第2章多自由度体系

例1. 在如下已知条件下求图示结构各振型广义位移。
m1 m2 1.02104 kg k1 3 106 N/m P 217 N 1 9.902 1/ s 2 24.254 1/ s
2.1.1 频率与振型
2l 9
EI 1 5.69 3 (11 12 )m ml
1
EI 2 22 (11 12 )m ml 3
1
1 Φ1 A11 1 1 Φ2 A21 1
2.1.1 频率与振型
1 1
对称振型
1
1 对称半结构
3 k12 k21 l2.304 10 l3
2.1.1 频率与振型
将刚度系数k11、k12、k21、k22和各自由度的质量m1、 m2代下式：
( )1, 2
2
可得自振频率为：
2 1
1 k11 k22 1 k11 k22 2 k11k22 k12 k21 ( ) ( ) 2 m1 m2 4 m1 m2 m1m2
1 Φ1 A11 0.78
1 Φ2 A21 1.28
可得振型图为：
1 0.78
2.1.1 频率与振型
1 -1.78
第一振型
第二振型
例2：试求图(a)所示简支梁的频率和振型。
(a)
m
l 3
EI
l 3
m
l 3
解：作单位弯矩图如图(b)和(c) (b) 单位弯矩图M1 由此可求得 3 4l 2l 11 22 243EI 9 3 7l (c) 单位弯矩图M2 12 21 486 EI 由柔度法方程相关公式可得
设体系质量m1和m2的位移分别为y1和y2 P0sin at m1 EI EI 不计阻尼，为使谐振荷载下 k2 m1稳态时保持基本不振动， m2 l/2 l/2 应如何设计m2和k2。 P0sin at 分别取质量m1和m2为隔离 体其受力如图示。 由此可得 k 24 EI l 3 y k1 24 EI l 3 y1 1 1 运动方程为 m1 y1
从而可得两个自由度体系的振型为： 1 1 2 Φi k11 i m2 Ai1 或 Φi k21 Ai1 (9) 2 k k m 12 i 2 22 其中Ai1为自由参数, 由自由振动的初始条件决定。 将所求得的频率1、2代入上式，即可得到两个自 由度体系的两个振型 如果体系的k11=k22且m1=m2，在这种特例情况下， 请思考其振型的表达式。 作为作业，试仿此自行写出两自由度体系柔度法 所建立方程的频率、振型计算公式。
EI (60 12 17) 3 ml EI 2 2 (60 12 17) 3 ml
(7-1)
1 10.05 (1 / s)
2 32.42 (1 / s)
将相关数值代入振型公式(9)可得：
1 Φi k21 Ai1 k 2m i 2 22
m1 y2
设
k2 y1 P y1 u10 sin at sin at k2 y2 0 y2 u20
2.1.2 吸振器原理
y1 k1 k2 k2 y1 P y1 u10 m1 0 sin at ; sin at k2 y2 0 y2 u20 0 m2 y2 k2 * 1* k1 m1 2 k2 m2 记 m2 m1 * * (u1st )0 P k1 2 1* 1 a 1* 2 a 2
第2章 多自由度体系的 振动分析
在本科学习基础上补充和加深
第2章 多自由度体系的振动分析 目录
§2.1 两自由度体系分析的补充 §2.2 多自由度体系分析的补充
§2.1 两自由度体系分析的补充
2.1.1 频率与振型 2.1.2 吸振器原理 2.1.3 振型分解的举例
2.1.1 频率与振型
KY 0 (1) 运动方程 MY 设 Y A sin( t ) (2) 将式(2)代入式(1)可得振型方程(3)和频率方程(4) 2k k k11 k22 k M A 0 (3) 2 2 2 11 22 K 12 k 21 ( ) ( ) 0 (6) 2 m1 m2 2 K 0 m1(4) m M 对两自由度体系 m1 0 k11 k12 M K 0 m2 k21 k22 k11 2 m1 k12 0 (5) 则 2 k21 k22 m2 将上式展开并整理后可得:
如下图所示
* * 0.2 ; 由式(1-1)可作出 2 1 1 时的频-响曲线
2.1.2 吸振器原理
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虚线表示 u10 为负或相位与 激励相反
u10 1 22 (u1st )0 (1 2 12 )(1 22 ) 2
(1-1)
可得
(8-1) (8-2)
Ai 2 k11 i2 m1 Ai1 k12
或
Ai 2 k21 2 Ai1 k22 i m2
k12 0 2 k22 i m2
由于i满足频率方程 因此：
k11 i2 m1 k21
k21 k11 i2 m1 k12 k22 i2 m2


2.1.1 频率与振型
k11 k22 2 k11k22 k12 k21 ( ) ( ) 0 (6) m1 m2 m1m2
2 2
式(6)是关于 2的二次方程（也称双二次方程），由 此可解得 2的两个根
( )1, 2
2
1 k11 k22 1 k11 k22 2 k11k22 k12 k21 ( ) ( ) 2 m1 m2 4 m1 m2 m1m2
如果要求 u20 小于等于[u]，则质量 m2 要求满足下式
m1 P m1 Pl 3 m2 [u ]b k1 [u ]b 48 EI (2)
2.1.2 吸振器原理
这意味着吸振器的质量和刚度取决于吸振系统允许的 位移大小。同时，质量比μ越小，吸振器的工作频率范 围就越窄。 当然，这里所介绍的只是实际工程应用的调频质量阻 尼器的基本原理，具体调频质量阻尼器的设计还要涉及 其他许多方面。 调频质量阻尼器(TMD、MTMD)作为重要的被动控 制方法，可应用于高压输电线路、高层建筑、电视塔等 的风激振动控制等。
则经求解并整理后可得
u10 1 22 (u1st )0 (1 2 12 )(1 22 ) 2
(1-1)
(1-2)
由此可见，当干扰力频率 a 等于刚度为 k2 、质量为 m2 单自由度体系固有频率时，简支梁上主质量 m1 的 振幅为零。
u20 1 (u1st )0 (1 2 12 )(1 22 ) 2
1
1
反对称半结构
反对称振型
1
1
可见对称结构可用对称性简化计算
2.1.1 频率与振型
小结:
对多自由度问题来说，根据具体问题运动方程可以 用刚度法来建立，也可以用柔度法建立。 对多自由度 问题，教材分别基于刚度法和柔度法进行了具体讨 论，给出了频率、振型和刚度系数、质量的关系以及 和柔度系数、质量的关系。这些公式最好能记住，但 关键是记住如下一些基本概念。 1. 在无阻尼自由振动下惯性力和弹性恢复力平衡， 且它们同相位。因此如果设振幅为A，也可通过列惯性 力、恢复力的幅值方程得到。 2.当基于柔度法时，位移由惯性力引起且两者为同 相位，也可直接列幅值方程建立频率方程。
1 k1 y1 k2 y2 y1 P sin at my 2 k2 y2 y1 0 my
k2 y2 y1 k2 y2 y1
2.1.2 吸振器原理
经整理写成矩阵方程为
y1 k1 k2 m1 0 0 m2 y2 k2
2.1.3 振型分解的举例
在本科回顾中给出了简谐荷载稳态反应分析步骤如下: 1）确定系统质量[M]、刚度[K]（或柔度[f]）矩阵。 2）求无阻尼自由振动的振型{A}i 、频率i 。 3）用阻尼比1,2和频率1,2求瑞利阻尼的0和1 。 (1) 4）求 i 振型振型质量 Mi= {A}iT[M]{A}i 5）求 i 振型振型参与系数 i={A}iT[P]/Mi 。 (2) 6）求 i 振型阻尼比 i =1/2(0/i+1i) (3) 7）求 i 振型动力系数 i=[(1-i2)2+4i2i2]-1/2 。 (4) (5) 8）求 i 振型相位角 i=arctg[2iI /(1-i2)] (0~)。 9）求 i 振型广义位移 i(t)=isin(t-i)/i2。 (6) 10）将各振型广义位移代回{u}=ii(t){A}i ，则得最终结 果 {u(t)}=[iisin(t-i)/i2]{A}i (7)
2.1.1 频率与振型
3.拿上具体问题后，关键是正确确定M、K或 ，有 了它们不管什麽结构，由统一格式可写出频率方程。 4.两自由度问题n = 2。展开特征方程将得到双二次 频率方程，根据具体的刚、柔度系数和质量，解频率 方程即可得频率 1和 2。 5.将频率 1 和 2 代回特征方程只能得到和某频率 对应的位移比值（齐次方程只能得到比值），对它可 以进行“规格化”，一般使最大值等于1，即可得振型。 综上可见，有了[M]、[K]或[ f ]，剩余工作主要是数 学运算了。但要达到熟练掌握，必须多看一些例子、 多做一些练习。
(7-1)
特例:
1
当k11=k22、m1=m2=m 时，则有
k11 k12 m ,
2
k11 k12 m
(7-2)
2 M K A 0 (3) 可得 将所求得频率代入
2.1.1 频率与振型 将所求得频率代入 M K A 0 (3)
2
(k11 i2 m1 ) Ai1 k12 Ai 2 0 k21 Ai1 (k22 i2 m1 ) Ai 2 0 由式(8)可求得
2.1.2 吸振器原理
由此频-响曲线可见，为使简支梁上受荷质量(主系统) 振幅尽可能小，应使附加弹簧-质量体系的频率接近干 扰频率(β2 =1)。 那么吸振器质量应为多少呢？ 由式(1-2)可知，当β2 =1时 *
* 1* b 时 当 2
u20 1 * (u1st )0 2 1 P u20 b k1
2.1.1 频率与振型
例1:图 a 所示两层刚架，已知横梁为刚性，各立柱 的抗弯刚度EI=6.0*106 N.m2，立柱的质量忽略不计， 横梁的质量m1= m2=5000 kg，每层的高度l=5 m。试求 1 1 其自振频率和振型。 k12
l l
m1
2.1.1 频率与振型
y1
k11
k22
k21
m2
y2
2 1
(a )
(b)
(c)
解：根据结构静力分析可求得刚度系数：（如图b、c 12 EI 48 EI 所示） k 4 12 EI 48EI k12 k21 4 6 6
11
k11 2.304 10 l3 l3
12 EI 72 EI 6 k22 k6 3.456 10 3 3 22 l l