不等式的放缩法基本公式资料
不等式证明之放缩法
不等式证明之放缩法放缩法是一种常用的不等式证明方法，它通过对不等式两边进行一系列放缩操作，从而逐步缩小不等式范围，最终达到证明不等式成立的目的。
本文将对放缩法的基本思想和几种常用的放缩方法进行详细介绍。
首先，我们来介绍放缩法的基本思想。
放缩法的核心思想是通过对不等式两边进行放缩操作，把原来的不等式转化为一个更容易证明的不等式。
在放缩过程中，我们可以利用不等式的性质、算术平均-几何平均不等式、柯西-施瓦茨不等式等数学工具，结合实际问题的特点，灵活选择适当的放缩方法，从而得到具有更强的推理力度的不等式，最终完成不等式的证明。
接下来，我们介绍几种常用的放缩方法。
1.替换法：通过替换变量，将原不等式中的复杂变量替换为新的变量，使得不等式形式变得更加简单，更易证明。
这个方法可以常常应用于含有多个变量的不等式中，通过替换变量后，使得原来复杂的不等式简化为只含有一个变量的不等式。
2.增量法：通过引入一个增量，将原不等式中的变量加上增量后，得到一个更容易证明的不等式。
这个方法常常适用于原不等式中含有与增量具有类似性质的变量，可以通过增量的引入，改变原不等式的结构，使得证明变得更加简单。
3.分割法：将整个证明过程分为若干个子证明，通过对每个子证明的分割和放缩操作，最终得到整个不等式的证明。
这个方法常常适用于原不等式较为复杂或不易直接证明的情况，通过将证明分割为若干个子证明，分别证明每个子证明的不等式，最后再将这些子证明的不等式组合起来，得到原不等式的证明。
4.对称法：通过对不等式的两边同时进行操作，得到具有对称性的不等式，从而实现原不等式的放缩。
这个方法常常适用于原不等式中含有对称性的项，通过对称性的放缩操作，不仅可以得到更容易证明的不等式，也可以将原不等式变得更加简洁明了。
以上只是常用的放缩方法中的一部分，实际应用中还有很多其他的放缩方法，需要根据具体问题的情况选择适当的方法。
无论使用哪种放缩方法，都需要注意选择合适的放缩范围，并保证放缩后的不等式在放缩范围内成立，才能保证最终得到的不等式是正确的。
不等式证明放缩法
不等式证明放缩法下面以一些常见的不等式为例，介绍不等式证明的放缩法。
1.形式：对于给定的不等式，我们希望通过放缩法证明其成立。
假设不等式是要证明的命题P，即P成立。
我们可以找到一个等价命题Q，使得Q更容易证明，即P等价于Q。
2.推论：通过利用已知的数学性质和常见的数学不等关系，我们可以推出不等式的一些性质和结构。
这些推论可以是基本的数学定理、常见的不等式性质或者已知的不等关系。
3.放缩：利用推论中得到的性质，我们可以对给定的不等式进行放缩处理。
放缩的目的是使得式子更容易处理，并且逼近或者确切地表示给定的不等式。
常见的放缩方法包括乘法放缩、加法放缩以及函数放缩等。
4.确定条件：在放缩过程中，我们需要确定一些条件以保证放缩后的不等式仍然成立。
这些条件可以是已知的数学性质、函数的性质以及数学不等式的性质等。
5.证明：最后，我们通过利用放缩后的不等式和确定的条件，进行形式上的证明。
证明可以是直接的运算、利用已知不等式或者使用归纳法等。
下面我们以一些例子来具体说明不等式证明的放缩法。
例一：证明对于任意的正实数a，b，c成立(a+b)(b+c)(c+a) ≥8abc。
解：假设P为要证明的不等式，即P:(a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc。
针对P进行放缩如下：(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca) - abc≥ 3√(abc) * 3√(a²b²c²) - abc (根据均值不等式)= 3√(abc * a²b²c²) - abc≥ 3√(8a⁻²b⁻²c⁻²abc * a²b²c²) - abc (由调和-几何均值不等式得到)= 6abc - abc= 5abc.所以P成立。
例二：证明对于任意的正实数x。
解：假设P为要证明的不等式。
针对P进行放缩如下：1/x+1/(1-x)=(1-x+x)/x(1-x)=1/x(1-x)≥1/(1/4)所以P成立。
不等式放缩法
不等式放缩法不等式放缩法，这可是数学里一个相当有趣的“小魔法”！咱们先来说说啥是不等式放缩法。
简单来讲，就是把一个复杂的不等式通过巧妙的手段进行变形，让它变得更容易处理和证明。
比如说，原本一个长得很吓人的不等式，咱们通过合理的放缩，把它变成一个咱们熟悉的、能轻松搞定的形式。
我给大家举个例子哈。
比如说有这么个不等式：1/2 ＋ 1/3 ＋ 1/4 ＋… ＋ 1/n ＞ 1/2 ×（n 1) （n ≥ 2）。
要是直接去证明，可能会让人有点头疼。
那咱们就来放缩一下。
先把每一项 1/k （k ＝2, 3, 4, …， n）都放大成 1/2 ，这样原来的式子就变成了（n 1) × 1/2 ，这不就和要证明的右边一样了嘛！而且因为我们是把每一项都放大了才得到的这个式子，所以原不等式就成立啦！是不是感觉有点神奇？我还记得之前给学生们讲这部分内容的时候，有个小家伙一脸迷糊地问我：“老师，这放缩法咋感觉像是在‘作弊’呢？”我笑着回答他：“这可不是作弊哦，这是数学的智慧！就像你走在路上，遇到一个大石头挡道了，咱们总不能硬撞上去吧，得绕个弯或者找个更简单的路过去，这放缩法就是咱们在数学道路上找的‘捷径’！”那不等式放缩法有啥用呢？用处可大啦！比如说在一些数列求和的问题里，如果直接求和很难算，咱们就可以用放缩法来估计和的范围。
还有在证明一些不等式的结论时，放缩法往往能起到关键作用，让看似复杂的问题一下子变得清晰起来。
不过呢，放缩法也不是随便放缩的，要是放缩得不合理，那可就得出错误的结论啦。
这就好比你修房子，尺寸要是搞错了，房子可就歪歪斜斜没法住人了。
所以在使用放缩法的时候，一定要小心谨慎，多思考多尝试。
再给大家说个我自己的经历。
有一次我在做一道数学题，用了放缩法，结果怎么都证明不出来。
我检查了好几遍，才发现是放缩的时候放得太大了，把原本成立的不等式给弄“变形”了。
从那以后，我每次用放缩法都会特别小心，反复确认放缩的合理性。
常用不等式-放缩技巧
一：一些重要恒等式ⅰ：12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)／6ⅱ: 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2Ⅲ：cosa+cos2a+…+cos2n a=sin2n+1a／2n+1sinaⅳ:e=2+1／2！+1/3！+…+1/n！+a/(n！n) (0<a<1) ⅴ:三角中的等式（在大学中很有用）cosαcosβ= 1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]sinαcosβ= 1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]cosαsinβ= 1/2 [sin(α+β)+sin(α-β)]sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]sinθ+sinφ=2sin(θ/2+θ/2)cos(θ/2-φ/2)sinθ-sinφ=2cos(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)cosθ+cosφ=2cos(θ/2+φ/2)cos(θ/2-φ/2)cosθ-cosφ=-2sin(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)tan＋tanB＋tanC=tanAtanBtanCcotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC ⅵ:欧拉等式 e∏i=-1 (i是虚数，∏是pai)ⅶ：组合恒等式（你们自己弄吧，我不知怎样用word 编）二重要不等式1:绝对值不等式︱︱x︱-︱y︱︱≤∣x±y∣≤︱x︱+︱y︱(别看简单，常用)2：伯努利不等式（1+x1）（1+x2）…（1+x n）≥1+x1+x2+…+x n(x i符号相同且大于-1)3：柯西不等式(∑ a i b i)2≤∑a i2∑b i24:︱sin nx︱≤n︱sin x︱5; (a+b)p≤2p max(︱a p︱,︱b p︱)(a+b)p≤a p+ b p (0<p<1)(a+b)p≥a p+ b p (p>1)6:(1+x)n≥1+nx (x>-1)7:切比雪夫不等式若a1≤a2≤…≤a n, b1≤b2≤…≤b n∑a i b i≥(1/n)∑a i∑b i若a1≤a2≤…≤a n, b1≥b2≥…≥b n∑a i b i≤(1/n)∑a i∑b i三：常见的放缩(√是根号)(均用数学归纳法证)1：1/2×3/4×…×(2n-1)/2n<1/√(2n+1)；2：1+1/√2+1/√3+…+1/√n>√n;3：n！<【(n+1/2)】n4：n n+1>(n+1)n n！≥2n-15：2！4！…(2n)！>｛(n+1)！｝n6：对数不等式（重要）x/(1+x)≤㏑（1+x）≤x 7：(2/∏)x≤sinx≤x8:均值不等式我不说了（绝对的重点）9：（1+1/n）n<4四：一些重要极限(书上有，但这些重要极限需熟背如流)。
不等式证明 之 放缩法
不等式证明 之 放缩法放缩法的定义所谓放缩法，即要证明不等式A<B 成立，有时可以将它的一边放大或缩小，寻找一个中间量，如将A 放大成C ，即A<C ，后证C<B ，这种证法便称为放缩法。
使用放缩法的注意事项（1）放缩的方向要一致。
（2）放与缩要适度。
（3）很多时候只对数列的一部分进行放缩法，保留一些项不变（多为前几项或后几项）。
（4）用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不慎，则会出现放缩失当的现象。
典例分析：例1、 设x>y>z ，n *N ∈，且z x n z y y x -≥-+-11恒成立，求n 的最大值.例2、 已知：x>0，y>0，z>0，求证：z y x z yz y y xy x ++>+++++2222.例3、 求证：n n n 21...31211112<++++<-+）（， n *N ∈.例4、 求证：21...31211222<++++n ，n *N ∈.变式：求证：471...31211222<++++n，n *N ∈.例5、 已知：)()1(...433221+∈+⨯++⨯+⨯+⨯=N n n n a n ，， 求证：2)2(2)1(+<<+n n a n n n .例6、{}n b 满足：2111,(2)3n n n b b b n b +≥=--+（1） 用数学归纳法证明：n b n ≥（2） 1231111...3333n n T b b b b =++++++++，求证：12n T < 解：(1)略(2) 13()2(3)n n n n b b b n b ++=-++又 n b n ≥132(3)n n b b +∴+≥+ ， *n N ∈ 迭乘得：11132(3)2n n n b b -++≥+≥ *111,32n n n N b +∴≤∈+ 234111111111 (2222222)n n n T ++∴≤++++=-< 点评：把握“3n b +”这一特征对“21(2)3n n n b b n b +=--+”进行变形，然后去掉一个正项，这是不等式证明放缩的常用手法。
不等式的放缩法基本公式
不等式的放缩法基本公式1.加减法：对于不等式a<b，可以加上一个等式(或不等式)的两边，得到a+c<b+c。
同样地，可以减去一个等式(或不等式)的两边，得到a-c<b-c。
2. 乘除法：对于不等式a < b，如果c > 0，则乘以一个正数的两边，不等号方向不变，得到ac < bc。
如果c < 0，则乘以一个负数的两边，不等号方向反转，得到ac > bc。
同样地，除以一个正数的两边，不等号方向不变；除以一个负数的两边，不等号方向反转。
3.平方：对于不等式a<b，如果a和b都是非负数，可以对其进行平方运算，得到a^2<b^2、如果a和b都是负数，得到a^2>b^24.开方：对于不等式a<b，如果a和b都是非负数且不超过1，可以对其进行开方运算，得到√a<√b。
如果a和b都是正数且大于1，得到√a>√b。
5.绝对值：对于不等式，a，<，b，可以根据a和b的正负情况分别讨论。
如果a和b都是非负数，得到a<b。
如果a和b都是负数，得到-a<-b。
6.倍增法：对于不等式a<b，可以重复加或者减一个相同的数，直到得到符合条件的不等式。
这些是不等式的放缩法的基本公式和方法，但实际问题中常常还需要结合具体情况进行灵活运用。
同时，需要注意的是，放缩法只是解决不等式问题的一种方法，不是唯一的方法，有时候可能需要结合其他方法一起使用。
最重要的是，解决不等式问题时需要保持逻辑性和推理能力，严谨地进行分析和求解。
放缩法大全
a −1 + 1 − 2a − ln x 解（1）：令g ( x) = f ( x) − ln x = ax + x 1 (a , x 1) 2 a − 1 1 ax 2 − x + 1 − a [ax − (1 − a)]( x − 1) g ( x) = a − 2 − = = 2 x x x x2 1 a[ x − ( − 1)]( x − 1) a g ( x) = 0 （或用二次函数图象分 析） 2 x
1 1 1 1 1 1 + + ... + dx + dx + ... + dx 2 3 n +1 1 x x x 2 n
n +1 2 3 n +1
n
=
1
1 dx = ln( n + 1) x
1 n
n +1
n
1 dx = ln( n + 1) − ln n x
同理证右。
n +1 1 n ln( ) ln( ) n n n −1
所以：
ln n 2 f (n) − f (n − 1) 2 n
由
ln n 2 f (n) − f (n − 1) 2 n
取n=2,3,…,n累加
ln 2 2 ln 32 ln n 2 2n 2 − n − 1 + 2 + ... + 2 f (n) − f (1) = 2 2 3 n 2(n + 1)
1 m an = 4n − 3, { }前n项和为S n , 若S 2 n +1 − S n 恒成立， an 15 求整数m的最小值。
1 1 1 m 解： + + ... + 对n N + 恒成立， an +1 an + 2 a2 n +1 15 1 1 1 令f ( n ) = + + ... + , an +1 an + 2 a2 n +1 1 1 1 f (n − 1) = + + ... + an an +1 a2 n −1
不等式放缩技巧
不等式常用放缩技巧：模型一、等比数例倒求放缩目标。
小于常值题是重点，因为它涉及一个考点，例如：证明不等式：11112112123123n++++<⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯首先这个2不是随便的一个数，为什么不是5/3，不是3？ 我们首先代入一下：q-11=5/3，3，2分别解得： q=52，32，21那么通项公式：an=(52)1-n,(32)1-n ,( 21)1-n <1+2)25(1+3)25(1+…+n )25(1<5211-=5/3(n 取多少开始才有可能后式大于前式，就很难求出。
)<1+2)23(1+3)23(1+…+n)23(1<5211-=5/3(n>2)<1+2)2(1+3)2(1+…+n)2(1<2111-=2(n>1)后两种很容易发现不超三项就开始成立。
所以一般出题出n>1时就开始成立 再见青海高考2014年高考题：解：（1）a n+1=3an +1,根据模型求解：是一次函数斜截式肯定可以用点斜式表示 （a n+1-Y0）=3（an –X0），为构成等比式，直接X0=Y0 解得Y0=X0=-1/2所以（a n+1+1/2）=3（a n +1/2） 所以a n +1/2为等比数列所a n +1/2=（a1+1/2）31-n =23n所以a n =213-n（2）小于3/2，不妨用等比数列极限=q-11=3/2，解得q=1/3 所以通项Bn=(31)1-n ,只需n a 1=132-n <(31)1-n =131-n ,也即2.13-n <13-n ,也即 1<n 3-2.13-n = .13-n (只要N>1显然成立)则<1+31+(31)2+…+(31)n<3111-=3/2当然考试时不用那么啰嗦。
这只是思路建立目标与已知的关系。
上述放缩是等比数列为模板倒求放缩比，此方法用在指数型，首先考虑，等比数列模型放缩。
y=ex和y=lnx相关不等式证明中的几种特殊放缩法
y=ex和y=lnx相关不等式证明中的⼏种特殊放缩法2019-09-29导数作为研究函数图像和性质的⼯具，在每年⾼考中都占有极重要的分量.⽽且在近⼏年的各地⾼考试卷中.对y=ex和y=lnx两类函数的考察是常考常新，变化多样.其中关于不等式的证明更是考察的重点和难点.本⽂通过分析⼏种特殊的放缩⽅法及其在解题中的应⽤，以便师⽣在备考复习中能突破重点和难点.⼀、⼏个典型的放缩公式公式1：x∈R，有ex≥1+x公式2：x∈R，有ex≥ex公式3：x∈R+，有lnx≤x-1公式3：x∈R+，有lnx≤1ex⽤导数或图像所⽰易得上述公式⼀定成⽴.在解决y=ex和y=lnx相关的不等式问题中，巧⽤上述⼏个放缩公式，可以快速的突破不等式证明的难点.⼆、典型例题分析1.（2014全国课标I.理21题）设函数f（x）=aexlnx+bex-1x，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线为y=e（x-1）+2.（Ⅰ）求a，b; （Ⅱ）证明：f（x）>1.解法⼀（常规解法）：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=aexlnx+axex-bx2ex-1+bxex-1.由题意可得f（1）=2，f′（1）=e，故a=1，b=2.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，（f（x）=exlnx+2ex-1x，从⽽f（x）>1等价于xlnx>xe-x-2e.设函数g（x）=xlnx，则g′（x）=x+lnx，所以当x∈0，1e时，g′（x）<0，当x∈1e，+∞时，g′（x）>0，故g（x）在0，1e单调递减，在1e，+∞单调递增，从⽽g（x）在（0，+∞）的最⼩值为g1e=-1e.设函数h（x）=xe-x-2e，则h′（x）=e-x1-x，所以当x∈（0，1）时，h′（x）>0，当x∈（1，+∞）时，h′（x）<0，故h（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，从⽽h（x）g（x）在（0，+∞）的最⼩值为（h（1）=-1e.综上：当x>0时，g（x）>h（x），即f（x）>1.解法⼆（⽤公式2放缩）：f（x）=exlnx+2ex-1x，从⽽f（x）>1等价于exlnx+2ex-1x>1.即exlnx+2exex>1; 由公式2 有ex≥ex.所以exlnx+2exex≥exlnx+2，所以要使exlnx+2exex≥exlnx+2>1成⽴，只需证exlnx+2>1，即exlnx+1>0成⽴.设h（x）=exlnx+1，有h′（x）=e（lnx+1）所以当x∈0，1e时，h′（x）<0，当x∈1e，+∞时，h′（x）>0，故h（x）在0，1e单调递减，在1e，+∞单调递增，所以h（x）max=h（1e）=0.所以有exlnx+2exex>1成⽴.2.（2013课标全国Ⅱ，理21）已知函数f（x）=ex-ln（x+m）.（1）设x=0是f（x）的极值点，求m并讨论f（x）的单调性;（2）当m≤2时，证明f（x）>0.证明：（2）m≤2，要证f（x）>0，即f（x）=ex-ln（x+m）>ex-ln（x+2）>0，即要证ex>ln（x+2），由公式1有ex≥x+1，⼜由公式3有x+1≥ln（x+2），所以ex≥ln（x+2），所以ex-ln（x+2）≥0，所以可证f（x）>0.试⼀试：已知函数f（x）=ex-x-1，g（x）=x2eax .（Ⅰ）求f（x）的最⼩值;（Ⅱ）求g（x）的单调区间;（Ⅲ）当a=1时，对于在（0，1）中的任⼀个常数m，是否存在正数x0使得f（x0）>m2g（x）成⽴？如果存在，求出符合条件的⼀个x0;否则请说明理由.注：本⽂为⽹友上传，不代表本站观点，与本站⽴场⽆关。
常用不等式,放缩技巧
常用不等式,放缩技巧-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII一：一些重要恒等式ⅰ：12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)／6ⅱ: 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2Ⅲ：cosa+cos2a+…+cos2n a=sin2n+1a／2n+1sinaⅳ:e=2+1／2！+1/3！+…+1/n！+a/(n！n) (0<a<1)ⅴ:三角中的等式（在大学中很有用）cosαcosβ= 1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]sinαcosβ= 1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]cosαsinβ= 1/2 [sin(α+β)+sin(α-β)]sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]sinθ+sinφ=2sin(θ/2+θ/2)cos(θ/2-φ/2)sinθ-sinφ=2cos(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)cosθ+cosφ=2cos(θ/2+φ/2)cos(θ/2-φ/2)cosθ-cosφ=-2sin(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)tan＋tanB＋tanC=tanAtanBtanCcotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinCⅵ:欧拉等式 e∏i=-1 (i是虚数，∏是pai)ⅶ：组合恒等式（你们自己弄吧，我不知怎样用word 编）二重要不等式1:绝对值不等式︱︱x︱-︱y︱︱≤∣x±y∣≤︱x︱+︱y︱(别看简单，常用) 2：伯努利不等式（1+x1）（1+x2）…（1+x n）≥1+x1+x2+…+x n(x i符号相同且大于-1)3：柯西不等式(∑ a i b i)2≤∑a i2∑b i24:︱sin nx︱≤n︱sin x︱5; (a+b)p≤2p max(︱a p︱,︱b p︱)(a+b)p≤a p+ b p (0<p<1)(a+b)p≥a p+ b p (p>1)6:(1+x)n≥1+nx (x>-1)7:切比雪夫不等式若a1≤a2≤…≤a n, b1≤b2≤…≤b n∑a i b i≥(1/n)∑a i∑b i若a1≤a2≤…≤a n, b1≥b2≥…≥b n∑a i b i≤(1/n)∑a i∑b i三：常见的放缩(√是根号)(均用数学归纳法证) 1：1/2×3/4×…×(2n-1)/2n<1/√(2n+1)；2：1+1/√2+1/√3+…+1/√n>√n;3：n！<【(n+1/2)】n4：n n+1>(n+1)n n！≥2n-15：2！4！…(2n)！>｛(n+1)！｝n6：对数不等式（重要）x/(1+x)≤㏑（1+x）≤x 7：(2/∏)x≤sinx≤x8:均值不等式我不说了（绝对的重点）9：（1+1/n）n<4四：一些重要极限(书上有，但这些重要极限需熟背如流)。
四类放缩法巧证超越不等式
四类放缩法巧证超越不等式
利用放缩法超越不等式主要分为四类：
（1）非负放缩法：如果一个不等式中包含负号，可以利用非负放缩法，也就是不等式的左侧减去右侧和等于0，然后将右侧的正值放大以超
越左侧；
（2）零点放缩法：当不等式的左右两侧中存在一个值为0时，可以
利用零点放缩法，将其他数值放大或放小；
（3）另类放缩法：当不等式中都是非负数，则可以采用另类放缩法，将所有数值做放大或缩小，直到左侧超越右侧；
（4）双边放缩法：当不等式中有正有负数时，可以利用双边放缩法，也就是左右双边同时缩小或放大，直到左侧超越右侧。
大学中常用不等式,放缩技巧
4:︱sin nx︱≤n︱sin x︱
5; (a+b)p≤2pmax(︱ap︱,︱bp︱)
(a+b)p≤ap+ bp (0<p<1)
(a+b)p≥ap+ bp (p>1)
6:(1+x)n≥1+nx (x>-1)
7:切比雪夫不等式
sinθ+sinφ=2sin(θ/2+θ/2)cos(θ/2-φ/2)
sinθ-sinφ=2cos(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)
cosθ+cosφ=2cos(θ/2+φ/2)cos(θ/2-φ/2)
cosθ-cosφ=-2sin(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)
tan＋tanB＋tanC=tanAtanBtanC
首先 对 极限的总结 如下
极限的保号性很重要 就是说在一定区间内 函数的正负与极限一致
1 极限分为 一般极限 ， 还有个数列极限， （区别在于数列极限时发散的， 是一般极限的一种）
2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？）
ⅴ:三角中的等式（在大学中很有用）
cosαcosβ= 1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinαcosβ= 1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosαsinβ= 1/2 [sin(α+β)+sin(α-β)]
sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]
7等比等差数列公式应用（对付数列极限） （q绝对值符号要小于1）
常见的不等式的放缩方法
常见的不等式的放缩方法天门中学高三数学组一、先求和再放缩类型1、设数列{}n a 的前n 项的和为，n S 42n n a n=-，设2n n n T S =，1,2,3,n =⋅⋅⋅，证明：132nii T =<∑解: 由得S n = 4n 2nna =-23×(2n+1－1)(2n－1) T n = ⇒2n S n= 32×2n (2n+1－1)(2n－1) = 32×(12n －1 － 12n+1－1)，所以, = 1ni =∑i T 321(ni =∑12i －1 － 12i+1－1) = 32×(121－1 － 12i+1－1) < 322、已知2113,12n n n a a a a +==-+，求证：20101112k ka =<<∑。
证明：2112737(1)0,,416n n n n n a a a a a a a ++-=->⇒>==>321 ⇒ 当时，，3n ≥2n a >13(1)113n n n n n a a a a a a n n +=-+>+⇒>+-=-()20112011120100,11a a ⇒>⇒∈-21111111(1)11n n n n n n n n a a a a a a a a +++=-+⇒-=-⇒=---1na ()20101112011201111111112111111k n n n ka a a a a a a =+⇒=-⇒=-=-∈-----∑,2 二、先放缩为等比数列再求和类型1、设，证明：n N +∈11nni i e n e =⎛⎫<⎪-⎝⎭∑ 证明：()ln(1)1x x x +≤<- 111111ln 1ln 1111nnnn n ii i i i i i i i i i e e e n n n n n e --+∞--===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫i -∴-≤-⇒-≤-⇒-≤⇒-<<=⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑11111nni i e n e e =⎛⎫⇒<+=⎪--⎝⎭∑2、已知：113443n n n a k k --⋅=⋅+-，当13k <<时，求证：138nii n k a k =->∑。
高中数学讲义：放缩法证明数列不等式
放缩法证明数列不等式一、基础知识：在前面的章节中，也介绍了有关数列不等式的内容，在有些数列的题目中，要根据不等式的性质通过放缩，将问题化归为我们熟悉的内容进行求解。
本节通过一些例子来介绍利用放缩法证明不等式的技巧1、放缩法证明数列不等式的理论依据——不等式的性质：（1）传递性：若,a b b c >>，则a c >（此性质为放缩法的基础，即若要证明a c >，但无法直接证明，则可寻找一个中间量b ，使得a b >，从而将问题转化为只需证明b c >即可 ）（2）若,a b c d >>，则a c b d +>+，此性质可推广到多项求和：若()()()121,2,,n a f a f a f n >>>L ，则:()()()1212n a a a f f f n +++>+++L L （3）若需要用到乘法，则对应性质为：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >，此性质也可推广到多项连乘，但要求涉及的不等式两侧均为正数注：这两条性质均要注意条件与结论的不等号方向均相同2、放缩的技巧与方法：（1）常见的数列求和方法和通项公式特点：① 等差数列求和公式：12nn a a S n +=×，n a kn m =+（关于n 的一次函数或常值函数）② 等比数列求和公式：()()1111n n a q S q q -=¹-，n n a k q =×（关于n 的指数类函数）③ 错位相减：通项公式为“等差´等比”的形式④ 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项（2）与求和相关的不等式的放缩技巧：① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。
基本不等式放缩
基本不等式放缩基本不等式放缩随着时代的发展，数学作为一门重要的学科越来越被广泛应用。
基本不等式放缩作为数学中的一大重要思想，在许多领域中都有广泛的应用，本篇文章主要围绕基本不等式放缩进行讲解和探讨。
一、基本不等式基本不等式是数学中的重要理论之一，在许多数学问题中可以得到应用。
基本不等式通常有两种形式，一种是AM-GM不等式，另一种是Cauchy-Schwartz不等式。
二、AM-GM不等式AM-GM不等式是数学中比较基础的一种不等式，在许多数学问题中都可以得到应用。
AM-GM不等式的形式为：对于任意非负实数a1,a2,...,an，有：(a1+a2+...+an)/n≥(a1a2...an)^(1/n)其中，等号成立当且仅当a1=a2=...=an。
在数学问题中，AM-GM不等式通常被用于最大化某些函数，或者最小化某些函数。
比如，在求解长方形面积最大的问题中，可以使用AM-GM不等式来解决。
三、Cauchy-Schwartz不等式Cauchy-Schwartz不等式是一种比较基础的不等式，其形式为：(a1b1+a2b2+...+anbn)^2≤(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2)其中，a1,a2,...,an和b1,b2,...,bn是任意实数。
Cauchy-Schwartz不等式通常被用于线性代数中，用于证明内积和范数的性质。
四、基本不等式放缩基本不等式放缩是指利用一些已知的不等式去推导、证明一个新的不等式的方法。
这种方法不仅可以在数学领域中得到广泛应用，还可以在物理学、经济学、计算机科学等领域中得到应用。
基本不等式放缩有许多具体的操作方法，比如通过改变不等式两边的形式来得到新的不等式，或者通过将不等式的两边进行乘法、加法等集合运算来得到新的不等式。
这种方法需要运用数学知识，对已知的不等式有一定的了解，才能得到新的不等式。
五、应用举例基本不等式放缩在现实生活中有着广泛的应用。
高中常用不等式放缩公式
高中常用不等式放缩公式在高中数学的学习中，不等式放缩是一种非常重要的解题技巧。
它能够帮助我们在解决一些复杂的不等式问题时，简化运算，找到解题的突破口。
下面，我们就来一起学习一下高中常用的不等式放缩公式。
一、基本不等式基本不等式是高中数学中最基础也是最重要的不等式之一，其形式为：对于任意的正实数 a、b，有＄＼sqrt{ab} ＼leq ＼frac{a ＋ b}｛2}＄，当且仅当 a ＝ b 时，等号成立。
这个不等式在放缩中有着广泛的应用。
例如，当我们要证明一个不等式中涉及到两个正数的乘积时，可以考虑使用基本不等式进行放缩。
二、绝对值不等式绝对值不等式也是高中数学中的重要内容，常见的有：＄＼vert a ＼vert ＼vert b ＼vert ＼leq ＼vert a ＋ b ＼vert ＼leq ＼vert a ＼vert ＋＼vert b ＼vert$在处理一些含有绝对值的不等式问题时，利用绝对值不等式进行放缩，可以使问题变得更加清晰。
三、柯西不等式柯西不等式的形式为：对于任意的实数＄a_1, a_2, ＼cdots, a_n$ 和＄b_1, b_2, ＼cdots, b_n$ ，有$（a_1^2 ＋ a_2^2 ＋＼cdots ＋ a_n^2)（b_1^2 ＋ b_2^2 ＋＼cdots ＋ b_n^2) ＼geq （a_1b_1 ＋ a_2b_2 ＋＼cdots ＋ a_nb_n)＾2$ ，当且仅当＄＼frac{a_1}｛b_1} ＝＼frac{a_2}｛b_2} ＝＼cdots ＝＼frac{a_n}｛b_n}＄（当＄b_i ＼neq 0$ ）时，等号成立。
柯西不等式在放缩时，可以将一些复杂的乘积形式进行简化和处理。
四、糖水不等式若有正实数＄a, b, m$ ，且＄a ＜ b$ ，则＄＼frac{a ＋ m}｛b ＋m} ＞＼frac{a}｛b}＄。
这个不等式在一些分式的放缩中非常有用。
不等式放缩法常用公式
不等式放缩法常用公式1.AM-GM不等式：对于任意的非负实数$a_1,a_2,cdots,a_n$，有 $frac{a_1+a_2+cdots+a_n}{n}geqsqrt[n]{a_1a_2cdots a_n}$。
2. Cauchy-Schwarz不等式：对于任意的实数$a_1,a_2,cdots,a_n$ 和 $b_1,b_2,cdots,b_n$，有$(a_1b_1+a_2b_2+cdots+a_nb_n)^2leq(a_1^2+a_2^2+cdots+a_n^2) (b_1^2+b_2^2+cdots+b_n^2)$。
3. 切比雪夫不等式：对于任意的实数 $a_1,a_2,cdots,a_n$，有$max_i|a_i-frac{a_1+a_2+cdots+a_n}{n}|leqfrac{sum_{i=1}^n|a _i-frac{a_1+a_2+cdots+a_n}{n}|}{n}$。
4. Jensen不等式：设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，$a_1,a_2,cdots,a_nin I$ 且 $sum_{i=1}^nalpha_i=1$，则有$f(sum_{i=1}^nalpha_ia_i)leqsum_{i=1}^nalpha_if(a_i)$。
5. 柯西不等式：对于任意的非负实数 $a_1,a_2,cdots,a_n$ 和$b_1,b_2,cdots,b_n$，有$(sum_{i=1}^na_ib_i)^2leq(sum_{i=1}^na_i^2)(sum_{i=1}^nb_i^ 2)$。
6. 反柯西不等式：对于任意的非负实数$a_1,a_2,cdots,a_n$ 和 $b_1,b_2,cdots,b_n$，有$(sum_{i=1}^na_ib_i)^2geqfrac{(sum_{i=1}^na_i)^2(sum_{i=1}^ nb_i)^2}{n^2}$。
7. 平均值不等式：对于任意的非负实数 $a_1,a_2,cdots,a_n$，有 $frac{a_1+a_2+cdots+a_n}{n}geqsqrt[n]{a_1a_2cdots a_n}$。