概率论习题及答案习题详解

222

习题七

( A )

1、设总体X 服从参数为N 和p 的二项分布，n X X X ,,,21 为取自

X 的一个样本，试求参数p 的矩估计量与极大似然估计量.

解：由题意，X 的分布律为： ()(1),0k N k

N P X k p p k N k -⎛⎫==-≤≤

⎪⎝⎭

. 总体X 的数学期望为

(1)(1)

011(1)(1)

1N

N

k N k k N k k k N N EX k p p Np p p k k ----==-⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭

∑∑ 1((1))N Np p p Np -=+-=

则EX p N =

.用X 替换EX 即得未知参数p 的矩估计量为ˆX

p

N

=. 设12,,n x x x 是相应于样本12,,n X X X 的样本值，则似然函数为

11

1211(,,;)()(1)

n

n

i

i

i i n

n

x nN x n i i i i N L x x x p P X x p p x ==-

==∑

∑⎛⎫===⋅- ⎪⎝⎭

∏∏

取对数

11

1ln ln ln ()ln(1)n

n

n

i i i i i i N L x p nN x p x ===⎛⎫=+⋅+-⋅- ⎪⎝⎭∑∑∑，

11

ln (1)

n

n

i i

i i x nN x d L dp p p ==-=--∑∑.

223

令

ln 0d L

dp

=，解得p 的极大似然估计值为 11ˆn

i i x n

p

N

==∑. 从而得p 的极大似然估计量为

11ˆn

i i X X n

p N N

===∑.

2,、设n X X X ,,,21 为取自总体X 的一个样本,X 的概率密度为

2

2,0(;)0,

x

x f x θ

θθ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它.其中参数0θ>，求θ的矩估计. 解：取n X X X ,,,21 为母体X 的一个样本容量为n 的样本，则

20

22

()3

x

EX xf x dx x dx θ

θθ+∞

-∞

==⋅

=⎰

⎰ 3

2

EX θ⇒=

用X 替换EX 即得未知参数θ的矩估计量为3

ˆ2

X θ

=. 3、设12,,,n X X X 总体X 的一个样本, X 的概率密度为

⎪⎩

⎪⎨

⎧≤>=--0

,0,

0,

);(1x x e x x f x α

λαλαλ 其中0>λ是未知参数，0>α是已知常数,求λ的最大似然估计.

解：设12,,,n x x x 为样本12,,,n X X X 的一组观测值，则似然函数为

224

1()

1121

(),0

(,,,;)0,n

i i n x n n i i n i x e x L x x x αλαλαλ=--=⎧∑⎪⋅≥=⎨⎪

⎩

∏ 其他 取对数 1

1

ln ln ln (1)(

ln )()n n

i

i

i i L n n x x αλααλ===++--∑∑

解极大似然方程 1ln 0n i i d L n x d α

λλ==-=∑

得λ的极大似然估计值为1

ˆn

i

i n

x α

λ

==∑

从而得λ的极大似然估计量为1

ˆn

i

i n

X α

λ

==∑.

4、设总体X 服从几何分布 ,10,,2,1,)

1()(1

<<=-==-p k p p k X P k

试利用样本值n x x x ,,,21 ,求参数p 的矩估计和最大似然估计.

解：因1

11

1

1

(1)

(1)k k k k EX k p p p k p p

∞

∞

--===

⋅-=⋅-=

∑∑, 用X 替换EX 即得未知参数p 的矩估计量为1

ˆp

X

=. 在一次取样下，样本值12(,,,)n x x x 即事件

1122{},{},,{}n n X x X x X x === 同时发生，由于12,,,n X X X 相

互独立，得联合分布律为

121122(,,,;)()(),,()n n n L x x x p P X x P X x P X x ====

225

12111(1)(1)(1)n x x x p p p p p p ---=-⋅-- ,

即得极大似然函数为

1

()(1)n

i i x n

n

L p p p =-∑=-

取对数 1

ln ()ln (

)ln(1)n

i i L p n p x n p ==+--∑

解极大似然方程 1ln ()01n

i i x n

d L p n dp p p =-=-=-∑ 得p 的极大似然估计值为1

1ˆ1

n

i i p

x n ==∑

从而得p 的极大似然估计量为1

11ˆ1n

i i p

X

X n ===

∑. 5、设总体X 的概率密度为()1;exp ,2x f x σσσ⎧⎫

=

-⎨⎬⎩⎭

0σ>为未知参数, n X X X ,,,21 为总体X 的一样本,求参数σ的最大似然估计.

解：设12,,,n x x x 为样本12,,,n X X X 的一组观测值，则似然函数为

1211

11

(,,,;)(;)(;)exp{||}(2)

n

n n i

n

i L x x x f x f x x σσσσσ

====-

∑ 取对数

121

1

ln (,,,;)ln(2)||n

n i

i L x x x n x σσσ

==--

∑