中学数学基本能力培养
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▪ 数学创造性思维不仅存在于数学家的创 造活动中，也存在于学生的学习活动中。 学生学习的知识虽然是前人创造性思维的 结果，但学生的学习是人类发现基础上的 再发现。
▪ 学生的思维活动中，也常常产生对他们来 说是新鲜、开创的因素，只要有新思想、 新观念，新的设计和方法，对学生来说即 为创造。
▪ 因此首先在教学中应变注入式为启发式， 封闭式为开放式、发现式。适度运用潜科 学教学法，充分揭示数学思维过程，使学 生开阔眼界，促使想象的展开与直觉顿悟 的产生，为学生创造性思维的产生形成良 好的氛围。
▪ 适当揭示前人在抽象数学概念和寻找数学 定理、公式时艰苦的思维过程，开始如何 考虑，思维受阻后又如何进行思考，从失 败中获得成功。有利于学生从中吸取经验 和发展逻辑思维能力。
▪ 培养逻辑思维能力的过程也是逐步形成运 用数学知识来分析和解决问题的能力的过 程。( 稚化思路,避免过早说破)
▪ 你有5瓶药。每粒药丸重10克，只有一瓶药 受到了污染，药丸的重量发生了变化，。 每粒药丸重9克，你怎样一次就测出哪瓶药 是遭到污染的呢？
▪ 数学运算也是一种推理，是一种根据运算 定义、性质从已知数据及算式推导结果的 推理，因此要引导学生在算理的指导下完 成算法。
▪ 2 加强基本技能的训练
▪ 能力总是存在于人的具体活动之中，离开具
体活动就无所谓能力，因此要培养学生的运算能 力，就必须加强基本技能的训练。
▪ 基本技能包括心算、速算等的训练，它们 是提高运算能力的有效途径之一，可节省 时间和精力达到迅速运算的目的。
▪ 在教学中注重分析，讲清思路和推理格式。 如三垂线定理的证明，不等式证明的基本 思路。（what? how? why?)
▪ 2 指导学生严格遵守思维规律，养成 严谨思维的习惯。
▪ 严格遵守思维规律，推理严谨、言必有 据，这是逻辑思维的核心问题。
▪ 首先在教学中重视逻辑初步知识的教学， 诸如形式逻辑的基本规律，命题的四种关 系、充分条件、必要条件等。
§9．1 运算能力的培养
一、什么是运算能力?
所谓运算是在运算律指导下对具体式子变形的 演绎过程，它主要包括数值运算、变换，对各种 代数式或方程作等价或不等价变形的代数运算、 命题演算等。
运算能力是正确运用各种运算规律合乎逻辑地 进行各种数学运算的能力，其事实上是逻辑思维 能力和运算技能的结合。这里的运算能力主要指 会根据法则、公式正确地进行运算、处理数据， 并理解算理，据问题条件寻求与设计合理、简捷 的运算途径。
▪ 直觉思维是学习数学与创造数学必不可少的思 维形式，一般认为直觉是发现的工具，因此在培 养学生创造性思维能力中要训练学生的直觉思维 能力。在此要鼓励学生猜测，注意数学语言和教 学的直观性，发展形数结合的能力。
▪ 4 注重归纳、类比等合情推理思想的运用，
培养学生建立数学猜想的能力。
▪ 数学创造性成果，最初常常以猜想的形 源自文库出现，而归纳、类比是建立数学猜想， 提出问题、发现问题的主要途径。在教学 中可将一些命题的结论暂不揭示，而引导 学生通过观察、联想、归纳、类比等方法， 对结论提出猜想，再加以核对和证明。
▪ 学生犯错误不可怕，可怕的是教师错误地
对待学生的错误。”
▪ 3 重视知识获取过程的教学
▪ 数学教学实质上是数学思维活动过程的 教学。教师讲课的重点是知识的发生过程， 讲解问题解决的思维过程，揭示问题解决 的思想和方法。(等比数列)
▪ 如何从实际事物中发现和抽象出数学问 题，怎样对实际事物或已有知识进行分析、 综合、抽象、概括，如何综合和选取已有 的数学知识的发生过程，问题解决的思维 过程和思想方法。
▪ 给定的数学关系式不但注意其标准形式，而且注重它的等 价形式及各种公式、法则等的逆用。
▪ x＞0,y ＞0,z ＞0,求证:
x2 y2 z2 xyz
yzx
▪ 证明： x^2/y+y^2/z+z^2/x>x+y+z
<=>x^2/y+y^2/z+z^2/x-x-y-z>0 <=>(x^2/y-
§9．2 思维能力的培养
▪ 一、逻辑思维能力的培养
▪ 逻辑思维能力包含的基本内容有：能正确理解和 运用各种逻辑方法和推证方法，思维过程目的明 确、条理清楚，善于将知识系统化、结构化。
▪ 逻辑思维能力具有层次性(由填充理由，了解推理 格式到掌握简单证法，过渡为进行复杂的推理和 表述)。培养逻辑思维能力要求在思考问题、解决 问题时能够正确使用概念、恰当地判断，合乎逻 辑地进行分析和综合、抽象概括和推理论证。培 养学生的逻辑思维能力，可考虑以下做法。
欧拉又考虑了三角方程：
sinx1x2 x4 x6 …… 0
x
3! 5! 7!
他把它看成是只含有偶次项的无穷次代数方
程．由于此方程含有相异根
,2,3 ……
于是欧拉采用了类比法，即仿照上述2n次多项 式分解成乘积的形式，把这里出现的所谓无限次多 项式也照样分解成因式乘积形式：
sxixn1x2 214x2219 x2 ……
▪ 例1：把一块木板锯成两块，第一块的 长度是整块的三分之二，但比第二块短 四英尺，问木板在锯开前的长度是多少？
▪ 例2：牛＼羊＼船长年龄问题
▪ 运算能力的层次性是指运算能力的发 展总是从简单到复杂，从低级到高级、从 具体到抽象、有层次地发展起来。从直接 运用单一知识运算，公式逆用到运用两个 以上的数学知识进行简单多步运算，以及 运用概念、公式、性质、法则的各种变形 进行综合运算。
▪ 创造性思维是人类高级的思维活动，是 指人们对事物间的联系进行前所未有的思 考，并产生创见的思维。即通过思维不仅 能揭示客观事物的本质和规律，而且在此 基础上可以产生新颖、独特的想法，至少 是思维者头脑中以前不存在的东西。
▪ 如发现新解法，发现定理证明的新方法， 对问题进行推广等均可看作是数学创造性 思维的表现。
▪ 归纳推理是从个别、特殊事例出发得出一般结论 的思维方法，它分为完全归纳和不完全归纳法。 如同底数幂乘除法法则、积的算术平方根、不等 式的性质、凸多面体的欧拉定理等均是不完全归 纳的结果。
▪ 类比推理是据两类数学对象在某些方面相同或相 似，由此得出在其它方面也相同、相似或可用变 通方法来解决。如不等式解法类比方程解法，不 等式性质类比等式性质，等比数列研究类比等差 数列，多项式的整除类比数的整除，四面体与三 角形类比等。
▪ 其次加强运算练习，讲究训练层次，由模 仿练习到变式练习，由单一训练到综合训 练。
▪ 3 掌握运算的通法通则
▪ 尽管数学运算种类繁多，运算方法因人而异，但 有些方法、法则具有共同性。运算程序先高级后 低级，四则运算要求先乘除、后加减，先内层、 后外层，先局部后整体，先化简后代值。掌握运 算的基本思路。
2x+y)+(y^2/z-2y+z)+(z^2/x-2z+x)>0 <=>(x-y)^2/y+(y-z)^2/z+(z-x)^2/x>0 由于 x,y,z不全相等，故上式大于0恒成立。 证 毕。
▪ 3 加强数学直觉思维的训练，打破思维定 势，克服负迁移。
▪ 直觉思维是不受固定的逻辑规则约束，对于事 物作出迅速的判断、敏锐而深入的洞察，直接进 行领悟的思维或认知。它具有快速性、间断性、 不可解释性等特点。
第9章中学数学基本能力的培养
第9章中学数学基本能力的培养
▪ 掌握数学基本知识和培养学生的数学能力是中 学数学教学大纲中规定的中学数学教学的目的之 一。它能促进学生认知结构的完善和发展。
▪ 数学知识、技能和能力三者是紧密联系在一起 的整体，它们是相辅相成、互相依存、互相促进 的。能力是在知识的学习和技能的训练过程中通 过有意识地培养而发展的。与此同时，能力的提 高又会促进知识的深刻理解和技能的掌握
▪运算能力是否只在 代数学习中培养?
二、如何进行数学运算能力的培养呢？
▪ 1 加强数学基础知识的教学
▪ 数学中的概念、性质、法则、公式等是进 行运算的依据，若对这些基础知识理解得 清楚、深刻，则在运算时就能思路敏捷、 迅速正确，否则便会陷入一种盲目迟钝的 状态。
▪ 学好有关运算的基础知识是培养学生运算 能力的根本。当前教学中不少教师只注重 算法和运算结果，很少注意算理和运算过 程。
▪ 教师做出示范，通过反例剖析、纠正逻辑 性错误。不允许偷换论题，否则违反同一 律。不允许假造论据，否则违犯充足理由 律，不允许判断自相矛盾，否则违反矛盾 律，不允许模棱两可，否则违犯排中律， 不允许循环论证，不允许用特例验证来代 替一般性证明。
▪ (三角形内角和的代数证明.一组对边和一组 对角)
▪ 1、给每个瓶子标上1，2，3，4，5
▪ 2、1号瓶中取1个药丸，2号瓶中取2个药丸，3号 瓶中取3个药丸，4号瓶中取4个药丸，5号瓶中取 5个药丸。
▪ 3、称出这些药丸的重量
▪ 4、用1*10+2*10+3*10+4*10+5*10-称出的重量；
▪ 5、结果就是受污染的药丸的瓶子号码。
▪ 二、创造性思维能力的培养
▪ 求自然数倒数平方的级数和：
111 1 …… 4 9 16
这是数学家伯努利（Bernoulli，1654－ 1705）的一个级数求和难题，伯努利是17世 纪杰出的数学家，他是古典概率论的创始人， 对古典微积分学以及级数求和等问题都有贡献， 但是他却没有办法算出自然数倒数平方的级数 和．于是他公开征解，可惜直到他逝世时还未 见到有人解出此难题．这个难题过了数十年之 后才由欧拉解答出来．在这里欧拉巧妙地利用 了类比推理完成了一项非常有趣的发现，给出 了伯努利所未能找到的级数和．
这便是著名的“欧拉乘积公式”．这样一来， 再把右边的乘积展开，便发现x2项的系数是：
31!1241291211 62……
即 111 1 …… 2 奇迹出现了．
4 9 16
6
在数学中经常给学生出一些创新题去运算，对 学生的运算能力培养是十分有益的．当然这些创新 题应是学生力所能及的，那种一提“创造”就认为 是让学生解答数学家所未能解答的问题的态度，显 然是不可取的．
▪ 创造性思维能力是组织和改造先前已获得 的知识，使之适合当前有关的问题，从而 解决问题的思想活动能力。其主要特征是 新颖性、独创性、突破性、真理性和价值 性，并以此作为检验思维成果的标准。
▪ 培养学生的创造性思维能力可从以下几方 面入手：
▪ 1 运用开放式、启发式、多类型的教学思 想和方法，充分揭示数学思维过程。
▪ 1 培养学生正确运用逻辑思维形式的 能力
▪ 基础知识是逻辑思维能力形成的基础， 是构成判断、推理的要素。概念、 判断、 推理是人们认识客观事物的基本思维形式。 因此培养学生的逻辑思维能力，首先要培 养学生准确地使用概念，恰当地判断和合 乎逻辑地进行推理的能力。
▪ 概念的思维训练中体现具体--抽象-具体， 利用反例强化概念。判断是把概念之间以 一定方式连结起来，是对事物有所断定的 思维形式。推理是从已知判断推出新的判 断的思维形式。
▪ 如十位数相同，个位数之和为10的两位数 的乘积规律。用乘法公式简化数值计算， 用分母有理化方法求根式的值，用韦达定 理求解一元二次方程，利用1的变形求值 等。
▪ 为了提高运算的速度和准确性，还应要 求学生熟记一些常用值：1—20的平方， 勾股数，π，e的近似值，特殊三角函数值、 正三角形的高、面积、外接圆、内切圆半 径与边长的关系。
11 2 23 5
▪ 4 提高运算的简捷性和验算能力(元认知 能力)
▪ 运算的简捷性是提高运算能力的核心。一 般的运算大多数有一定的模式可循，但由 于所选择的基础知识、基本技能的不同， 往往繁简各异，因此要使学生会做并不困 难，困难的是使学生达到灵活、简捷。(例 题)
▪ 已知:
x32,y32,求 3x25x y3y2的值 32 32
▪ 2 加强发散思维能力的培养，注重变式方 法在教学中的运用。
▪ 由于发散思维不局限于固定模式，因此可使学生 克服静止孤立思考问题的习惯，训练学生对问题 从不同角度，用不同方法进行思维想象。(例子)
▪ 在此变式指：①一题多变(条件、结论变更、推广、 引申）；②一题多问，即对结论发散，无固定结 论，如目前开放题的引入；③一题多解，从中择 优；④一法多用，如RMI原则，MM方法，反证 法等；⑤一图多画(不但注重标准图形，而且注意 变式图形)；⑥一式多变(注重逆向思维的训练).
▪ 学生的思维活动中，也常常产生对他们来 说是新鲜、开创的因素，只要有新思想、 新观念，新的设计和方法，对学生来说即 为创造。
▪ 因此首先在教学中应变注入式为启发式， 封闭式为开放式、发现式。适度运用潜科 学教学法，充分揭示数学思维过程，使学 生开阔眼界，促使想象的展开与直觉顿悟 的产生，为学生创造性思维的产生形成良 好的氛围。
▪ 适当揭示前人在抽象数学概念和寻找数学 定理、公式时艰苦的思维过程，开始如何 考虑，思维受阻后又如何进行思考，从失 败中获得成功。有利于学生从中吸取经验 和发展逻辑思维能力。
▪ 培养逻辑思维能力的过程也是逐步形成运 用数学知识来分析和解决问题的能力的过 程。( 稚化思路,避免过早说破)
▪ 你有5瓶药。每粒药丸重10克，只有一瓶药 受到了污染，药丸的重量发生了变化，。 每粒药丸重9克，你怎样一次就测出哪瓶药 是遭到污染的呢？
▪ 数学运算也是一种推理，是一种根据运算 定义、性质从已知数据及算式推导结果的 推理，因此要引导学生在算理的指导下完 成算法。
▪ 2 加强基本技能的训练
▪ 能力总是存在于人的具体活动之中，离开具
体活动就无所谓能力，因此要培养学生的运算能 力，就必须加强基本技能的训练。
▪ 基本技能包括心算、速算等的训练，它们 是提高运算能力的有效途径之一，可节省 时间和精力达到迅速运算的目的。
▪ 在教学中注重分析，讲清思路和推理格式。 如三垂线定理的证明，不等式证明的基本 思路。（what? how? why?)
▪ 2 指导学生严格遵守思维规律，养成 严谨思维的习惯。
▪ 严格遵守思维规律，推理严谨、言必有 据，这是逻辑思维的核心问题。
▪ 首先在教学中重视逻辑初步知识的教学， 诸如形式逻辑的基本规律，命题的四种关 系、充分条件、必要条件等。
§9．1 运算能力的培养
一、什么是运算能力?
所谓运算是在运算律指导下对具体式子变形的 演绎过程，它主要包括数值运算、变换，对各种 代数式或方程作等价或不等价变形的代数运算、 命题演算等。
运算能力是正确运用各种运算规律合乎逻辑地 进行各种数学运算的能力，其事实上是逻辑思维 能力和运算技能的结合。这里的运算能力主要指 会根据法则、公式正确地进行运算、处理数据， 并理解算理，据问题条件寻求与设计合理、简捷 的运算途径。
▪ 直觉思维是学习数学与创造数学必不可少的思 维形式，一般认为直觉是发现的工具，因此在培 养学生创造性思维能力中要训练学生的直觉思维 能力。在此要鼓励学生猜测，注意数学语言和教 学的直观性，发展形数结合的能力。
▪ 4 注重归纳、类比等合情推理思想的运用，
培养学生建立数学猜想的能力。
▪ 数学创造性成果，最初常常以猜想的形 源自文库出现，而归纳、类比是建立数学猜想， 提出问题、发现问题的主要途径。在教学 中可将一些命题的结论暂不揭示，而引导 学生通过观察、联想、归纳、类比等方法， 对结论提出猜想，再加以核对和证明。
▪ 学生犯错误不可怕，可怕的是教师错误地
对待学生的错误。”
▪ 3 重视知识获取过程的教学
▪ 数学教学实质上是数学思维活动过程的 教学。教师讲课的重点是知识的发生过程， 讲解问题解决的思维过程，揭示问题解决 的思想和方法。(等比数列)
▪ 如何从实际事物中发现和抽象出数学问 题，怎样对实际事物或已有知识进行分析、 综合、抽象、概括，如何综合和选取已有 的数学知识的发生过程，问题解决的思维 过程和思想方法。
▪ 给定的数学关系式不但注意其标准形式，而且注重它的等 价形式及各种公式、法则等的逆用。
▪ x＞0,y ＞0,z ＞0,求证:
x2 y2 z2 xyz
yzx
▪ 证明： x^2/y+y^2/z+z^2/x>x+y+z
<=>x^2/y+y^2/z+z^2/x-x-y-z>0 <=>(x^2/y-
§9．2 思维能力的培养
▪ 一、逻辑思维能力的培养
▪ 逻辑思维能力包含的基本内容有：能正确理解和 运用各种逻辑方法和推证方法，思维过程目的明 确、条理清楚，善于将知识系统化、结构化。
▪ 逻辑思维能力具有层次性(由填充理由，了解推理 格式到掌握简单证法，过渡为进行复杂的推理和 表述)。培养逻辑思维能力要求在思考问题、解决 问题时能够正确使用概念、恰当地判断，合乎逻 辑地进行分析和综合、抽象概括和推理论证。培 养学生的逻辑思维能力，可考虑以下做法。
欧拉又考虑了三角方程：
sinx1x2 x4 x6 …… 0
x
3! 5! 7!
他把它看成是只含有偶次项的无穷次代数方
程．由于此方程含有相异根
,2,3 ……
于是欧拉采用了类比法，即仿照上述2n次多项 式分解成乘积的形式，把这里出现的所谓无限次多 项式也照样分解成因式乘积形式：
sxixn1x2 214x2219 x2 ……
▪ 例1：把一块木板锯成两块，第一块的 长度是整块的三分之二，但比第二块短 四英尺，问木板在锯开前的长度是多少？
▪ 例2：牛＼羊＼船长年龄问题
▪ 运算能力的层次性是指运算能力的发 展总是从简单到复杂，从低级到高级、从 具体到抽象、有层次地发展起来。从直接 运用单一知识运算，公式逆用到运用两个 以上的数学知识进行简单多步运算，以及 运用概念、公式、性质、法则的各种变形 进行综合运算。
▪ 创造性思维是人类高级的思维活动，是 指人们对事物间的联系进行前所未有的思 考，并产生创见的思维。即通过思维不仅 能揭示客观事物的本质和规律，而且在此 基础上可以产生新颖、独特的想法，至少 是思维者头脑中以前不存在的东西。
▪ 如发现新解法，发现定理证明的新方法， 对问题进行推广等均可看作是数学创造性 思维的表现。
▪ 归纳推理是从个别、特殊事例出发得出一般结论 的思维方法，它分为完全归纳和不完全归纳法。 如同底数幂乘除法法则、积的算术平方根、不等 式的性质、凸多面体的欧拉定理等均是不完全归 纳的结果。
▪ 类比推理是据两类数学对象在某些方面相同或相 似，由此得出在其它方面也相同、相似或可用变 通方法来解决。如不等式解法类比方程解法，不 等式性质类比等式性质，等比数列研究类比等差 数列，多项式的整除类比数的整除，四面体与三 角形类比等。
▪ 其次加强运算练习，讲究训练层次，由模 仿练习到变式练习，由单一训练到综合训 练。
▪ 3 掌握运算的通法通则
▪ 尽管数学运算种类繁多，运算方法因人而异，但 有些方法、法则具有共同性。运算程序先高级后 低级，四则运算要求先乘除、后加减，先内层、 后外层，先局部后整体，先化简后代值。掌握运 算的基本思路。
2x+y)+(y^2/z-2y+z)+(z^2/x-2z+x)>0 <=>(x-y)^2/y+(y-z)^2/z+(z-x)^2/x>0 由于 x,y,z不全相等，故上式大于0恒成立。 证 毕。
▪ 3 加强数学直觉思维的训练，打破思维定 势，克服负迁移。
▪ 直觉思维是不受固定的逻辑规则约束，对于事 物作出迅速的判断、敏锐而深入的洞察，直接进 行领悟的思维或认知。它具有快速性、间断性、 不可解释性等特点。
第9章中学数学基本能力的培养
第9章中学数学基本能力的培养
▪ 掌握数学基本知识和培养学生的数学能力是中 学数学教学大纲中规定的中学数学教学的目的之 一。它能促进学生认知结构的完善和发展。
▪ 数学知识、技能和能力三者是紧密联系在一起 的整体，它们是相辅相成、互相依存、互相促进 的。能力是在知识的学习和技能的训练过程中通 过有意识地培养而发展的。与此同时，能力的提 高又会促进知识的深刻理解和技能的掌握
▪运算能力是否只在 代数学习中培养?
二、如何进行数学运算能力的培养呢？
▪ 1 加强数学基础知识的教学
▪ 数学中的概念、性质、法则、公式等是进 行运算的依据，若对这些基础知识理解得 清楚、深刻，则在运算时就能思路敏捷、 迅速正确，否则便会陷入一种盲目迟钝的 状态。
▪ 学好有关运算的基础知识是培养学生运算 能力的根本。当前教学中不少教师只注重 算法和运算结果，很少注意算理和运算过 程。
▪ 教师做出示范，通过反例剖析、纠正逻辑 性错误。不允许偷换论题，否则违反同一 律。不允许假造论据，否则违犯充足理由 律，不允许判断自相矛盾，否则违反矛盾 律，不允许模棱两可，否则违犯排中律， 不允许循环论证，不允许用特例验证来代 替一般性证明。
▪ (三角形内角和的代数证明.一组对边和一组 对角)
▪ 1、给每个瓶子标上1，2，3，4，5
▪ 2、1号瓶中取1个药丸，2号瓶中取2个药丸，3号 瓶中取3个药丸，4号瓶中取4个药丸，5号瓶中取 5个药丸。
▪ 3、称出这些药丸的重量
▪ 4、用1*10+2*10+3*10+4*10+5*10-称出的重量；
▪ 5、结果就是受污染的药丸的瓶子号码。
▪ 二、创造性思维能力的培养
▪ 求自然数倒数平方的级数和：
111 1 …… 4 9 16
这是数学家伯努利（Bernoulli，1654－ 1705）的一个级数求和难题，伯努利是17世 纪杰出的数学家，他是古典概率论的创始人， 对古典微积分学以及级数求和等问题都有贡献， 但是他却没有办法算出自然数倒数平方的级数 和．于是他公开征解，可惜直到他逝世时还未 见到有人解出此难题．这个难题过了数十年之 后才由欧拉解答出来．在这里欧拉巧妙地利用 了类比推理完成了一项非常有趣的发现，给出 了伯努利所未能找到的级数和．
这便是著名的“欧拉乘积公式”．这样一来， 再把右边的乘积展开，便发现x2项的系数是：
31!1241291211 62……
即 111 1 …… 2 奇迹出现了．
4 9 16
6
在数学中经常给学生出一些创新题去运算，对 学生的运算能力培养是十分有益的．当然这些创新 题应是学生力所能及的，那种一提“创造”就认为 是让学生解答数学家所未能解答的问题的态度，显 然是不可取的．
▪ 创造性思维能力是组织和改造先前已获得 的知识，使之适合当前有关的问题，从而 解决问题的思想活动能力。其主要特征是 新颖性、独创性、突破性、真理性和价值 性，并以此作为检验思维成果的标准。
▪ 培养学生的创造性思维能力可从以下几方 面入手：
▪ 1 运用开放式、启发式、多类型的教学思 想和方法，充分揭示数学思维过程。
▪ 1 培养学生正确运用逻辑思维形式的 能力
▪ 基础知识是逻辑思维能力形成的基础， 是构成判断、推理的要素。概念、 判断、 推理是人们认识客观事物的基本思维形式。 因此培养学生的逻辑思维能力，首先要培 养学生准确地使用概念，恰当地判断和合 乎逻辑地进行推理的能力。
▪ 概念的思维训练中体现具体--抽象-具体， 利用反例强化概念。判断是把概念之间以 一定方式连结起来，是对事物有所断定的 思维形式。推理是从已知判断推出新的判 断的思维形式。
▪ 如十位数相同，个位数之和为10的两位数 的乘积规律。用乘法公式简化数值计算， 用分母有理化方法求根式的值，用韦达定 理求解一元二次方程，利用1的变形求值 等。
▪ 为了提高运算的速度和准确性，还应要 求学生熟记一些常用值：1—20的平方， 勾股数，π，e的近似值，特殊三角函数值、 正三角形的高、面积、外接圆、内切圆半 径与边长的关系。
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▪ 4 提高运算的简捷性和验算能力(元认知 能力)
▪ 运算的简捷性是提高运算能力的核心。一 般的运算大多数有一定的模式可循，但由 于所选择的基础知识、基本技能的不同， 往往繁简各异，因此要使学生会做并不困 难，困难的是使学生达到灵活、简捷。(例 题)
▪ 已知:
x32,y32,求 3x25x y3y2的值 32 32
▪ 2 加强发散思维能力的培养，注重变式方 法在教学中的运用。
▪ 由于发散思维不局限于固定模式，因此可使学生 克服静止孤立思考问题的习惯，训练学生对问题 从不同角度，用不同方法进行思维想象。(例子)
▪ 在此变式指：①一题多变(条件、结论变更、推广、 引申）；②一题多问，即对结论发散，无固定结 论，如目前开放题的引入；③一题多解，从中择 优；④一法多用，如RMI原则，MM方法，反证 法等；⑤一图多画(不但注重标准图形，而且注意 变式图形)；⑥一式多变(注重逆向思维的训练).