二次函数与等腰三角形的综合考察

二次函数背景下的等腰三角形

二次函数是历年中考的重难点，出题比较灵活多变，主要是二次函数和一些图形题结合的考查，此类问题多基于图形的运动上进行考察，所以对于学生的想象力以及分析和运算能力有着一定的要求，所以平时应该多进行训练。

第一问一般情况下是以求二次函数的解析式和顶点坐标居多。此类题比较简单，第一种情况题目直接给出二次函数所过点的坐标，带入解析式直接求出参数a 、b 、c 的值即可，第二种情况题目中会给一些几何条件，间接求出二次函数所过点的坐标即可。

第二问出题较灵活，反观近几年中考，主要会出以下几类:求锐角三角比、面积表示、用字母表示某线段的长。

第三问主要考察动点居多，主要是二次函数和相似三角形、等腰三角形、直角三角形、特殊四边形、圆的结合。

其实二次函数综合题型在平面直角坐标系的考察，实则就是点坐标的求解。也就是函数解析式和坐标轴、对称轴，以及函数解析式交点的求解。这块知识解法比较多变，主要分为代数分析法和几何分析法。主要应用了一个比较重要的数学思想即数形结合思想。接下来主要分析下二次函数和等腰三角形这块知识的求解。

等腰三角形与二次函数综合求解方法 第一、由于等腰三角形的特殊性，是每年中考必考的考点，做题时需要考虑等腰三角形的性质：腰相等，底角相等，三线合一等这些，然后分类讨论，一般地一个三角形为等腰三角形可以分为三种情况，可以以不同的顶点为分类依据。

第二、以腰相等列方程，利用二次函数可得的数据求出所设字母的值。这类题型主要设动点坐标，一般动点坐标在已知直线上或二次函数图像上，根据函数解析式设动点坐标，最好纵横坐标只设一个字母，这样学生解题思路更加清晰，再根据两点之间的距离或利用锐角的三角比列出方程，求出字母的值进而可以求出动点的坐标，并需要强调的是求出来的点的坐标的取舍。

例1：在直角坐标系中，把点(1,)A a -（a 为常数）向右平移4个单位得到点A '，经过点A 、A '的抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点C 的纵坐标为2。 （1）求这条抛物线的解析式；

（2）设该抛物线的顶点为点P ，点B 的坐标为)1m ，（，且3

一.寻找题目中的已知量和特殊条件：

1.点的坐标：(1,)A a -，'

(3,)A a ，(0,2)C ；

2.二次函数的图形经过(1,)A a -，'

(3,)A a ，(0,2)C 三点；

二.求二次函数的解析式：将(1,)A a -，'(3,)A a ，(0,2)C 三点代入函数解析式，解方程组可得。 三.当△ABP 是等腰三角形时，求点B 的坐标： 1.点B 坐标表示表示为)1m ，（，3

点A （－1，a ）（a 为常数）向右平移4个单位得到点 A '（3，a ） ∵抛物线与y 轴的交点的纵坐标为2 ∴2=c ∵ 图像经过点A （－1，a ）、A '（3，a ） ∴⎩⎨

⎧=++=++a

c b a a

c b a 9 解得 ⎩⎨⎧=-=21b a

∴222

++-=x x y

（2）由222

++-=x x y =()312

+--x 得P(1，3) 52=AP

∵△ABP 是等腰三角形,点B 的坐标为)1m ，（,且3

52=PB ，即 523=-m ∴523-=m （Ⅱ）当AP=AB 时

()()()()2

2

2

2

1113111m --+--=--+--

解得5,3-==m m

3=m 不合题意舍去，∴5-=m （Ⅲ）当PB=AB 时

()()()()2

2

2

2

111311m m --+--=-+-

解得2

1

=

m ∴当523-=m 或-5或2

1

时，△ABP 是等腰三角形。

例2.如图，已知抛物线221y x x m =-++-与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，其中点C 的坐标是(0,3)，顶点为点D ，联结CD ，抛物线的对称轴与x 轴相交于点E 。 （1）求m 的值； （2）求∠CDE 的度数；

（3）在抛物线对称轴的右侧部分上是否存在一点P ，使得△PDC 是等腰三角形？如果存在，求出符合条件的点P 的坐标；如果不存在，请说明理由。

一.寻找题目中的已知量和特殊条件：

1.点的坐标：(0,3)C ，点A B D E 、、、坐标可求；

2.二次函数经过A B C D 、、、四点；

二.求m 的值：将(0,3)C 点坐标代入函数解析式，解方程可得。

三.求∠CDE 的度数：过点C 作CF ⊥DE ，垂足为点F ；通过计算可得△CDF 是等腰直角三角形，则∠CDE = 45° 。

四.当△PDC 是等腰三角形时，求点P 的坐标： 1.点P 的位置：抛物线对称轴的右侧部分； 2.设P （x ，y ），经过分析，分两个情况讨论：

（ⅰ）如果PD = CD ，即得点C 和点P 关于直线x = 1对称；

（ⅱ）如果PC = PD ，由两点间的距离公式，并结合点P 在抛物线上，列方程中求解。 3.计算求解。

（1）根据题意，点C （0，3）在抛物线221y x x m =-++-上， ∴1– m = 3．解得 m = –2． （2）过点C 作CF ⊥DE ，垂足为点F ． ∵CF ⊥DE ，∴∠DFC = 90°．

由m = –2，得抛物线的函数解析式为322++-=x x y ．

又4)1(3222+--=++-=x x x y ，

所以，抛物线的顶点坐标为D （1，4）．

又C （0，3），∴ DF = CF = 1．又由∠DFC = 90°，得△CDF 是等腰直角 三角形．∴∠CDE = 45°．

（3）存在。设P （x ，y ）。