等差数列的前n项和的最值PPT课件

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高三数学等差数列前N项和公式PPT教学课件

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数列前n项和与通项公式的关:系
an
S1 Sn
Sn1
(n 1) ( n 1)
数列通项公式?
当 n1时 ,不一定a满 nSn足 Sn: 1
探索
一般地,如a果 n的一 n前 项 个和 数 :Sn为 列 p2 nq n r 其p中 、 q、 r为常数 p, 0,那 且 么这a 个 n一 数 定 列 是的等
当 n 1 时 a n S n S n 1 , ( n 2 1 2 n ) [ n 1 ) 2 ( 1 2 ( n 1 ) 2 n ] 1 2
当 n1 时a 1, S 12 3 满a 足 n2n1 2
所以a数 n的列 通项公 an2 式 n1 2为: 由此题,如何通过 数列 an是以 23为首2项 为, 公差的等差数数列列前。 n项和来求
能不能把一 此般 结情 论 an 况 推 为: 广 等如 到 差
sk,s2ksk,s3ks2k也成等差 k Z)数列。
公差为原来公差的k 2倍
本节课学习的主要内容有: 1、如何利用数列的前n项和 求通项公式
2、等差数列前n项和最值求解
3、等差数列简单性质.
2.已知 an 1024lg21n, (lg20.301), 0nN,问:
1、利Sn用 :Snd2n2(a1d2)n.借助二次函数最 2、利 an: 用 借助a通 n的项 正公 负式 n情 项S况 和 n的与 变化情 an0况 且 an1 , 0
二 . 等 a 差 n 的 a 1 数 首 0 ,公 d 列 0 时 项 差 前n项, 和Sn有最小值
1、利Sn用 :Snd2n2(a1d2)n.借助二次函数最 2、利 an: 用 借助a通 n的项 正公 负式 n情 项S况 和 n的与 变化情 an0况 且 an1 , 0

《等差数列的前n项和》人教版高二数学下册PPT课件

《等差数列的前n项和》人教版高二数学下册PPT课件

合作探究
COOPERATIVE INQUIRY
[跟踪训练] 2.植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树,每人植树一棵,相邻两棵树相距 10 米, 开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的 路程总和最小,此最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ 米.
解得 a 1=-5 ,d =3. ∴a 8=a 6+2 d =1 0 +2×3 =1 6 ,
1 0 ×9 S 10=1 0 a 1+ 2 d =1 0 ×(-5 )+5 ×9 ×3 =8 5 .
1 7 × a 1+a 17
1 7 × a 3+a 15
1 7 ×4 0
(2 )S 17=
2

2

=3 4 0 .
S 1,n =1 ,
项公式,那么数列{a n
}的通项公式要分段表示为
a
n

S
n -S
n -1,n
≥2 .
合作探究
COOPERATIVE INQUIRY
等差数列前 n 项和公式的实际应用
例 3、某抗洪指挥部接到预报,24 小时后有一洪峰到达,为确保安全,指挥部决定在洪峰到来 之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算,除现有的参战军民连续奋战外,还需调用 20 台同 型号翻斗车,平均每辆车工作 24 小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用, 每隔 20 分钟能有一辆翻斗车到达,一共可调集 25 辆,那么在 24 小时内能否构筑成第二道防线?
3,n =1,
∴a
n
= 2
n
,n
≥2
.
合作探究
COOPERATIVE INQUIRY
2 .(变条件变结论)将本例中的条件“S n =2 n 2-3 0 n ”变为“正数数列{b n }的前 n 项和 S n

等差数列前n项和的公式 PPT

等差数列前n项和的公式 PPT

(2)当m+n=p+q时, am+an=ap+aq
1+2+3+…+98+99+100=?
高斯10岁时曾很快算出 这一结果,如何算的呢?
高斯, (1777— 1855) 德国 著名数学家。
我们先看下面的问题。
怎样才能快速 计算出一堆钢管有 多少根呢?
一 二
4+10=14 5+9=14
三 四
6+8=14 7+7=14
1( 2
?首项 + ?尾项 )
?项数
Sn
n(a1 an) 2
以下证明 {an}是等差数列,Sn是前n项和,则
Sn
n(a1 an) 2
证:
Sn= 即Sn=
aa1+n+aa2n-+1+a3an+-2+…+a+a1…ana+-n21+a++na-32++aan-21++aan11
把+得:2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1)
n(n-1)
2
×4 =54
整理得: n 2-6n-27=0
解得: n1=9, n2=-3(舍去)
答: 等差数列-10,-6,-2,2,···前9项的和 是54。
.
例3 一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔,往上 每一层都比它下面一层多放一支,最上面一层放120支. 这个V 形架上共放着多少支铅笔?
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等差数列的前n项和PPT优秀课件10

等差数列的前n项和PPT优秀课件10

n 个 2 S n ( a 1 a n ) ( a 1 a n ) ( a 1 a n )
n( a1an)
Sn

n(a1 an) 2
证法二:
Sn= a1+ a2 + a3 + … +an-2+an-1+an 即Sn=an+an-1+an-2 +…+ a3 + a2 + a1
n(n1) Snn1a 2 d ana1(n1)d
结论:知 三 求 二
例 1: (1)求正整数数列前n项和
1、2、3、 n-1、 n
解:Sn=1+2+3+
+n-1+n= n1
2
n

(2)求:1+3+5+ +(2n+1) 解: Sn= 1+3+5+ +(2n+1)
n112n1n12
问题 1:
问题 2:
S100 = 1+2+ ······+100
100 (a1 a100)·
2
S120=1+2+ ······+12
0
120
(a1 a120) ·
2
猜测
? Sn=a1+a2+······+a
n
n
Sn (a1 an)·
2
二、等差数 列前n项求和 公式
这就是等 差数列前n 项和的公式!
共多有少个n (个a1(+aa1n+)an?)
因此,
Sn

等差数列前n项求和ppt

等差数列前n项求和ppt

公式理解
01
公式意义
等差数列的前n项和公式表示等 差数列前n项的和,其中首项为 a1,公差为d,项数为n。
公式结构
02
03
公式参数
公式由首项、公差、项数和求和 符号组成,反映了等差数列的特 性。
首项a1表示等差数列的第一项, 公差d表示相邻两项的差,项数n 表示等差数列的项数。
公式应用
应用场景一
等差数列前n项求和
目录
• 等差数列的定义与性质 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列求和的常见方法 • 等差数列求和的实际应用 • 等差数列求和的注意事项
01
等差数列的定义与性质
定义
总结词
等差数列是一种常见的数列,其特点是任意两个相邻项的差是一个常数。
详细描述
等差数列是一种有序的整数集合,其中任意两个相邻项的差都等于一个常数,这个常数被称为公差。等差数列的 一般形式为 a_n = a_1 + (n-1)d,其中 a_n 是第 n 项,a_1 是第一项,d 是公差。
02
等差数列的前n项和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质,将前n项和表示为n/2乘以首项与末项的平均值,再利用等差数列的通项公式, 推导出前n项和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的求和公式,将前n项和表示为首项与末项的和乘以项数再除以2,同样利用等差数列的通 项公式,推导出前n项和公式。
日常生活中的应用
购物清单
在购物时,等差数列求和公式可用于计算购 物清单中商品的总价,以便快速计算出总花 费。
工资计算
在工资计算中,等差数列求和公式可用于计算工资 总额,以便计算税款和扣除项。
日常理财
在理财中,等差数列求和公式可用于计算定 期存款、基金定投等理财产品的收益。

等差数列前n项和(公开课)PPT课件

等差数列前n项和(公开课)PPT课件
几何等领域。
组合数学
等差数列的前n项和公式可以应 用于组合数学中,解决一些组合 问题,如计算组合数的公式等。
数列求和
等差数列的前n项和公式是数列 求和的一种重要方法,可以用于
解决等差数列的求和问题。
在物理中的应用
力学
在物理学中,等差数列的 前n项和公式可以应用于求 解一些力学问题,如计算 多自由度振动的周期等。
简化计算
等差数列的前n项和公式在日常生活 和科学研究中有着广泛的应用,如计 算存款利息、解决生产计划问题等。
对于一些较大的等差数列,使用前n 项和公式可以大大简化计算过程,提 高计算效率。
验证答案
使用前n项和公式可以快速验证一些 等差数列求和问题的答案,确保计算 的准确性。
实例解析
简单实例
例如,一个等差数列1, 4, 7, 10... ,使用前n项和公式可以快速求出
统计学
在统计学中,等差数列的 前n项和公式可以用于计算 平均值、中位数等统计指 标。
信号处理
在信号处理中,等差数列 的前n项和可以用于计算信 号的频谱、滤波等操作。
在计算机科学中的应用
数据结构
在计算机科学中,等差数列的前n项和公式可以应用于一些数据结 构的设计,如数组、链表等。
算法设计
等差数列的前n项和公式可以用于设计一些算法,如排序算法、查 找算法等。
详细描述
等差数列是一种特殊的数列,其中任意两个相邻的项之间的 差是一个固定的值,这个值被称为公差。等差数列的通项公 式为 a_n = a_1 + (n-1)d,其中 a_n 是第 n 项,a_1 是首项 ,d 是公差。
性质
总结词
等差数列具有一些重要的性质,包括对称性、中项性质和等差中项性质等。

等差数列前n项和(公开课)PPT课件

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数学建模
等差数列的前n项和公式也可以用于数学建模,例如在解决一 些实际问题时,可以利用等差数列的前n项和来建立数学模型 ,从而更好地理解和解决这些问题。
在物理中的应用
物理学中的等差数列
在物理学中,有些物理量呈等差数列 分布,例如光的波长、音阶的频率等 ,等差数列的前n项和公式可以用于 计算这些物理量的总和。
物理学中的级数求和
在物理学中,有些级数的求和问题可 以用等差数列的前n项和公式来解决 ,例如在求解一些物理问题的近似解 时,可以利用等差数列的前n项和来 简化计算。
在经济中的应用
金融投资
在金融投资中,有些投资组合的收益 呈等差数列分布,例如定期存款、基 金定投等,等差数列的前n项和公式 可以用于计算这些投资组合的总收益 。
CHAPTER 02
等差数列的前n项和公式
等差数列前n项和的定义
01
02
03
定义
等差数列的前n项和是指 从第一项到第n项的所有 项的和。
符号表示
记作Sn,其中S表示总和 ,n表示项数。
举例
对于等差数列2, 4, 6, ..., 2n,前n项和为Sn = 2 + 4 + 6 + ... + 2n。
等差数列前n项和(公开 课)ppt课件
汇报人:可编辑
2023-12-23
CONTENTS
目录
• 等差数列的概念 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列前n项和的特例 • 等差数列前n项和的应用 • 习题与解答
CHAPTER 01
等差数列的概念
等差数列的定义
等差数列是一种常见的数列,其 中任意两个相邻项的差是一个常
等差数列前n项和的公式推导
推导方法

等差数列前n项和PPT优秀课件

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n 个 2 S ( a a ) ( a a ) ( a a ) n 1 n 1 n 1 n
n ( a a ) 1 n
n ( a 1 a n) S n 2
等差数列的前n项和公式的其它形式
n ( a 1 a n) S n 2 n ( n 1 ) S na d n 1 2
解: 由题意 , m 是 7 的倍数 , 且 0 m 100 .
练习1.
课 堂 小 练
1. 根据下列条件,求相应的等差数列
a n 的 S
( 1 ) a 5 , a 95 , n 10 ; 1 n
( 2 ) a 100 , d 2 , n 50 ; 1
n
练习2.
解得: n = 4 或 n = 6 a1=6 或 a1= -2
M m |m 7 n ,n N , 且 m 100 例3. 求集合
的元素个数 , 并求这些元素的和 .
将它们从小到大排列得 : ,7 7 0,7 1, 7 2, 7 , 14 , 21 , , 98 . 14 .即 共有 15 个元素 , 构成一个等差数列 ,记为 a , n 15 ( 0 98 ) a 0 , a 98 S 1 15 735 15 2 答 : 集合 M 共有 15 个元素 , 和等于 735 .
= 7260 120 = (1 + 120 ) · 2
120 (a1 a120) · 2
(三)构建数学:猜测
问题 1: 问题 2: S120=1+2+ · · · · · ·+12 0 120
(a1 a120 )· 2

等差数列的前n项和PPT优秀课件1

等差数列的前n项和PPT优秀课件1

(2)100元“零存整取”的月利息为 100×1.725‰=0.1725(元), 存3年的利息是
0.1725×(1+2+3+……+36)=114.885(元), 因此李先生多收益
179.82-114.885×(1-20%)=87.912元.
答:李先生办理“教育储蓄”比“零存整 取”多收益87.912元
解:(1)100元“教育储蓄”存款的月利息是 100×2.7‰=0.27(元), 第1个100元存36个月,得利息0.27×36(元); 第2个100元存35个月,得利息0.27×35(元); ………… 第36个100元存1个月,得利息0.27×1(元),
此时李先生获得利息
0.27×(1+2+3+……+36)=179.82(元), 本息和为3600+179.82=3779.82元;
解 得 30AB2
S 3 0 9 0 0 A 3 0 B 3 0 ( 3 0 A B ) 6 0
解法三: 设a1+a2+……+a10=A, a11+a12+……+a20=B,
a21+a22+……+a30=C, 则A,B,C成等差数列, 且A=10,A+B=30, 解得B=20,
2.2.2等差数列的前n项和
如图堆放一堆钢管,最上一层放了4根, 下面每一层比上一层多放一根,共8层,这 堆钢管共有多少根?
这堆钢管从上到下的数 量组成一个等差数列。
其中a1=4,公差d=1. 最下一层中a8=11。
即求4+5+6+……+11=?
我们设想,在这堆钢管旁,如图所示堆放同 样数量的钢管,这时每层都有钢管(4+11)根.

等差数列前n项和(公开课)PPT课件

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所以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +10 =25。
04
第二题答案:16;解析:设等差数列的首项为a,公 差为d,根据题意有4a + 6d = 12,解得a+d=2,所 以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +4 =16。
感谢您的观看
THANKS
习题答案与解析
进阶习题答案与解析
01
输标02入题
第一题答案:42;解析:设等差数列的首项为a,公 差为d,根据题意有5a + 10d = 25,解得a+d=5, 所以第6项到第10项的和为5a+35d=42。
03
第三题答案:25;解析:设等差数列的首项为a,公 差为d,根据题意有5a + 20d = 80,解得a+4d=8,
第二题答案:18;解析:设等差数列的首项为a,公差为d,根据题意有3a + 3d = 15,解得a+d=5,所以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +3 =18。
习题答案与解析
• 第三题答案:30;解析:设等差数列的首项为a,公差为d,根据题意有5a + 45d = 200,解得a+d=5,所以这个等差数 列共有(a+d)×(n-2)/2 +10 =30。
公式5
$S_n - S_{n-1} = a_n$
公式6
$S_n = S_{n-1} + a_n$
公式之间的联系与区别
联系
公式1、2、3都是求等差数列前n项 和的基本公式,而公式4、5、6则是 基于这些基本公式的推导或变种。
区别
公式1和公式2形式较为简洁,而公式 3则更便于观察等差数列的对称性质。 公式4、5、6则更注重于相邻两项和 之间的关系,可以用于求解某些特定 问题。

等差数列前n项和(公开课)PPT课件

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实例
总结词
等差数列的实例包括正整数序列、负数序列、斐波那契数列等。
详细描述
正整数序列1, 2, 3, ...是一个等差数列,其中首项a=1,公差d=1;负数序列-1, 2, -3, ...也是一个等差数列,其中首项a=-1,公差d=-1;斐波那契数列0, 1, 1, 2, 3, 5, ...也是一个等差数列,其中首项a=0,公差d=1。
01
求等差数列3, 6, 9, ..., 3n的前n项和。
进阶习题2
02
求等差数列-2, -4, -6, ..., -2n的前n项和。
进阶习题3
03
求等差数列5, 10, 15, ..., 5n的前n项和。
高阶习题
1 2
Байду номын сангаас
高阶习题1
求等差数列-3, -6, -9, ..., -3n的前n项和。
高阶习题2
总结词
等差数列是一种特殊的数列,其 中任意两个相邻项的差是一个常 数。
详细描述
等差数列通常表示为“an”,其 中a是首项,n是项数,d是公差 (任意两个相邻项的差)。
性质
总结词
等差数列的性质包括对称性、递增性、递减性等。
详细描述
等差数列的对称性是指任意一项与它的对称项相等,即a_n=a_(n+2m),其中 m是整数;递增性是指如果公差d>0,则数列是递增的;递减性是指如果公差 d<0,则数列是递减的。
PART 04
等差数列前n项和的变式 与拓展
REPORTING
变式公式
01
02
03
04
公式1
$S_n = frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d)$

等差数列的前n项求和公式ppt课件

等差数列的前n项求和公式ppt课件

由等差数列的性质 即
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…
2Sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)+..
Sn=n(a1+an)/2
5
如果代入等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,Sn也可 以用首项a1和公差d表示,即 Sn=na1+n(n-1)d/2 所以,等差数列的前n项求和公式是
-------方程、函数思想 3.公式中五个量a1, d, an, n, sn, 已知 其中三个量,可以求其余两个 -------知三求二
15
A组2、4、5
16
谢谢观赏
17
S
n

n a1 a n 2

S
n
n a1
n n 1 d 2
6
例题
例1
54?
等差数列-10,-6,-2, 2,…前多少项的和是
例2
已知一个等差数列{an}的前10项的和是310,前 20项的和是1220 .求等差数列的前n项和的公式
例3
求集合M={m|m=7n, n是正整数, 且m<100}的元素 个数, 并求这些元素的和.
8a 52 d n 2 14n nn 1 d S na d
a
n 1
13 d 0 d 0 2
2
2
解2: S3 S11
即 n=7
a1 0
由等差数列构成的函数图象,可知 n=(3+11)/2=7时,Sn最大
12
an 例8.等差数列 的前项n和S n,且a3 12 ,S12 0, S13 0

4.2.2等差数列的前n项和公式PPT课件(人教版)

4.2.2等差数列的前n项和公式PPT课件(人教版)

解:由已知可得:a1= -10,d=4
n(n 1)
S n 10n
4
2
2n 12n
2
令 2n 12 n 54
2
解得:n 9 或 n (舍)
3
所以数列前9项的和是54.
课堂小结
等差数列前n项和公式
n(a1 an )
Sn
2
n(n 1)
S n na1
101
算法过程:
由①+②,得
1
( + )
=

=
设 =1+2+3+…+100+101
①,则
=101+100+99+…+2+1 ②
2 = (+)
合作探究
思考2:已知数列{an}是等差数列,如何求
= 1 + 2 + 3 +··· +−1 + 的值?
S n na1
d
2
名师点析:(1)两个公式均为等差数列的求和公式,一共涉及a1,an,Sn,n,d
五个量.通常已知其中三个,可求其余两个,而且方法就是解方程(组),这也
是等差数列的基本问题情势之一.
( + )
(2)当已知首项a1,末项an,项数n时,用公式Sn=
.用此公式时,有时要
A.230
B.420
C.450
D.540
20×19
解:S20=20a1+ 2 d=20×2+20×19=420.
B
)
典型例题
例1 已知数列{an}是等差数列.
(1)若a1=7,a50=101,求S50;


(3)若a1= ,d=- ,
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∴当n=7时,Sn取最. 大值49.
13
等差数列的前n项的最值问题
例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值.
解法2 由S3=S11得 d=-2<0
则Sn的图象如图所示
Sn
又S3=S11
所以图象的对称轴为

3 11
n
n
7
2
3 7 11
∴当n=7时,Sn取最大. 值49.
例3设等差数列 an 的前n项和为s n ,
已知a324,s110 求:
②s①2当数2最n列为大a何n 值的时通,项s公n 式最大an,=-8n+48
.
18
求等差数列前n项的最大(小)的方法
方法1:由Sn
dn2 2
(a1
d)n利用二次函 2
数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值.
方法2:利用an的符号
这个数列共有1_3_____项。
例2 已知数列{an}中Sn=2n2+3n,求证: {an}是等差数列.
.
10
例1、若等差数列{an}前4项和是2,前9 项和是-6,求其前n 项和的公式。
解:设首项为a1,公差为d,则有:
2
6
4a1 9a1
1 2
1 2
4 9
3d 8d
,解之得:
43n。
. 30
12
等差数列的前n项的最值问题
例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值.
解法1 由S3=S11得
3 1 3 1 3 2 d 1 1 1 3 1 1 1 1 0 d
2
2
∴ d=-2
1 Sn13n2n(n1)(2)
n2 14n(n7)2 49
a d
1
18
15 7
15
∴S n1 1n 5 8 1 2n (1 n .( ) 1 7) 53 7n 0 24 3n 113 0 。
另解:
设 Sn= an2 + bn,依题意得: S4=2, S9= -6,
解之得:

2a42 b4
6a92
, b9
a
b
7 30
43
,
30
Sn
7 n2 30
{an}是等差数列 Sn=pn2+qn(p,q为常数,d=2p)
结论2:设数列{an}的前n项和为 Sn=An2+Bn+C,(A,B,C是常数)
2.2等差数列的前n项和 (第二课时)
——等差数列的前n项和的函数特 性及最大致与最小值
.
1
复习回顾
等差数列的前n项和公式:
形式1:
Sn
n(a1 an) 2
形式2:
n(n1)
Snn1a 2 d
.
2
新课讲授
一、常用数列的求和方法:
1 1 2+ 2 2+ 3 2+ L+ n 2= 1n n + 1 2 n + 1
A.12 B.13 D.14
C.12或13
.
20
小结
Sn
dn2 2
(a1
d)n 2

A
d 2
,
B
a1
d 2

Sn=An2+Bn
Sn是关于n的二次式,常数项为 零。(d可以为零)
当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数
.
21
小结
结论1:若数列{an}的前n项和为Sn=pn2+qn,
(p,q为常数)是关于n的二次式,则数列{an} 是等差数列。
{an}是等差数列 Sn=pn2+qn(p,q为常数,d=2p)
结论2:设数列{an}的前n项和为 Sn=An2+Bn+C,(A,B,C是常数) 若C=0,则{an}为等差数列; 若C≠0,则数列{an}不. 是等差数列。 6
.
7
.
8
.
9
例1 若一个等差数列前3项和为34,最 后三项和为146,且所有项的和为390,则
例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值.
解法4 由S3=S11得
a4+a5+a6+……+a11=0 而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8
∴a7+a8=0 又d=-2<0,a1=13>0
∴a7>0,a8<0
∴当n=7时,Sn取最. 大值49.
6
213+23+33+L+n3=nn2+12
(3)裂项法:设{an}是等差数列,公差d≠0
111
1n
+ + +L+ =
a1a2 a2a3 a3a4
anan + 1 a1an + 1
其中ana1n+1
1 1 =dan
1 -an+1.
3
求 和 S n= 1 1 g 3+ 3 1 g 5+ 5 1 g 7+ L+ 2 n -1 1 2 n + 1
16
例1的变式题一:等差数列{an}中,首 项a1>0,S3 = S11,问:这个数列的前 几项的和最大?
解: 由S3=S11得 d<0,则d/2<0
则Sn的图象开口向下,如 Sn 图所示 又S3=S11
所以图象的对称轴为
3 11
n
n
7
2
3 7 11
∴当n=7时,Sn取最大. 值49.
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例2:已知数列{an}是等差数列,且 a1= 21,公差d=-2,求这个数列的前 n项和Sn的最大值。S11最大为121
特点?
Sn
dn2 2
(a1
d)n 2

A
d 2
,
B
a1
d 2

Sn=An2+Bn
Sn是关于n的二次式,常数项为
零。(d可以为零).
5
当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数 当d=0时,Sn=na1不是二次函数
结论1:若数列{an}的前n项和为Sn=pn2+qn,
(p,q为常数)是关于n的二次式,则数列{an} 是等差数列。
①当a1>0,d<0时,数列前面有若干项为正,此 时所有正项的和为Sn的最大值,其n的值由 an≥0且an+1≤0求得.
②当a1<0,d>0时,数列前面有若干项为负,此 时所有负项的和为Sn的最小值,其n的值由
an ≤0且an+1 ≥ 0求得. .
19
练习:已知数列{an}的通项为 an=26-2n,要使此数列的前n项和 最大,则n的值为( C )
S n=1 2 1 -1 3+1 3-1 5+1 5-7 1+ L+2 n 1 -1-2 n 1 + 1 =121-2n1+1=2nn+1
(4)倒序相加法:用于与首末两端等距离的和 相等。
.
4
新课讲授
.将等差数列前n项和公式
Sn n
a 1n(n2 1)d
看作是一个关于n的函数,这个函数有什么
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等差数列的前n项的最值问题
例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值.
解法3 由S3=S11得 d=-2
∴ an=13+(n-1) ×(-2)=-2n+15

a a
n
n1
0
0
n
15 2

n
13 2
∴当n=7时,Sn取最. 大值49.
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等差数列的前n项的最值问题
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