高考中常用函数模型归纳及应用

高考中常用函数模型．．．．

归纳及应用 一． 常数函数y=a

判断函数奇偶性最常用的模型，a=0时，既是奇函数，又是偶函数，a ≠0时只是偶函数。关于方程解的个数问题时常用。

例1．已知x ∈(0, π],关于方程2sin(x+

3

π

)=a 有两个不同的实数解，则实数a 的取植范围是（ ）A ．[-2，2] B.[

3,2] C.( 3,2] D.( 3,2)

解析；令y=2sin(x+3π

), y=a 画出函数y=2sin(x+3

π

)，y=a 图象如图所示，若方程有两个不同的解，则两个函数图象有两个不同的交点，

由图象知( 3,2)，选D

二． 一次函数y=kx+b (k ≠0)

函数图象是一条直线，易画易分析性质变化。常用于数形结合解决问题，及利用“变元”或“换元”化归

为一次函数问题。有定义域限制时，要考虑区间的端点值。

例2．不等式2x 2

+1≤m(x-1)对一切│m │≤2恒成立，则x 的范围是（ ）

A ．-2≤x ≤2 B.

4

31- ≤x ≤0 C.0≤x ≤

4

71+ D.

4

71-≤x ≤

4

1

3- 解析：不等式可化为m(x-1)- 2x 2+1≥0 设f(m)= m(x-1)- 2x 2

+1

若x=1, f(m)=-3＜0 (舍) 则x ≠1则f(m)是关于m 的一次函数，要使不等式在│m │≤2条件下恒成立，只需⎩

⎨

⎧≥-≥0)2(0

)2(f f ，解之可得答案D

三． 二次函数y=ax 2

+bx+c (a ≠0)

二次函数是应用最广泛的的函数，是连接一元二次不等式和一元二次方程的纽带。很多问题都可以化归和转化成二次函数问题。比如有关三次函数的最值问题，因其导数是二次函数，最后的落脚点仍是二次函数问题。

例3．（1）.若关于x 的方程x 2

+ax+a 2

-1=0有一个正根和一个负根，则a 的取值范围是（ ） 解析：令f(x)= x 2

+ax+a 2

-1由题意得f(0)= a 2

-1 ＜0,即-1＜a ＜1即可。

一元二次方程的根分布问题可借助二次函数图象解决，通常考虑二次函数的开口方向，判别式对称轴与根的位置关系，端点函数值四个方面。也可借助韦达定理。

例4．函数f(x)= x 2

-4x-4在闭区间[t,t+1] t ∈R 上的最小值记为g(t),试求g(t)的表达式。 解：f(x)=（x-2）2

-8，当t ＞2时，f(x)在[t,t+1]上是增函数∴g(t)= f(t)=t 2

-4t-4 当t ≤2≤t+1即1≤t ≤2时，g(t)= f(2)=-8 当t+1＜2即t ＜1时，f(x)在[t,t+1]上是减函数

g(t)= f(t+1)= t 2

-2t-7,从而g(t)=⎪⎩

⎪⎨⎧>--≤≤-<--)2(44)21(8)1(7222t t t t t t t

评：二次函数在闭区间上的最值问题是历年高考的热点，它的对称轴能确定二次函数的单调区间，二次函数与对数函数的综合性题目是常考的交汇点之一。该题中，对称轴x=2确定，而区间[t,t+1]不确定即“定轴不定区间”，二者的位置关系有三种情况。类似问题还有“定区间不定轴”、“不定轴不定区间”问题，但方法都一样，“讨论对称轴和区间的位置关系”。 例5．①如果函数y=a

x

2+2a x

-1(a>0且a ≠1) 在区间[-1，1]上的最大值是14，求a 的值。

②．f(x)=-sin 2

x+sinx+a,若1≤f(x) ≤

4

17

对一切x ∈R 恒成立,求a 的取值范围。 以上两个问题都可以利用换元法转化为二次函数来解决，换元过程中注意──等价性，即保证“旧元”和“新元”取值范围的统一。解题过程略。 答案：①.a=3或

3

1

②3≤a ≤4 例6.已知a,b 为常数，且a>0,f(x)=x 3

+

2

3(1-a)x 2

-3ax+b (1).若函数f(x)的极大值是2，求a 和b 的关系式

(2).若函数f(x)的极大值是2，且在区间[0，3]上的最小值是-2

23

，求a 和b 的值。 解答过程略。答案：(1).3a+2b=3 （2）.a=2,b=-2

3 四． 绝对值函数y=│x │

这是偶函数，是画y=a │x │(a ≠0)图象的基础，当a>0时,开口向上；当 a<0时，开口向下。

例7．画出函数y=︱︱︱x ︱-1︱-1│

按照以下的变换的方式即可：y=│x │→ y=│x │-1 → y=︱︱x ︱-1︱→

y=︱︱x ︱-1︱-1

→ y=︱︱︱x ︱-1︱-1│︳， 答案如上图所示。

例8．函数y=a │x │和y=x+a 图象恰有两个交点，则a 的取值范围是（ ）

A.(1,+∞)

B.(-1,1)

C.(-∞,-1]∪[1,+∞)

D. (-∞,-1)∪(1,+∞) 解析：（ⅰ）若a=0, y=a │x │=0与y=x 只有一个交点； (ⅱ) 若0＜a ≤1,则y=a │x │和y=x+a 只有一个交点； （ⅲ）若a ＞1, 则y=a │x │和y=x+a 有两个交点； （ⅳ）若-1≤a ＜0,则y=a │x │和y=x+a 只有一个交点； （ⅴ）若a ＜-1,则y=a │x │和y=x+a 有两个交点； 选D 五． 折线函数y=︱x-a ︱+︱x-b ︱和y=︱x-a ︱-︱x-b ︱ (a ＜b)

根据绝对值的定义可以先把这两个函数可以化成分段函数的形式，比如y=︱x-a ︱+

︱x-b ︱=

⎪⎩

⎪

⎨⎧<--≤≤-<-+)(2)()

(2x b b a x b x a a b a x x b a 然后再画函数图象。它们的图象分别是

也可根据绝对值的意义进一步把握，y=︱x-a ︱+︱x-b ︱表示数轴上任意一点x 到a 和b 的距离的和。

例9．若不等式︱x+3︱-︱x-2︱>a 有解，求a 的取值范围

解析：方法Ⅰ：︱x+3︱-︱x-2︱表示数轴上的点（x ，0）到点（-3，0）和（2，0）的距离的差的最大植是5，所以，要使不等式︱x+3︱-︱x-2︱>a 有解，只需a<5。方法二；图象法，略 六．函数y=ax+

x

b

(a ≠0,b ≠0) 当a ＞0,b ＞0时，函数图象如下图所示，从图象可以知道它的单调性，在（-∞，-

a

b ）和

a

b ， +∞）单调递增，在（-

a

b ，0）和（0，

a

b ）单调递

减；这种情形下的图象最好记住，在平常练习题中常用。 当a ＞0,b ＜0时，函数在（-∞，0）和（0，+∞）单调递增；