ即令ａ＝ｕ(ｘ)ꎬｂ＝ｕ(ｙ)ꎬｃ＝ｕ(ｚ)ꎬ或令ａ＝ｕ(ｘꎬｙ)ꎬｂ＝ｕ(ｙꎬｚ)ꎬｃ＝ｕ(ｚꎬｘ))ꎬ这样就将关于ｘꎬｙꎬｚ的无理式问题转化为ａꎬｂꎬｃ有理式问题ꎬ然后结合题设条件ꎬ进一步利用均值不等式㊁柯西不等式等不等式结论ꎬ使问题获解.下面举例说明局部换元法在求解竞赛中一类多元 根式和 问题的应用.１证明不等式例１㊀(２０２２年５月全国高中数学联赛江西省的预赛第１０题)设ｘꎬｙꎬｚ为正实数ꎬ满足ｘｙｚ＝１ꎬ证明:１＋８ｘ＋１＋８ｙ＋１＋８ｚȡ９.证明㊀令ａ＝１＋８ｘꎬｂ＝１＋８ｙꎬｃ＝１＋８ｚꎬ因为ｘꎬｙꎬｚ为正实数ꎬ所以ａꎬｂꎬｃ>１ꎬ且ａ２－１＝８ｘꎬｂ２－１＝８ｙꎬｃ２－１＝８ｚ.于是８３＝８３ １＝８３ ｘｙｚ＝８ｘ ８ｙ ８ｚ＝(ａ２－１)(ｂ２－１)(ｃ２－１)＝(ａ－１)(ｂ－１)(ｃ－１)(ａ＋１)(ｂ＋１)(ｃ＋１)ɤ(ａ－１)＋(ｂ－１)＋(ｃ－１)３[]３(ａ＋１)＋(ｂ＋１)＋(ｃ＋１)３[]３＝(ａ＋ｂ＋ｃ－３３)３ (ａ＋ｂ＋ｃ＋３３)３＝(ａ＋ｂ＋ｃ)２－９３[]３.所以(ａ＋ｂ＋ｃ)２－９９[]３ȡ８３ꎬ所以(ａ＋ｂ＋ｃ)２９－１ȡ８ꎬ所以(ａ＋ｂ＋ｃ)２ȡ８１.因为ａꎬｂꎬｃ>１ꎬ所以ａ＋ｂ＋ｃȡ９.故１＋８ｘ＋１＋８ｙ＋１＋８ｚȡ９得证.点评㊀若本题直接证明ꎬ不仅有三个变量ꎬ而且目标式中含有三个 二次根式 ꎬ证明起来比较困难.这里进行局部换元ꎬ将 ８３＝８３ １ 进行１的代换后代入得到关于引进的参数的式子ꎬ分解㊁组合并两度利用三元均值不等式求解的.求解本题的关键在于为什么由 ８３ 来切入ꎬ这需要对题意有较强的分析㊁把控的能力.２例２㊀㊀(２００５年罗马尼亚数学奥林匹克预选试题)设ｘꎬｙꎬｚ为正数ꎬ且ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ＋２ｘｙｚ＝１ꎬ证明:ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘɤ３２[１].证明㊀令ａ＝ｘｙꎬｂ＝ｙｚꎬｃ＝ｚｘꎬ因为ｘꎬｙꎬｚ为正实数ꎬ所以ａꎬｂꎬｃ>０ꎬ且ａ２＝ｘｙꎬｂ２＝ｙｚꎬｃ２＝ｚｘꎬａｂｃ＝ｘｙｚ.所以由ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ＋２ｘｙｚ＝１ꎬ得ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋２ａｂｃ＝１.由柯西不等式ꎬ得(ａ＋ｂ＋ｃ)２ɤ(１２＋１２＋１２)(ａ２＋ｂ２＋ｃ２)＝３ˑ(１－２ａｂｃ)＝３－６ａｂｃꎬ所以(ａ＋ｂ＋ｃ)２＋６ａｂｃ－３ɤ０ꎬ当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ时取等号.又由三元均值不等式ꎬ得ａｂｃɤ(ａ＋ｂ＋ｃ３)３当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ时取等号.所以(ａ＋ｂ＋ｃ)２＋６ (ａ＋ｂ＋ｃ３)３－３ɤ０ꎬ整理得２(ａ＋ｂ＋ｃ)３＋９(ａ＋ｂ＋ｃ)２－２７ɤ０ꎬ所以２(ａ＋ｂ＋ｃ)３－３(ａ＋ｂ＋ｃ)２＋１２(ａ＋ｂ＋ｃ)２－１８(ａ＋ｂ＋ｃ)＋１８(ａ＋ｂ＋ｃ)－２７ɤ０ꎬ所以化简得(ａ＋ｂ＋ｃ)２[２(ａ＋ｂ＋ｃ)－３]＋６(ａ＋ｂ＋ｃ)[２(ａ＋ｂ＋ｃ)－３]＋９[２(ａ＋ｂ＋ｃ)－３]ɤ０ꎬ所以[２(ａ＋ｂ＋ｃ)－３][(ａ＋ｂ＋ｃ)２＋６(ａ＋ｂ＋ｃ)＋９]ɤ０ꎬ即[２(ａ＋ｂ＋ｃ)－３](ａ＋ｂ＋ｃ＋３)２ɤ０ꎬ所以２(ａ＋ｂ＋ｃ)－３ɤ０ꎬ即ａ＋ｂ＋ｃɤ３２ꎬ当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ＝１２时取等号.故ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘɤ３２得证.点评㊀本题对目标式中的三个二次根式进行局部换元ꎬ转化后运用柯西不等式和三元均值不等式证明.在证明过程中ꎬ三次式 ２(ａ＋ｂ＋ｃ)３＋９(ａ＋ｂ＋ｃ)２－２７ 的分解是个难点ꎬ需要有较强的配凑㊁变形能力.２求最值例３㊀(第８届希望杯高二试题)如果ａ＋ｂ＋ｃ＝１ꎬ则３ａ＋１＋３ｂ＋１＋３ｃ＋１的最大值为[２].解析㊀设３ａ＋１＝ｍꎬ３ｂ＋１＝ｎꎬ３ｃ＋１＝ｐꎬ则ａ＝ｍ２－１３ꎬｂ＝ｎ２－１３ꎬｃ＝ｐ２－１３ꎬ所以由ａ＋ｂ＋ｃ＝１ꎬ得ｍ２＋ｎ２＋ｐ２＝６.所以(ｍ＋ｎ＋ｐ)２＝ｍ２＋ｎ２＋ｐ２＋２ｍｎ＋２ｎｐ＋２ｍｐɤｍ２＋ｎ２＋ｐ２＋ｍ２＋ｎ２＋ｎ２＋ｐ２＋ｍ２＋ｐ２＝３(ｍ２＋ｎ２＋ｐ２)＝１８ꎬ当且仅当ｍ＝ｎ＝ｐ＝２时等号成立ꎬ故３ａ＋１＋３ｂ＋１＋３ｃ＋１的最大值为３２.点评㊀题由于ａꎬｂꎬｃ具有轮换性ꎬ其和为定值１ꎬ所以通过进行 局部换元 ꎬ进而结合重要不等式求解的.此解法别具一格ꎬ充分体现了 局部换元 法的应用价值和解题魅力.例４㊀(２０２２年５月全国高中数学联赛江西省的预赛第４题)若ｘꎬｙꎬｚɪＲ＋ꎬ满足ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ＝１ꎬ则函数ｆ(ｘꎬｙꎬｚ)＝ｘｙ＋５＋ｙｚ＋５＋ｚｘ＋５的最大值是.解㊀设ａ＝ｘｙ＋５ꎬｂ＝ｙｚ＋５ꎬｃ＝ｚｘ＋５ꎬ则ａ２＋ｂ２＋ｃ２＝ｘｙ＋５＋ｙｚ＋５＋ｚｘ＋５＝ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ＋１５＝１６.由柯西不等式ꎬ得(ａ＋ｂ＋ｃ)２ɤ(１２＋１２＋１２)(ａ２＋ｂ２＋ｃ２)＝３ˑ１６＝４８ꎬ所以ｘｙ＋５＋ｙｚ＋５＋ｚｘ＋５ɤ４３.故函数ｆ(ｘꎬｙꎬｚ)＝ｘｙ＋５＋ｙｚ＋５＋ｚｘ＋５的最大值是４３.点评㊀若本题通过局部换元ꎬ运用柯西不等式求解ꎬ思路明朗㊁清晰ꎬ易于理解ꎬ同时也简化了运算.３求范围例５㊀㊀(２０１５年全国高中数学联赛山西赛区３预赛第７题)设ａ＝３ｘ＋１＋３ｙ＋１＋３ｚ＋１ꎬ其中ｘ＋ｙ＋ｚ＝１ꎬｘꎬｙꎬｚȡ０ꎬ则[ａ]＝.解析㊀同例３解析ꎬ可得ａɤ１８<５.又因为０ɤｘꎬｙꎬｚɤ１ꎬ所以ｘȡｘ２ꎬｙȡｙ２ꎬｚȡｚ２ꎬ于是３ｘ＋１ȡｘ２＋２ｘ＋１＝(ｘ＋１)２ꎬ所以３ｘ＋１ȡｘ＋１ꎬ同理３ｙ＋１ȡｙ＋１ꎬ３ｚ＋１ȡｚ＋１ꎬ所以３ｘ＋１＋３ｙ＋１＋３ｚ＋１ȡｘ＋１＋ｙ＋１＋ｚ＋１＝(ｘ＋ｙ＋ｚ)＋１＝４.综上ꎬ得４ɤ３ｘ＋１＋３ｙ＋１＋３ｚ＋１<５ꎬ即４ɤａ<５.故[ａ]＝４.点评㊀本题首先进行 局部换元 ꎬ进而结合重要不等式求得(上确界)上界ꎬ然后利用不等式性质得到下界从而得解的.例６㊀(２０２１年全国高中数学联赛广西预赛第２题)已知ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ＝１ꎬ其中ｘꎬｙꎬｚ均为正数ꎬ则３ｘｙ＋１＋３ｙｚ＋１＋３ｚｘ＋１的整数部分为.解法１㊀设ａ＝３ｘｙ＋１ꎬｂ＝３ｙｚ＋１ꎬｃ＝３ｚｘ＋１ꎬ则由解法１ꎬ得ａ２＋ｂ２＋ｃ２＝６.设Ｍ＝３ｘｙ＋１＋３ｙｚ＋１＋３ｚｘ＋１＝ａ＋ｂ＋ｃꎬ构造二次函数φ(λ)＝(λ－ａ)２＋(λ－ｂ)２＋(λ－ｃ)２ꎬ即φ(λ)＝３λ２－２(ａ＋ｂ＋ｃ)λ＋ａ２＋ｂ２＋ｃ２＝３λ２－２Ｍλ＋６.因为φ(λ)ȡ０ꎬ对∀λɪＲ恒成立ꎬ所以ә＝(－２Ｍ)２－４ˑ３ˑ６ɤ０ꎬ从而Ｍ２ɤ１８<２５ꎬ所以３ｘｙ＋１＋３ｙｚ＋１＋３ｚｘ＋１<５.以下同解法１ꎬ可知３ｘｙ＋１＋３ｙｚ＋１＋３ｚｘ＋１>４.综上ꎬ４<３ｘｙ＋１＋３ｙｚ＋１＋３ｚｘ＋１<５.故３ｘｙ＋１＋３ｙｚ＋１＋３ｚｘ＋１的整数部分为４.点评㊀此题是一道难得的经典考题ꎬ思路宽泛ꎬ解法较多ꎬ对于考生参赛来说ꎬ基于填空题的特点ꎬ可以利用赋值法ꎬ取ｘ＝ｙ＝ｚ＝３３得以秒解.这里出于问题具体解法的思考ꎬ通过局部换元后利用柯西不等式求得(上确界)上界ꎬ然后利用不等式性质得到下界从而得解的.下面再给出一种通过局部换元后构造二次函数ꎬ转化为恒成立问题求得(上确界)上界ꎬ然后利用不等式性质得到下界的解法.解法２㊀设ａ＝３ｘｙ＋１ꎬｂ＝３ｙｚ＋１ꎬｃ＝３ｚｘ＋１ꎬ则由解法１ꎬ得ａ２＋ｂ２＋ｃ２＝６.设Ｍ＝３ｘｙ＋１＋３ｙｚ＋１＋３ｚｘ＋１＝ａ＋ｂ＋ｃꎬ构造二次函数φλ()＝(λ－ａ)２＋(λ－ｂ)２＋(λ－ｃ)２ꎬ即φλ()＝３λ２－２ａ＋ｂ＋ｃ()λ＋ａ２＋ｂ２＋ｃ２＝３λ２－２Ｍλ＋６.因为φλ()ȡ０ꎬ对∀λɪＲ恒成立ꎬ所以ә＝－２Ｍ()２－４ˑ３ˑ６ɤ０ꎬ从而Ｍ２ɤ１８<２５ꎬ所以３ｘｙ＋１＋３ｙｚ＋１＋３ｚｘ＋１<５.以下同解法１ꎬ可知３ｘｙ＋１＋３ｙｚ＋１＋３ｚｘ＋１>４.综上ꎬ４<３ｘｙ＋１＋３ｙｚ＋１＋３ｚｘ＋１<５.故３ｘｙ＋１＋３ｙｚ＋１＋３ｚｘ＋１的整数部分为４.局部换元法作为一种常用的换元方法ꎬ其本质在于转化ꎬ其关键在于设元ꎬ其目的在于变换所研究的问题对象ꎬ达到化繁为简㊁化难为易之目的.通过上述几例可以看出ꎬ应用局部换元法解答某些竞赛题优势明显ꎬ在解题中应多体会这一方法.参考文献:[１]姜坤崇.用局部换元法巧证一类条件不等式[Ｊ].中学数学杂志ꎬ２０２２(５):３０－３３. [２]方志平.均值代换魅力无穷[Ｊ].中学数学杂志ꎬ２０２１(１):４４－４５.[责任编辑:李㊀璟] ４。
根式函数值域
探究含有根式的函数值域问题含根式的函数的值域或者最值问题在高中数学的学习过程中时常遇到，因其解法灵活, 又缺乏统一的规律，给我们造成了很大的困难，导致有些学生遇到根式就害怕。
为此，本文系统总结此类函数值域的求解方法，供学生参考学习。
1•平方法例1:求y .. 1 x x 3的值域解：由题意知函数定义域为3,1 ，两边同时平方得：2 ■ 2 2y 42、x 2X 3=4+2 x 1 42利用图像可得y 4,8，又知y 0 y 2,2,2所以函数值域为2,2.2 析：平方法求值域适用于平方之后可以消去根式外面未知量的题型。
把解析式转化为2 __________________ 2y a b、x的形式，先求y的范围，再得出y的范围即值域。
2. 换元法例2：求值域1)y 2x x 1i122) y x x解：(1)首先定义域为1,，令t . x 1 t 0，将原函数转化为t 0,析：当函数解析式由未知量的整数幕与根式构成，并且根式内外的未知量的次幕保持致。
可以考虑用代数换元的方法把原函数转化成二次函数，再进行值域求解。
⑵首先，函数定义域为x 2,2，不妨设x 2sin，令-,-则原函数转化为：y 2sin 2cos 2 2 sin15析：形如题目中的解析式，考虑用三角换元的方法，在定义域的前提下，巧妙地规定角 的取值范围，避免绝对值的出现。
不管是代数换元还是三角换元，它的目的都是为了去根式，故需要根据题目灵活选择 新元，并注意新元的范围。
3. 数形结合法2 I2例3： 1）求y • x 2 x 8的值域。
2）求yx3 42x 2x26x 13的最小值。
:2 i2解：（1）y J x 2 x 8|x2l x 8其解析式的几何意义为数轴上的一动点 x ，到两定点2与-8的距离之和，结合数轴不难得 到 y 10,f22（2）解析式可转化为y 、x 1 1 x 34 ，定义域为R ，进行适当的变形: 2, 2 | 2 2 2 2x 1 1 v x 3 4, x 10 1 x 3 0 2 ，由它的形式联想两点间的距离公式，分别表示点到点的距离与点的距离之和 点P x,0到A 1,1和B 3,2的距离之和。
根式不等式解法
根式不等式解法根式不等式是高中数学中常见的一种问题类型。
对于根式不等式的解法，我们可以采用如下的方法来进行求解。
首先，我们要确定根式的定义域。
对于根式不等式$\sqrt{f(x)}>g(x)$，其中$f(x)$和$g(x)$是已知的函数，我们需要确保根号内的表达式$f(x)$大于零，即$f(x)\geq 0$。
其次，我们可以将根式的不等式转化为等价的平方形式。
对于根式不等式$\sqrt{f(x)}>g(x)$，我们可以将其转化为$f(x)>g(x)^2$，这是因为根号函数是单调递增的，所以不等式的方向不变。
接下来，我们可以通过移项、合并同类项等基本的代数运算，将不等式化简成一个标准形式，也就是使得不等式的左边为一个完全平方数的形式。
然后，我们需要找出根的取值范围。
当不等式的左边为完全平方数时，我们可以利用平方根函数的性质，求出不等式的根的范围。
如果根号内是一个单调递增的函数，则不等式的根将是一个开区间。
如果根号内是一个单调递减的函数，则不等式的根将是一个闭区间。
最后，我们需要将根的范围与题目给定的条件进行比较，得出最终的解集。
如果根的范围与给定条件完全一致，则方程有解。
如果根的范围与给定条件没有交集，则方程无解。
如果根的范围与给定条件部分重叠，则方程有部分解。
通过以上的步骤，我们可以有条不紊地解决根式不等式问题。
在实际操作中，要注意运用数学知识，善于化简和变形等技巧，使问题更加简单明了。
同时，我们也要注意检查求解过程中的每一步，以确保解的合理性。
总之，根式不等式的解法需要我们对根号函数的性质有充分地了解，并且运用代数运算的基本技巧，将不等式转化为简单的形式。
通过确定根的范围并与给定条件进行比较，我们可以得出最终的解集。
只要我们掌握了这些解题方法，就能够高效地解决根式不等式的问题。
求含有根式的函数值域的几种方法
解题宝典由于函数的解析式中含有根式，所以含有根式的函数值域问题一般比较复杂.如何处理根式，将问题转化为常规的函数值域问题是解题的关键.其实处理根式的方法有很多，如平方、三角代换、求导、借助向量等.下面介绍求含有根式的函数值域的几种方法.一、平方法当遇到根式时，很多同学的第一个想法是对其平方以去掉根号.在求含有根式的函数值域时，我们可以采用平方法，先对函数式进行平方，通过恒等变形将其转化为常规的函数式，再根据函数的图象和性质求得函数的值域.例1.求函数y =1-x +x +3的值域.解：由y =1-x +x +3可知函数的定义域为[]-3,1，则y 2=4+2-x 2-2x +3，而f ()x =-x 2-2x +3为二次函数，又f ()x =-()x +12+4，当x ∈[]-3,1时，f ()x ∈[]0,4，则y max =M =22，y min =m =2，所以y ∈[]2,22.这里通过平方，将函数式转化为只含有一个根式的式子，而根号下的式子为二次函数，借助二次函数的性质，便可求得根号下式子的值域，进而求得原函数的值域.二、三角代换法三角代换法是将函数式中的变量用三角函数替换，借助三角函数的有界性求得函数值域的方法.运用三角代换法，可将含根式函数的值域问题转化为三角函数的值域问题.例2.求函数f ()x =x +4-x 2的值域.解：由题意可知函数的定义域为x ∈[]-2,2，设x =2sin t ，t ∈éëùû-π2，π2，则y =2sin t +2cos t =22sin æèöøt +π4.而t +π4∈éëùû-π4，3π4,所以sin æèöøt +π4∈éëêùûú,故y ∈[]-2,22，即函数f ()x =x +4-x 2的值域为y ∈[]-2,22.我们由4-x 2联想到4sin 2x +4cos 2x =4，于是令x =2sin t ，通过三角代换，将问题转化为三角函数的值域问题.运用三角代换法求含有根式的函数的值域，需重点关注三角函数的定义域.三、导数法若含有根式的函数在某个区间上可导，便可利用导数法求出函数在该区间上的极值，再将极值与函数的端点值比较，便可确定函数的值域.利用导数法求含有根式的函数的值域，需熟记求导法则：(x α)′=αx α-1以及y x ′=y u ′·u x ′，在求出导函数后根据导函数与0之间的关系判断函数的单调性.例3.求函数y =2x +4-x +3的值域.解：由题意可得{2x +4≥0，x +3≥0，∴x ≥-2，∴函数y =2x +4-x +3]+∞，y ′=12x +4-12x +3=x +3-2x +42x +4∙x +3，又∵2x +3-2x +4=2x +82x +3+2x +4，∴当x ≥-2时，y ′>0，函数y =2x +4-x +3在()-2，+∞上是增函数；又∵f ()-2=-1，∴y =2x +4-x +3的值域为()-1,+∞.函数解析中含有两个根式，较为复杂，需先求出函数的定义域，再对函数进行求导，确定函数的单调性，进而得到函数的极值和最值.含有根式的函数值域问题具有较强的灵活性和特殊性，侧重于考查同学们生的应变能力.因此，在求此类函数的值域时，同学们要熟记初等函数的性质以及求导法则，对根式进行合理的变形，灵活利用初等函数、三角函数、导函数的性质来解题.（作者单位：江苏省泰州实验中学）39Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
根式的形式演变与求最值的方法
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类型 ２ Ｙ＝ ＋ ｄ＋ ￣ ＋ ＋ Ｃ ／
例 ２ 求 函数 Ｙ— ＋ Ｃ１ｘ一 ２ 一 ｚ 的值 ０ ３
偶次根式函数的定义域例题
偶次根式函数的定义域例题一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x的范围。
（1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。
（3）对数中的真数部分大于0。
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1（5）y=tan x中x≠k π+π/2；y=cot x中x≠k π等等。
（6）中x 0 x 0二、抽象函数的定义域1.已知(x f的定义域，求复合函数的定义域][x g f由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f的定义域为b a x,，求出)]([x g f中的解x的范围，即为)]([x g f的定义域。
b x g a)2.已知复合函数][x g f的定义域，求)(x f的定义域方法是：若的定义域为，则由][x g f b a x,确定的范围即为的定义域。
b x a)(x g)(x f）3.已知复合函数的定义域，求的定义域[()]f g x[()]f h x结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由定义域求得x f的定义域，再由x f的][x g f定义域求得的定义域。
][x h f4.已知的定义域，求四则运算型函数的定义域()f x若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。
一、求函数的定义域1.求下列函数的定义域：⑴⑵2 2 15 3 3 x x y x 2 1 1()1 x y x⑶0 2 1(2 1)4 111 y x x x2.设函数的定义域为，则函数的定义域为f x ( ) [ ] 0 1，f x ( ) 2 _ _ _；函数的定义域为________；f x ( )2。
带根号的函数最值问题
带根号的函数最值问题数学中，求函数最值本身是一块很难很重要的内容。
当函数解析式中出现根号的时候，难度会加大。
这里，就高中范围内出现的带根号的函数最值问题小小地总结一下。
1. 单调性一致情况y x = （x ∈[1,2]）分析：这个函数，分成两部分。
x也是增的。
这个函数y x =于是，最大值最小值就在端点时取到。
min max y 12y ==2.单调性不一致的根号中一次项情况y x = (x ∈[0,1])分析：单调性不一致，首先考虑换元法令2[0,1]),x=1-t ∈max min 3,14y y ==3．根号中出现二次项情况y x =（x ∈[-1,1]）分析：单调性很难判断。
这时候首先考虑换元法方法一：三角换元我们知道，三角函数cos θ、sin θ的范围本身就是[-1,1]，代入以后可以一可以用三角公式进行运算，开阔思路，二则去掉根号，简化运算。
设x=cos θ,这里为了确定范围，不失一般性，设[0,]θπ∈,利用1-2cos θ=sin 2θ,去掉根号很方便。
cos sin )4y x θθπθ==+=+值域就是[1-方法二：移项平方这是我们自初中以来所谓的去根号的最“喜欢”的方法。
但有时候，它是那么的吃力不讨好。
y x y x =-=两边平方 222y 21xy x x -+=-+注意到这里平方的条件是y ≥x222x 210yx y -+-=由于x 存在，判别式大于等于22248(1)840[y y y y =--=-≥∈但要注意到，y ≥x ，于是有y ≥-1 [1y ∈-方法三：求导求导属于暴力流，但是往往是在你绝望的时候唯一能抓的稻草。
本文大部分题目可以用求导解决。
'1y x y == 令y ’≥0解得[x ∈-，不过这个过程颇为艰辛于是易得[1y ∈-4.双根号明显数形结合的情况y =分析：明显可以看作两点间距离公式类型。
这类题难度不大。
但要注意，当括号内平方是展开状况的时候，要学会主动去配方发现。