角平分线的性质(复习课)ppt课件
高考数学二轮复习三角形中的中线、高线、角平分线问题ppt课件
三角形中的中线、高线、
角平分线问题
一、中线
2
2
2
2
1.中线长定理:在△ABC 中,AD 是边 BC 上的中线,则 AB +AC =2(BD +AD )
推导过程:在△ABD 中,cos B=
在△ABC 中,cos B=
+ -
+ -
·
·
,求 c.
解:(2)设 BC 边上的高为 h,由三角形的面积公式得 S△ABC= ah= ×
bcsin A=×5c×sin=
c,所以
a=
c,即 a=
a=
c,
由余弦定理得 a2=25+c2-5c,
将 a=
c 代入上式得 c2+16c-80=0,解得 c=4 或-20(舍去),所以 c=4.
→
→ → →
+ +||·||·cos∠ADB,解得
cos∠ADB=.
三角形的角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比,
再结合共线定理的推论,就可以转化为向量.一般地,涉及三角形中“定比”
类问题,运用向量知识解决起来都较为简捷.
触类旁通2 如图,在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,c=6,
→
→
→
→
→
两边平方得 4 = + +2·,
2
2
2
角的平分线的性质复习课程
角的平分线的性质一.基础知识1角的平分线的性质(1) 内容角的平分线上的点到角的两边的距离相等.(2) 书写格式如图所示，•••点P在/ AOB勺角平分线上，PD丄OA PEL OB••• PD= PE2. 角的平分线的判定(1) 内容角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.(2) 书写格式如图所示，•/ PD L OA PE L OB PD= PE•••点P在/ AOB勺角平分线上.3. 运用角的平分线的性质解决实际问题运用角的平分线的性质的前提条件是已知角的平分线以及角平分线上的点到角两边的距离.在运用角的平分线的性质解决实际问题时，题目中常常出现求到某个角的两边距离相等的点的位置，只要作出角的平分线即可.运用角平分线的性质解决实际问题时，一定要把实际问题中道路、河流等抽象成数学图形直线，并且要求的点是到两线的距离相等，常常确定两线夹角的平分线上的点，这个过程就是建立数学模型的过程，这是在解决实际问题中常用的方法.4•运用角的平分线的判定解决实际问题在实际问题中，如果出现了某个地点到某些线的距离相等，常先把实际问题转化为数学问题，即建立数学模型（角的平分线）•然后根据已知某点到角两边的距离相等，则常常联想到用角的平分线的判定得到角的平分线来解决问题.解技巧巧用角的平分线的性质和判定解决问题能根据已知条件联想到角的平分线的性质或判定是解决问题的关键.找到解决问题的切入点就是已知条件中有点到直线的距离相等或要找到到两条直线的距离相等的点.5•综合运用角的平分线的性质和判定解决实际问题角的平分线的性质和判定的关系如下:对于角的平分线的性质和判定，一方面要正确理解和明确其条件和结论，“性质”和“判定”恰好是条件和结论的互换，在应用时不要混淆，性质是证两条线段相等的依据，判定是证明两角相等的依据.析规律构造角的平分线的模型证明线段相等当有角平分线时，常过角平分线上的点向角的两边作垂线，根据角平分线的性质得线段相等. 同样，欲证明某射线为角平分线时，只需过其上一点向角的两边作垂线，再证线段相等即可.6•运用角的平分线的性质和判定解决探究型问题在实际问题中，确定位置（如建货物中转站、建集市、建水库等）的问题，常常用到角的平分线的性质来解决.尤其是涉及作图探究的题目，性质“角的内部到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上”的应用是寻找角的平分线的一种比较简单的方法.三角形有三条角平分线交于三角形内部一点，并且交点到该三角形三边的距离都相等，其实只要作出其中两条角平分线的交点，第三条角平分线一定过此交点.三角形两个外角的平分线也交于一点，这点到该三角形三边所在的直线距离相等.三角形外角平分线共有三条，所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.【例6】如下图所示，三条公路丨1,丨2,丨3两两相交于A B, C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，可供选择的地方有多少处？你能在图中找出来吗？解：三角形的三条角平分线的交点到该三角形三条边的距离相等；/ ACB / ABC的外角平分线交于一点，利用角的平分线的性质和判定定理，可以得到此点也在/ CAB的平分线上，且到公路l i,丨2,丨3的距离相等；同理还有/ BAC / BCA勺外角平分线的交点；/ BAC / CBA勺外角平分线的交点，因此满足条件的点共有4个.(2)分别作出/ ACB / ABC的外角平分线的交点02,/ BAC / BCA的外角平分线的交点03,/ BAC / CBA的外角平分线的交点04;故满足条件的修建点有四处，即点01, 02, 03 04处.课堂练习一、填空题精品文档O1.1 •已知：△ ABC中，/ B=90°, / A、/ C的平分线交于点0,则/ A0C勺度数为2. ________________________________ 角平分线上的点到巨离相等；到一个角的两边距离相等的点者E在____________.3. / A0B的平分线上一点M , M到0A的距离为1.5 cm,则M到0B的距离为4 .如图，/ A0=60°, CDL 0A于D, CEL 0B于E,且CD=CE则/ D0C ________5. 如图，在△ ABC中,/ C=90°, AD 是角平分线，DE L AB 于E,且DE=3 cmBD=5 cm 贝U BC= __ m6. 如图，CD为Rt△ ABC斜边上的高，/ BAC的平分线分别交CD CB于点E、F,FGLAB,垂足为G,贝U CF FG CE CF7. 如图，已知AB CD相交于点E,/ AEC及/ AED的平分线所在的直线为PQ与MN则直线MN与PQ的关系是_________ .8. ___________________________________________________________ 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到__________________________ 目等.9. 点0是厶ABC内一点，且点0到三边的距离相等，/ A=60°，则/BOCK度数为______________ .10. 在^ABC 中，/ C=90°, AD 平分/ BAC 交 BC 于 D,若 BC=32且 BD: CD=9 : 7,则D 到AB 的距离为 ______________ .、选择题 11.三角形中到三边距离相等的点是（ ）12•如图，/ 1二/2, PD 丄OA PE 丄OB 垂足分别为 D, E ,下列结论错误的是（ ）A PD= PEB 、O 亠 OEC / DPO^Z EPOD PD= OD13•如图，直线丨1, l 2, I 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站, 要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（A 、1处14•如图，△ ABC 中,/ C = 90°, AC= BC , E ,且A 吐6血，则厶DEB 勺周长为（第14题A 、三条边的垂直平分线的交点B 、三条高的交点C 三条中线的交点D 三条角平分线的交点AD 平分/ CAB 交 BC 于 D, DEL AB 于A 、4 cmC 、 10 cmD 不能确定第12题13A题15 •如图，MPL NP MQ%A MNP的角平分线，MF Mp连接TQ则下列结论中不正确的是（）A、TQ= PQ B、/ MQ壬/ MQP C / QTN b 90° D / NQT^Z MQT 16•如图在厶ABC中, Z ACB=90°, BE 平分/ ABC DEL AB 于D,如果AC=3 cm17•如图，已知AB=AC, AE=AF, BE与CF交于点D,则对于下列结论：①△ ABE ACF②厶BDF^A CDE③D在Z BAC的平分线上.其中正确的是（）18. 如图，AB=AD CB=CD AC BD相交于点O,则下列结论正确的是（精品文档那么AE+DE等于（）A. 2 cmB. 3 cmC. 4 cmD. 5 cmC .①和②D .①②③A.①A. 0/=0CB.点O到AB CD的距离相等C.Z BD金/BDCD.点O到CB CD的距离相等19. A ABC中，/ C=90。
3 角的平分线的性质 第1课时 角的平分线的性质
易错点：运用角的平分线的性质时，常因忽略“到角两边的距离”而 导致错误 10．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，BC边上有一 点E，连接DE，则AD与DE的关系为( D) A．AD＞DE B．AD＝DE C．AD＜DE D．无法确定
11．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E， DF⊥AC交AC于点F.若S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC＝( B ) A．4 B．3 C．6 D．5
上海 2006 高考 理科 状元-武亦 文
武亦文 格致中学理科班学生 班级职务：学习委员 高考志愿：复旦经济 高考成绩：语文127分 数学142分 英语144分
物理145分 综合27分 总分585分
“一分也不能少”
“我坚持做好每天的预习、复习，每 天放学回家看半小时报纸，晚上10： 30休息，感觉很轻松地度过了三年 高中学习。”当得知自己的高考成 绩后，格致中学的武亦文遗憾地说 道，“平时模拟考试时，自己总有 一门满分，这次高考却没有出现，
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D， 已知AB＝10 cm，CD＝3 cm，则△ABD的面积为______1_5_c_m．2
8．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40，50，60，
其 三 条 角 平 分 线 交 于 点 O ， 则 S△ABO∶S△BCO∶S△CAO ＝ _____4_∶__5_∶__6___．
9．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点， DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：∠B＝∠C. 解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中 ， DE ＝ DF ， BD ＝ CD ， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴∠B＝∠C
三角形的高、中线与角平分线(ppt课件)
复习提问
1.什么叫线段的中点？
把一条线段分成两条相等的线段的点叫线段的中点
A
B
2.什么叫角平分线？
一条射线把一个角分成两个相等的角,这条射线叫做
这个角的平分线
B
O
A
复习提问 3.你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗?
放、靠、过、画.
01
01
01
23
23
23
0
1 0 2 1 03 21 3 2
3
探究新知
B
C
探究新知
3.钝角三角形的三条高
(1)你能画出钝角三角形的三条高吗？
AF
(2)AC边上的高是__B_F__； BC边上的高是__A__D_；
DB
C
AB边上的高是__C_E__；
E
(3)钝角三角形的三条高交于一点吗?
钝角三角形的三条高不相交于一点.
O
(4)它们所在的直线交于一点吗?
钝角三角形的三条高所在直线交于一点.
三角形的中线
B
D
C
定义：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中 点，所得线段叫做三角形的这条边上的中线.
三角形中线的符号语言：
∵AD是△ABC的中线
∴BD=CD =12 BC
探究新知
思考2.如图，在△ABC中，还能画出几条中 线呢？你发现了什么特征？
还能画出2条，3条中线交于一点.
B
重心：三角形的三条中线相交于一点，三 角形三条中线的交点叫做三角形的重心.
重心
A
O C
D
探究新知
1.如图，有一块三角形的菜地，现要求分成面积比为1：1：2
三块，且图中A处是三块菜地的共同水源处，应该怎么分？
九年级中考专题复习微专题5 角平分线模型课件人教版
微专题5
角平分线模型
1.角平分线上的点向两边作垂线
如图,P是∠MON的平分线上一点,过点P作PA⊥OM于点
A,PB⊥ON于点B,则PB=PA.
【模型分析】利用角平分线的性质:角平分线上的点到角
两边的距离相等,构造模型,为边相等、角相等、三角形全等
创造更多的条件,进而可以快速找到解题的突破口.
,∠A=90°,AB=AC,BD平分∠ABC,CE⊥BD,交BD的延长线于
E. 求证:BD=2CE.
【解析】如图,延长CE,BA交于点F.
∵CE⊥BD交BD的延长线于E, ∠BAC=90°,
∴∠BAD=∠CED.
∴∠ABD=∠ACF.
又AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90°,
∴△ABD≌△ACF.∴ BD=CF.
50°.
2.截取构造对称全等
如图,P是∠MON的平分线上的一点,点A是射线OM上任意
一点,在ON上截取OB=OA,连接PB,则△OPB≌△OPA.
【模型分析】利用角平分线图形的对称性,在角的两边构
造对称全等三角形,可以得到对应边、对应角相等,利用对称
性把一些线段或角进行转移,这是经常使用的一种解题技巧.
如图,P是∠MON的平分线上一点,AP⊥OP于点P,延长AP交
ON于点B,则△AOB是等腰三角形.
【模型分析】构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合
一”,得到两个全等的直角三角形,进而得到对应边、对应角相
等.这个模型巧妙地把角平分线和“三线合一”联系了起来.
例5 如图,已知等腰直角三角形ABC中
∵AD 为∠BAC 的平分线,∴∠BAD=∠CAD.
∵AE=AE,∴∠AEB=∠AEF=90°,
∴△AEB≌△AEF.∴AB=AF, BE=EF,
北师大版《角平分线》ppt优秀课件1
PE⊥BC，其中D、E、F是垂足
B
∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上
∴PD=PE.同理：PE=PF．∴PD=PF．
∴点P在∠BAC的平分线上
∴△ABC的三条角平分线相交于点P．
A
M
D
PF
EC
定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到
三边的距离相等.
A
如图,在△ABC中, ②点P在∠CBE的平分线上；
A. ①②③④ B. ①②③ C. ④ D. ②③
2.如图，已知 BG 是∠ABC 的平分线，DE⊥AB 于点 E， DF⊥BC 于点 F，DE=6，则 DF 的长度是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
3.如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域， 政府决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，使集贸市场 到三条公路的距离相等，则该集贸市场应建在（ ）
离相等(这个交点叫做三角形的内心).
三 角 形 一 个 内 角 和 与 它 不 相 邻 的 两
外 角 的 平 分 线交于 一点 , 这 个 的 点
O
DA
1P
2
C
叫 做 三 角 形 的傍心 . 这样点 有三个.
E B
提升练习
已分知别：为C如、图D，，P求是证∠：AO（B平1）分O线C=上O的D；一（点2，）POC⊥P是OCAD，的P垂D⊥直O平B垂分足线 老定 实AB同如点 (已证∴A:定已如点逆A证∵(已 定定外(A∵命如点老证四 老A②求实三 ∠∵已求已②P四 证(A剪已 ∴③实证已外 第在在在222CMCCCECCBPBAP△)))师理际理图到知明理知图到定明知理理角题图到师明、师点作际角知作知点、明一知点际明知角2OOO一A一一⊥MMD、D、、、、、、、课B提 :操 ： ,三:： ::,三 理 ： :::的 :,三 提 ： 提 P:操 形::： P： 个 :P操 ： :的PPP⊥⊥,,三 已如个 三如已∠三三三已巩 射如射巩 如 如个个B∠BBBBBBCCC时C是是在在是在A示作P角 过角过平角示过示作一 如过三作过平CCCCCCCBOONNN角 知图角 角图知在角角角知固 线图线固 图 图角角的OECC∠∠C∠,两两两两 两两两三AA,,相:，形 P形P分形:P:，个 图P角，P分PAA三形 △,的 形,△一形形形△三运 三O,O运 ,,的的=三CCBDDDB,,PPPPP点 点 点 点 点F内边边边 边边边PP角HHAAAP交你一 一线一你内 ，形你线CCCBB,的的的是是是是 是角的 内 的个的的三角用 角用⊥内内条如EEBBBF相分作作作作作角EED高垂中 高中,,垂形于又边 边交边又角 纸又交P使使垂垂垂⊥⊥．CCC∠∠∠∠∠形三 部 三角三三个形、 形、A部部角图的的的交别PPP是PP平线直线 线线直三AAAAA点,,,C能的 的于的能和 片能于∠∠直直直OO∴作作作一条 条的条条角一深 一深,,,DDDDD平.平平平且于是OOOOO且且∠(分AA的平的 的的平条PBBP发距 距一距发与 ，发一已⊥⊥⊥⊥⊥平平平△△△个角 角内角角的个化 个化分ABBBBBOO分分分到D一△,,，到到线交分交 交交分AAA内垂垂现离 离点离现它 通现点知O平平平平 平AAAAA分分分ACC内平 平部平平平内拓 内拓=线线 线线BBB角点角角BBBBB的点线点 点点线B角BP足足==什为为为什不过什,,)分分分分 分线线线CCC角分 分分分分角展 角展,,相，，，，，上上上平∠∠CF且这这的P的的交处的处 处处的的一一一分分么半 半半么相 折么线线线线 线...,．BB的和线 线线线线和和交PPPPP且；；；分到个个两两两点交交CC平OO个个个别别？径 径径？邻 叠？上上上上 上FFFFF与相 相相相相与与于P线..角的的边边边CC⊥⊥⊥⊥⊥处点点分内内内是是作 作作的 找的的的的 的D它交 交交交交它它点..上的点点距距距AAAAA处处=线角角角DD圆 圆圆两 出一一一一 一不于 于于于于不不CCCCCPP的两离BB离离,,和和和EE每,,,．E点点点点 点，，，，，..相一 一一一一相相你 你你一((边相相相=与与与已已DD个,,,,,邻点 点点点点邻邻能 能能PPPPPP点距等等等..它它它知知F角CCCCC的的的,作 ,作,,.作，并 并离并并的(的的⊥⊥⊥⊥ ⊥不不不))三的,,两两两出 出出P相点且 且且且点点OOOOO且且相相相角角C个个个这 这这AAAAA等,这 这这这,,PP在邻邻邻⊥在在形平,,,,,外外外个个 个DDPPPPP的一 一一一这的的的O这这的分DDDDD==角角角图 图图点点 点点点APP⊥⊥⊥⊥ ⊥个两两两个个三线的的的形 形形，EE,到 到到到OO在OOO角个个个角角条，,,平平平吗 吗吗P三 三三三BBBBB这的外外外的的角观D分分分???,,,,,垂垂垂垂 垂边 边边边⊥个平角角角平平平察线线线足足足足 足的 的的的O角分的的的分分分这交交交B分分分分 分距 距距距的线平平平线线线三垂于于于别别别别 别离 离离离平上分分分上上相条足一一一CCCCC相 相相相.分线线线))交角分..点点点,,,,,DDDDD等 等等等线,,,于平看看看别，，，.....(.(.上这 这一分它它它为这这这.个 个点线们们们C个个个交 交、,，是是是并的的的点 点D你否否否且点点点，叫 叫是交交交这叫叫叫求做 做否于于于一做做做证三 三发一一一点三三三：角 角现点点点到角角角（形 形同???三形形形1这这这的 的样）边的的的样样样内 内的O的傍傍傍的的的心心C结距心心心=点点点))论离..O，，，有有有？D相这这这几几几；与等样样样个个个同)点点点.???伴有有有如如如交三三三果果果流个个个以以以．。。。这这这个个个点点点为为为圆圆圆心心心,,,这这这一一一
江宁区第八中学八年级数学下册 第1章 直角三角形1.4 角平分线的性质第1课时 角平分线的性质定理及
C 1
2
B
M
3.作射线OC．
射线OC即为所求．
探究新知
动动手: 将手中的三角形纸片按如下顺序操作，并标好对应字母: ①将∠AOB对折，记折痕为OC ； ②以OA(OB)为直角边剪一个直角三角形； ③展开，观察分析；
A
A（B）
A（B）
A
D
C
PC
PC
O
BO
O
O
EB
探究新知
交流探究
问题一：第一条折横分得的两个角的大小有什么关系？ 问题二：PD和PE与OA和OB有什么位置关系 ?它们的长度有什么关系？ 问题三：你能用自己的语言总结角平分线上点的特点吗? 问题四：你能证明你的结论吗？
O
EB
图1-26
探究新知
角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上吗? 如图1-27， 点P在∠AOB的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB.垂足分别为点 D，E.若PD=PE，那么点P在∠AOB的平分线上吗?
证明：如图1-27，过点O, P作射线OC.
∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO= ∠PEO= 90°.
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休 息时间，你们休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动 一动，久坐对身体不好哦~
结束语
同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成 功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念， 考试加油!奥利给~
解：
课堂小结
角平分线性质定理：
角平分线性质定理的逆定理：
课堂小结
直角三角形两个锐角互余.
性质
直 角
定理
三
角
039.12.3 第1课时 角平分线的性质 (2)
12.3 角的平分线的性质教学目标知识与技能1.能够利用三角形全等，证明角平分线的性质和判定．2.会用尺规作已知角的平分线．3.能利用角平分线性质进行简单的推理，解决一些实际问题．过程与方法经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．情感态度价值观在探讨作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，逐步培养学生的理性精神教学重点角平分线画法、性质和判定．教学难点角的平分线的性质的探究教学准备平分角的仪器(自制)三角尺、多媒体课件等．教学过程（师生活动）设计理念创设情境，导入新课1.在纸上任意画一个角，用剪刀剪下，用折纸的方法，如何确定角的平分线？2. 有一个简易平分角的仪器（如图），其中AB=AD,BC=DC,将A点放角的顶点，AB和AD沿AC画一条射线AE,AE就是∠BAD的平分线，为什么？复习旧知识，回忆角的平分线的定义让学生体验利用证明三角形全等的方法来对画法做出说明．要求学生能说明所作的射线是角平分线的理由．探索新知，建立模型探究1.(1)从上面对平分角的仪器的探究中，可以得出作已知角的平分线的方法。
已知什么？求作什么？【已知：∠AOB求作：∠AOB的平分线】(2)把简易平分角的仪器放在角的两边.且平分角的仪器两边相等,从几何角度怎么画?【以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.】从实验中抽象出几何模型,明确几何作图的基本思路和方法.(3) 简易平分角的仪器BC=DC,从几何角度如何画 【分别以点M ，N 为圆心，大于二分之一MN 长为半径画弧，两弧在角的内部交于点C. (4)OC 与简易平分角的仪器中,AE 是同一条射线吗? 【是】 (5)你能说明OC 是∠AOB 的平分线吗? 【提示：利用全等的性质】 探究2. (1)在已画好的角的平分线OC 上任意找一点P,过P 点分别作OA 、OB 的垂线交OA 、O 于M 、N, PM 、PN 的长度是∠AOB 的平分线上一点到∠AOB 两边的距离。
角平分线性质课件(公开课)-图文
C 3处
D 4处
l2
l3
N
M
P
B
G
C
巩固
4.如图，△ABC的∠B的外角平分线BD 与∠C的外角平分线CE相交于点P。 求证：点P在∠A的平分线上。
D C
P
A
BG
巩固
5.如图，直线l1、 l2 、 l3 表示三条互相 交叉的公路，现要造一个垃圾中转站，
要求它到这三条公路的距离相等，则可
供选择的地址有( )
A 1处
l1
B 2处
O
A D
C P
EB
巩固
2.如图，要在S区建一个集贸市场，使 它到公路，铁路距离相等，离公路与 铁路的交叉处500米。这个集贸市场应 建于何处(在图上标出它的位置，比例尺 为1：20000)？
公路
S
铁路
范例
例1.已知：如图，BE⊥AC于E， CF⊥
AB于F，BE、CF相交于D，BD=CD。
求证：AD平分∠BAC。
D C
P
A
BE
探究
如图，已知PD⊥OA于D， PE⊥OB于E ，请问：点P的位置有什么特殊性吗？
猜测： 点P在∠AOB的平分线上
O
你能证明你的猜测吗？
A D
P EB
归纳 角的平分线的判定：
到角的两边的距离相等的点在角的
平分线上。
A D
P
O
EB
OP是∠AOB的平分线。
新授
几何语言描述：
∵ PD⊥OA， PE⊥OB 且PD= PE， ∴ OC平∠AOB
角平分线性质课件(公开课)_图文.ppt
复习
角的平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距 离相等。
三角形的角平分线、中线和高课件数学冀教版七年级下册
解：(1)DO 是∠EDF 的平分线． 证明如下：∵AD是∠CAB 的平分线， ∴∠EAD＝∠FAD.
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠EDA＝∠FAD，∠FDA＝∠EAD. ∴∠EDA＝∠FDA. ∴DO 是∠EDF 的平分线．
(2)与三个条件中的任一条件交换，所得说法都正确.
1.理解三角形的角平分线、中线、高线的概念. 2.会画出已知三角形的角平分线、中线和高. 3.掌握“三线”的性质，并能应用进行计算.
重点
掌握“三线”的性质，并能应用进行计算.
难点
掌握“三线”的性质，并能应用进行计算.
上节课我们学习三角形按角分为哪几类？
1．锐角三角形； 2．直角三角形； 3．钝角三角形。
求AB与AC的长.
解：∵AD是△ABC的中线， ∴CD=BD. ∵△ABC的周长为35cm，BC=11cm， ∴AC+AB=35-11=24(cm). 又∵△ABD与△ACD的周长之差为3cm, ∴AB-AC=3， ∴AB=13.5cm,AC=10.5cm.
C A
D B
1 能把三角形平分成两个面积相等的三角形的线段是( A ) A．三角形的中线 B．三角形的高 C．三角形的角平分线 D．以上三种情况都正确
三角形硬纸板处于平衡状态，这种现 象说明了重心能使物体保持平衡。
张大爷的两个儿子都长大成人了，也该分家了．于是张大爷准 备把如图所示的一块三角形田地平均分给两个儿子，两个儿子 要求分成的两块田地的形状仍然是三角形，请你帮助张大爷提 出一种平分的方案．
导引：根据等底同高的三角形的面积相 等，要等分三角形的面积，只需 要作出一条边上的中线即可.
若和“DE∥AB ”交换． 理由如下：∵DF∥AC，∴∠FDA＝∠EAD.
角平分线的性质
A E C
D
B
复习提问
2、点到直线距离: 点到直线距离: 从直线外一点到这条直线的垂线段的长 直线外一点到这条直线的垂线段的长 到这条直线的 叫做点到直线的距离。 度，叫做点到直线的距离。
P
线段的长度
A
O
B
E=DF（已证） ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）
B D
F
C
∴EB=FC（全等三角形的对应边相等）
课堂小结： 课堂小结：
1.用尺规作角的平分线. 1.用尺规作角的平分线. 用尺规作角的平分线 2.角平分线的性质： 2.角平分线的性质： 角平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边 的距离相等． 的距离相等．
角平分线的性质
复习回顾
1.角的平分线 角的平分线
一条射线把一个角分成两个相等的 两个相等的 一条射线 这条射线叫做这个角的平分线。 角，这条射线 这条射线
A
o
1 2
C B
探索
如图是一个平分角的仪器,其中AB=AD, 如图是一个平分角的仪器,其中AB=AD, .将点 放在角的顶点,AB,CD 将点A ,AB,CD沿着角的两 BC=CD .将点A放在角的顶点,AB,CD沿着角的两 边放下, AC画一条射线AE,AE就是角平分线 画一条射线AE,AE就是角平分线. 边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你 能说明它的道理吗? 能说明它的道理吗? A
将AOB对折,在折出一个直角三角 形(使第一条折痕为斜边),然后展开, 观察两次折叠形成的三条折痕,你能 得出什么结论?
A
A
C
O
O
【初二数学复习精品课件】角平分线及性质
角平分线及性质知识集结知识元角平分线的性质知识讲解角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长度；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直；如果没有垂直则需要构造垂直后再使用该性质.例题精讲角平分线的性质例1.下列各图中，OP 是∠MON 的平分线，点E，F，G 分别在射线OM，ON，OP 上，则可以解释定理“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的图形是（）【解析】题干解析:解：∵OP是∠MON 的平分线，且GE⊥OM，GF⊥ON，∴GE=GF（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），故选：D．例2.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC=8，DE=2，AB=5，则AC长是（）【解析】题干解析:解：过D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF=2，∵S△ADB=AB×DE=×5×2=5，∵△ABC的面积为8，∴△ADC的面积为8﹣5=3，∴AC×DF=3，∴AC×2=3，∴AC=3，故选D．例3.如图，AB∥CD，AE、CE分别平分∠BAC和∠ACD，BD过点E且垂直于AB，若点E到AC的距离为3，则BD=．【答案】6【解析】题干解析:解：过E作EF⊥AC于F，∵BD⊥AB，AB∥CD，∴BD⊥CD，∵AE、CE分别平分∠BAC和∠ACD，∴BE=EF=DE=3，∴BD=BE+DE=6，故答案为：6．角平分线的作图知识讲解在角平分线相关的作图问题中，一般常会用到的是角平分线的定义和角平分线的性质.例题精讲角平分线的作图例1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（）.【解析】题干解析:解：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，又∵∠C=90°，∴DE=CD，∴△ABD的面积=AB•DE=×15×4=30．故选B．例2.观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是（）【解析】题干解析:解：根据尺规作图的画法可知：OE是∠AOB的角平分线．A、OE是∠AOB的平分线，A正确；B、OC=OD，B正确；C、点C、D到OE的距离相等，C不正确；D、∠AOE=∠BOE，D正确．故选C．角平分线相关的面积计算知识讲解角平分线的性质能够为面积的计算直接提供现有的高以及高的具体值，所以涉及到角平分的计算也常会与面积结合.例题精讲角平分线相关的面积计算例1.如图，是某油路管道的一部分，延伸其中三条支路恰好构成一个直角三角形，其三边长分别为6cm，8cm，10cm，输油中心O在到三条支路距离相等的地方，则中心O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O为点）为（）.【解析】题干解析:解：设点O到三边的距离为h，则S△ABC=×8×6=×（8+6+10）×h，解得h=2m，∴O到三条支路的管道总长为：3×2=6cm．故选D．例2.如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为15，AB=6，DE=3，则AC的长是（）【答案】D【解析】题干解析:解：如图，过D 作DF ⊥AC ，∵AD 是角平分线，DE ⊥AB ，∴DF=DE=3，∵S △ABC =S △ABD +S △ACD ，∴15=×6×3+×AC×3，解得AC=4，故选D ．例3.如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，DE=2，AC=3，则△ADC 的面积是（ ）【解析】题干解析: 解：如图，过点D 作DF ⊥AC 于F ，∵AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，∴DE=DF=2．∴S △ACD =AC•DF=×3×2=3，故选A ．角平分线求点线距离知识讲解求点到线的距离问题在角平分线相关的部分是非常典型的一种类型题，其中需要明确的知识包括点到线的距离的标准定义、角平分线的性质，将两者结合来添加辅助线也是非常重要的一种处理手段.例题精讲角平分线求点线距离例1.如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA的距离是（）【解析】题干解析:解：作PE⊥OA于E，∵点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PE=PD=2，故选：B．例2.如图，O是直线BC上的点，OM平分∠AOB，ON平分∠AOC，点E在OM上，过点E作EG⊥OA于点G，EP⊥OB于点P，延长EG，交ON于点F，过点F作FQ⊥OC于点Q，若EF=10，则FQ+EP的长度为（）.【解析】题干解析:解：∵OM平分∠AOB，ON平分∠AOC，EG⊥OA，EP⊥OB，FQ⊥OC，∵FQ=FG，EG=PE，∵EF=FG+EG，∴FQ+EP=EF=10，故选B．例3.如图，在△ABC中，∠C=90°，AM是∠BAC的平分线，CM=20cm，那么M到AB的距离为．【答案】20cm【解析】题干解析:解：如图，过点M作DM⊥AB于D，∵∠C=90°，AM是∠CAB的平分线，∴DM=CM=20cm，即M到AB的距离为20cm．故答案为：20cm．利用角平分线的性质求线段取值范围知识讲解求线段取值范围的问题，是利用角平分线的性质和垂线段最短这两个知识处理问题的一个典型题型，有线段的范围就能求出最值，所以求线段的最值问题也是此类型题目，处理方法相同.例题精讲利用角平分线的性质求线段取值范围例1.如图，OC平分∠AOB，点P是射线OC上的一点，PD⊥OB于点D，且PD=3，动点Q在射线OA上运动，则线段PQ的长度不可能是（）.【解析】题干解析:解：如图，过点P作PE⊥OA于E，∵OC平分∠AOB，PD⊥OB，∴PE=PD=3，∵动点Q在射线OA上运动，∴PQ≥3，∴线段PQ的长度不可能是2．故选A．例2.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（）.【解析】题干解析:解：∵垂线段最短，∴当PQ⊥OM时，PQ有最小值，又∵OP平分∠MON，PA⊥ON，∴PQ=PA=2，故选B．例3.如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为（）【解析】题干解析:解：∵P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，∴∠AOP=AOB=30°，∵PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，∴OP=2DM=8，∴PD=OP=4，∵点C是OB上一个动点，∴PC的最小值为P到OB距离，∴PC的最小值=PD=4．故选C．角平分线的性质在几何问题中的应用知识讲解角平分线的性质为几何计算、证明题提供线段相等的条件，所以一般在题目中出现角平分线且有垂直条件出现时，常会考虑到角平分线的性质.例题精讲角平分线的性质在几何问题中的应用例1.如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，点O到BC边的距离为3，且△ABC 的周长为20，则△ABC的面积为．【答案】30【解析】题干解析:解：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，∵OB是∠ABC的平分线，OD⊥BC，OE⊥AB，∴OE=OD=3，同理OF=OD=3，△ABC的面积=×AB×3+×AC×3+×BC×3=30．故答案为：30．例2.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E．求证：△DBE的周长等于AB．【答案】证明：∵∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∴DC=DE；∴BD+DE=BD+CD=BC；∵AC2=AD2﹣CD2，AE2=AD2﹣DE2，∴AC=AE，而AC=BC，∴BC=AE，∴BD+DE+BE=AE+BE=AB，即△DBE的周长等于AB．【解析】题干解析:如图，证明DC=DE；进而证明BC=AE，即可解决问题．例3.如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，且BD⊥l于的D，CE⊥l于的E．（1）求证：BD+CE=DE；（2）当变换到如图②所示的位置时，试探究BD、CE、DE的数量关系，请说明理由．【答案】证明：（1）∵∠DAB+∠EAC=90°，∠DAB+∠ABD=90°，∴∠EAC=∠ABD，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD=AE，CE=AD，∵DE=AD+AE，∴DE=BD+CE；（2）BD-CE=DE，理由如下：∵CE⊥AN，BD⊥AN，∴∠AEC=∠BDA=90°，∴∠BAD+∠ABD=90°，∵∠BAC=90°，即∠BAD+∠CAE=90°，∴∠ABD=∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴AD=CE，BD=AE，∴BD-CE=AE-AD=DE．【解析】题干解析:（1）易证∠EAC=∠ABD，即可求证△ABD≌△CAE，根据全等三角形相等的性质即可解题；（2）先根据垂直的定义得到∠AEC=∠BDA=90°，再根据等角的余角相等得到∠ABD=∠CAE，则可利用“AAS”判断△ABD≌△CAE，所以AD=CE，BD=AE，于是有BD-CE=AE-AD=DE．角平分线的判定知识讲解1.角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.注意：①这是判定角平分线的一个标准判定方法；②如果强调了“在角的内部”，则满足判定条件的线是唯一的，尤其是在三角形中；如果没有强调“在角的内部”，则满足判定条件的线不唯一.例题精讲角平分线的判定例1.如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）.【解析】题干解析:解：利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知CD与∠AOB的平分线的交于点P．故选D．例2.已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F、G分别是OA、OB上的点，且PF=PG，DF=EG．求证：OC是∠AOB的平分线．【答案】证明：在Rt△PFD和Rt△PGE中，，∴Rt△PFD≌Rt△PGE（HL），∴PD=PE，∵P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，∴OC是∠AOB的平分线．【解析】题干解析:利用“HL”证明Rt△PFD和Rt△PGE全等，根据全等三角形对应边相等可得PD=PE，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可．例3.如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=DC，求证：AD是∠EAC的平分线．【答案】证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴∠BED=∠CFD，∴△BDE与△CDE是直角三角形，在Rt△BDE和Rt△CDF中，∴Rt△BDE≌Rt△CDF （HL），∴DE=DF，∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴AD是∠BAC的平分线．【解析】题干解析:首先证明Rt△BDE≌Rt△CDF，可得DE=DF，再根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上可得AD是∠EAC的平分线．角平分线在选址问题中的应用知识讲解对于选址问题，要能够将实际问题抽象成数学问题，到线性实体的距离相等即等价于到点到线的距离相等，这就是典型的对角平分线的判定方法的考查.例题精讲角平分线在选址问题中的应用例1.三条直线l1，l2，l3相互交叉，交点分别为A，B，C，在平面内找一个点，使它到三条直线的距离相等，则这样的点共有（）.【解析】题干解析:解：作直线l1，l2，l3所围成的△ABC的外角平分线和内角平分线，内角平分线相交于点P1，外角平分线相交于点P2、P3、P4，根据角平分线的性质可得，这4个点到三条直线的距离分别相等．故选：D．例2.A、B、C表示三个小城，相互之间有公路相连，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址可以是（）【解析】题干解析:解：∵货物中转站到三条公路的距离相等，∴可供选择的地址是三条角平分线的交点处．故选B．角平分线性质和判定的综合应用知识讲解根据角平分线的定义和性质可知，角平分线不仅能提供角的关系，还能提供边的关系：①角平分线将一个大角分成相等的两个小角；②角平分线上的点到角的两边距离相等.角平分线在几何计算和证明中被利用的频率比较高.例题精讲角平分线性质和判定的综合应用例1.如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED=90°②∠ADE=∠CDE ③DE=BE ④AD=AB+CD，四个结论中成立的是（）【解析】题干解析:解：过E作EF⊥AD于F，如图，∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，∴Rt△AEF≌Rt△AEB∴BE=EF，AB=AF，∠AEF=∠AEB；而点E是BC的中点，∴EC=EF=BE，所以③错误；∴Rt△EFD≌Rt△ECD，∴DC=DF，∠FDE=∠CDE，所以②正确；∴AD=AF+FD=AB+DC，所以④正确；∴∠AED=∠AEF+∠FED=∠BEC=90°，所以①正确．故选A．例2.如图，BF、CF分别是∠DBC和∠ECB的角平分线，则关于F的说法不正确的是（）【解析】题干解析:作FP⊥AE于P，FG⊥BC于G，FH⊥AD于H，根据角平分线的性质得到FP=FH，根据角平分线的判定定理判断即可．解：作FP⊥AE于P，FG⊥BC于G，FH⊥AD于H，∵CF是∠BCE的平分线，∴FP=FG，∵BF是∠CBD的平分线，∴FH=FG，∴FP=FH=FG，又FP⊥AE，FH⊥AD，∴AF平分∠BAC，故选：C．例3.如图，四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．（1）求证：OC平分∠ACD；（2）求证：OA⊥OC；（3）求证：AB+CD=AC．【答案】证明：（1）过点O作OE⊥AC于E，∵∠ABD=90゜，OA平分∠BAC，∴OB=OE，∵点O为BD的中点，∴OB=OD，∴OE=OD，∴OC平分∠ACD；（2）在Rt△ABO和Rt△AEO中，，∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），∴∠AOB=∠AOE，同理求出∠COD=∠COE，∴∠AOC=∠AOE+∠COE=×180°=90°，∴OA⊥OC；（3）∵Rt△ABO≌Rt△AEO，∴AB=AE，同理可得CD=CE，∵AC=AE+CE，∴AB+CD=AC．【解析】题干解析:（1）过点O作OE⊥AC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OB=OE，从而求出OE=OD，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明；（2）利用“HL”证明△ABO和△AEO全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AOB=∠AOE，同理求出∠COD=∠COE，然后求出∠AOC=90°，再根据垂直的定义即可证明；（3）根据全等三角形对应边相等可得AB=AE，CD=CE，然后证明即可．角平分线性质模型知识讲解利用角平分线的性质构造辅助线，其最终的模型如下图：例题精讲角平分线性质模型例1.如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC．求证：∠PCB+∠BAP=180°．【答案】证明：如图，过点P作PE⊥BA于E，∵∠1=∠2，PF⊥BC于F，∴PE=PF，∠PEA=∠PFB=90°，在Rt△PEA与Rt△PFC中，∴Rt△PEA≌Rt△PFC（HL），∴∠PAE=∠PCB，∵∠BAP+∠PAE=180°，∴∠PCB+∠BAP=180°．【解析】题干解析:过点P作PE⊥BA于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PF，然后利用HL证明Rt△PEA与Rt△PFC全等，根据全等三角形对应角相等可得∠PAE=∠PCB，再根据平角的定义解答．例2.四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠B=180°.求证：2AE=AB+AD．【答案】证明：过C作CF⊥AD于F，∵AC平分∠BAD，∴∠FAC=∠EAC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠DFC=∠CEB=90°，∴△AFC≌△AEC，∴AF=AE，CF=CE，∵∠ADC+∠B=180°∴∠FDC=∠EBC，∴△FDC≌△EBC∴DF=EB，∴AB+AD=AE+EB+AD=AE+DF+AD=AF+AE=2AE∴2AE=AB+AD.【解析】题干解析:过C作CF⊥AD于F，由条件可证△AFC≌△AEC，得到CF=CE．再由条件∠ADC+∠B=180°证BE=DF，所以△CDF≌△CEB，由全等的性质可得DF=EB，问题可解．例3.在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．（1）①如图（1），当∠B=60°，∠ACB=90°，则∠AFC=；②如图（2），如果∠ACB不是直角，∠B=60°时，请问在①中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）如图（3），在②的条件下，请猜想EF与DF的数量关系，并证明你的猜想．【答案】解：（1）①∵∠B=60°，∠ACB=90°，∴∠BAC=90°﹣60°=30°，∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴∠FAC=∠BAC=×30°=15°，∠FCA=∠ACB=×90°=45°，∴∠AFC=180°﹣15°﹣45°=120°；故答案为：120°．②∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴∠FAC+∠FCA=（∠BAC+∠ACB）=（180°﹣∠B），∴∠AFC=180°﹣（∠FAC+∠FCA）=180°﹣（180°﹣∠B）=90°+∠B，∵∠B=60°，∴∠AFC=90°+×60°=120°；（2）如图，过点F作FG⊥BC于G，作FH⊥AB于H，作FM⊥AC于M，∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴FG=FH=FM，∵∠EFH+∠DFH=120°，∠DFG+∠DFH=360°﹣90°×2﹣60°=120°，∴∠EFH=∠DFG，在△EFH和△DFG中，，∴△EFH≌△DFG（AAS），∴EF=DF．【解析】题干解析:（1）①根据角平分线的定义求出∠FAC、∠FCA，再根据三角形的内角和定理列式计算即可得解；②根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出∠FAC、∠FCA，再利用三角形内角和定理列式计算即可得解；（2）过点F作FG⊥BC于G，作FH⊥AB于H，作FM⊥AC于M，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得FG=FH=FM，再求出∠EFH=∠DFG，然后利用“角边角”证明△EFH 和△DFG全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．角平分线的对称模型知识讲解在利用角平分线的对称特点添加辅助线类的题目，常会与下一节要讲的截长补短的结构相关，所以在分析题目时，有时候可以从多个角度入手，拓展解题思路.例题精讲角平分线的对称模型例1.已知，如图，△ABC中，∠BAC=60°，AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求∠B的度数．【答案】解：如图，在AC上截取AE=AB，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED （SAS），∴BD=DE，∠B=∠AED，∵AC=AE+CE，AC=AB+BD，∴CE=BD，∴CE=DE，∴∠C=∠CDE，即∠B=2∠C，在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°，∴60°+2∠C+∠C=180°，解得∠C=40°，∴∠B=2×40°=80°．【解析】题干解析:在AC上截取AE=AB，根据角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD，然后利用“边角边”证明△ABD和△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=DE，全等三角形对应角相等可得∠B=∠AED，再求出CE=BD，从而得到CE=DE，根据等边对等角可得∠C=∠CDE，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AED=2∠C，然后根据三角形的内角和定理列方程求出∠C，即可得解．例2.已知在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE交于点O．（1）如图1，若∠BAC=60°，求证：AC=AE+CD；（2）如图2，若∠BAC≠60°，（1）中的结论是否发生变化，请说明理由．【答案】解：（1）如图1中，在线段AC上截取AF=AE，连接OF．∵∠ABC=60°，∴∠BAC+∠ACB=120°，∴∠BAC+∠ACB=60°，∴∠OAC+∠OCA=60°，∴∠AOC=120°，∴∠AOE=∠COD=60°，在△AOE和△AOF中，，∴△AOE≌△AOF，∴∠AOE=∠AOF=60°，∴∠COF=∠COD=60°，在△COF和△COD中，，∴△COF≌△COD，∴CF=CD，∴AC=AF+CF=AE+CD．（2）如图2中，当∠ABC≠60°时，结论不成立．由（1）可知，假设结论成立．则有∠AOF=∠COF=∠COD=60°，∴∠AOC=120°，∴∠OAC+∠OCA=60°，∵∠BAC=2∠OAC，∠ACB=2∠OCA，∴∠BAC+∠BCA=120°，∴∠B=60°，这个与已知矛盾，∴结论不成立．【解析】题干解析:（1）如图1中，在线段AC上截取AF=AE，连接OF．只要证明△AOE≌△AOF，△COF≌△COD，即可解决问题．（2）结论不成立．用反证法证明即可．例3.在△ABC中，∠A=60°，BE，CF分别是∠ABC和∠ACB的平分线，CF与BE相交于点O．（1）如图1，若∠ACB=90°，求证：BF+CE=BC；（2）如图2，若∠ABC与∠ACB是任意角度，（1）中的结论是否仍成立？请说明理由．【答案】解：（1）在BC上找到D，使得BF=BD，∵∠A=60°，∠ACB=90°，∴∠ABC=30°，∵BE，CF分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴∠FBO=∠CBO=15°，∠ECO=∠BCO=45°，∴△BOC中，∠BOC=120°，∴∠BOF=∠COE=60°，由BF=BD，∠FBO=∠CBO，BO=BO可得△BOD≌△BOF（SAS），∴∠BOD=∠BOF=60°，∴∠COD=180°﹣60°﹣60°=60°，∴∠COD=∠COE，由∠COD=∠COE，CO=CO，∠ECO=∠BCO可得∴△OCE≌△OCD（ASA），∴CE=CD，∵BC=BD+CD，∴BC=BF+CE．（2）结论BC=BF+CE仍成立．在BC上找到D，使得BF=BD，∵∠A=60°，BD、CE是△ABC的角平分线，∴∠BOC=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠A）=120°，∠ECO=∠BCO，∴∠BOF=∠COE=60°，由BF=BD，∠FBO=∠CBO，BO=BO可得△BOD≌△BOF（SAS），∴∠BOD=∠BOF=60°，∴∠COD=180°﹣60°﹣60°=60°，∴∠COD=∠COE，由∠COD=∠COE，CO=CO，∠ECO=∠BCO可得∴△OCE≌△OCD（ASA），∴CE=CD，∵BC=BD+CD，∴BC=BF+CE．【解析】题干解析:（1）在BC上找到D，使得BF=BD，根据SAS易证△BOF≌△BOD，可得∠BOF=∠BOD=60°，进而得出∠COE=∠COD=60°，即可证明△OCE≌△OCD，可得CF=CD，根据BC=BD+CD即可得出结论；（2）在BC上找到D，使得BF=BD，易证△BOF≌△BOD，可得∠BOF=∠BOD=60°，进而得出∠COE=∠COD=60°，即可证明△OCE≌△OCD，可得CF=CD，根据BC=BD+CD即可得出结论．当堂练习单选题练习1.某地为了发展旅游业，要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村的选址地点共有（）处．【解析】题干解析:解：∵度假村在三条公路围成的平地上且到三条公路的距离相等，∴度假村应该在围成的三角形三条角平分线的交点处．故选A．练习2.如图，BF、CF分别是∠DBC和∠ECB的角平分线，则关于F的说法不正确的是（）【解析】题干解析:解：作FP⊥AE于P，FG⊥BC于G，FH⊥AD于H，∵CF是∠BCE的平分线，∴FP=FG，∵BF是∠CBD的平分线，∴FH=FG，∴FP=FH=FG，又FP⊥AE，FH⊥AD，∴AF平分∠BAC，故选：A．练习3.观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是（）【解析】题干解析:解：根据尺规作图的画法可知：OE是∠AOB的角平分线．A、OE是∠AOB的平分线，A正确；B、OC=OD，B正确；C、点C、D到OE的距离相等，C不正确；D、∠AOE=∠BOE，D正确．故选C．练习4.如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为15，AB=6，DE=3，则AC的长是（）【解析】题干解析:解：如图，过D作DF⊥AC，∵AD是角平分线，DE⊥AB，∴DF=DE=3，∵S△ABC=S△ABD+S△ACD，∴15=×6×3+×AC×3，解得AC=4，故选D．练习5.如图，OP平分∠MON，PA⊥OA于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的值为（）【解析】题干解析:解：∵OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，PA=2，∴点P到OM的距离等于2，而点Q是射线OM上的一个动点，∴PQ≥2．故选D．练习6.如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为（）【解析】题干解析:解：∵P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，∴∠AOP=AOB=30°，∵PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，∴OP=2DM=8，∴PD=OP=4，∵点C是OB上一个动点，∴PC的最小值为P到OB距离，∴PC的最小值=PD=4．故选C．练习7.A、B、C表示三个小城，相互之间有公路相连，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址可以是（）【解析】题干解析:解：∵货物中转站到三条公路的距离相等，∴可供选择的地址是三条角平分线的交点处．故选B．练习8.如图，AB⊥AC，AG⊥BG，CD、BE分别是∠ACB，∠ABC的角平分线，AG∥BC，下列结论：①∠BAG=2∠ABF；②BA平分∠CBG；③∠ABG=∠ACB；④∠CFB=135°、其中正确的结论是（）【解析】题干解析:解：∵AG∥BC，∴∠BAG=∠ABC，∵BE是∠ABC的角平分线，∴∠ABC=2∠ABF，∴∠BAG=2∠ABF，①正确；BA不一定平分∠CBG，②错误；∵AB⊥AC，AG⊥BG，∴∠BAG+∠ABG=90°，∠ABC+∠ACB=90°，∵AG∥BC，∴∠BAG=∠ABC，∴∠ABG=∠ACB，③正确；∵∠BAC=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，∵CD、BE分别是∠ACD，∠ABC的角平分线，∴∠FBC+∠FCB=45°，∴∠CFB=135°，④正确，故选：C．练习9.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC=8，DE=2，AB=5，则AC长是（）【解析】题干解析:解：过D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF=2，∵S△ADB=AB×DE=×5×2=5，∵△ABC的面积为8，∴△ADC的面积为8﹣5=3，∴AC×DF=3，∴AC×2=3，∴AC=3，故选D．填空题练习1.在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，∠ACB的平分线交AB于D，AE平分∠BAC交BC于E，连接DE，DF⊥BC于F，则∠EDC=°．【答案】30【解析】题干解析:解：过D作DM⊥AC交CA的延长线于M，DN⊥AE，∵CD平分∠ACB，∴DF=DM，∵∠BAC=120°，∴∠DAM=60°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=60°，∴∠DAM=∠BAE，∴DM=DN，∵DF⊥BC，∴DE平分∠AEB，∵AB=AC，AE平分∠BAC交BC于E，∴AE⊥BC，∴∠AEB=90°，∴∠DEF=45°，∵∠B=∠C=30°，∴∠DCF=15°，∴∠EDC=30°，故答案为：30．解答题练习1.如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=DC，求证：AD是∠EAC的平分线．【答案】证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴∠BED=∠CFD，∴△BDE与△CDE是直角三角形，在Rt△BDE和Rt△CDF中，∴Rt△BDE≌Rt△CDF （HL），∴DE=DF，∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴AD是∠BAC的平分线．【解析】题干解析:首先证明Rt△BDE≌Rt△CDF，可得DE=DF，再根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上可得AD是∠EAC的平分线．练习2.已知在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE交于点O．（1）如图1，若∠BAC=60°，求证：AC=AE+CD；（2）如图2，若∠BAC≠60°，（1）中的结论是否发生变化，请说明理由．【答案】解：（1）如图1中，在线段AC上截取AF=AE，连接OF．∵∠ABC=60°，∴∠BAC+∠ACB=120°，∴∠BAC+∠ACB=60°，∴∠OAC+∠OCA=60°，∴∠AOC=120°，∴∠AOE=∠COD=60°，在△AOE和△AOF中，，∴△AOE≌△AOF，∴∠AOE=∠AOF=60°，∴∠COF=∠COD=60°，在△COF和△COD中，，∴△COF≌△COD，∴CF=CD，∴AC=AF+CF=AE+CD．（2）如图2中，当∠ABC≠60°时，结论不成立．由（1）可知，假设结论成立．则有∠AOF=∠COF=∠COD=60°，∴∠AOC=120°，∴∠OAC+∠OCA=60°，∵∠BAC=2∠OAC，∠ACB=2∠OCA，∴∠BAC+∠BCA=120°，∴∠B=60°，这个与已知矛盾，∴结论不成立．【解析】题干解析:（1）如图1中，在线段AC上截取AF=AE，连接OF．只要证明△AOE≌△AOF，△COF≌△COD，即可解决问题．（2）结论不成立．用反证法证明即可．练习3.观察、猜想、探究：在△ABC中，∠ACB=2∠B．（1）如图①，当∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线时，求证：AB=AC+CD；（2）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；（3）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．【答案】解：（1）过D作DE⊥AB，交AB于点E，如图1所示，∵AD为∠BAC的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE=DC，在Rt△ACD和Rt△AED中，AD=AD，DE=DC，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE，∠ACB=∠AED，∵∠ACB=2∠B，∴∠AED=2∠B，又∵∠AED=∠B+∠EDB，∴∠B=∠EDB，∴BE=DE=DC，则AB=BE+AE=CD+AC；（2）AB=CD+AC，理由为：在AB上截取AG=AC，如图2所示，∵AD为∠BAC的平分线，∴∠GAD=∠CAD，∵在△ADG和△ADC中，，∴△ADG≌△ADC（SAS），∴CD=DG，∠AGD=∠ACB，∵∠ACB=2∠B，∴∠AGD=2∠B，又∵∠AGD=∠B+∠GDB，∴∠B=∠GDB，∴BE=DG=DC，则AB=BG+AG=CD+AC；（3）AB=CD﹣AC，理由为：在AF上截取AG=AC，如图3所示，∵AD为∠FAC的平分线，∴∠GAD=∠CAD，∵在△ADG和△ACD中，，∴△ADG≌△ACD（SAS），∴CD=GD，∠AGD=∠ACD，即∠ACB=∠FGD，∵∠ACB=2∠B，∴∠FGD=2∠B，又∵∠FGD=∠B+∠GDB，∴∠B=∠GDB，∴BG=DG=DC，则AB=BG﹣AG=CD﹣AC．【解析】题干解析:（1）过D作DE⊥AB，交AB于点E，理由角平分线性质得到ED=CD，利用HL得到直角三角形AED与直角三角形ACD全等，由全等三角形的对应边相等，对应角相等，得到AE=AC，∠AED=∠ACB，由∠ACB=2∠B，利用等量代换及外角性质得到一对角相等，利用等角对等边得到BE=DE，由AB=AE+EB，等量代换即可得证；（2）AB=CD+AC，理由为：在AB上截取AG=AC，如图2所示，由角平分线定义得到一对角相等，再由AD=AD，利用SAS得到三角形AGD与三角形ACD全等，接下来同（1）即可得证；（3）AB=CD﹣AC，理由为：在AF上截取AG=AC，如图3所示，同（2）即可得证．练习4.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF．求证：AD是△ABC的角平分线．【答案】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴Rt△BDE和Rt△DCF是直角三角形．，∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），∴DE=DF，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是角平分线．【解析】题干解析:首先可证明Rt△BDE≌Rt△DCF（HL）再根据三角形角平分线的逆定理求得AD是角平分线即可．练习5.如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC．求证：∠PCB+∠BAP=180°．【答案】证明：如图，过点P作PE⊥BA于E，∵∠1=∠2，PF⊥BC于F，∴PE=PF，∠PEA=∠PFB=90°，在Rt△PEA与Rt△PFC中，，∴Rt△PEA≌Rt△PFC（HL），∴∠PAE=∠PCB，∵∠BAP+∠PAE=180°，∴∠PCB+∠BAP=180°．【解析】题干解析:过点P作PE⊥BA于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PF，然后利用HL证明Rt△PEA与Rt△PFC全等，根据全等三角形对应角相等可得∠PAE=∠PCB，再根据平角的定义解答．练习6.如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C=180°．【答案】证明：过点D作DE⊥BC于E，过点D作DF⊥AB交BA的延长线于F，∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，∠DEC=∠F=90°，在RtCDE和Rt△ADF中，，∴Rt△CDE≌Rt△ADF（HL），∴∠FAD=∠C，∴∠BAD+∠C=∠BAD+∠FAD=180°．【解析】题干解析:首先过点D作DE⊥BC于E，过点D作DF⊥AB交BA的延长线于F，由BD平分∠ABC，根据角平分线的性质，即可得DE=DF，又由AD=CD，即可判定Rt△CDE≌Rt△ADF，则可证得：∠A+∠C=180°．练习7.如图，在△ABC中，D为AB的中点，F为BC上一点，DF∥AC，延长FD至E，且DE=DF，联结AE、AF．（1）求证：∠E=∠C；（2）如果DF平分∠AFB，求证：AC⊥AB．【答案】证明：（1）∵D为AB的中点，∴BD=AD，在△AED与△BFD中，，∴△AED≌△BFD（SAS），∴∠E=∠DFB，∵DF∥AC，∴∠C=∠DFB，∴∠C=∠E；（2）∵DF平分∠AFB，∴∠AFD=∠DFB，∵∠E=∠DFB，∴∠AFD=∠AED，∵ED=DF，∴∠DAF+∠AFD=90°，∵EF∥AC，∴∠AFD=∠FAC，∴∠DAF+∠FAC=90°，∴AC⊥AB．【解析】题干解析:（1）根据SAS证明△AED与△BFD全等，再利用等量代换证明即可；（2）根据角平分线的定义和等腰三角形的性质进行证明即可．。
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用数学语言表述： ∵ OC是∠AOB的平分线
PD⊥OA，PE⊥OB ∴ PD＝PE
A D
1 O2
P C
E B
.
三、角平分线性质的逆定理: 角的内部到角的两边的距离相等的点
在角的平分线上。
用数学语言表示为： ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上．
.
四、三角形的三条角平分线相交于一点，并且 这一点到三角形三边的距离相等．
.
13.如图：在△ABC中，∠C=90°, AD是∠BAC 的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF； 求证：CF=EB A
F
E
CD B
.
14.如图，AB=AC,BD=CD,DE⊥AB于E, DF⊥AC于F,
求证：DE=DF
E
B
A
D
C F
.
15.如图，在∠BAC的平分线上任取一点D,在 AB,AC上各取一点E,F,若DE=DF,且AE>AF 求证：∠AED=∠DFC
.
2.如图所示，三条公路两两相交，交点分别为 A、B、C，现计划修一个油库，要求到三条公
路的距离相等，可供选择的地址有（ D）
A. 一处 B. 二处 C.三处 D. 四处
.
3.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射
线OM上的一个动点，若PA=2,则PQ的最小值为
（B）
A．1
B．2 C．3 D．4
则△DEB的周长为（ B ）
A. 4cm
B. 6cm
C. 10cm
D. 以上都不对
.
6.如图在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，
DE⊥AB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于
(B )
A．2 cm
B．3 cm
C．4 cm
D．5 cm
C
E
A
D
B
.
7.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线， DE⊥AB于E，且DE=3cm，BD=5cm，则
角平分线的性质 （复习课）
.
一、如何用尺规作角的平分线？
作法：
１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ
于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．
1
２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 2ＭＮ的长为
半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ．
３．作射线OC．
A
Ｍ
则射线ＯＣ即为所求． Ｃ
.
Ｎ
Ｂ
Ｏ
二、角的平分线的性质: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
∵点F在∠BCE的平分线上， FG⊥AE， FM⊥BC ∴FG＝FM
又∵点F在∠CBD的平分线上， FH⊥AD， FM⊥BC ∴FM＝FH ∴FG＝FH
G M
H
∴点F在∠DAE的平分.线上
练习：
1.到三角形三边距离相等的点是（ C ）
A.三条高的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 不能确定
BC=__8___cm.
.
8.如图，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，
且CD=CE，则∠DOC=_3_0__°.
.
9.如图，OC平分∠AOB， PM⊥OB于点M， PN⊥OA于点N， △POM的面积为6，OM=6，则
PN=___2____。
N
A
C
0
P
MB
.
10.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是 AC上一点，DE⊥AB于E，且DE＝DC．
（1）求证：BD平分∠ABC； （2）若∠A＝36°，求∠DBC的度数． （1）根据角平分线性质的逆定理: 或：证△BDE≌△BDC（HL）. （2）∠DBC=27°
.
11.如图，∠1＝∠2，AE⊥OB于E，BD⊥OA于D， AE与BD相交于点C .求证：AC＝BC．
.
12.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分 ∠ADC，求证：AM平分∠DAB.
.
4.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分
∠BAC，AE＝AC，下列结论中错误的是（ D ）
A. DC＝DE
B. ∠AED＝90°
C. ∠ADE＝∠ADC D. DB＝DC
.
5.如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD
平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6cm，
B E
M
D
A
FN
C
.
16.如图，已知△ABC的周长为10，OB、OC 分别平分∠ABC、∠ACB、OD⊥BC于点D， 且OD＝2，求△ABC的面积。
A
O
B
D
C
.
17.如图Rt△ABC中，∠C=90。AC=BC,AD是∠BAC
的平分线，DE⊥AB于E,
求证：△DBE的周长等于AB长
B E
D
C
A
.
∵△ABC的角平分线AH，BM，CN相交于点P
PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，
∴PD=PE=PF
D N
A F M
P
B
HE
C.Βιβλιοθήκη 例.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的 平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M