初三数学第一章证明测试题

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【九年级】初三数学上册第一章证明期末复习试卷

【九年级】初三数学上册第一章证明期末复习试卷第一章证明（二)期末复习试卷一、知识回顾（5分钟，单独学习+演示）1．三角形全等的判定方法有，，，四种，另外直角三角形全等还有。

（用字母表示）2.等腰三角形相互重叠。

（等腰三角形的三条线在一起）。

3．直角三角形的判定方法有：（1）只有一个角的三角形是直角三角形；（2）如果一个三角形，两边的等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三有形。

（勾股定理逆定理）4.垂直平分线上各点之间的距离相等。

5．到一条线段两个端点距离相等的点在。

6.角平分线上的点等于该角。

7．在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在。

8.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，从该点到另一点的距离相等。

9．三角形的三个角的平分线相交于一点，并且这一点到的距离相等。

二、必修基本问题（独立学习+展览）16、将下面证明中每一步的理由写在括号内：已知：如图所示，ab=BC，ad=CD求证：∠a=∠c证明：连接BD在△dab和△dcb中∵ab=bc（）ad=cd（）bd=bd（）∴△dab≌△dcb（）∴∠a=∠c（）17．已知：等腰△abc，cd，be是两腰上的中线验证：CD=be18．求证：等腰三角形的底角必为锐角。

（用反证法）19.在△ ABC，我们知道∠ A.∠ B和∠ C为1:2:3，AB侧中心线CD的长度为5。

计算面积△ ABC。

20．证明：等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等。

（提示：要画图写已知，求证，再证明）21.众所周知，P是平面上的一个点∠ AOB平分线⊥ OA，PD⊥ 产科医生。

验证：（1）oc=cd（2） OP是CD的垂直平分线。

三．能力提高题22.如图所示△ ABC，ab=AC，ab的垂直平分线在点D处与ab相交，在点e处与AC相交。

已知△ EBC为10，AC BC=2。

求AB和BC的长度。

23．如图所示，△abc是等边三角形，d是ac的中点，延长bc到e，使ce=cd（1）用直尺和量规作图的方法，使DBE穿过D点，垂直脚是（不要写字，保持作图痕迹）（2）求证：b=e四、优生学必须回答问题24、请用下图证明勾股定理。

北师大九年级数学第一章《证明(二)》质量测试卷

2012—2013学年度第一学期九年级（上）数学单元测试卷第一章《证明（二）》（说明：本试题满分150分，考试时间90分钟）一、选择题：（每小题3分，共45分）1、等腰三角形的一边为4，另一边为9，则这个三角形的周长为（）A 、17B 、22C 、13D 、17或222、如图，在△ABC 中，∠A=50°，AB=AC ，AB 的垂直平分线DE 交AC 于D ，则∠DBC 的度数是（）A 、15°B 、20°C 、30°D 、25°3、如图，给出下列四组条件：①AB DE BC EF AC DF ===，，；②AB DE B E BC EF =∠=∠=，，；③B E BC EF C F ∠=∠=∠=∠，，；④AB DE AC DF B E ==∠=∠，，．其中，能使ABC DEF △≌△的条件共有（）A 、1组B 、2组C 、3组D 、4组4、如图，△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 边上，且BD=BC=AD ，则∠A 的度数为（）A 、30°B 、36°C 、45°D 、70°5、如图所示，A 、B 、C 分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米， AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P 的位置应在（）A 、AB 中点 B 、BC 中点C 、AC 中点D 、∠C 的平分线与AB 的交点6、具有下列条件的两个等腰三角形，不能判断它们全等的是（）A 、顶角、一腰对应相等B 、底边、一腰对应相等C 、两腰对应相等D 、一底角、底边对应相等7、在平面直角坐标系xoy 中，已知A （2，–2），在y 轴上确定点P ，使△AOP 为等到腰三角形，则符合条件的点P 共有（）A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个A B DE （第3题）第4题第5题8、三角形的三个内角中，锐角的个数不少于（）A 、1 个B 、2 个C 、3个D 、不确定9、如图，在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C = 1 ：2 ：3，CD ⊥AB ，AB =a ，则DB =（）A 、4a B 、3a C 、2a D 、43a10、已知Rt △ABC 中，∠C =90°，若cm c cm b a 1014==+，，则S Rt △ABC =（）A 、24cm 2B 、36cm 2C 、48cm 2D 、50cm 211、如图，在△ABC 中，AB =AC ，AB 的垂直平分线交BC 的延长线于E ，交AC 于F ，∠A =50，AB +BC =16cm ，则如图，△BCF 的周长和∠EFC 分别为（）A 、16cm ，40°B 、8cm ，50°C 、16cm ，50°D 、8cm ，40°12、以下命题中，真命题的是（）A 、两条直线相交只有一个交点B 、同位角相等C 、两边和一角对应相等的两个三角形全等D 、等腰三角形底边中点到两腰相等13、有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形（）A 、必定全等B 、必定不全等C 、不一定全等D 、以上答案都不对14、如图，⊿ABC ≅⊿FED ，那么下列结论正确的是（）A EC = BDB EF ∥ABC DE = BD D AC ∥ED15、适合条件∠A =∠B =31∠C 的三角形一定是（）A 、锐角三角形B 、钝角三角形C 、直角三角形D 、任意三角形一、填空题：（每小题5分，共25分）16、等腰三角形的底边长为2，面积等于1，则它的顶角的度数为。

初三数学(上册)《第一章证明(二)》单元测试题(三)

初三数学（上册）《第一章证明(二)》单元测试题(三)一、填空题1．已知：如图，AB＝AC，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，若∠AFD＝145°，则∠EDF＝．(第1题图) (第5题图) (第6题图)2．在直角三角形中，如果一个锐角为30°，而斜边与较小直角边的和为12，那么斜边长为3．等腰直角三角形中，若斜边为16，则直角边的长为．4．“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”的逆定理是。

5．如图，ED为△ABC的AC边的垂直平分线，且AB=5，△BCE的周长为8，则BC＝. 6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，若DB＝10cm，则AC＝.7．在△ABC中，AB=AC，∠A＝58°，AB的垂直平分线交AC于N，则∠NBC = . 8．正三角形的边长为a，则它的面积为。

9．命题“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的条件是，结论是．二、选择题10．至少有两边相等的三角形是( )A．等边三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．锐角三角形11.以下命题中，正确的是( )A．一腰相等的两个等腰三角形全等.B．等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离之和都大于一腰上的高C．有一角相等和底边相等的两个等腰三角形全等.D．等腰三角形的角平分线、中线和高共7条或3条.12．一架2.5 m长的梯子斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端0.7 m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4 m，那么梯那么梯足将滑( )A．0.9 m B．1.5 m C．0.5 m D．0.8 m13．三角形中，若一个角等于其他两个角的差，则这个三角形是( )A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰三角形14．已知△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于D，△ABC和△DBC的周长分别是60 cm和38 cm，则△ABC的腰和底边长分别为( )A．24 cm和12 cm B．16 cm和22 cm C．20 cm和16 cm D．22 cm和16 cm 15．下列定理中，没有逆定理的是( )A．直角三角形的两个锐角互余B．等腰三角形两腰上的高相等C．全等三角形的周长相等D．有一个锐角对应相等的两直角三角形相似16．如图，△ABC中，AC＝BC，直线l经过点C，则( )A．l垂直AB B．l平分AB C．l垂直平分AB D．不能确定三、解答题17．已知：如图，等腰三角形ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，直线l经过点C(点A、B 都在直线l的同侧)，AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D、E．求证：DE=AD+BE。

初三九年级数学上第一章证明(二)水平测试(C)

北九上第一章《证明（二）》水平测试（C ）一、精心选一选（每小题3分，共30分）1．等边三角形的高为23，则它的边长为（）A ．4B ．3C ．2D ．52．等腰三角形的顶角是n°，那么它的一腰上的高与底边的夹角等于（） A ．290 n B ．90－2 n C ．2n D ．90°－n°3．下列由线段a 、b 、c 组成的三角形，不是直角三角形的是（）A ．a=3，b=4，c=5B ．a=1，b=34，c=35 C ．a=9，b=12，c=15 D ．a=3，b=2，c=54．直角三角形的三边长为连续自然数，则它的面积为（）A ．6B ．7.5C ．10D ．125．△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：2：3，最小边BC=4cm ，最长边AB 的长是（）A ．5cmB ．6cmC ．5cmD ．8cm 6．如图，△ABC 中，AB=AC ，BC=BD ，AD=DE=EB ，则∠A 的度数为（）A ．55°B ．45°C ．36°D ．30°7．等腰△ABC 中，AC=2BC ，周长为60，则BC 的长为（）A ．15B ．12C ．15或12D ．以上都不正确8．直角三角形两直角边分别是5cm 、12cm ，其斜边上的高是（）A ．13cmB ．1330cm C ．1360cm D ．9cm 9．直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积分别为30和20，则以斜边为边长的正方形的面积为（）A ．25B ．50C ．100D ．6010．等腰三角形的底边为a ，顶角是底角的4倍，则腰上的高是（）A ．23aB ．33aC ．63aD ．21a 二、耐心填一填（每小题3分，共30分）1．一个等腰三角形有一角是70°，则其余两角分别为_________．2．一个等腰三角形的两边长为5和8，则此三角形的周长为_________．3．如图，△ABC 中，∠C=90°，AM 平分∠CAB ，CM=20cm ，则点M到AB 的距离是_________．4．如图，等边△ABC 中，F 是AB 中点，EF ⊥AC 于E ，若△ABC 的边长为10，则AE=_________，AE ：EC=_________．5．如图，△ABC 中，DE 垂直平分BC ，垂足为E ，交AB 于D ，若AB=10cm ，AC=6cm ，则△ACD 的周长为_________．6．如图，∠C=90°，∠ABC=75°，∠CDB=30°，若BC=3cm ，则AD=_________cm ．7．如图，B 在AC 上，D 在CE上，AD=BD=BC ，∠ACE=25°，∠ADE=_________．8．等腰直角三角形一条边长是1cm ，那么它斜边上的高是_________cm ．9．如图，在∠AOB 的两边OA 、OB 上分别取OQ=OP ，OT=OS ，PT 和QS相交于点C ，则图中共有_________对全等三角形．10．等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是________________，这个逆命题是_________命题．三、认真答一答（每小题10分，共60分）1. 已知：如图10，AB=AC ，DE ∥AC ，求证：△DBE 是等腰三角形．2．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAD=21∠BAC ，过点D 作DE ⊥AB ，DE 恰好是∠ADB 的平分线，求证：CD=21DB ．3．已知三角形的三边分别是n 2+n ，n+21和n 2+n+21（n ＞0），求证：这个三角形是直角三角形．4．如图，△ABC中，AB=AC，∠1=∠2，求证：AD平分∠BAC．5．如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB与边面内作等边△ABD，连结DC，以DC当边作等边△DCE，B、E在C、D的同侧，若AB=2，求BE的长．6．①在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于N，交BC的延长线于M，∠A=30°，求∠NMB的大小．②如果将①中的∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的大小．③你感到存在什么样的规律性？试证明．（请同学们自己画图）④将①中的∠A改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改？参考答案一、1．A 2．C3．D 4．A 5．D 6．B 7．B 8．C 9．B 10．D二、1．55°，55°或70°，40° 2．18或21 3．20cm 4．25 1：3 5．16cm 6．6 7．75° 8．22或21 9．4 10．如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形真三、1．略 2．略 3．略 4．略 5．1 6．①15°②35° ③AB 的垂直平分线与底边BC 所夹的锐角等于∠A 的一半 ④不需要修改。

九年级数学上册第一章证明(二)单元测试题

九年级数学第一章证明(二) 测试题班次学号姓名一、填空题〔每题3分〕： 1．如图，修建抽水站时，沿着倾斜角为300的斜坡铺设管道，假设量得水管AB 的长度为80米，那么点B 离水平面的高度BC 的长为米。

2、如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高，那么这个三角形是三角形.3、如图，AC=DB ，要使△ABC ≌△DCB ，只需增加的一个条件是或 . 4、命题：“全等三角形的对应角相等〞的逆命题是___。

___________________________________ 这条逆命题是______命题〔填“真〞或“假〞〕5、如图，一个顶角为40º的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，那么=∠+∠21_________ ；6、在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，∠B ＝70°，BC ＝15cm ，那么∠BAC ＝，∠DAC ＝， BD ＝ cm ； 7、，如图，O 是△ABC 的∠ABC 、∠ACB 的角平分线的交点，OD ∥AB 交BC 于D ，OE ∥AC 交BC 于E ，假设BC = 10，那么△ODE 的周长为 .8、如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠A=40°，AC 的垂直平分线MN 与AB 相交于D 点，那么∠BCD 的度数是 .9、△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D 。

假设DC=7，那么D 到AB 的距离是 .10、如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC ∥OA ，PD ⊥OA ，假设PC=4，那么PD 的长为 .二、选择题〔每题3分〕1、等腰三角形底边上的高与底边的比是1∶2，那么它的顶角等于〔〕 A 、90° B 、60° C 、120° D 、150°2.以下两个三角形中，一定全等的是〔〕（A ）有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形〔B 〕两个等边三角形〔C 〕有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形〔D 〕有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形 3、到△ABC 的三个顶点距离相等的点是△ABC 的〔〕 A.三边中线的交点 B.三条角平分线的交点 C.三边上高的交点 D.三边垂直平分线的交点第18题图 C B A 第1题第5题4、△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C=1∶2∶3，CD ⊥AB 于点D 假设BC=a ，那么AD 等于〔〕 A.21a B.23a C.23a D.3a 5、如图，△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 边上，且BD=BC=AD ，那么∠A的度数为〔〕A.30°B.36°C.45°D.70°三、解答题〔每题12分〕1、如图，AD ⊥CD ，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°。

九年级数学上第一章测试

九年级(上)数学单元测试卷第一章证明(二) 班级姓名成绩一、选择题(每小题3分；共30分)1、△ABC 中；AB=AC ；BD 平分ABC 交AC 边于点D ；∠BDC=75°；则∠A 的度数为（）A. 35°B. 40°C. 70°D. 110°2、三角形的三个内角中；锐角的个数不少于（）A. 1 个B. 2 个C. 3个D. 不确定3、适合条件∠A =∠B =31∠C 的三角形一定是（） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 任意三角形4、用两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；②矩形；③正方形；④等腰三角形；一定可以拼成的图形是（）A. ①②B. ②④C. ①④D. ②③5、如图；D 在AB 上；E 在AC 上；且∠B ＝∠C ；那么补充下列一个条件后；仍无法判定△ABE ≌△ACD 的是（）A. AD ＝AEB. ∠AEB ＝∠ADCC. BE ＝CDD. AB ＝AC(第5题图) (第10题图)6、如图；⊿ABC ⊿FED ；那么下列结论正确的是（） A. FC = BD B. EF ∥ABC. DE = BDD. AC ∥ED7、等腰三角形的一边为4；另一边为9；则这个三角形的周长为（）A. 17B. 22C. 13D. 17或228、有两个角和其中一个角的对边对应相等的饿两个三角形（）A. 必定全等B. 必定不全等C. 不一定全等D. 以上答案都不对B FD C9、以下命题中；真命题的是（）A. 两条线只有一个交点B. 同位角相等C. 两边和一角对应相等的两个三角形全等D. 等腰三角形底边中点到两腰相等10、面积相等的两个三角形（）A. 必定全等B. 必定不全等C. 不一定全等D. 以上答案都不对二、填空题(每小题3分；共24分)12；那么∠BAD = 度11、⊿ABC中；∠A是∠B的2倍；∠C比∠A + ∠B还大12、在方格纸上有一三角形ABC；它的顶点位置如图所示；则这个三角形是三角形.13、如图：△ABC中；AD⊥BC；CE⊥AB；垂足分别为D、E；AD、CE交于点H；请你添加一个适当的条件：；使△AEH≌△CEB。

(数学试卷九年级)第一章证明二练习题及答案全套

一、填空题1、如图1，若⊿ABE ⊿ADC ，则AD = AB ，DC= ；∠D = ∠ ；∠BAE = ∠ ；2、如图2，在△ABC 中，AD ＝DE ，AB ＝BE ，∠A ＝80°则∠DEC ＝．3、等腰三角形的两边分别是7 cm 和3 cm ，则周长为_________；4、在等腰三角形中顶角为40°时底角等于_________，一个底角为50°，则顶角等于_________；5、如图，∠AOB 是一钢架，且∠AOB=10°，为了使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管EF 、FG 、GH ……添加的钢管长度都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管根。

二、选择题6、给出下列命题，正确的（） ①等腰三角形的角平分线、中线和高重合； ②等腰三角形两腰上的高相等； ③等腰三角形最小边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个7、满足下列条件的两个三角形一定全等的（）A 、腰相等的两个等腰三角形B 、一个角对应相等的两个等腰三角形C 、斜边对应相等的两个直角三角形D 、底相等的两个等腰直角三角形§1.1.1证明(二)8、已知如图3，在△ABC中，AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，则∠A的度数是（）（A）30°（B） 36°（C）45°（D）54°9、如图4，在△ABC中，AB=AC ，∠A=36，BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线，且交于点F，则图中的等腰三角形有（）（A）6个（B）7个（C）8个（D）9个10、如图5，等边△ABC中，BD=CE，AD 与BE相交于点P，则∠APE的度数是（）（A）45°（B）55°（C）60°（ D）75°三、解答题11、阅读下题及其证明过程：已知：如图，D是△ABC中BC边上一点，EB=EC，∠ABE=∠ACE，求证：∠BAE=∠CAE.证明：在△AEB和△AEC中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AEAEACEABEECEB∴△AEB≌△AEC(第一步)∴∠BAE=∠CAE(第二步)问：上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据；若不正确，请指出错在哪一步？并写出你认为正确的推理过程；12、已知：线段a、h(如图)求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h.请你用尺规作图，并补全作法作法：(1)作线段BC= .(2)作.(3) .(4)连结 .则△ABC 为所求等腰三角形.一、填空题1、等腰三角形底边上的__________，底边上的__________，顶角__________，均把它分成两个全等三角形 2、已知△ABC ，如下左图所示，其中∠B=∠C ，则_______=________..3、如上中图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°，D 是BC 的中点，DE⊥AC，则∠C=__________°;CE ∶EA=__________.4、如上右图，已知AD 是△ABC 的外角平分线，且AD ∥BC ，则∠1__________∠B ，∠2__________∠C ，△ABC 是__________三角形.5、在△ABC 中，∠A=∠B=21∠C ，则△ABC 是__________三角形. 二、选择题6、如果一个三角形的一个外角是130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍，那么这个三角形是（） A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形D.等边三角形7、如下左图，在△ABC 中，AB=AC ，∠C=2∠A ，BD 是∠ABC 的平分线，则图中共有等腰三角形（）A.1个B.2个C.3个D.4个§1.1.2证明(二)ECAD CBA 21E ADCBDCBAC8、如上右，△BDC′是将矩形ABCD，沿对角线BD折起得到的，图中（包括实线、虚线图形），共有全等三角形（）A.2对 B、3 对 C.4对D.5对9、如下左图，在△ABC中，∠B=∠C=40°，D，E是BC上两点，且∠ADE=∠AED=80°，则图中共有等腰三角形（）A.6个B.5个C.4个D.3个10、如上右图，已知△ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，又DE∥BC，交AC于E，若DE=4 cm，AE=5 cm，则AC等于（）A.5 cmB.4 cmC.9 cmD.1 cm三、解答题11、已知，如左下图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC交AB于E，DF ∥AB交AC于F，AE=6，求四边形AFDE 的周长. 12、如图，DE∥BC，CG=GB，∠1=∠2，求证：△DGE是等腰三角形.13、.如右图所示，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足是D，∠A=60°.求证：BD=3AD.一、填空题1、已知，等腰△ABC，AB=AC：（1）若AB=BC，则△ABC为_________三角形；（2）若∠A=60°，则△ABC为_______三角形；（3）若∠B=60°，则△ABC为_______三角形.2、在线段、直角、等腰三角形、直角三角形中，成轴对称图形的是__________.3、底与腰不等的等腰三角形有__________条对称轴，等边三角形有__________条对称轴.请你在图（1）中作出等腰△ABC，等边△DEF的对称轴.4、如图上右图，已知△ABC是等边三角形，AD∥BC，CD⊥AD，垂足为D，E为AC的中点，AD=DE=6cm则∠ACD=_____°,AC=______cm,∠DAC=_______°，△ADE是______三角形.5、如左下图，△ABC是等边三角形，AD ⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D，E，如果AB=8 cm，则BD=_______cm，∠BDE=_____°,BE=______cm.6、如右上图，Rt△ABC中，∠A=30°,AB+BC=12 cm，则AB=__________cm.二、选择题7、下列说法不正确的是§1.1.3证明(二)A.等边三角形有三条对称轴B.线段AB只有一条对称轴C.等腰三角形的对称轴是底边上的中线D.等腰三角形的对称轴是底边上的高所在的直线8、下列命题不正确的是A.等腰三角形的底角不能是钝角B.等腰三角形不能是直角三角形C.若一个三角形有三条对称轴，那么它一定是等边三角形D.两个全等的且有一个锐角为30°的直角三角形可以拼成一个等边三角形9、在Rt△ABC中，如右图所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，点D到AB的距离DE=3.8 cm，则BC等于A.3.8 cmB.7.6 cmC.11.4 cmD.11.2 cm三、解答与证明10、如下图，在△ABC中，∠A=20°，D 在AB上，AD=DC，∠ACD∶∠BCD=2∶3，求：∠ABC的度数.11、如下图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点（M与A不重合）MD⊥BC，交∠BAC的平分线于点D，求证：MD=MA.12、如右图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD.一、判断题1.如果一个命题正确，那么它的逆命题也正确2.定理不一定有逆定理3.在直角三角形中，任意给出两条边的长可以求第三边的长二、填空题4、Rt△ABC中，∠C=90°，如图下左图，若b=5，c=13，则a=__________；若a=8，b=6，则c=__________.5、等边△ABC，AD为它的高线，下中图所示，若它的边长为2，则它的周长为__________，AD=__________，BD∶AD∶AB=__________∶__________∶__________.5、上右图所示，正方形ABCD，AC为它的一条对角线，若AB=2，则AC=__________；若AC=2，则AB=__________；AC∶AB=__________∶__________.6、如右图，△ABC中，∠A+∠C=2∠B，∠A=30°，则∠C=__________；若AB=6，则BC=__________.7、若直角三角形的三条边长分别是6，8，a则（1）当6,8均为直角边时，a=__________；（2）当8为斜边，6为直角边时，§1.2.1证明(二)a=__________.三、选择题8、如右图，等腰直角△ABC，AB=2，则S△ABC等于( )A.2B.1C.4D.29、若三角形的三边分别为a,b,c，则下面四种情况中，构成直角三角形的是( )A.a=2,b=3,c=4B.a=12,b=5,c=13C.a=4,b=5,c=6D.a=7,b=18,c=1710、如左下图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD=5，DC=1，AC=5，那么AB的长度是A.27B.27C.10D.2511、如右上图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE=∠DEC=60°，AB=3，CE=4，则AD等于( )A.4 8B.24C.10D.12四、解答题12、已知，如下图，等边三角形ABC，AD为BC边上的高线，若AB=2，求△ABC 的面积.13、已知：如下图，△ABC中，CD⊥AB于D，AC=4，BC=3，DB=59.（1）求DC的长；（2）求AD的长；（3）求AB的长；（4）求证：△ABC是直角三角形.14、如右图，为修铁路需凿通隧道AC，测得∠A=50°，∠B=40°，AB=5 km,BC=4km，若每天凿隧道0.3km，问几天才能把隧道凿通？一、填空题1、如图，Rt△ABC和Rt△DEF，∠C=∠F=90（1）若∠A=∠D，BC=EF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________. （2）若∠A=∠D，AC=DF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.（3）若∠A=∠D，AB=DE，则Rt△ABC ≌Rt△DEF的依据是__________. （4）若AC=DF，AB=DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.（5）若AC=DF，CB=FE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.2、如右图，在Rt△ABC和Rt△DCB中，AB=DC，∠A=∠D=90°，AC与BD交于点O，则有△__________≌△__________，其判定依据是__________，还有△__________≌△__________，其判定依据是__________.3、已知：如图下左图，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，AE=DF，AB=DC，则△__________≌△__________（HL）.§1.2.2证明(二)4、已知：如上中图，BE，CF为△ABC 的高，且BE=CF，BE，CF交于点H，若BC=10，FC=8，则EC=__________.5、已知：如上右图，AB=CD，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，且DE=BF，∠D=60°，则∠A=______°.二、选择题6、如下左图，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE=OF，则△AEO≌△AFO的依据是( ) A.HLB.AASC.SSSD.ASA7、在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，如上右图，那么下列各条件中，不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是( )A.AB=A′B′=5，BC=B′C′=3B.AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°C.AC=A′C′=5，BC=B′C′=3D.AC=A′C′=5，∠A=∠A′=40°8、下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是( ) A.两条直角边对应相等面B.有两条边对应相等C.一条边和一锐角对应相等D.一条边和一个角对应相等三、证明题9、如下图，CD⊥AD，CB⊥AB，AB=AD，求证：CD=CB.10、已知：如下图，CD、C′D′分别是Rt△ABC，Rt△A′B′C′斜边上的高，且CB=C′B′，CD=C′D′.求证：△ABC≌△A′B′C′.11、如下图，已知∠ABC=∠ADC=90°，E 是AC上一点，AB=AD，求证：EB=ED. 一、填空题1、如下左图，已知直线MN是线段AB 的垂直平分线，垂足为D，点P是MN上一点，若AB=10 cm，则BD=__________cm；若PA=10 cm，则PB=__________cm；此时，PD=__________cm.2、如下中图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，△ABD的周长是12 cm，AC=5cm，则AB+BD+AD=________cm；AB+BD+DC=__________cm；△ABC的周长是__________cm.3、如上右图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=15°,DE是AB的中垂线，垂足为D，交BC于E，BE=5，则AE=_________，∠AEC=_________，AC=__________ .4、已知线段AB及一点P，PA=PB=3cm ，§1.3.1证明(二)则点P在__________上.5、如果P是线段AB的垂直平分线上一点，且PB=6cm，则PA=__________cm.6、如图下左图，P是线段AB垂直平分线上一点，M为线段AB上异于A，B的点，则PA，PB，PM的大小关系是PA________PB________PM.7、如图下中图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC交BC于D，则点D在__________上.8、如图上右图，BC是等腰△ABC和等腰△DBC的公共底，则直线AD必是__________的垂直平分线.二、选择题9、下列各图形中，是轴对称图形的有多少个①等腰三角形②等边三角形③点④角⑤两个全等三角形A.1个B.2个C.3个D.4个10、如下左图，AC=AD，BC=BD，则A.CD垂直平分ADB.AB垂直平分CDC.CD平分∠ACBD.以上结论均不对11、如上右图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5 cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是A.6 cmB.7 cmC.8 cmD.9 cm12、如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形三、解答题13、如右图，P是∠AOB的平分线OM 上任意一点，PE⊥CA于E，PF⊥OB于F，连结EF.求证：OP垂直平分EF.一、判断题1、三角形三条边的垂直平分线必交于一点2、以三角形两边的垂直平分线的交点为圆心，以该点到三角形三个顶点中的任意一点的距离为半径作圆，必经过另外两个顶点3、平面上只存在一点到已知三角形三个顶点距离相等4、三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称二、填空题5、如左下图，点P为△ABC三边中垂线交点，则PA__________PB__________PC.6、如右上图，在锐角三角形ABC中，∠A=50°，AC、BC的垂直平分线交于点O，则∠1_______∠2，∠3______∠4，∠5______∠6，∠2+∠3=________度，∠§1.3.2证明(二)1+∠4=______度，∠5+∠6=_______度，∠BOC=_______度.7、如左下图，D为BC边上一点，且BC=BD+AD，则AD__________DC，点D在__________的垂直平分线上.8、如右上图，在△ABC中，DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线，则∠B__________∠1，∠C__________∠2；若∠BAC=126°，则∠EAG=__________度.9、如左下图，AD是△ABC中BC边上的高，E是AD上异于A，D的点，若BE=CE，则△__________≌△__________(HL)；从而BD=DC，则△________≌△_________(SAS)；△ABC是__________三角形. 10、如右上图，∠BAC=120°，AB=AC，AC的垂直平分线交BC于D，则∠ADB=_________度.三、作图题11、（1）分别作出点P，使得PA=PB=PC（2）观察各图中的点P与△ABC的位置关系，并总结规律：当△ABC为锐角三角形时，点P在△ABC的__________；当△ABC为直角三角形时，点P在△ABC的__________；当△ABC为钝角三角形时，点P在△ABC的__________；反之也成立，且在平面内到三角形各顶点距离相等的点只有一个.四、类比联想12、既然任意一个三角形的三边的垂直平分线交于一点，那三角形的三边上的中线是否也交于一点；三个角的平分线是否也交于一点；试通过折纸或用直尺、圆规画图验证这种猜想. 一、判断题1、角的平分线上的点到角的两边的距离相等2、到角的两边距离相等的点在角的平分线上3、角的平分线是到角两边距离相等的点的集合4、角平分线是角的对称轴二、填空题5、如图下左图，AD平分∠BAC，点P在AD上，若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE__________PF.6、如图下中图，PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE，连接AP，则∠BAP__________∠CAP.§1.4.1证明(二)7、如图上右图，∠BAC=60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，若AD=3，则PE=______.8、已知，如图（4），∠AOB=60°,CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，若CD=CE，则∠COD+∠AOB=__________度.9、如图（5），已知MP⊥OP于P，MQ⊥OQ于Q，S△DOM=6 cm2，OP=3 cm，则MQ=__________cm.三、选择题10、下列各语句中，不是真命题的是( )A.直角都相等B.等角的补角相等C.点P在角的平分线上D.对顶角相等11、下列命题中是真命题的是( )A.有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等B.相等的角是对顶角C.余角相等的角互余D.两直线被第三条直线所截，截得的同位角相等12、如左下图，在△ABC中，∠ACB=90°,BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于A.2 cmB.3 cmC.4 cmD.5 cm13、如右上图，已知AB=AC，AE=AF，BE 与CF交于点D，则①△ABE≌△ACF②△BDF≌△CDE ③D在∠BAC的平分线上，以上结论中，正确的是A.只有①B.只有②C.只有①和②D.①，②与③四、解答题14、试用对称的观点分析说明线段的垂直平分线和角平分线的联系与区别.15、如右图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB 于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD.求证：AD平分∠BAC. 一、判断题1、在同一平面内，到三角形三边距离相等的点只有一个2、在同一平面内，到三角形三边所在直线距离相等的点只有一个3、三角形三条角平分线交于一点4、等腰三角形底边中点到两腰的距离相等5、三角形是以它的角平分线为对称轴的轴对称图形二、填空题6、如图（1），点P为△ABC三条角平分线交点，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，则PD__________PE__________PF.7、如图（2），P是∠AOB平分线上任意一点，且PD=2cm，若使PE=2cm，则PE 与OB的关系是__________.8、如图（3），CD为Rt△ABC 斜边上的§1.4.2证明(二)高，∠BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F，FG⊥AB，垂足为G，则CF__________FG，∠1+∠3=__________度，∠2+∠4=__________度，∠3__________∠4，CE__________CF.9、如右图，E、D分别是AB、AC上的一点，∠EBC、∠BCD的角平分线交于点M，∠BED、∠EDC的角平分线交于N.求证：A、M、N在一条直线上.证明：过点N作NF⊥AB，NH⊥ED，NK⊥AC过点M作MJ⊥BC，MP⊥AB，MQ⊥AC∵EN平分∠BED，DN平分∠EDC ∴NF__________NH，NH__________NK ∴NF__________NK∴N在∠A的平分线上又∵BM平分∠ABC，CM平分∠ACB∴__________=__________，__________=__________∴__________=__________∴M在∠A的__________上∴M、N都在∠A的__________上∴A、M、N在一条直线上三、作图题10、利用角平分线的性质，找到△ABC内部距三边距离相等的点.11、在下图△ABC所在平面中，找到距三边所在直线．．距离相等的点.12、如下图，一个工厂在公路西侧，在河的南岸，工厂到公路的距离与到河岸的距离相等，且与河上公路桥南首（点A）的距离为300米.请用量角器和刻度尺在图中标出工厂的位置.四、解答题13、已知：如下图在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若BC=32，且BD∶CD=9∶7，求：D到AB边的距离. 班级：_______姓名：________得分：__________一、填空题1.一个等腰三角形有一角是70°，则其余两角分别为_________.2.一个等腰三角形的两边长为5和8，则此三角形的周长为_________.3.如下左图，△ABC中，∠C=90°，AM 平分∠CAB，CM=20 cm，则点M到AB的距离是_________.4.如上右图，等边△ABC中，F是AB中点，EF⊥AC于E，若△ABC的边长为10，则AE=_________，AE∶EC=_________.5.如下左图，△ABC中，DE垂直平分BC，垂足为E，交AB于D，若AB=10 cm，AC=6 单元测试证明(二)cm，则△ACD的周长为_________.6.如上右图，∠C=90°，∠ABC=75°，∠CDB=30°，若BC=3 cm，则AD=_________ cm.7.如下左图，B在AC上，D在CE上，AD=BD=BC，∠ACE=25°，∠ADE=_________.8.等腰直角三角形一条边长是1 cm，那么它斜边上的高是_________ cm.9.如上右图，在∠AOB的两边OA、OB 上分别取OQ=OP，OT=OS，PT和QS相交于点C，则图中共有_________对全等三角形.10.等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是________________，这个逆命题是_________命题.11.三角形三边分别为a、b、c，且a2－bc=a(b－c)，则这个三角形（按边分类）一定是_________三角形.二、选择题12.等边三角形的高为23，则它的边长为（）面A.4 B.3C.2D.513.等腰三角形的顶角是n°，那么它的一腰上的高与底边的夹角等于（）A.290οοn-B.90－2οnC.2οnD.90°－n°14.下列由线段a、b、c组成的三角形，不是直角三角形的是（）A.a=3，b=4，c=5B.a=1，b=34，c=35C.a=9，b=12，c=15D.a=3，b=2，c=515.直角三角形的三边长为连续自然数，则它的面积为（）A.6B.7.5C.10D.12 16.△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C=1∶2∶3，最小边BC=4 cm ，最长边AB 的长是（）A.5 cmB.6 cmC.5 cmD.8 cm 17.如右图，△ABC 中，AB=AC ，BC=BD ， AD=DE=EB ，则∠A 的度数为（）A.55°B.45°C.36°D.30°18.等腰△ABC 中，AC=2BC ，周长为60，则BC 的长为（）A.15B.12C.15或12D.以上都不正确19.直角三角形两直角边分别是 5 cm 、12 cm ，其斜边上的高是（） A.13 cm B.1330cm C.1360 cm D.9cm20.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积分别为30和20，则以斜边为边长的正方形的面积为（） A.25 B.50C.100D.6021.等腰三角形的底边为a ，顶角是底角的4倍，则腰上的高是（） A.23a B.33 a C.63a D. 21a 22.若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形一定是（） A.等腰三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形 23.等腰三角形ABC 中，∠A=120°，BC 中点为D ，过D 作DE ⊥AB 于E ，AE=4 cm ，则AD 等于（）A.8 cmB.7 cmC.6 cmD.4 cm 24.下列说法中，正确的是（） A.两边及一对角对应相等的两个三角形全等B.有一边对应相等的两个等腰三角形全等C.两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D.两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等25.如右图，AB⊥CD，△ABD、△BCE都是等腰三角形，如果CD=8，BE=3，那么AC长为（）A.8B.5C.3D.3426.将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼成下右图，其中两条长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是（）A.4B.3C.2D.127.下列定理中逆定理不存在的是（）A.角平分线上的点到这个角的两边距离相等B.在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等C.同位角相等，两直线平行D.全等三角形的对应角相等*28.已知一个直角三角形的周长是4+26，斜边上中线长为2，则这个三角形的面积为（）A.5B.2C.45D.1三、解答题29.已知：如图，AB=AC，DE∥AC，求证：△DBE是等腰三角形.30.已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAD=21∠BAC ，过点D 作DE ⊥AB ，DE 恰好是∠ADB 的平分线，求证：CD=21DB.31.已知三角形的三边分别是n 2+n ，n+21和n 2+n+21(n ＞0)，求证：这个三角形是直角三角形.32.如图，△ABC 中，AB=AC ，∠1=∠2，求证：AD 平分∠BAC.33.如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB与边面内作等边△ABD，连结DC，以DC当边作等边△DCE，B、E在C、D的同侧，若AB=2，求BE的长. *34.①在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于N，交BC的延长线于M，∠A=30°，求∠NMB的大小.②如果将①中的∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB 的大小.③你感到存在什么样的规律性？试证明.（请同学们自己画图）④将①中的∠A改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改？参考答案1.1.1全等与等腰三角形一、1、BE B DAC 2、100 3、17㎝4、70 805、8二、6、B 7、D 8、C 9、C 10、C 三11、略12略1.1.2等腰三角形性质一、1.锐角2.AB AC3.高线中线平分线4.30 3∶15.= = 等腰6.等腰直角二、1.C 2.C 3.C 4.C 5.C三、1.解：∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠FAD，且DF∥AE∴∠EAD=∠ADF，∴∠FAD=∠ADF∴AF=FD.同理，可得AE=ED，∠EAD=∠EDA∴在△ADE和△ADF中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠FDAEDAADADFADEAD∴△ADE≌△ADF（ASA）∴AE=AF，DE=DF综上，AE=ED=DF=AF=6∴四边形AFDE的周长为4AE=4×6=24.2.证明：∵∠1=∠2，∴AD=AE又∵DE∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠C且∠B=∠C∴AB=AC ，∴AB －AD=AC －AE 即DB=EC∴在△DBG 和△ECG 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CG BG C B EC DB ∴△DBG ≌△ECG （SAS ） ∴DG=GE ，∴△DGE 是等腰三角形 3.证明：∵CD ⊥AB ，∴∠ADC=90°，又∵∠A=60°，∴∠ACD=30° ∴在Rt △ACD 中，AD=21AC ，又∵∠ACB=90°，在Rt △ACB 中，∴∠B=30°，∴AC=21AB ∴AD=4AB ，则AD=31BD ，即BD=3AD.1.1.3等腰三角形判别一、1.（1）等边（2）等边（3）等边2.线段、直角、等腰三角形3.一三4.30 12 60 等边5.4 30 26.8二、1.C 2.B 3.C三、1.解：∵AD=DC ，且∠A=20°，∴∠A=∠ACD=20°，又∵∠ACD ∶∠BCD=2∶3 ∴∠BCD=30°，∴∠ACB=50° ∴∠ABC=180°－∠A －∠ACB=180°－20°－50°=110°2.证明：∵MD ⊥BC ，且∠B=90°， ∴AB ∥MD ，∴∠BAD=∠D 又∵AD 为∠BAC 的平分线 ∴∠BAD=∠MAD ，∴∠D=∠MAD ，∴MA=MD3.证明：∵△ABC 是等边三角形，∴AB=BC ，∠ABE=60°又∵△BDE 是等边三角形，∴BE=BD ，∠DBE=60°， ∴∠ABE=∠DBE∴在△ABE和△CBD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BD BE DBE ABE BC AB ∴△ABE ≌△CBD （SAS ），∴AE=CD 1.2.1勾股定理一、1.× 2.√ 3.√二、1.12 10 2.6 3 1 3 2 3.22 2 2 1 4.90° 35.(1)10 (2)27. 三、1.B 2.B 3.C 4.C四、1.解：∵△ABC 为等边三角形，且AD ⊥BC ，∴AD 平分∠BAC ，即∠BAD=∠CAD=30°.∴BD=21AB=1,而BD 2+AD 2=AB 2 ∴AD 2=AB 2－BD 2=3 ∴AD=3 ∴S △ABC =21AD ·BC=21×3×2=3 ∴△ABC 的面积为3.2.（1）解：在Rt △DCB 中，DC 2+DB 2=BC 2∴DC 2=9－251442581= ∴DC=512（2）解：在Rt △ACD 中，AD 2+CD 2=AC 2∴AD 2=16－2525625144=∴AD=516（3）解：AB=AD+DB=516+59=5 （4）证明：∵AC 2+BC 2=16+9=25，AB 2=25∴AC 2+BC 2=AB 2 ∴∠ACB=90°， ∴△ABC 是直角三角形.3.解：∵∠A=50°，∠B=40°，∴∠C=90°，∴AC 2=AB 2－BC 2=（3 km ）2 ∴AC=3 km ∵3.03=10天 ∴10天才能将隧道凿通.1.2.2直角三角形全等的判定一、1.（1）AAS （2）ASA （3）AAS（4）HL （5）SAS 2.ABC DCB HL ABO DCO AAS 3.ABE DCF 4.6 5.30二、1.A 2.B 3.D三、1.证明：连结AC ，CD ⊥AD ，CB ⊥AB∴在Rt △ADC 和Rt △ABC 中⎩⎨⎧==AC AC ABAD ∴Rt △ADC ≌△Rt △ABC(HL)∴CD=CB.（本题也可用勾股定理直接证明） 2.证明：∵CD ⊥AB ，C ′D ′⊥A ′B ′ ∴在Rt △CDB 和Rt △C ′D ′B ′中，⎩⎨⎧''=''=CB BCD C CD ∴Rt △CDB ≌Rt △C ′D ′B ′(HL) ∴∠B=∠B ′∴在△ABC 和△A ′B ′C ′中，⎪⎩⎪⎨⎧'∠=∠''='''∠=∠B B C B BC B C A ACB ∴△ABC ≌△A ′B ′C ′(ASA). 3.证明：在Rt △ADC 和Rt △ABC 中，⎩⎨⎧==AC AC ADAB ∴Rt △ABC ≌Rt △ADC(HL) ∴∠DCE=∠BCE ∴在△DCE和△BCE中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE CE BCE DCE BC DC ∴△DCE ≌△BCE （SAS ），∴EB=ED 1.3.1线段的垂直平分线一、1.× 2. × 3.× 4.√二、1.5 10 53 2.12 12 17 3.5 30° 215 4.线段AB 的垂直平分线 5.66.= ＞7.线段AB 的垂直平分线8.线段BC三、1.D 2.B 3.D 4.C四、证明：∵PE ⊥OA 于E ，DF ⊥OB 于F∴∠PEO=90°=∠PFO∴在△PEO 和△PFO 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠OP OP FOP EOP PFO PEO ∴△PEO ≌△PFO ，∴PE=PF ，EO=FO∴O 、P 在EF 的中垂线上， ∴OP 垂直平分EF.1.3.2三角形三条中垂线交于一点一、1.√2.√3.√4.×二、1.= = 2.= = = 50 50 80 1003.= AC4.= = 72°5.BED CED BAD CAD 等腰6.60°三、1.略（2）内部斜边的中点外部四、类比联想：略 1.4.1角的平分线一、1.√ 2.√ 3.√ 4.× 二、1.= 2.= 3.1 4.90 5.4 三、1.C 2.A 3.B 4.D四、1.提示：联系：说出线段的垂直平分线和角的平分线所在直线都是相应图形的对称轴即可.区别：说出线段垂直平分线的性质与角平分线的性质即可.2.证明：在△BDF 和△CDE 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠︒=∠=∠CD BD CDEBDF CED BFD 90 ∴△BDF ≌△CDE ，∴DF=DE ∴D 在∠A 的平分线上，∴AD 平分∠BAC.1.4.2三角形三角的平分线交于一点一、1.√ 2.× 3.√ 4.√ 5. ×二、1.= = 2.垂直 3.= 90 90 ==4.= = = MP MJ MQ MJ MPMQ 平分线平分线三、提示：1.三个内角平分线交点2.一个内角平分线与另外两个角外角平分线的交点3.略四、解：过点D 作DE ⊥AB ，则DE 是点D 到AB 的距离∵BD ∶CD=9∶7， ∴CD=BC ·16732167⨯==14 而AD 平分∠CAB ，∴DE=CD=14第一章单元测试卷一、1.55°，55°或70°，40° 2.18或21 3.20 cm 4.251∶3 5.16 cm 6.6 7.75° 8.22或219.4 10.如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形真 11.等腰二、12.A 13.C 14.D 15.A 16.D17.B 18.B 19.C 20.B 21.D 22.D23.A 24.C 25.D 26.B 27.D 28.B三、29.略 30.略 31.略 32.略33.134.①15°②35°③AB的垂直平分线与底边BC所夹的锐角等于∠A的一半④不需要修改。

九年级数学第一章证明综合检测题试题

滕西中学九年级数学?第一章证明?检测题班级姓名考号一．选择题〔每一小题4分〕1．如图，△ABC 为直角三角形，∠C =90°，假设沿图中虚线剪去∠C ，那么∠1+∠2等于( )A ．270°B ．135°C ．90°D ． 315° 2．如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，假设DE ＝a ，那么下列说法正确的个数有〔〕①DC ′平分∠BDE ；②BC 长为a )22( ；③△B C ′D 是等腰三角形；④△CED 的周长等于BC 的长。

A ． 1个； B ．2个； C ．3个； D ．4个。

3．如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E ，且AB=6cm ，那么△DEB 的周长为〔〕A ．4cm B ．6cm C ．8 cm D ．10cm 4．如图，EA ⊥AB ，BC ⊥AB ，EA=AB=2BC ，D 为AB 中点，有以下结论：(1)DE=AC ；(2)DE ⊥AC ；(3)∠CAB=30°；(4)∠EAF=∠ADE 。

其中结论正确的选项是〔〕 A ．(1)，(3) B ．(2)，(3) C ．(3)，(4) D ．(1)，(2)，(4)〔3〕〔4〕〔7〕〔8〕〔10〕 5、直角三角形的周长是4+26，斜边上中线长为2，那么这个三角形的面积为〔〕 A.5B.2C.45ABC ABCB C DECE6等腰三角形底边长为7，一腰上的中线把其周长分成两局部的差为3，那么腰长是〔〕 A ．4 B ．10 C ．4或者10 D ．以上答案都不对7．如图，△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 边上，且BD=BC=AD ，那么∠A 的度数为〔〕 A ．30° B ．36° C ．45° D ．70°8．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=2BC ，在直线BC 或者AC 上取一点P ，使得△PAB 为等腰三角形，那么符合条件的点P 一共有〔〕 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个9．边长为2的等边三角形的内有一点0，那么0到三角形各边的间隔之和为 ( ) A ．3 B ．23 C ．2 D ．4310．如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 相交于F ，假设BF=AC ，那么∠ABC 的大小是〔〕A ．40°B ．45°C ．50°D ．60° 二．填空题〔每一小题4分〕 1．在△ABC 中，∠A =∠B =21∠C ，那么△ABC 是__________三角形。

九年级第一章证明单元测试卷1

九年级第一章证明单元测试卷1第一章证明(二)(时刻90分钟满分100分)一、选择题(每小题3分，共30分)1、两个直角三角形全等的条件是（）A、一锐角对应相等B、两锐角对应相等C、一条边对应相等D、两条边对应相等2、如图，由∠1=∠2，BC=DC，AC=EC，得△ABC≌△EDC的依照是（）A、SASB、ASAC、AASD、SSS3、等腰三角形底边长为7，一腰上的中线把其周长分成两部分的差为3，则腰长是（）A、4B、10C、4或10D、以上答案都不对4、如图，EA⊥AB，BC⊥AB，EA=AB=2BC，D为AB中点，有以下结论：(1)DE=AC；(2)DE⊥AC；(3)∠CAB=30°；(4)∠EAF=∠ADE。

其中结论正确的是（）A、(1)，(3)B、(2)，(3)C、(3)，(4)D、(1)，(2)，(4)5、如图，△ABC中，∠ACB=90°，BA的垂直平分线交CB边于D，若AB=10，AC=5，则图中等于60°的角的个数为（）A、2B、3C、4D、5(第2题图) (第4题图) (第5题图)6、设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形，则下列四个图中，能表示他们之间关系的是（）7、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB=6cm，则△DEB的周长为（）A、4cmB、6cmC、8 cmD、10cm8、如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（）A、30°B、36°C、45°D、70°9、如图，已知AC平分∠PAQ，点B，B′分别在边AP，AQ上，假如添加一个条件，即可推出AB=AB′，那么该条件能够是（）A、BB′⊥ACB、BC=B′CC、∠ACB=∠ACB′D、∠ABC=∠AB′C(第7题图) (第8题图) (第9题图) (第10题图)10、如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，则ABC的大小是（）A、40°B、45°C、50°D、60°二、填空题(每小题3分，共24分)11、假如等腰三角形的一个底角是80°，那么顶角是度.12、如图，点F、C在线段BE上，且∠1=∠2，BC=EF，若要使△ABC≌△DEF，则还须补充一个条件.(第12题图) (第13题图) (第15题图)13、如图，点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD=AE，AB=AC。

北师大版九年级数学上册第一章——证明(二)单元测试卷(有答案)

第一章证明（二）单元评估卷（1）一、选择题1．等腰三角形周长为cm 13，其中一边长为cm 3，则该等腰三角形的底边长为（ B ）（A ）cm 7 （B ）cm 3 （C ）cm 7或cm 3 （D ）cm 5 2．如图1，P 在AB 上，AD =AC ，BD =BC ，则图中全等三角形的对数有（ C ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 3．下列命题的逆命题是真命题的是（ D ）（A ）对顶角相等（B ）若a =b ，则|a |=|b |（C ）末位是零的整数能被5整除（D ）直角三角形的两个锐角互余4．如图2，△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是AB 边上的高，∠BAC 的平分线AF 交CD 于点E ，则△CEF 必为（ A ）（A ）等腰三角形（B ）等边三角形（C ）直角三角形（D ）等腰直角三角形5．等腰三角形一腰上的高等于这腰的一半，则这个等腰三角形的顶角等于（ C ）（A ）30° （B ）60° （C ）30°或150° （D ）60°或120°6．若三角形的一边等于另一边的一半，那么这边所对的角度为（ D ）（A ）30 （B ）45° （C ）60° （D ）无法确定7．如图3，∠A O P =∠B O P =15°，PC ∥O A ，PD ⊥O A 若PC =4，则PD 的长为（ B ） A ．4 B ．2 C ．1 D ．38．一个三角形的两边长为4和5，要使三角形为直角三角形，则第三边的长为（ D ）（A ）3 （B ）41 （C ）3或31 （D ）3或41 9．如图4，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB 的垂直平分线DE 交BC 于点D ，点E 为垂足，若BD ＝cm 10，则DC 等于（ B ）（A ）cm 4 （B ）cm 5 （C ）cm 6 （D ）cm 7 图2P D CBA 图1 图4图5图310．如图5所示由4个全等的有一个角等于300的直角三角形拼成的大正方形的边长为2，则中间小正方形的边长为（ D ） A ．8 B ．4 C ．232- D ．13-11.等腰三角形底边长为7，一腰上的中线把其周长分成两部分的差为3，则腰长是（ C ） A 、4 B 、10 C 、4或10 D 、以上答案都不对二、填空题11．等腰三角形的一个底角是50°，则其顶角为 80° ． 12．在△ABC 中，已知∠A =80°，则∠B 、∠C 的角平分线相交所成的钝角为 130° ．13．用反证法证明“三角形的三个内角中至少有一个角不小于60度” 第一步应假设三角形的每个内角都小于60度．14．如图6，点M 是AOB ∠平分线上一点，MP OA MQ OB ⊥⊥，，垂足分别为P Q ，,26cm S POM =∆，cm OP 3=，则MQ = 4 cm ．15．如图7，ABC △中，106BAC ∠=︒，EF MN ，分别是AB AC ，的垂直平分线，点E 、M 在BC 上，则EAM ∠等于 32 度．图6 BM APO QED CBA第一章证明（二）单元评估卷（2）三、解答题16．如图8，在△ABC 中，AB ＝AC ，点Ｍ、Ｎ分别在BC 所在直线上，且AM ＝AN ．求证：BM ＝CN证明：∵在△ABC 中，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ∴∠ABM ＝∠ACN 又∵ AM ＝AN ∴ ∠AMN ＝∠ANM在∆AMB 和ANC ∆中∠AMB ＝∠ANC ∠ABM ＝∠ACN AB ＝AC ∴ ∆AMB ≌ANC ∆（AA S ） ∴ BM ＝CN17．先作图，再证明．（1）在所给的图形（图9）中完成下列作图（保留作图痕迹）．①作∠ACB 的平分线CD ，交AB 于点D ； ②延长BC 到E ，使CE =CA ，连接AE ．（2）求证：CD ∥AE ．【答案】（1）如右图所示（2）∵∠ACB 是直角，CD 是∠ACB 的平分线 ∴∠BCD =45°又∵在Rt ∆ACE 中，CE =CA ∴ ∠E =45° ∴ CD ∥AE ．18．如图10，在△AFD 和△CEB 中，点A 、E 、F 、C 在同一条直线上，有下面四个结断：①AD =CB ；②AE =CF ；③∠B =∠D ；④AD ∥BC ．请用其中三个作为条件，余下的一个作为结论编一道数学题，并证明结论成立．答案：已知：在△AFD 和△CEB 中，点A 、E 、F 、C 在同一条直线上， AD =CB ；AD ∥BC ；AE =CF ，求证：∠B =∠D证明：∵ AE =CF∴ AF =CE∵ AD ∥BC∴ ∠A =∠C在△AFD 和△CEB 中AD =CB ∠A =∠C AF =CE∴ △AFD ≌△CEB （S A S ）∴∠B =∠D （答案不唯一）图9 FE D B A 图10AＣＭＮA图8A B CM N19．如图11，已知BE AC CF AB ⊥⊥，，垂足分别为E F ，，BE CF ，相交于点D ，若BD CD =．求证：AD 平分BAC ∠．答案：证明：∵ BE AC CF AB ⊥⊥，∴∠DFB =∠DEC =90°在△DFB 和△DEC 中∠DFB =∠DEC ∠FDB =∠EDC BD CD =∴ △DFB ≌△DEC （AA S ） ∴ DF DE =即点D 在BAC ∠的平分线上 ∴AD 平分BAC ∠20．如图12，ABC △中，22.5B ∠=，60C ∠=，AB 的垂直平分线交BC 于D ，交AB 于F，BD =AE BC ⊥于E ，求答案：解：连接AD ．DF ∵是AB 的垂直平分线，AD BD =∴=122.5B ∠=∠=∴ 21B ∠=∠+∠∴又AE BC ∵⊥，3902904545∠=-∠=-=∴，23∠=∠∴ AE DE ∴=222DE AE AD +=∵222AE =∴，6AE =∴．在R t ACE △中，60C ∠=430∠=∴2AC CE =∴（30所对的直角边等于斜边的一半）222AC EC AE -=∵（勾股定理）222(2)CE CE AE -=∴，223CE AE =∴，212CE =∴，CE =∴．图11ABCD E F。

北师大版九年级数学上册第一章测试题及答案证明二B.docx

北九上第一章证明（二）水平测试（B ）一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出每小题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）1.两个直角三角形全等的条件是（）（A ）一锐角对应相等；（B ）两锐角对应相等；（C ）一条边对应相等；（D ）两条边对应相等.2.到ABC ∆的三个顶点距离相等的点是ABC ∆的（）. （A ）三边垂直平分线的交点；（B ）三条角平分线的交点；（C ）三条高的交点；（D ）三边中线的交点.3.如图，由21∠=∠，DC BC =，EC AC =，得ABC ∆≌EDC ∆的根据是（）（A ）SAS （B ）ASA （C ）AAS （D ）SSS4.ABC ∆中，AC AB =，BD 平分ABC ∠交AC 边于点D ，ο75=∠BDC ，则A ∠的度数为（）（A ）35° （B ）40° （C ）70° （D ）110°5.下列两个三角形中，一定全等的是（）（A ）有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形；（B ）两个等边三角形；（C ）有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形；（D ）有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形.6.适合条件A ∠=B ∠ =C ∠31的三角形一定是（）（A ）锐角三角形；（B ）钝角三角形；（C ）直角三角形；（D ）任意三角形.7.有一块边长为24米的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边B 处有健身器材，由于居住在A 处的居民践踏了绿地，小明想在A 处树立一个标牌“少走▇米，踏之何忍？”请你计算后帮小明在标牌的“▇”填上适当的数字是（）.（A ）3米（B ）4米（C ）5米（D ）6米8. 一个三角形如果有两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（）.（A ）等腰三角形; （B ）等边三角形; （C ）直角三角形; （D ）等腰直角三角形.9.如图，已知AC 平分PAQ ∠，点B 、B '分别在边AP 、AQ 上，如果添加一个条件，即可推出AB =B A '，那么该条件不可以是（）A B 24 7 （第7题）（第9题）（第3题）(A)AC B B ⊥' (B)C B BC '=(C)ACB ∠=B AC '∠ (D)ABC ∠ =C B A '∠10.如图，AO FD ⊥于D ，BO FE ⊥于E ，下列条件：①OF 是AOB ∠的平分线；②EF DF =；③EO DO =；④OFD ∠=OFE ∠.其中能够证明DOF ∆≌EOF ∆的条件的个数有（）(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个二、填空 (本大题有10小题，每小题3分，共30分．将答案填在题中横线上)11.在ABC ∆中，边AB 、BC 、AC 的垂直平分线相交于P ，则PA 、PB 、PC 的大小关系是 . 12.如果等腰三角形的一个角是80°，那么顶角是度.13.若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为 .14. ABC ∆中，ο90=∠C ，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ,若7=DC ，则D 到AB 的距离是 .15.如图，ABC ∠＝DCB ∠，需要补充一个直接条件才能使ABC ∆≌DCB ∆．甲、乙、丙、丁四位同学填写的条件分别是：甲“DC AB =”；乙“DB AC =”；丙“D A ∠=∠”；丁“ACB ∠＝DBC ∠”．那么这四位同学填写错误的是 .16. 用反证法证明 “三角形中至少有一个角不小于60°时，假设“ ”，则与“ ”矛盾，所以原命题正确．17.补全“求作AOB ∠的平分线”的作法：①在OA 和OB 上分别截取OD 、OE ，使OD =OE .②分别以D 、E 为圆心，以为半径画弧，两弧在AOB ∠内交于点C .③作射线OC 即为AOB ∠的平分线.18.一轮船以每小时20海里的速度沿正东方向航行.上午8时，该船在A 处测得某灯塔位于它的北偏东30°的B 处(如图)，上午9时行到C 处，测得灯塔恰好在它的正北方向，此时它与灯塔的距离是海里(结果保留根号).(第10题) AB C D （第15题） (第18题)19.在ABC ∆中，A ∠＝90°，AC AB =，BD 平分B ∠交AC于D ，BC DE ⊥于E ，若10=BC ，则DEC ∆的周长是 .20.如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，它是由4个相同的直角三角形拼和而成.若图中大小正方形的面积分别为522cm 和42cm ，则直角三角形的两条直角边的和是 cm .三、解答题(本大题有6小题，共60分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程)21.（8分）已知：如图，A ∠=ο90=∠D ，BD AC =.求证：OC OB =.22.（8分）如图，OCB OBC ∠=∠，AOC AOB ∠=∠，请你写一个能用全部已知条件才能推出的结论，并证明你的结论.23.（10分）已知：如图，在等边三角形ABC 的AC 边上取中点D ，BC 的延长线上取一点E ，使 CE ＝CD ．求证：BD ＝DE .24.（10分）已知：如图，ABC ∆中，AC AB =，ο120=∠A .(1)用直尺和圆规作AB 的垂直平分线，分别交BC 、AB 于点M 、N (保留作图痕迹，不写作法).(2)猜想CM 与BM 之间有何数量关系，并证明你的猜想.25.（本题满分12分）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E 是BC 的中点，点A 在DE 上，且CDE BAE ∠=∠．求证：CD AB =.分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的(第20题)A B C O A B C AB CD两个三角形也不全等．因此，要证CD AB =，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明． 26．（12分）已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN∆是等边三角形，可以说明：ACN ∆≌MCB ∆，从而得到结论：BM AN =．现要求：（1）将ACM ∆绕C 点按逆时针方向旋转180°，使A 点落在CB 上．请对照原题图在下图中画出符合要求的图形（不写作法，保留作图痕迹）．（2）在（1）所得到的图形中，结论“BM AN =”是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）在（1）所得到的图形中，设MA 的延长线与BN 相交于D 点，请你判断△ABD 与四边形MDNC 的形状，并说明你的结论的正确性．参考答案一、DAABCDDCBD二、11.PC PB PA ==； 12. ο80或ο20； 13. ο75； 14.7； 15.乙；16.三角形的三个内角都小于ο60，三角形的内角和是ο180；17.大于DE 21的长为半径；18. 320；19.10；20. 10.三、21由A ∠=ο90=∠D ，BD AC =，BC BC =知BAC ∆≌CDB ∆，因此有DC AB =.又DOC AOB ∠=∠（对顶角），A ∠=ο90=∠D ，所以BAC ∆≌CDB ∆，所以OD AO =.又BD AC =，所以BO BD AO AC -=-，即OC OB =.22.∵ ∠OBC =∠OCB ，∴ OB =OC .又∵ ∠AOB =∠AOC ，OA =OA ， ∴△AOB ≌△AOC ，∴AB =AC .23. BD 是正三角形ABC 的AC 边的中线得AC BD ⊥，BD 平分ABC ∠，ο30=∠DBE .由CE CD =知∠CDE ＝∠E .由∠ACE ＝ 120°，得∠CDE ＋∠E ＝60°，所以∠CDE ＝∠E ＝300，则有BD ＝ DE ．24.（1）作图略；（2）连接AM ，则BM =AM .∵ AB =AC ，∠BAC =120°，∴∠B =∠C =30°于是 ∠MAB =∠B =30°，∠MAC =90°.∴ .21CM AM =故CM BM 21=，即CM =2BM .A BC M N B C N F A B CDE EF =DE （3） F GA B C D E （1）A B C D E CF ∥AB （2） F25.方法一：作BF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G. ∴∠F=∠CGE=90°.又∵∠BEF=∠CEG，BE=CE，∴△BFE≌△CGE.∴BF=CG.在△ABF和△DCG中，∵∠F=∠DGC=90°，∠BAE=∠CDE，BF=CG，∴△ABF≌△DCG.∴AB=CD.方法二：作CF∥AB，交DE的延长线于点F.∴∠F=∠BAE.又∵∠ABE=∠D，∴∠F=∠D.∴CF=CD.∵∠F=∠BAE，∠AEB=∠FEC，BE=C E，∴△ABE≌△FCE.∴AB=CF. ∴AB=CD.方法三：延长DE至点F，使EF=DE.又∵BE=CE，∠BEF=∠CED，∴△BEF≌△CED. ∴B F=CD，∠D =∠F. 又∵∠BAE=∠D，∴∠BAE=∠F. ∴AB=BF.∴AB=CD.26.（1）作图略.（2）结论“AN=BM”还成立.证明：∵CN=CB，∠ACN=∠MCB=60°，CA=CM，∴△ACN≌△MCB.∴AN=BM.（3）△ABD是等边三角形，四边形MDNC是平行四边形.证明：∵∠DAB =∠MAC=60°，∠DBA=60°∴∠ADB=60°.∴△ABD是等边三角形.∵∠ADB =∠AMC=60°，∴ND∥CM.∵∠ADB =∠BNC=60°，∴MD∥CN.∴四边形MDNC是平行四边.。

北师大版九年级数学上册第一章《证明(二)》单元检测题(含答案详解)

第一章证明（二）检测题（本试卷满分：120分，时间：120分钟）一、选择题（每小题3分，共30分）1.下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形的最小边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形.其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图所示，△ABC 是等腰三角形，点D 是底边BC 上异于BC 中点的一个点，∠ADE ＝∠DAC ，DE =A C.运用这个图（不添加辅助线）可以说明下列哪一个命题是假命题？（）A.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B.有一组对边平行的四边形是梯形C.一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形D.对角线相等的四边形是矩形3.如图，在△AB C 中，，点D 在AC 边上，且，则∠A 的度数为（）A.30°B.36°C.45°D.70°4.下列命题,其中真命题有（）①4的平方根是2；②有两边和一角相等的两个三角形全等；③连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形.A.0个B.3个C.2个D.1个5.已知等边三角形的高为23，则它的边长为（）A.4 B.3 C.2 D.56.在△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3，最短边cm ，则最长边AB 的长是（）A.5cmB.6cmC.5cmD.8cm7.等腰三角形的底边长为a ，顶角是底角的4倍，则腰上的高是（）A.23aB.33aC.63a D.21a 8.下列说法中，正确的是（）A.两边及一对角对应相等的两个三角形全等B.有一边对应相等的两个等腰三角形全等C.两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D.两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等9.已知一个直角三角形的周长是26，斜边上的中线长为2，则这个三角形的面积为（）A.5B.2C.45 D.110.如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线交AC 于点D ，交AB 于点E ，如果cm ，cm ，那么△的周长是（）A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm二、填空题（每小题3分，共24分）11.如图所示，在等腰△ABC 中，AB =AC ,∠BAC =50°,∠BAC 的平分线与AB 的中垂线交于点O ，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠OEC的度数是.12.若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形是______三角形.13.在△ABC和△ADC中，下列论断：①；②；③，把其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个真命题：____________.14.如图，在△ABC中，，AM平分∠，cm，则点M到AB的距离是_________.15.如图，在等边△ABC中，F是AB的中点，EF⊥AC于E，若△ABC的边长为10，则_________，_________.16.一个等腰三角形的两边长分别为5或6，则这个等腰三角形的周长是．17.如图，已知的垂直平分线交于点，则.18.一副三角板叠在一起如图所示放置,最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上,BC与DE交于点M,如果∠ADF=100°,那么∠BMD为度.三、解答题（共66分）19.（8分）如图，在△ABC中，，是上任意一点（M与A不重合），MD⊥BC，且交∠的平分线于点D，求证：.20.（8分）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念.定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心.举例：如图（1），若PA＝PB，则点P为△ABC的准外心.应用：如图（2），CD为等边三角形ABC的高.准外心P在高CD上，且PD＝AB，求∠APB的度数.探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，准外心P在AC边上，试探究PA的长.。

北师大版九年级数学上册第一章测试题及答案_证明（二）

北师大版九年级数学上册第一章测试题及答案_证明（二）证明（yi ）水平测试（测试卷一）一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．）1.两个直角三角形全等的条件是（）（A ）一锐角对应相等；（B ）两锐角对应相等；（C ）一条边对应相等；（D ）两条边对应相等. 2.到ABC ?的三个顶点距离相等的点是ABC ?的（）. （A ）三边垂直平分线的交点；（B ）三条角平分线的交点；（C ）三条高的交点；（D ）三边中线的交点.3.如图，由21∠=∠，DC BC =，EC AC =，得AB C ?≌EDC ?的根据是（）（A ）SAS （B ）ASA （C ）AAS （D ）SSS4.ABC ?中，AC AB =，BD 平分ABC ∠交AC 边于点D ，75=∠BDC ，则A∠的度数为（）（A ）35° （B ）40° （C ）70° （D ）110° 5.下列两个三角形中，一定全等的是（）（A ）有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形；（B ）两个等边三角形；（C ）有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形；（D ）有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形.6.适合条件A ∠=B ∠ =C ∠31的三角形一定是（）（A ）锐角三角形；（B ）钝角三角形；（C ）直角三角形；（D ）任意三角形. 7.有一块边长为24米的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边B 处有健身器材，由于居住在A 处的居民践踏了绿地，小明想在A 处树立一个标牌“少走▇米，踏之何忍？”请你计算后帮小明在标牌的“▇”填上适当的数字是（）.（A ）3米（B ）4米（C ）5米（D ）6米 8. 一个三角形如果有两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（）.（A ）等腰三角形; （B ）等边三角形; （C ）直角三角形; （D ）等腰直角三角形.9.如图，已知AC 平分PAQ ∠，点B 、B '分别在边AP 、AQ 上，如果添加一个条件，即可推出AB =B A '，那么该条件不可以是（）(A)AC B B ⊥' (B)C B BC '=(C)ACB ∠=B AC '∠ (D)ABC ∠=C B A '∠10.如图，AO FD ⊥于D ，BO FE ⊥于E ，下列条件：①OF 是AOB ∠的平分线；②EF DF =；③EO DO =；④OFD ∠=OFE ∠.其中能够证明DOF ?≌EOF ?的条件的个数有（）(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个二、填空题(本大题有10小题，每小题3分，共30分．)AB7（第7题）（第9题）(第10题)（第3题）11.在ABC ?中，边AB 、BC 、AC 的垂直平分线相交于P ，则PA 、PB 、PC 的大小关系是 .12.如果等腰三角形的一个角是80°，那么顶角是度.13.若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为 .14. ABC ?中，90=∠C ，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ,若7=DC ，则D 到AB 的距离是 .15.如图，ABC ∠＝DCB ∠，需要补充一个直接条件才能使ABC ?≌DCB ?．甲、乙、丙、丁四位同学填写的条件分别是：甲“DC AB =”；乙“DB AC =”；丙“D A ∠=∠”；丁“ACB ∠＝DBC ∠”．那么这四位同学填写错误的是 .16. 用反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°时，假设“ ”，则与“ ”矛盾，所以原命题正确．17.补全“求作AOB ∠的平分线”的作法：①在OA 和OB 上分别截取OD 、OE ，使OD =OE .②分别以D 、E 为圆心，以为半径画弧，两弧在AOB ∠内交于点C .③作射线OC 即为AOB ∠的平分线.18.一轮船以每小时20海里的速度沿正东方向航行.上午8时，该船在A 处测得某灯塔位于它的北偏东30°的B 处(如图)，上午9时行到C 处，测得灯塔恰好在它的正北方向，此时它与灯塔的距离是海里(结果保留根号).19.在ABC ?中，A ∠＝90°，AC AB =，BD 平分B ∠交AC 于D ，BC DE ⊥于E ，若10=BC ，则DEC ?的周长是 .20.如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，它是由4个相同的直角三角形拼和而成.若图中大小正方形的面积分别为522cm 和42cm ，则直角三角形的两条直角边的和是 cm .三、解答题(本大题有6小题，共60分．)21.（8分）已知：如图，A ∠=90=∠D ，BD AC =.求证：OC OB =.22.（8分）如图，OCB OBC ∠=∠，AOC AOB ∠=∠，请你写一个能用全部已知条件才能推出的结论，并证明你的结论.A BC D（第15题）(第18题)(第20题)AB C O23.（10分）已知：如图，在等边三角形ABC 的AC 边上取中点D ，BC 的延长线上取一点E ，使 CE ＝CD ．求证：BD ＝DE .24.（10分）已知：如图，ABC ?中，AC AB =，120=∠A .(1)用直尺和圆规作AB 的垂直平分线，分别交BC 、AB 于点M 、N (保留作图痕迹，不写作法).(2)猜想CM 与BM 之间有何数量关系，并证明你的猜想.25. （本题满分12分）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E 是BC 的中点，点A 在DE 上，且C D E B A E ∠=∠．求证：CD AB =.分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证CD AB =，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明．A B CA B C D E F A B C D E EF =DE （3）F GA B C D E （1） AB C D ECF ∥AB （2） F26．（12分）已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ?、CBN ?是等边三角形，可以说明：ACN ?≌MCB ?，从而得到结论：BM AN =．现要求：（1）将ACM ?绕C 点按逆时针方向旋转180°，使A 点落在CB 上．请对照原题图在下图中画出符合要求的图形（不写作法，保留作图痕迹）．（2）在（1）所得到的图形中，结论“BM AN =”是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）在（1）所得到的图形中，设MA 的延长线与BN 相交于D 点，请你判断△ABD 与四边形MDNC 的形状，并说明你的结论的正确性．A BC MNBC N参考答案一、DAABCDDCBD二、11.PC PB PA ==； 12. 80或 20； 13.75； 14.7； 15.乙；16.三角形的三个内角都小于 60，三角形的内角和是180；17.大于DE 21的长为半径；18. 320；19.10；20. 10.三、21由A ∠=90=∠D ，BD AC =，BC BC =知BAC ?≌CDB ?，因此有DC AB =.又DOC AOB ∠=∠（对顶角），A ∠=90=∠D ，所以BAC ?≌CDB ?，所以OD AO =.又BD AC =，所以BO BD AO AC -=-，即OC OB =.22.∵ ∠OBC =∠OCB ，∴ OB =OC .又∵ ∠AOB =∠AOC ，OA =OA ，∴ △AOB ≌△AOC ，∴AB =AC .23. BD 是正三角形ABC 的AC 边的中线得AC BD ⊥，BD 平分ABC ∠，30=∠DBE .由CE CD =知∠CDE ＝∠E .由∠ACE ＝120°，得∠CDE ＋∠E ＝60°，所以∠CDE ＝∠E ＝300，则有BD ＝ DE ．24.（1）作图略；（2）连接AM ，则BM =AM .∵ AB =AC ，∠BAC =120°，∴ ∠B =∠C =30°于是∠MAB =∠B =30°，∠MAC =90°.∴ .21CM AM =故CM BM 21=，即CM =2BM .25.方法一：作BF ⊥DE 于点F ，CG ⊥DE 于点G . ∴ ∠F =∠CGE =90°.又∵ ∠BEF =∠CEG ，BE =CE ，∴ △BFE ≌△CGE .∴ BF =CG .在△ABF 和△DCG 中，∵ ∠F =∠DGC =90°，∠BAE =∠CDE ，BF =CG ，∴ △ABF ≌△DCG .∴ AB =CD .方法二：作CF ∥AB ，交DE 的延长线于点F .∴ ∠F =∠BAE .又∵ ∠ABE =∠D ，∴ ∠F =∠D .∴ CF =CD .∵ ∠F =∠BAE ，∠AEB =∠FEC ，BE =C E ，∴ △ABE ≌△FCE .∴ AB =CF . ∴ AB =CD .方法三：延长DE 至点F ，使EF =DE .又∵ BE =CE ，∠BEF =∠CED ，∴ △BEF ≌△CED . ∴ B F=CD ，∠D =∠F . 又∵ ∠BAE =∠D ，∴ ∠BAE =∠F . ∴ AB =BF .∴ AB =CD .26.（1）作图略.（2）结论“AN =BM ”还成立. 证明：∵ CN =C B ，∠ACN =∠MCB =60°，CA =CM ，∴ △ACN ≌△MCB .∴ AN =BM . （3）△ABD 是等边三角形，四边形MDNC 是平行四边形.证明：∵ ∠DAB =∠MAC =60°，∠DBA =60°∴ ∠ADB =60°.∴ △ABD 是等边三角形.∵ ∠ADB =∠AMC =60°，∴ ND ∥CM .∵ ∠ADB =∠BNC =60°，∴ MD ∥CN . ∴ 四边形MDNC 是平行四边形.第一章证明(二)（测试卷二）一、选择题(每小题3分，共30分)1、△A BC 中，AB=AC ，BD 平分ABC 交AC 边于点D ，∠BDC=75°，则∠A 的度数为（）A. 35°B. 40°C. 70°D. 110° 2、三角形的三个内角中，锐角的个数不少于（）A. 1 个B. 2 个C. 3个D. 不确定 3、适合条件∠A =∠B =31∠C 的三角形一定是（） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 任意三角形4、用两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；②矩形；③正方形；④等腰三角形，一定可以拼成的图形是（）A. ①②B. ②④C. ①④D. ②③5、如图，D 在AB 上，E 在AC 上，且∠B ＝∠C ，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE ≌△ACD 的是（）A. AD ＝AEB. ∠AEB ＝∠ADCC. BE ＝CDD. AB ＝AC(第5题图) (第10题图)6、如图，⊿ABC ?⊿FED ，那么下列结论正确的是（）A. FC = BDB. EF ∥C. DE = BDD. AC ∥ED 7、等腰三角形的一边为4，另一边为9，则这个三角形的周长为（）A. 17B. 22C. 13D. 17或22 8、有两个角和其中一个角的对边对应相等的饿两个三角形（）A. 必定全等B. 必定不全等C. 不一定全等D. 以上答案都不对 9、以下命题中，真命题的是（）A. 两条线只有一个交点B. 同位角相等C. 两边和一角对应相等的两个三角形全等D. 等腰三角形底边中点到两腰相等10、面积相等的两个三角形（）A. 必定全等B. 必定不全等C. 不一定全等D. 以上答案都不对二、填空题(每小题3分，共24分)11、⊿ABC 中，∠A 是∠B 的2倍，∠C 比∠A + ∠B 还大?12，那么∠BAD = 度12、在方格纸上有一三角形ABC ，它的顶点位置如图所示，则这个三角形是三角形. 13、如图：△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，AD 、CE 交于点H ，请你添加一个适当的条件：，使△AEH ≌△CEB 。

初三数学第一章证明(二)测试题(

A B 第一章证明（二）单元测试题（A ）一、填空题，（每空3分，共30分）1、如图，AD=BC ，AC=BD AC 与BD 相交于O 点，则图中全等三角形共有对.2、如图，在△ABC 和△DEF 中，∠A=∠D ，AC=DF ，若根据“ASA ”说明△ABC ≌△DEF ，则应添加条件 = .或 ∥ .3、一个等腰三角形的底角为15°，腰长为4cm ，那么，该三角形的面积等于 .4、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于45°，则这个三角形的顶角等于 ..6、如图，在梯形ABCD 中，∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，∠CMD=35°，则∠MAB 是7、如图，一个正方体的棱长为2cm ，一只蚂蚁欲从A 点处沿正方体侧面到B 点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是 .8、在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=8cm ， BC 的垂直平分线DE 交AB于D ，则CD= .9、如图 (1)中，ABCD 是一张正方形纸片，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，沿过点D 的折痕将A 角翻折，使得点A 落在（2）中EF 上，折痕交AE 于点G ，那么∠ADG= .10、如图，在Rt △ABC 中，AD 平分∠BAC ，AC=BC ，∠C=Rt ∠，那么，DCAC 的值为二、选择题（每小题3分，共24分）11、在△ABC 和△DEF 中，已知AC=DF ，BC=EF ，要使△ABC ≌△DEF ，还需要的条件是（）A 、∠A=∠DB 、∠C=∠FC 、∠B=∠ED 、∠C=∠DA 、两条中线相等的三角形是等腰三角形B 、两条高相等的三角形是等腰三角形C 、两个内角不相等的三角形不是等腰三角形D 、三角形的一个外角的平分线平行于这个三角形的一边，则这个三角形是等腰三角形13、如图，已知AB=AC ，BE=CE ，D 是AE 上的一点，则下列结论不一定成立的是（）A 、∠1=∠2B 、AD=DEC 、BD=CD D 、∠BDE=∠CDE14、如图，已知AC 和BD 相交于O 点，AD ∥BC ，AD=BC ，过O任作一条直线分别交AD 、BC 于点E 、F ，则下列结论：①OA=OC②OE=OF ③AE=CF ④OB=OD ，其中成立的个数是（）A 、1B 、2C 、3D 、415、若等腰三角形的周长是18，一条边的长是5，则其他两边的长是（）A 、5，8B 、6.5，6.5C 、5，8或6.5，6.5D 、8，6.516、下列长度的线段中，能构成直角三角形的一组是（）A 、543，，；B 、6， 7， 8；C 、12， 25， 27；D 、245232，，17、如图，AC=AD BC=BD ，则下列结果正确的是（）A 、∠ABC=∠CAB B 、OA=OBC 、∠ACD=∠BDCD 、AB ⊥CD18、如图，△ABC 中，∠A=30°，∠C=90°AB 的垂直平分线交AC 于D 点，交AB 于E 点，则下列结论错误的是（）A 、AD=DB B 、DE=DCC 、BC=AED 、AD=BC三、解答题（共42分）新课标19．（6分）尺规作图：已知：线段a 及角α。

(数学试卷九年级)第一章证明(二)单元测试题(A)

第一章证明（二）单元测试题（A ）一、填空题，（每空3分，共30分）1、如图，AD=BC AC=BD A 与BD 相交于则图中全等三角形共有 2、如图，在△ ABC ffiA DEF 中，/ A=Z D, AC=DF 若“ASA 说明△ ABC^A DEF 则应添加条件_「或 //________ . 3、一个等腰三角形的底角为 15。

，腰长为4cm 那么，该三角形的面积等于 .4、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于45°,则这个三角形的顶角等于 .5、命题“如果三角形的一个内角是钝角，则其余两个内角一定是锐角”的逆命题是6、如图，在梯形 ABCD 中, Z C=90，M 是BC 的中点，/ DM 平分/ ADC Z CMD=35，贝UZ MAB 是7、如图，一个正方体的棱长为2cm 一只蚂蚁欲从A 点处沿正方体测面到B 点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是 ___________________ _&在 Rt △ ABC 中, Z ACB=90，AB=8crp BC 的垂直平分线 DE 交 AB 于D,贝卩CD= .点:A9、如图（1）中，ABCD!—张正方形纸片，E, F分别为AB CD的中点，沿过点D的折痕将A角翻折, 点A落在（2）中EF上，折痕交AE于点G那么Z ADG= .10、如图，在Rt △ ABC中，AD平分/ BAC AC=BC/ C=RtZ，那么，-AC的值为DC二、、选择题（每小题3分，共24分）11、在厶ABC^P^ DEF中，已知AC=DF BC=EF要使△ ABC^A DEF还需要的条件是（）A、/ A=Z D B 、/ C=Z F C 、/ B=Z E D 、/ C=Z D12、下列命题中是假命题的是（）A、两条中线相等的三角形是等腰三角形B、两条高相等的三角形是等腰三角形C、两个内角不相等的三角形不是等腰三角形D三角形的一个外角的平分线平行于这个三角形的一边，则这个三角形是等腰三角形13、如图，已知AB=AC BE=CE D是AE上的一点，则下列结论不一定成立的是（）A、/ 仁/ 2 B 、AD=DEC、BD=CD D 、/ BDE/ CDE14、如图，已知AC和BD相交于O点，AD// BC,过O「；—AD=BC 任作一条直线分别交AD BC于点E、F，则下列结论：②OE=OF③AE=CF④OB=OD其中成立的个数是（A、1 B 、2 C 、3 D 、415、若等腰三角形的周长是18, 一条边的长是5,则其他两边的长是（）A、5，8 B 、6.5，6.5 C 、5，8或6.5，6.5 D 、8，6.516、下列长度的线段中，能构成直角三角形的一组是（）A、■揮3, /$4，■- / 5 B 、6，7，8 ;C 12，25，27 ;D 、2 3， 2 5， 4 217、如图，AC=AD BC=BD则下列结果正确的是（）22. （10分）折叠矩形纸片ABCD 先折出折痕（对角线）BD ,再折叠AD 边与对AB=2 BC=1 求 AG 的长.23. （10分）如图，在 BAC 中，AD 是BC 边上的中线， AB AC 。

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初三数学第一章证明测试题
学号____________姓名___________ 班级_______________得分_____________
一、选择题(本题包括 8 小题)
1．下列四个命题中，假命题的是（）.
A ．四条边都相等的四边形是菱形；
B ．有三个角是直角的四边形是矩形；
C ．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
D ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形.
2．如图，平行四边形ABCD 中，AB=3，BC=5，AC 的垂直平分线交AD 于E ，则△CDE 的周长是（）
A ．6
B ．8
C ．9
D ．
10
3．如图所示，正方形ABCD 中，点E 是CD 边上一点，连接AE ，交对角线BD 于点
F ，连接CF ，则图中全等三角形共有（）
A ．1对
B ．2对
C ．3对
D ．4对
4．如图，将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点A 1、A 2、…、A n 分别是正方
形的中心，则n 个这样的正方形重叠部分的面积和为（）
A ．41cm 2
B ．4n cm 2
C ．41 n cm 2
D ．n )41( cm 2 5．在平面直角坐标系中，□ABCD 的顶点A 、B 、D 的坐标分别是(0,0)，(5,0)，(2,3)，则顶点C 的坐标是（）
A.（3，7）
B.（5，3）
C.（7，3）
D.（8，2）
6．若等腰梯形两底之差等于一腰的长，那么这个梯形一内角是（）
A.︒90
B.︒60
C.︒45
D.︒
30
7．如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 在AB 边上．四边形EFGB 也为正方形，设△AFC 的面积为S ，则（）
A ．S=2
B ．S=2.4
C ．S=4
D ．S 与B
E 长度有关
8．如图2，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E
处，折痕为AF ．若CD ＝6，则AF 等于（）
（A ）34 （B ）33 （C ）24 （D ）８
二、填空题(本题包括 6 小题)
9．如图，在菱形ABCD 中，已知AB ＝10,AC ＝16,那么菱形ABCD 的面积为 .
10．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BD 、CD 、AC 的中点，要使四边形
EFGH 是菱形，四边形ABCD 还应满足的一个条件是。

11．如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当
两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是．
12．如图，将矩形纸ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形
EFGH ，若EH ＝3厘米，EF ＝4厘米，则边AD 的长是___________厘米.
13．如图6，在边长为2㎝的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一
动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）.
14．已知平面上四点(00)A ，
，(100)B ，，(106)C ，，(06)D ，，直线32y mx m =-+将四边形ABCD 分成面积相等的两部分，则m 的值为．
三、证明题
15．已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于E 、F.求证：四边形AFCE 是菱形.
16．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ．
(1)求证：CF AB =；
(2)当BC 与AF 满足什么数量关系时，
四边形ABFC 是矩形，并说明理由．
四、综合题
17．如图，在边长为5的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、DC 边上的点，且AE EF ⊥，2BE =.
（1）求EC ∶CF 的值；
（2）延长EF 交正方形外角平分线CP P 于点（如图13-2），试判断AE EP 与的大小关系，并说明理由；
（3）在图13-2的AB 边上是否存在一点M ，使得四边形DMEP 是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．
18．已知：如图①，在Rt ACB △中，90C ∠=，4cm AC =，3cm BC =，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm/s ；点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2cm/s ；连接PQ ．若设运动的时间为(s)t （02t <<），解答下列问题：
（1）当t 为何值时，PQ BC ∥？
（2）设AQP △的面积为y （2cm ），求y 与t 之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把Rt ACB △的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；
（4）如图②，连接PC ，并把PQC △沿QC 翻折，得到四边形PQP C '，那么是否存在某一时刻t ，使四边形PQP C '为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．。