高中数学相关定理及证明
高中数学立体几何证明定理及性质总结
高中数学立体几何证明定理及性质总结高中数学立体几何是数学的一个重要分支，主要研究与三维空间中的几何形体相关的性质和定理。
在学习过程中，我们会遇到许多重要的定理和性质，下面是对其中一些重要的定理和性质进行总结的文章，以便于我们更好地掌握该知识点。
一、三角形的五种中线定理：1.三角形的三条中线交于一点，并且该点离三角形三个顶点的距离相等，这个点称为三角形的重心。
2.三角形的三条中线外接圆半径为内接圆半径的两倍。
3.三角形的三条中线构成的小三角形，其面积之和等于三角形面积的三分之一4. 中线长与边长的关系：三角形三边长分别为a、b、c，则三角形的三条中线长分别为m_a = 0.5*sqrt(2*b^2+2*c^2-a^2)，m_b =0.5*sqrt(2*a^2+2*c^2-b^2)，m_c = 0.5*sqrt(2*a^2+2*b^2-c^2)。
5.中线垂直性质：三角形的三条中线互相垂直，且互相平分。
二、三角形的四种高定理：1.三角形的三条高交于一点，并且该点到三角形三个顶点的距离相等，这个点称为三角形的垂心。
2.高线长与边长的关系：三角形三边长分别为a、b、c，则三角形的三条高线长分别为h_a=2*S/a，h_b=2*S/b，h_c=2*S/c，其中S为三角形的面积。
3.垂心到顶点距离的关系：设山脚底角为A，垂足为D，有AH/HD=BH/HE=CH/HF=2，其中H为垂心，E,F为垂足。
4.垂心角的关系：设山脚底角为A，垂足为D，有∠BHC=2∠A，∠BHC=2∠A，∠CHB=2∠A。
三、三角形的欧拉定理：设O为三角形的外心，G为重心，H为垂心，则有OG=1/3GH。
四、圆的性质：1.垂径定理：直径AB垂直于弧CD，则弦CD的中点E与弦AB的中点F，以及圆心O在一条直线上，且OE=OF=1/2CD。
2.正接定理：一个直角三角形的斜边上的圆的直径与该斜边上的直角边成正切关系。
3.切线定理：从一个点外切于圆的切线恒垂直于该点至圆心的半径。
高中数学的归纳解析几何中的常见定理
高中数学的归纳解析几何中的常见定理归纳解析几何是高中数学中的一个重要分支，它主要研究几何图形的特征与性质，并以定理的形式进行归纳与推理。
下面将介绍一些在归纳解析几何中常见的定理。
一、直线的性质1. 竖直线性质定理：两条竖直线平行。
证明：设AB和CD为两条竖直线，不妨设AB在CD的左侧。
根据竖直线性质，AB与CD均与x轴平行，因此AB与CD平行。
2. 平行线性质定理：若AB与CD平行，而CD与EF平行，则AB 与EF平行。
证明：根据平行线性质定理，AB与CD平行且AB与EF平行，则CD与EF平行。
二、三角形的性质1. 等腰三角形底角定理：等腰三角形的底角相等。
证明：设△ABC为等腰三角形，其中AB=AC。
连接线段BC，并过点A作线段DE平行于BC，使DE与AB相交于点F。
由平行线性质定理可知，DE与AC平行，因此△ADE与△ABC相似。
根据相似三角形的性质，可得∠AFE=∠ACB。
由于∠AFE与∠BAC为对应角，因此∠BAC=∠ACB。
2. 直角三角形的勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
证明：设△ABC为直角三角形，其中∠C为直角。
过点C作线段CD垂直于斜边AB。
根据直线的性质可知，AB与CD垂直。
我们分别计算△ABC和△CDA的面积并利用三角形面积公式，得到AB^2=AC^2+BC^2。
三、圆的性质1. 切线与半径垂直定理：切线与半径垂直。
证明：设O为圆心，AB为半径，CD为切点。
连接线段OC，并过点D作线段DE平行于OC。
根据平行线性质定理，CD与DE平行，因此∠DCO=∠COD。
又因为∠DCO与∠OCA为对应角，所以∠OCA=90°，即切线与半径垂直。
2. 弧长角定理：圆心角所对的弧长是其所对角度的一半。
证明：设△ABC为圆的半径为R的内接三角形，其中∠ABC为圆心角，弧AC所对的角为∠A。
通过数学计算可以得到弧AC的弧长为R∠A。
以上仅是归纳解析几何中常见定理的一部分，通过这些定理我们可以更好地理解图形的性质与关系。
高中数学-角平分线相关定理
高中数学-角平分线相关定理高中数学-角平分线相关定理模块一：张角定理在△ABC中，D为BC边上的一点，连接AD，设AD=l，∠BAD=α，∠CAD=β，根据正弦定理有sinα/l=sinβ/c，即l/sinα=c/sinβ。
证明：由正弦定理得S△ABC/S△ABD=sinβ/sinα，S△ABC/S△ACD=sinα/sinβ，两式相加得S△ABC/S△ABD+S△ABC/S△ACD=sinα/sinβ+sinβ/sinα=bc/sin(α+β)，又因为S△ABC=S△ABD+S△ACD+S△ADB，代入得bcsin(α+β)=clsinα+blsinβ，整理得l/sinα=c/sinβ。
例1】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，BD⊥BC交AC于点D，且BD=1，则2a+c的最小值为。
例2】在△ABC中，∠BAC的正弦值为2/3，AB=3，AD=3，求CD的长度。
例3】在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，且S△ABD=2S△ADC。
求sinB，sinC，BD和AC的长度。
模块二：角平分线张角定理根据张角定理：①当AD为角A的平分线时，AB/AC=BD/DC；②S△ABC=AD·BC·sin(∠A/2)（角平分线面积问题）。
证明：①根据正弦定理可得___∠ABC/sin∠ACB，又因为BD是∠ABC的平分线，根据角平分线定理可得___，代入得AB/AC=BD/DC；②将S△ABC=1/2·AB·AC·sin∠A代入得S△ABC=1/2·AD·BC·sin(∠A/2)。
例4】在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，bcosC=a，点M在线段AB上，且∠ACM=∠BCM。
若b=6，CM=6，则cos∠BCM=（）。
例5】在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，BD是∠B的平分线，BD=1，则a+c的最小值为。
高二数学中常见的数学定理证明题解析
高二数学中常见的数学定理证明题解析在高二数学学习中，数学定理证明题是必不可少的一部分。
通过解析这些常见的数学定理证明题，我们可以更好地理解和掌握数学定理的证明方法和思路。
本文将以几个常见的数学定理为例，分析其证明过程和思维方法。
一、勾股定理的证明勾股定理是高中数学学习中最经典的定理之一，它具有重要的几何意义。
其三边关系可表达为：在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边平方和。
证明思路：（1）假设存在一个直角三角形ABC，其中∠ABC为直角，AB为斜边，AD和BD分别为两直角边。
（2）利用勾股定理要证明等式AB² = AD² + BD²。
（3）根据平面几何的性质，利用代数运算将等式两边化简。
（4）通过逻辑推理和等式转化，最终得出AB² = AD² + BD²。
二、数列等差数列的前n项和公式的证明数列是高中数学中比较重要的一种数学表达形式，等差数列是最基本的数列类型之一，其通项表达式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
证明思路：（1）假设有一个等差数列a1, a2, a3,..., an，公差为d。
（2）利用数列前n项和的公式Sn = (n/2)(a1 + an)将等差数列的前n项和公式表示出来。
（3）通过数学归纳法证明等差数列的前n项和公式的正确性。
（4）根据等差数列的性质，将等差数列的前n项和公式进行数学推导和化简，最终得到Sn = (n/2)(a1 + an)。
三、函数奇偶性的证明函数的奇偶性是高中数学中比较常见的基本概念之一，通过奇偶性可以判断函数的对称性和性质。
奇函数满足f(-x) = -f(x)，偶函数满足f(-x) = f(x)。
证明思路：（1）假设有一个函数f(x)，需要证明它的奇偶性。
（2）证明函数的奇偶性的方法可以分为直接证明和间接证明两种。
（3）直接证明：通过代数运算和函数定义，证明函数f(x)满足f(-x) = -f(x)或f(-x) = f(x)。
高中数学常用定理重要定理解析
高中数学常用定理重要定理解析在高中数学学科中，有许多常用的定理和重要的定理对于学生的学习和理解起着关键的作用。
下面，我将对其中一些常用定理和重要定理进行解析，帮助学生更好地掌握和应用这些数学知识。
一、平行线的性质与判定定理平行线的性质与判定定理是几何学中的基础定理之一。
在平面几何中，我们经常需要判断两条直线是否平行，或者在已知平行线的前提下推导其他结论。
以下是几个常用的平行线性质与判定定理：1.平行线的定义：如果两条直线在同一个平面内，且在平面内没有交点，我们就称它们为平行线。
2.同位角定理：如果两条直线被一条横截线交叉，则相对于这两条直线的同一侧所对应的内角（同位角）相等，如果同位角相等，则这两条直线是平行线。
3.转角定理：如果两条直线被一条横截线交叉，则转角互补，即对应的内角之和为180度。
4.平行线的三角形性质：当两条平行线被一条横截线交叉时，所形成的内外两组对应角分别相等。
二、数列的常用定理与性质数列是数学中一个重要的概念，是由一列按照一定顺序排列的数所构成的。
在高中数学中，数列的常用定理和性质有：1.等差数列的通项公式：对于等差数列an，如果其首项为a1，公差为d，则其第n项（一般项）可以表示为an = a1 + (n-1)d。
2.等差数列求和公式：对于等差数列an，如果其首项为a1，末项为an，共有n项，则其和Sn可以表示为Sn = n(a1 + an)/2。
3.等比数列的通项公式：对于等比数列an，如果其首项为a1，公比为q，则其第n项（一般项）可以表示为an = a1*q^(n-1)。
4.等比数列求和公式：对于等比数列an，如果其首项为a1，共有n 项，公比不等于1，则其和Sn可以表示为Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)。
三、三角函数的基本关系与公式三角函数是数学中一个重要的概念，研究了角和直角三角形之间的关系。
在高中数学中，我们经常会遇到三角函数的基本关系与公式，以下是几个常用的定理和公式：1.勾股定理：在直角三角形中，直角边的平方等于斜边的平方与另一条直角边的平方的和。
高中数学的归纳平面几何基本定理与证明总结
高中数学的归纳平面几何基本定理与证明总结在高中数学中，平面几何是一个非常重要的分支，它研究了平面内各种图形之间的关系和性质。
而在学习平面几何时，归纳法是一个常用的证明方法。
本文将对高中数学中的归纳平面几何基本定理与证明进行总结。
一、线段中点定理线段中点定理是平面几何中的基本定理之一，它指出：在一条线段的中点上，可以作一条平行于这条线段的直线。
换句话说，如果在线段AB的中点M上作一条直线l，那么l与AB平行。
证明：连接AM、BM。
由于M是线段AB的中点，所以AM=BM，且由中点连线定理可知，AM∥BM。
根据平行线的性质可知，l∥AB。
二、角平分线定理角平分线定理是另一个重要的平面几何定理，它指出：一条角的平分线将这个角分成两个相等的小角。
证明：设∠AOB为一锐角，其中OC是∠AOB的平分线。
要证明∠AOC=∠BOC，我们可以利用三角形AOB和COA的相似性来进行证明。
由于OC是∠AOB的平分线，所以∠AOC=∠BOC。
又因为∠AOB是个锐角，所以∠COA也是个锐角，故∆COA和∆AOB是相似三角形。
根据相似三角形的性质可知，AO/CO=BO/CO，即AO=BO。
因此，∠AOC=∠BOC。
三、垂直平分线定理垂直平分线定理也是平面几何中的重要定理，它指出：一条线段的垂直平分线上所有点到线段的两个端点的距离相等。
证明：设线段AB上的垂直平分线为l，垂直平分线上的一点为M。
要证明AM=BM，我们可以利用三角形AMO和BMO的全等性来进行证明。
由于l是线段AB的垂直平分线，所以AM=BM，且∠AMO=∠BMO=90°。
又因为OM是l的一部分，所以MO=MO，自反性成立。
故∆AMO和∆BMO是全等三角形。
根据全等三角形的定义，可知AM=BM。
四、角的外角定理角的外角定理指出：一个三角形的外角等于它的两个不相邻内角的和。
证明：设三角形ABC的三个内角分别为∠A、∠B和∠C，对于∠A，其外角为∠D。
我们可以利用∆ABC和∆ACD的相似性来进行证明。
高中数学基本定理证明
1三角函数的定义证明•已知锐角厶ABC中，AB=c , AC=b,BC=a，利用三角函数的定义证明：c=acosB+bcosA解：作CD丄AB于点D在Rt△ BCD 中，由cosB=BD/BC，得BD=acosB,在Rt△ ACD 中，由cosA=AD/AC，得AD=bcosA，所以c=AB=BD+AD=acosB+bcosA 逐步提示：1、根据待证明的条件中存在三角函数，而题目本身图形为锐角三角形，所以要在原图形中通过添加辅助线来构造直角三角形。
2、根据求【c的表达式，既是求AB的三角函数表达式】，因此添加辅助线时考虑【将AB 线段变为直角三角形的边】，可以作【CD丄AB于点D ,】接下来考虑如何在在直角三角形中利用直角三角形三角函数来求解边角关系。
3、接下来分别在Rt△ ACD和Rt△ BCD中利用三角函数来表示AD的长度向待证靠近2点P ABC内任意一点，求证点P到厶ABC距离和为定值点P ABC外时，上述结论是否成立，若成立，请证明。
若不成立h1,h2,h3 与上述定值间有何关系【设点p 到AB,BC,CA三边距离为h1,h2,h3】证明：连接PA、PE、PC,过C作AE上的高AD,交AE于G。
过P作AE、EC、CA 的重线交AE、EC、CA 于D、E、F 三角形ABC面积=AE*CG/2三角形ABC面积=三角形ABP+BCP+CAP面积=AB*PD/2+BC*PE/2+CA*PF/2 =AB(PD+PE+PF)/2故: AB*CG/2=AB*(PD+PE+PF)/2CG=PD+PE+PF即：点P到厶ABC距离和为三角形的高，是定值。
(2)若P在三角形外，不妨设h1>h3,h2>h3 ，则有：h1+h2-h3=三角形边上的高3棱长为的正四面体内任意一点到各面距离之和为定值，则这个定值等于多少？简证如下：设M为正四面体P -ABC内任一点，M到面ABC，面PAB，面PAC，面PBC的距离分别为h 1,h 2 , h 3 , h 4 .由于四个面面积相等，则VP - ABC = VM - ABC + VM - PAB + VM -PAC + VM - PBC=(1/3 ) -S^ABC • (h 1 + h 2 +h 3+h 4).而S^ABC= (V 3/4)a A2 ,VP -ABC= (V2/12归人3 ,故h 1 +h 2 +h 3 +h 4 = V3/3a (定值).4正弦定理的证明过程步骤1.在锐角△ ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。
高中数学竞赛平面几何定理证明大全
高中数学竞赛平面几何定理证明大全莫利定理是一个有趣的几何定理，它指出如果将任意三角形的各角三等分，那么每两个角的相邻三等分线的交点构成一个正三角形。
我们可以通过构造莫利三角形来证明这个定理。
莫利三角形的顶点D是三角形ABC中∠B和∠C的三等分角线的交点。
我们可以在CP和BP上分别找到另外两个顶点E和F，使△DEF是一个正三角形，并且证明AE和AF是∠BAC的三等分线。
为了构造莫利三角形，我们可以先将DP连起来，然后在CP和BP上分别取两个点E和F，使得∠EDP＝∠FDP＝30°。
由于D是三角形BPC的内心，所以DP是∠___的角平分线，即∠DPE＝∠DPF。
因此，△DPE≌△DPF，从而DE＝DF，也就是说，△DEF是一个等腰三角形，并且是一个正三角形。
接下来，我们需要证明AE和AF是∠BAC的三等分线。
为此，我们在AB和AC上分别取两个点G和H，使得BG＝BD，CH＝CD。
然后将G、F、E、H依次连接起来，根据△BFD≌△BFG和△CED≌△CEH，我们可以得到GF＝FD＝FE＝ED＝EH。
如果能证明G、H、E、F、A五点共圆，那么就可以证明AE和AF是∠BAC的三等分线了。
为了证明五点共圆，我们需要证明∠___∠___∠A/3.首先，我们可以注意到△GFE是一个等腰三角形，所以如果能求出∠GFE，那么∠___也就能求出来了。
另外，△___也是一个等腰三角形，因为△PDF≌△PDE。
因此，PF=PE，且∠PFE＝∠PEF。
由于DE＝DF，所以△DEF是一个等边三角形，∠FED＝60°。
因此，∠___∠FED＝30°＝∠___，从而∠___∠PEF＝∠A/3.同理，可以证明∠___∠A/3.因此，我们证明了五点共圆，从而证明了AE和AF是∠BAC的三等分线，完成了莫利定理的证明。
我们需要证明D、E、F在同一直线上。
证明过程如下：首先，我们可以得到∠QUB=∠QPB，∠QVC=∠___，∠QWA=∠QPA。
高中数学部分定理和公式的证明两角差的余弦公式
[证明] 一方面，设有排好顺序的 m 个空位(如图)，从 n 个不同元素 a1，a2，…，an 中任 取 m 个元素去填空，一个空位填 1 个元素，每一种填法就对应一个排列．因此，所有不同的 填法的种数就是排列数 Am n.
[证明] 如图，设 AB∩l＝B，在平面β内过 B 作 BC⊥l.因为 AB⊥l，所以∠ABC 是二面角 α l
β的平面角．因为α⊥β，所以∠ABC＝90°，即 AB⊥BC.又 AB⊥l，BC∩l＝B，l⊂β，
BC⊂β，所以 AB⊥β. 8．空间两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，已知点 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则 P1，P2 两点间的距离为 |P1P2|＝ （x2－x1）2＋（y2－y1）2＋（z2－z1）2.
高中数学部分定理和公式的证明 1．两角差的余弦公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β [证明] 如图，在平面直角坐标系 xOy 内作单位圆 O，以 Ox 为始边作角α，β，它们的终 → → 边与单位圆 O 的交点分别为 A，B．则OA＝(cos α，sin α)，OB＝(cos β，sin β)． → → OB＝(cos α， 由向量数量积的坐标表示， 有OA· sin α)·(cos β， sin β)＝cos αcos β ＋sin αsin β.
n 则 Sn＝ a1（1－q ），q≠1. 1－q
n（a1＋an） n[a1＋a1＋（n－1）d] . 又 an ＝ a1 ＋ (n － 1)d ， 所 以 Sn ＝ ＝ na1 ＋ 2 2
[证明] 当 q＝1 时，an＝a1，所以 Sn＝na1. 当 q≠1 时，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an，① 所以 q·Sn＝a1q＋a2q＋a3q＋…＋an－1q＋anq ＝a2＋a3＋…＋an＋anq.② ①－②得(1－q)Sn＝a1－qan， 所以 Sn＝ a1－qan a1－a1qn a1（1－qn） ＝ ＝ . 1－q 1－q 1－ q na1，q＝1，
高一要学的数学定理知识点
高一要学的数学定理知识点在高一的数学课程中，有许多重要的数学定理需要学习和掌握。
这些数学定理在数学推理和问题解决中起着至关重要的作用。
下面将介绍一些高一阶段常见的数学定理知识点。
一、1+2+…+n等差数列求和公式在高一数学学习中，我们经常遇到等差数列求和的问题。
当然，对于简单的等差数列，我们可以逐项求和，但是对于项数较多的情况下，使用1+2+…+n等差数列求和公式可以更快速地得到结果。
这个公式是一个重要的数学定理，它可以表达为：Sn = (a1 + an) × n / 2其中，Sn表示前n项和，a1表示首项，an表示末项，n表示项数。
二、勾股定理勾股定理是高中数学中最基础也是最重要的定理之一。
它是由古希腊数学家毕达哥拉斯发现并证明的。
勾股定理的数学表达式为：c² = a² + b²其中，c表示斜边的长度，a和b表示直角三角形两直角边的长度。
勾股定理在解决与直角三角形相关的计算和应用题时非常有用。
三、二次函数顶点公式二次函数是高一数学学习的一个重点内容。
在解答与二次函数相关的问题时，顶点公式是非常有用的。
顶点公式可以用于求解二次函数的顶点坐标。
它的数学表达式为：xv = -b / 2ayv = -Δ / 4a其中，xv和yv表示二次函数的顶点坐标，a、b和c分别是一元二次方程 ax² + bx + c =0 的系数，Δ表示判别式，Δ = b² - 4ac。
顶点公式的应用能够帮助我们更快地求解二次函数相关的问题。
四、欧拉公式欧拉公式是数学中一个著名而神奇的定理，它将数学中最重要的五个常数联结在一起。
欧拉公式的数学表达式为：e^iπ + 1 = 0其中，e是自然对数的底数，i是虚数单位，π是圆周率。
欧拉公式的证明非常漂亮，它在复数、三角函数等领域具有广泛的应用。
五、平行线的性质高中数学中，平行线的性质也是非常重要的知识点之一。
平行线的性质包括平行线的判定、平行线之间的夹角关系等。
高中数学几何证明公式定理
高中数学几何证明相关定理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。
（1）判定直线在平面内的依据（2）判定点在平面内的方法公理2：如果两个平面有一个公共点，那它还有其它公共点，这些公共点的集合是一条直线（1）判定两个平面相交的依据（2）判定若干个点在两个相交平面的交线上公理3：经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
（1）确定一个平面的依据（2）判定若干个点共面的依据推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且仅有一个平面。
（1）判定若干条直线共面的依据（2）判断若干个平面重合的依据（3）判断几何图形是平面图形的依据推论2：经过两条相交直线，有且仅有一个平面。
推论3：经过两条平行线，有且仅有一个平面。
立体几何直线与平面空间二直线平行直线公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。
异面直线空间直线和平面位置关系（1）直线在平面内——有无数个公共点（2）直线和平面相交——有且只有一个公共点（3）直线和平面平行——没有公共点立体几何直线与平面直线与平面所成的角（1）平面的斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线与平面所成的角（2）一条直线垂直于平面，定义这直线与平面所成的角是直角（3）一条直线和平面平行，或在平面内，定义它和平面所成的角是00的角三垂线定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直三垂线逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直空间两个平面两个平面平行判定性质（1）如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行（2）垂直于同一直线的两个平面平行（1）两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（3）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面相交的两平面二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的线，这两个半平面叫二面角的面二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个面内分另作垂直棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角平面角是直角的二面角叫做直二面角两平面垂直判定性质如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直（1）若二平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面（2）如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内立体几何多面体、棱柱、棱锥多面体定义由若干个多边形所围成的几何体叫做多面体。
高中数学的解析数学证明中的定理与证明方法
高中数学的解析数学证明中的定理与证明方法数学中的定理与证明是数学学科中的重要内容，解析数学作为高中数学的一部分，也包含了许多重要的定理和证明方法。
本文将介绍一些常见的解析数学定理以及它们的证明方法。
一、三角函数的基本性质定理与证明方法1. 余弦定理余弦定理是解析几何中三角形的重要定理，它表示三角形中的任意一边的平方等于另外两边平方和的两倍减去这两边乘积的余弦的两倍。
其表达式为：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC，其中a、b、c分别表示三角形的边长，C表示两边夹角的余弦值。
证明方法：根据三角形的边长关系和余弦的定义，可以通过展开和化简的方式得到余弦定理的推导过程。
2. 正弦定理正弦定理是解析三角学中的重要定理，它表示三角形中任意两边的比值等于对应两个角的正弦的比值。
其表达式为：a/sinA = b/sinB =c/sinC，其中a、b、c分别表示三角形的边长，A、B、C分别表示对应的角度。
证明方法：通过分析三角形的面积和底边的关系，可以推导出正弦定理。
二、导数和微分定理的证明方法1. 极限定义导数的定义是解析数学中重要的基础概念，它表示函数在某一点上的变化率。
导数的定义可以通过极限的概念进行证明，即通过求函数在某一点上的左侧和右侧的极限来确定函数的导数。
2. 微分中值定理微分中值定理是解析数学中的重要定理，它表示如果函数在闭区间[a, b]上连续且在开区间 (a, b)上可导，那么它在开区间(a, b)上至少存在一点c，使得该点处的导数等于函数在区间端点处的斜率。
该定理有三种形式：拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理。
三、进一步的数学证明方法1. 数学归纳法数学归纳法是解析数学中的一种常见的证明方法，它常用于证明具有递归性质的数学命题。
数学归纳法的基本思想是通过证明一个命题在某个特定条件下成立，然后再证明在该条件的基础上，它在下一个条件也成立。
2. 反证法反证法是解析数学中一种常见的证明方法，它通过假设命题不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。
高中数学竞赛平面几何中的几个重要定理
． 证明：运用面积比可得． 根据等比定理有
， 所以．同理可得，． 三式相乘得． 注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高”还 是“等底”，这样就可以产生出“边之比”．
又因为Q/PF =PQ/F/，即Q/PF =MQ/F/．所以有
MDF/ =MQ/F/．
这说明Q/、D、F/、M四点共圆，即得MF/Q/ =Q/DM．
因为MF/Q/ =MFP，所以MFP =Q/DM．而MFP =EDM，所以EDM =Q/DM．
这说明点Q与点Q/重合，即得PM = MQ．
此定理还可用解析法来证明： 想法：设法证明直线DE和CF在x轴上的截距互为相反数． 证：以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标
பைடு நூலகம்
上．则由，得，这说明A、B、C、D四点共圆．
证法2（构造转移法）
延长DA到A/，延长DB到B/，使A、B、B/、A/四点共圆．延长DC到
C/，使得B、C、C/、B/四点共圆．（如果能证明A/、B/、C/共线，则命
题获证）
那么，据圆幂定理知A、C、C/、A/四点也 Image
共圆．
因此，，．
可得 .
另一方面，，即．
3．梅涅劳斯定理及其证明
G
定理：一条直线与ABC的三边AB、BC、CA所在直线分别交于点D、 E、F，且D、E、F均不是ABC的顶点，则有
．
证明：如图，过点C作AB的平行线，交EF于点G．
高中数学中的数学定理
高中数学中的数学定理数学定理是数学中的重要概念，它们是通过逻辑推理、严密证明得出的数学结论。
在高中数学学习中，数学定理起着重要的指导和作用。
本文将介绍几个高中数学中的数学定理，包括勾股定理、数列的通项公式以及导数的定义。
一、勾股定理勾股定理是高中数学中最为经典而又实用的定理之一。
它描述了直角三角形中的边与斜边之间的关系。
勾股定理的表述如下：在直角三角形中，设直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c。
则有a² + b² = c²。
勾股定理在解决直角三角形相关问题时起到了重要的作用。
它可以用于求解三角形的边长、判断三角形是否为直角三角形等。
二、数列的通项公式数列是数学中重要的概念，它由一系列按照一定规律排列的数所组成。
数列中的每个数被称为数列的项。
而数列的通项公式则用于求解数列中任意一项的数值。
对于数列{an}，若存在一个公式f(n)，使得对于任意正整数n，都有an = f(n)，则称f(n)为数列{an}的通项公式。
求数列的通项公式是数学中的重要问题，对于一些简单的数列，我们可以通过观察和找规律的方法得出。
而对于一些复杂的数列，可能需要使用递推公式或利用数列的性质进行推导。
三、导数的定义导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
导数的定义如下：对于函数f(x)，若在点x处存在极限lim(h->0)[f(x+h)-f(x)]/h，则称此极限为函数f在点x处的导数，记作f'(x)或dy/dx。
导数的定义提供了衡量函数局部变化的工具，通过求导数，我们可以研究函数的增减性、极值点以及函数的图像特征等。
导数的概念也是理解微积分的基础。
结语数学定理在高中数学学习中起着重要的作用。
勾股定理可以用于解决三角形的相关问题，数列的通项公式可以求解数列中任意一项的数值，导数的定义则提供了函数局部变化的衡量工具。
掌握这些数学定理，将有助于我们更好地理解和应用数学知识。
高中数学所有公式及结论【大全集】
1. 函数单调性设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数. 2. 函数奇偶性3. 几个函数方程的周期(约定a>0)（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ；（2）0)()(=+=a x f x f ，或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ， 或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,则)(x f 的周期T=2a ；4. 分数指数幂(1)m na =0,,a m n N *>∈，且1n >）. (2)1m nm naa-=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.5. 根式的性质（1）n a =.（2）当na =； 当n,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.6. 有理指数幂的运算性质(1) (0,,)r s r s a a a a r s Q +⋅=>∈. (2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈. (3)()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =>>∈. 7. 指数式与对数式的互化式log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.34.对数的换底公式log log log m a m NN a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).推论 log log m na a nb b m =(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >).8. 对数的四则运算法则若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+;(2) log log log aa a MM N N=-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈.9. 零点存在定理：10. 数列 等差数列定义： 证明数列为等差数列： 通项公式： 其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+性质：等比数列定义：证明数列为等比数列：通项公式：前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩11. 同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin . 12. 和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.sin cos a b αα+)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ=). 13. 二倍角公式sin 2sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-.14. 三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T πω=.15. 正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===.16. 余弦定理2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.17. 面积定理111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===. 18. 三角形在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+19. 实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a; (2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb. 20. 向量的数量积的运算律：(1) a ·b= b ·a （交换律）; (2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b= a ·（λb ）; (3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c. 21. 平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、 λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 22. 向量平行的坐标表示设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，且b ≠0，则a b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=. 23. a 与b 的数量积(或内积)a ·b=|a ||b|cos θ． 24. a ·b 的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b|cos θ的乘积． 25. 平面向量的坐标运算(1)设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++.(2)设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --.(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a=(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.(5)设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +.26. 两向量的夹角公式cos θ=(a =11(,)x y ,b=22(,)x y ).64.平面两点间的距离公式,A B d =11(,)x y ，B 22(,)x y ).27. 向量的平行与垂直设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，且b ≠0，则A||b ⇔b=λa 12210x y x y ⇔-=. a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=.28. 三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++. 29. 常用不等式：（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）,a b R +∈⇒2a b+≥当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>>（4）柯西不等式22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈30. 含有绝对值的不等式当a> 0时，有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<.22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.31. 指数不等式与对数不等式(1)当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩.(2)当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩32. 斜率公式2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.33. 直线的方程（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).34. 两条直线的平行和垂直(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+①121212||,l l k k b b ⇔=≠; ②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零,①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠； ②1212120l l A A B B ⊥⇔+=； 35. 点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).36. 0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域设直线:0l Ax By C ++=，则0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域是：若0B ≠，当B 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的上方的区域；当B 与Ax By C ++异号时，表示直线l的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.若0B =，当A 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的右方的区域；当A 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左. 37. 圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).38. 点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若d =d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内.39. 直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .其中22BA C Bb Aa d +++=.40. 两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ; 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ; 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ; 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .41. 圆的切线方程(2)已知圆222x y r +=．①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=;42. 椭圆22221(0)x y a b a b+=>>焦半径公式)(21c a x e PF +=，)(22x ca e PF -=.94．椭圆的的内外部（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ⇔+<. （2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的外部2200221x y a b ⇔+>. 43. 椭圆的切线方程(1)椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b +=.（2）过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b+=. 44. 双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-by a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a by ±=.(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x45. 双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b -=.46. 抛物线px y 22=的焦半径公式抛物线22(0)y px p =>焦半径02pCF x =+.过焦点弦长p x x px p x CD ++=+++=212122.47. 抛物线的切线方程(1)抛物线px y 22=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+. 48. 证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行； （3）转化为线面平行； （4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行.49. 证明直线与平面的平行的思考途径（1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行.50. 证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点； （2）转化为线面平行； （3）转化为线面垂直.51. 证明直线与直线的垂直的思考途径（1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直； （4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 52. 证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面； （5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 53. 证明平面与平面的垂直的思考途径（1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直. 54. 向量的直角坐标运算设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则(1)a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； (2)a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； (3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)； (4)a ·b ＝112233a b a b a b ++； 55. 空间的线线平行或垂直设111(,,)a x y z =r ，222(,,)b x y z =r，则a b r r P ⇔(0)a b b λ=≠r r r r ⇔121212x x y y z zλλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩；a b ⊥r r ⇔0a b ⋅=r r⇔1212120x x y y z z ++=.125.夹角公式设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则 cos 〈a ，b 〉.127．异面直线所成角 56. 棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比． 57. 球的半径是R ，则其体积343V R π=, 其表面积24S R π=．58. 球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体:棱长为a的正四面体的内切球的半径为12,外接球的半径为4a . 59. 柱体、锥体的体积13V Sh =柱体（S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）.13V Sh =锥体（S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.60. 分类计数原理（加法原理）12n N m m m =+++ . 61. 分步计数原理（乘法原理）12n N m m m =⨯⨯⨯ . 62. 排列数公式mnA =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．注:规定1!0=. 63. 组合数公式m nC =！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤).64. 二项式定理 nn n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)( ;二项展开式的通项公式rr n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，，=.65. n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率()(1).k kn k n n P k C P P -=-66. 离散型随机变量的分布列的两个性质 （1）0(1,2,)i P i ≥= ; （2）121P P ++= . 67. 数学期望1122n n E x P x P x P ξ=++++68. 数学期望的性质（1）()()E a b aE b ξξ+=+. 69. 方差()()()2221122n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-⋅+-⋅++-⋅+70. 标准差σξ=ξD .71. 方差的性质(1)()2D a b a D ξξ+=；72. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 73. 几种常见函数的导数(1) 0='C （C 为常数）.(2) '1()()n n x nxn Q -=∈.(3) x x cos )(sin ='. (4) x x sin )(cos -='.(5) x x 1)(ln ='；e a xx a log 1)(log ='.(6) x x e e =')(; a a a xx ln )(='.74. 导数的运算法则11 （1）'''()u v u v ±=±.（2）'''()uv u v uv =+.（3）'''2()(0)u u v uv v v v -=≠. 75. 判别)(0x f 是极大（小）值的方法（1）如果在0x 附近的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f ，则)(0x f 是极大值；（2）如果在0x 附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f ，则)(0x f 是极小值.76. 复数的相等,a bi c di a c b d +=+⇔==.（,,,a b c d R ∈）77. 复数z a bi =+的模（或绝对值）||z =||a bi +78. 复数的四则运算法则(1)()()()()a bi c di a c b d i +++=+++;(2)()()()()a bi c di a c b d i +-+=-+-;(3)()()()()a bi c di ac bd bc ad i ++=-++;79. 实系数一元二次方程的解实系数一元二次方程20ax bx c ++=， ①若240b ac ∆=->,则1,2x =②若240b ac ∆=-=,则122b x x a ==-;。
高中数学几何证明定理
高中数学几何证明定理数学几何证明是数学中常见的一种推理方式，通过应用已知的几何定理和性质，来推导出新的结论和定理。
在高中阶段，学生需要学习和掌握一系列的几何定理，并能够运用这些定理来进行证明。
本文将介绍几个高中数学中常见的几何证明定理。
一、三角形内角和定理的证明在一个三角形中，三个内角的和等于180度。
下面将给出这一定理的证明过程。
证明：设三角形ABC中，AB、AC为两边，∠B、∠C为对应的两个内角。
首先，建立与BC边平行的直线DE，并设直线DE与AB、AC分别交于点D、E。
那么，可以得到∠DBC与∠B之间的对应角相等，即∠DBC = ∠B；同理，∠CEB与∠C之间的对应角相等，即∠CEB = ∠C。
然后，根据平行线的性质可得∠EDC = ∠B；∠EBD = ∠C。
由于三角形内角和的定义，我们有∠ABC + ∠B + ∠C = 180°。
而根据前述角度关系，可以得到∠ABC + ∠DBC + ∠B + ∠CEB = 180°。
将上述两式相减，得到∠DBC + ∠CEB = ∠EDC + ∠EBD。
再根据三角形内角的定义可知∠DBC + ∠CEB + ∠DEB = 180°。
将上述两式相减得∠EBD = ∠EDC。
由此可知∠B = ∠EDC。
将该结论代入三角形内角和的定义中，可得∠ABC + ∠EDC + ∠C = 180°。
整理得∠ABC + ∠C + ∠ACB = 180°。
由此便证明了三角形内角和定理。
二、三角形相似定理的证明在几何学中，我们经常会遇到相似三角形的问题。
下面将证明相似定理中的一个重要结论。
证明：设两个三角形ABC和DEF，满足∠A = ∠D，∠B = ∠E，那么它们是相似三角形。
首先，通过画出辅助直线，使得AB与DE两边平行，并设两个平行线的交点为点G。
那么，∠DEG = ∠ABG。
同时，由于∠A = ∠D，∠B = ∠E，所以∠ABG = ∠DEG。
高中数学定理证明方法高中数学定理证明
高中数学定理证明方法|高中数学定理证明数学公式抛物线：y = ax *+ bx + c就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 ca > 0时开口向上a < 0时开口向下c = 0时抛物线经过原点b = 0时抛物线对称轴为y轴还有顶点式y = ax+h* + k就是y等于a乘以x+h的平方+k-h是顶点坐标的xk是顶点坐标的y一般用于求最大值与最小值抛物线标准方程:y^2=2px它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为p/2,0 准线方程为x=-p/2由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py圆：体积=4/3pir^3面积=pir^2周长=2pir圆的标准方程 x-a2+y-b2=r2 注：a,b是圆心坐标圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0一椭圆周长计算公式椭圆周长公式：L=2πb+4a-b椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长2πb加上四倍的该椭圆长半轴长a与短半轴长b的差。
二椭圆面积计算公式椭圆面积公式：S=πab椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率π乘该椭圆长半轴长a与短半轴长b的乘积。
以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。
常数为体，公式为用。
椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高三角函数：两角和公式sinA+B=sinAcosB+cosAsinB sinA-B=sinAcosB-sinBcosAcosA+B=cosAcosB-sinAsinB cosA-B=cosAcosB+sinAsinBtanA+B=tanA+tanB/1-tanAtanB tanA-B=tanA-tanB/1+tanAtanBcotA+B=cotAcotB-1/cotB+cotA cotA-B=cotAcotB+1/cotB-cotA倍角公式tan2A=2tanA/1-tan2A cot2A=cot2A-1/2cotacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2asinα+sinα+2π/n+sinα+2π*2/n+sinα+2π*3/n+……+sin[α+2π*n-1/n]=0cosα+cosα+2π/n+cosα+2π*2/n+cosα+2π*3/n+……+cos[α+2π*n-1/n]=0 以及sin^2α+sin^2α-2π/3+sin^2α+2π/3=3/2tanAtanBtanA+B+tanA+tanB-tanA+B=0·万能公式：sinα=2tanα/2/[1+tan^2α/2]cosα=[1-tan^2α/2]/[1+tan^2α/2]tanα=2tanα/2/[1-tan^2α/2]半角公式sinA/2=√1-cosA/2 sinA/2=-√1-cosA/2cosA/2=√1+cosA/2 cosA/2=-√1+cosA/2tanA/2=√1-cosA/1+cosA tanA/2=-√1-cosA/1+cosAcotA/2=√1+cosA/1-cosA cotA/2=-√1+cosA/1-cosA和差化积2sinAcosB=sinA+B+sinA-B 2cosAsinB=sinA+B-sinA-B2cosAcosB=cosA+B-sinA-B -2sinAsinB=cosA+B-cosA-BsinA+sinB=2sinA+B/2cosA-B/2 cosA+cosB=2cosA+B/2sinA-B/2tanA+tanB=sinA+B/cosAcosB tanA-tanB=sinA-B/cosAcosBcotA+cotBsinA+B/sinAsinB -cotA+cotBsinA+B/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=nn+1/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+2n-1=n22+4+6+8+10+12+14+…+2n=nn+11^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=nn+12n+1/61^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+…n^3=nn+1/2^21*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+nn+1=nn+1n+2/3正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接圆半径余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角乘法与因式分 a2-b2=a+ba-b a3+b3=a+ba2-ab+b2 a3-b3=a-ba2+ab+b2三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|一元二次方程的解 -b+√b2-4ac/2a -b-√b2-4ac/2a根与系数的关系 x1+x2=-b/a x1*x2=c/a 注：韦达定理判别式 b2-4a=0 注：方程有相等的两实根b2-4ac>0 注：方程有两个不相等的个实根b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根公式分类公式表达式圆的标准方程 x-a2+y-b2=r2 注：a,b是圆心坐标圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c"*h正棱锥侧面积 S=1/2c*h" 正棱台侧面积 S=1/2c+c"h"圆台侧面积 S=1/2c+c"l=piR+rl 球的表面积 S=4pi*r2圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积 V=S"L 注：其中,S"是直截面面积， L是侧棱长柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h图形周长面积体积公式长方形的周长=长+宽×2正方形的周长=边长×4长方形的面积=长×宽正方形的面积=边长×边长三角形的面积已知三角形底a，高h，则S=ah/2已知三角形三边a,b,c,半周长p,则S= √[pp - ap - bp - c] 海伦-公式p=a+b+c/2和：a+b+c*a+b-c*1/4已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则S=absinC/2设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r则三角形面积=a+b+cr/2设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为r则三角形面积=abc/4r已知三角形三边a、b、c,则S= √{1/4[c^2a^2-c^2+a^2-b^2/2^2]} “三斜求积” 南宋秦九韶| a b 1 |S△=1/2 * | c d 1 || e f 1 |【| a b 1 || c d 1 | 为三阶行列式,此三角形ABC在平面直角坐标系内Aa,b,Bc,d, Ce,f,这里ABC| e f 1 |选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取，因为这样取得出的结果一般都为正值，如果不按这个规则取，可能会得到负值，但不要紧，只要取绝对值就可以了，不会影响三角形面积的大小!秦九韶三角形中线面积公式:S=√[Ma+Mb+Mc*Mb+Mc-Ma*Mc+Ma-Mb*Ma+Mb-Mc]/3其中Ma,Mb,Mc为三角形的中线长.平行四边形的面积=底×高梯形的面积=上底+下底×高÷2直径=半径×2 半径=直径÷2圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2圆的面积=圆周率×半径×半径长方体的表面积=长×宽+长×高+宽×高×2长方体的体积 =长×宽×高正方体的表面积=棱长×棱长×6正方体的体积=棱长×棱长×棱长圆柱的侧面积=底面圆的周长×高圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积圆柱的体积=底面积×高圆锥的体积=底面积×高÷3长方体正方体、圆柱体的体积=底面积×高平面图形名称符号周长C和面积S正方形 a—边长 C=4aS=a2长方形 a和b-边长 C=2a+bS=ab三角形 a,b,c-三边长h-a边上的高s-周长的一半A,B,C-内角其中s=a+b+c/2 S=ah/2=ab/2?sinC=[ss-as-bs-c]1/2=a2sinBsinC/2sinA1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理sas 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理 asa有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论aas 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理sss 有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理hl 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等即等边对等角31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等等角对等边35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论 2 有一个角等于感谢您的阅读，祝您生活愉快。
高中数学空间几何证明八大定理和角的范围问题
一、空间几何证明八大定理1.直线与平面平行的判定定理(1)文字语言:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.(2)符号语言:ααα//,,//l l a a l ⇒⊄⊂.(3)图形语言:2.平面与平面平行的判定定理(1)文字语言:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.(2)符号语言:βαββ//,//,//⇒=P b a b a (3)图形语言:(1)文字语言:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.(2)符号语言:ba b a a //,,//⇒=⊂βαβα (3)图形语言:4.平面与平面平行的性质定理(1)文字语言:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.(2)符号语言:ba b a //,,//⇒==γβγαβα(3)图形语言:(1)文字语言:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.(2)符号语言:ααα⊥⇒=⊂⊂⊥⊥l P b a b a b l a l ,,,,(3)图形语言:6.平面与平面垂直的判定定理(1)文字语言:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.(2)符号语言:βαβα⊥⇒⊂⊥,,l l (3)图形语言:(1)文字语言:垂直于同一个平面的两条直线平行.(2)符号语言:ba b a //,,⇒⊥⊥αα(3)图形语言:8.平面与平面垂直的性质定理(1)文字语言:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.(2)符号语言:βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⊥a l a a l ,,, (3)图形语言:二、关于角的范围1.异面直线所成的角的范围是︒︒≤<900θ.2.直线与平面所成的角的范围是︒︒≤≤900θ.3.二面角的取值范围是︒︒≤≤1800θ.4.直线倾斜角的范围是︒︒<≤1800θ.。
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高中数学相关定理、公式及结论证明汉阴中学正弦定理证明内容：在ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，则.sin sin sin Cc Bb Aa ==证明： 1.利用三角形的高证明正弦定理（1）当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ， 根据锐角三角函数的定义，有sin CD b A ==sin CD a B 。
由此，得 sin sin abAB=，同理可得sin sin cbCB=，故有 sin sin abAB=sin c C=.从而这个结论在锐角三角形中成立.（2）当∆ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高， 交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义， 有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。
由此，得 =∠sin sin a b A ABC ，同理可得 =∠sin sin c b C ABC故有=∠sin sin abAABCsin cC =.（3）在ABC Rt ∆中，,sin ,sin cbB c a A ==∴c BbA a ==sin sin ， .1sin ,90=︒=C C Θ.sin sin sin Cc B b A a ==∴由(1)(2)（3）可知，在∆ABC 中，sin sin abAB=sin cC=成立.2.外接圆证明正弦定理在△ABC 中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC 的外接圆,O 为圆心, 连结BO 并延长交圆于B ′,设BB ′=2R.则根据直径所对的圆周 角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到 ∠BAB ′=90°，∠C =∠B ′， ∴sin C =sin B ′=Rc B C 2sin sin ='=. ∴R Cc2sin =.同理,可得R B b R A a 2sin ,2sin ==.∴R C c B b A a 2sin sin sin ===.3.向量法证明正弦定理a b DAB CAB CDba'cos(90)sin OC AC A b A =-=o u u u u r u u u r'sin sin OC BC B a B==u u u u r u u u rsin sin a B b A = sin sin a b A B = 同理 sin sin c bC B =故有 sin sin a bA B =sin c C =.余弦定理证明内容：在ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，则⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=-+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222 证明：如图在ABC ∆中，))((222AB AC AB AC BC a a --===2222cos 22ABA AB AC AC ABAB AC AC +•-=+•-=A bc c b cos 222-+=同理可证：⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=Cab b a c A bc c b a cos 2cos 2222222 所以⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=-+=C ab b a c B ac c a b Abc c b a cos 2cos 2cos 2222222222数列部分内容：{}n a 是等差数列，公差为d ，首项为1a ，n S 为其n 前项和，则2)(2)1(11n n a a n d n n n a S +=-+= 证明：由题意， ))1((.......)2()(1111d n a d a d a a S n -+++++++=① 反过来可写为：))1((.......)2()(d n a d a d a a S n n n n n --++-+-+=②①+②得：2n S 44443444421个n n a n a n a +++++=111.......所以，2)(1n n a a n S +=③， 把d n a a n )1(1-+=代入③中，得2)(2)1(11n n a a n d n n n a S +=-+=内容：{}n a 是等比数列，公比为q ，首项为1a ，n S 为其n 前项和，则n S =⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--=)1(,1)1(1)1(,111q q q a q q a a q na n n证明：112111.......-++++=n n q a q a q a a S ① nn q a q a q a q a qS 131211.......++++=②①—②得：nn q a a S q 11)1(-=-， 当1≠q 时，n S qq a q q a a n n --=--=1)1(1111③把11-=n n q a a 代入③中，得n S qqa a n --=11 当1=q 时。
很明显n S 1na =所以，n S =⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--=)1(,1)1(1)1(,111q q q a q q a a q na n n立体几何部分三垂线定理及其逆定理内容：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
证明：已知：如图（9），直线l 与平面α相交与点A ，l 在α上的射影OA 垂直于α∈a a , 求证：l ⊥a证明： 过P 作PO 垂直于α∵PO ⊥α ∴PO ⊥a又a ⊥OA ，PO ∩OA=O ∴a ⊥平面POA ∴a ⊥l求证：如果一条直线与一个平面平行,那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行.:a ,a =αβαβ⋂P P 如图所示已知在平面，b,求证：a b.,b a b b .a a b a a a b αααβ∴∴∴Q P Q P 证明和没有公共点,又在内,和也没有公共点,而和都在内，和也没有公共点,求证：如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行. :,,.a b αβαγβγ⋂=⋂=P P 如图所示已知求证：a b.b b b .a a a a b αβαβγ∴∴Q P Q P 证明：和分别在平面、内且，和不相交，又和都在平面内，求证：如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.:AB MN B AB αβαββα⊥⋂⊥⊥如图所示已知,=MN,AB 在内，于点。
求证：.BC MN ABC -MN- ABC =90 AB BC AB MN AB ααβαβα⊥∠⊥∴∠∴⊥⊥∴⊥o Q 证明：在平面内做直线，则是二面角的平面角，，，又，求证：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.:,A B. B b'b' A b' b b',b' =, B B l ααααβαβ⊥⊥⊥=P I I 如图所示已知a ,b 垂足分别为、求证：a b.证明：假设a 和b 不平行，过点作a 的平行线由异面直线垂直定义，与平面内过点的任意直线都垂直，也即有，故直线与b 与确定一个平面，记，在平面内，过点有且仅有一条 b' a b.l ⊥直线垂直于，故直线与b 重合，所以点到直线距离公式证明内容：已知直线,0:=++C By Ax l 直线外一点).,(00y x M 则其到直线l 的距离为2200BA C By Ax d +++=。
向量法证：如图，设直线:0(0,0)l Ax By C A B ++=≠≠的一个法向量(1,)B n A=r，Q 直线上任意一点，101010102222110000112222|()|||||10,B x x y y n PQ A d n B A B AP Ax By C d A B A B -+-⋅===++∴++===++r u u u r r Q 点在直线l 上,从而定义法证：根据定义，点P 到直线 l 的距离是点P 到直线 l 的垂线段的长，如图1，设点P 到直线l 的垂线为 'l ，垂足为Q ，由 'l l ⊥可知 'l 的斜率为B A'l ∴的方程：00()By y x x A-=-与l 联立方程组 解得交点2200002222(,)B x ABy AC A y ABx BCQ A B A B----++yxPQl 1图'l yPn rQlx2222200000022222222000022222222200000022222222||()()()()()()()()()B x ABy AC A y ABx BC PQ x y A B A BA x ABy ACB y ABx BC A B A B A Ax By C B Ax By C Ax By C A B A B A B ----=-+-++------=+++++++++=+=+++|PQ ∴=平行向量定理内容：若两个向量（与坐标轴不平行）平行，则它们相应的坐标成比例；若两个向量相对应的坐标成比例，则两向量平行。
证明：设,是非零向量，且),(),,(2211y x y x ==若//，则存在实数λ使λ=，且由平面向量基本定理可知)(222211j y x y x y x λλλ+=+=+21x x λ=∴①，21y y λ=② ①-⨯2y ②2x ⨯得：01221=-y x y x若0,021≠≠y y （即向量b a ,不与坐标轴平行）则2211y x y x =平面向量基本定理内容：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意一向量，存在唯一一对 实数21,λλ，使得.2211e e λλ+=证明：如图过平面内一点O ，作e e ===,,21，过点C 分别作直 线OA 和直线OB 的平行线，交OA 于点M ，交OB 于点N ，有且只有一组实数，使得21,λλ==OBOA OC OM 21λλ+=∴+=Θ即.2211e e λλ+=共线向量定理内容：如图A,B,C 为平面内的三点，且A,B 不重合，点P 为平面内任一点，若C 在直线AB 上，则有PB PA PC )1(λλ-+=证明：由题意，BC 与BA 共线，BA BC λ=∴)(,PB PA BA PB PC BC -=-∴-=-=λ化简为：PB PA PC )1(λλ-+=柯西不等式：AOe 1-y)若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+或||ac bd +证法：（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+.证法：（向量法）设向量(,)m a b =u r ，(,)n cd =r ，则||m u r ||n =r∵ m n ac bd •=+u r r，且||||cos ,m n m n m n =<>u r r u r r u r r g gg ，则||||||m n m n ≤r g g . ∴22222()()()a b c d ac bd ++≥+ 诱导公式公式：如图：设α的终边与单位圆（半径为单位长度1的园）交 于点P(x ，y)，则角-α的终边与单位圆的交点必为 P ´(x ，-y)．由正弦函数、余弦函数的定义，即可得sin α=y ， cos α=x, sin(-α)=-y, cos(-α)=x, 所以：sin(-α)= -sin α, cos(-α)= cos α由倒数关系和商数关系可以得到有关正切的-α诱导公式。