北师大版八年级数学上《勾股定理的应用》精品教案
北师大版八年级数学上册：1.3《勾股定理的应用》教案
北师大版八年级数学上册：1.3《勾股定理的应用》教案一. 教材分析《勾股定理的应用》是北师大版八年级数学上册第一章第三节的内容。
本节课主要让学生掌握勾股定理在实际问题中的应用，培养学生的解决问题的能力。
教材通过引入古希腊数学家毕达哥拉斯的故事，引导学生探索直角三角形斜边与两直角边的关系，从而引入勾股定理。
学生通过观察、实验、猜想、验证等过程，体验数学的探索乐趣，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在七年级已经学习了直角三角形的性质，对直角三角形的边长关系有一定了解。
但勾股定理的应用涉及实际问题，对学生来说是一个新的挑战。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解勾股定理的含义，掌握勾股定理在直角三角形中的应用。
2.能够运用勾股定理解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.培养学生的合作、交流、探究能力，体验数学探索的乐趣。
四. 教学重难点1.重难点：勾股定理的应用。
2.难点：如何将实际问题转化为勾股定理的形式，求解问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生探究勾股定理的应用。
2.运用合作学习法，让学生在小组内讨论、交流，共同解决问题。
3.采用启发式教学法，教师提问、学生回答，激发学生的思维。
4.利用多媒体辅助教学，展示勾股定理的应用实例。
六. 教学准备1.准备相关课件、教学素材。
2.设计好教学问题，准备好答案。
3.安排好教学过程中的各个环节。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示勾股定理的动画故事，引导学生了解勾股定理的背景。
同时，提问学生：“你们认为直角三角形的斜边与两直角边有什么关系？”2.呈现（10分钟）教师提出一组实际问题，如：“一个直角三角形的两条直角边分别为3cm和4cm，求斜边的长度。
”让学生尝试解决。
学生在解决过程中，发现无法直接运用已知的直角三角形性质解决问题，从而引出勾股定理。
3.操练（10分钟）教师提出多个关于勾股定理的应用问题，让学生在小组内讨论、交流，共同解决。
北师大《勾股定理》教案（通用5篇）
北师大《勾股定理》教案（通用5篇）作为一名教师，通常会被要求编写教案，编写教案有利于我们弄通教材内容，进而选择科学、恰当的教学方法。
那么问题来了，教案应该怎么写？下面是小编为大家整理的北师大《勾股定理》教案（通用5篇），仅供参考，大家一起来看看吧。
北师大《勾股定理》教案1一、教材分析：（一）教材的地位与作用从知识结构上看，勾股定理揭示了直角三角形三条边之间的数量关系，为后续学习解直角三角形提供重要的理论依据，在现实生活中有着广泛的应用。
从学生认知结构上看，它把形的特征转化成数量关系，架起了几何与代数之间的桥梁；勾股定理又是对学生进行爱国主义教育的良好素材，因此具有相当重要的地位和作用。
根据数学新课程标准以及八年级学生的认知水平我确定如下学习目标：知识技能、数学思考、问题解决、情感态度。
其中情感态度方面，以我国数学文化为主线，激发学生热爱祖国悠久文化的情感。
（二）重点与难点为变被动接受为主动探究，我确定本节课的重点为：勾股定理的探索过程。
限于八年级学生的思维水平，我将面积法（拼图法）发现勾股定理确定为本节课的难点，我将引导学生动手实验突出重点，合作交流突破难点。
二、教学与学法分析教学方法叶圣陶说过"教师之为教，不在全盘授予，而在相机诱导。
"因此教师利用几何直观提出问题，引导学生由浅入深的探索，设计实验让学生进行验证，感悟其中所蕴涵的思想方法。
学法指导为把学习的主动权还给学生，教师鼓励学生采用动手实践，自主探索、合作交流的学习方法，让学生亲自感知体验知识的形成过程。
三、教学过程我国数学文化源远流长、博大精深，为了使学生感受其传承的魅力，我将本节课设计为以下五个环节。
首先，情境导入古韵今风给出《七巧八分图》中的一组图片，让学生利用两组七巧板进行合作拼图。
让学生观察并思考三个正方形面积之间的关系？它们围成了怎么样三角形，反映在三边上，又蕴含着怎么样数学奥秘呢？寓教于乐，激发学生好奇、探究的欲望。
新版北师大版八年级数学 初二上册《勾股定理的应用》优秀教学设计
教学设计教学目标1.能运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题.2.学会选择适当的数学模型解决实际问题.3.通过问题情境的设立,使学生体会数学来源于生活服务于生活.积累数学活动经验. 学习目标1.会直接利用勾股定理求直角三角形的边长.2.能根据勾股定理列方程求直角三角形的边长.3.会利用勾股定理的逆定理判断两条直线是否垂直.学情分析认知基础：学生在七年级已经学过圆柱的侧面展开图，基本数学事实“两点之间线段最短”、一元一次方程的解法，八年级有学习了勾股定理及其逆定理，这些都为本节课的学习提供了知识基础.活动基础：八年级学生好奇心浓厚，思维活跃，参与意识强. 经过七年级一年的小组合作学习锻炼，磨合，小组成员之间合作融洽默契，合作能力较强，部分学生的语言表达能力较强。
这为本节课的小组合作，同桌互助，学生讲解提供了活动基础.学生自身的学习基础：我班生源以外来务工子女为主，家长文化水平低，学生行为习惯、学习习惯、学习能力和基础都不好，课后辅导几乎是空白.学法设计：基于以上学情，在学习内容上，我以贴近学生生活的问题情境引入课题，以故事贯穿知识点，调动学生的学习积极性；在学习目标的设置上，我以让学生获得继续学习的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验为宗旨，在例题和检测题选择上紧扣学习学习目标，突出数学思想方法,避免繁杂的计算, 提高学生的自信心，减少分化.在学法方面方法，我以学生的想一想、做一做、算一算、议一议等活动贯穿课堂，采取独立思考，同桌合作学习、小组合作学习、交流展示等方法，为学生自主学习、互助学习、展示自己搭建舞台. 老师是学生活动的组织者,充分发挥学生的主题作用.重点：能运用勾股定理及勾股定理的逆定理解决实际问题难点：结合方程利用勾股定理解决实际问题教学过程活动一复习旧知、明确学习目标引入新课1.开门见山导入课题数学来源于生活服务于生活，我们已经学习过勾股定理和勾股定理的逆定理，今天我们就来探究怎样应用这两个定理解决实际问题(出示课题).设计意图：让学生知道数学既来源于生活又服务于生活，学习数学对生活很有用，激发学习动机.2.课件展示学习目标①会直接利用勾股定理求直角三角形的边长.②.能根据勾股定理列方程求直角三角形的边长.③.会利用勾股定理的逆定理判断两条直线是否垂直.阅读明确学习目标.设计意图：让学生明确本节课的目的，知道自己这节课要学习什么，达到什么目的.3.复习提问相关知识①你还记得勾股定理定理的内容吗？②勾股定理的逆定理是怎样叙述的？设计意图：帮助学生厘清两个定理的区别和联系，为新课学习做准备.活动二、想一想1.简要介绍碧沙岗公园的历史，引出问题: 边AB与AD垂直吗(课件展示碧沙岗公园的相关图片)郑州碧沙岗公园是冯玉祥将军为阵亡的北伐军将士修建的陵园. 周末小明、小亮、小颖、小红一起去郑州碧沙岗公园寻找生活中的数学。
北师大版八年级数学上册：1.3《勾股定理的应用》教学设计1
北师大版八年级数学上册：1.3《勾股定理的应用》教学设计1一. 教材分析《勾股定理的应用》是人教版八年级数学上册第1章第3节的内容。
本节课主要让学生掌握勾股定理的应用，学会运用勾股定理解决实际问题。
教材通过丰富的例题和练习，引导学生理解并掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决生活中的问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了勾股定理的定义和证明，具备了一定的数学运算能力。
但部分学生对实际问题的解决能力较弱，需要通过实例引导，让学生感受数学与生活的联系，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.理解勾股定理的应用，能够运用勾股定理解决实际问题。
2.提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.培养学生的合作交流意识和创新思维。
四. 教学重难点1.重点：掌握勾股定理的应用，能够运用勾股定理解决实际问题。
2.难点：灵活运用勾股定理解决生活中的问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生感受数学与生活的联系。
2.启发式教学法：引导学生主动探究，培养学生的问题解决能力。
3.合作学习法：小组讨论，培养学生的合作交流意识。
六. 教学准备1.教学课件：制作勾股定理应用的相关课件。
2.练习题：准备一些有关勾股定理应用的练习题。
3.教学素材：收集一些生活中的实际问题，用于教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些生活中的实际问题，如房屋建筑、道路设计等，引导学生感受数学与生活的联系。
提出问题：“这些实际问题能否用我们学过的勾股定理来解决呢？”2.呈现（10分钟）讲解勾股定理的应用，引导学生掌握勾股定理的应用方法。
通过举例，让学生了解如何将实际问题转化为勾股定理的问题，如何运用勾股定理解决问题。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，尝试解决一些关于勾股定理应用的问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成。
教师及时批改，给予反馈，帮助学生巩固所学知识。
1.3.2勾股定理的应用(教案) 2022—2023学年北师大版数学八年级上册
# 1.3.2 勾股定理的应用（教案）一、教学目标•了解勾股定理的概念和应用•掌握勾股定理的运用方法•能够解决与勾股定理相关的问题二、教学内容•勾股定理的定义•勾股定理的应用实例•针对勾股定理的解题方法三、教学重难点重点： - 勾股定理的运用方法 - 针对勾股定理题目的解题思路难点： - 针对实际问题应用勾股定理的思考四、教学过程1.引入（5分钟）–老师通过导入相关理论知识概念，引起学生的兴趣和思考，例如：勾股定理的故事和历史背景等。
2.理论讲解（15分钟）–老师以PPT或黑板为媒介，讲解勾股定理的定义和相关公式推导过程，注重结论的解释和实例的导入。
3.应用实例分析（20分钟）–老师以实际应用问题为例，引导学生分析如何利用勾股定理解决问题，让学生思考和讨论解题思路。
4.解题方法讲解（15分钟）–老师总结出针对勾股定理题目的解题方法，并通过典型例题向学生展示具体的解题步骤和思路。
5.练习和巩固（20分钟）–学生个人或小组完成一系列勾股定理的练习题，巩固所学的知识和解题方法。
6.提问和讨论（10分钟）–老师针对难点和易错点进行提问和解答，鼓励学生积极参与讨论和答题，增强国际互动。
7.课堂总结（5分钟）–老师让学生回顾和总结本节课所学的重点和难点，帮助学生形成对勾股定理应用的深入理解。
五、课后作业1.完成课堂练习题2.思考如何将勾股定理应用到其他实际问题中，并写出解题思路六、教学反思本节课通过引入激发学生兴趣、理论讲解、应用实例分析、解题方法讲解、练习巩固和提问讨论等多种教学手段，全面提高学生对勾股定理的理解和应用能力。
同时，在课后作业中引导学生思考拓展，进一步加深对勾股定理的理解。
针对学生的不同水平和能力，教师可以适当调整练习题的难度和复杂度，帮助学生达到巩固知识和拓展思维的目的。
北师大版八年级数学上册：13勾股定理的应用教学设计
（二）过程与方法
1.通过观察、分析、归纳等思维活动，引导学生发现勾股定理，并理解其背后的数学原理。
2.采用问题驱动的教学方法，设计具有挑战性和趣味性的数学问题，激发学生的学习兴趣和探究欲望。
3.运用小组合作、讨论交流等学习方式，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。
五、作业布置
为了巩固学生对勾股定理的理解和应用，提高他们的数学素养，特布置以下作业：
1.基础知识巩固题：请学生完成教材课后练习题中与勾股定理相关的基础知识巩固题，旨在帮助学生熟练掌握勾股定理的证明和应用。
-计算给定直角三角形的斜边长度。
-判断一个三角形是否为直角三角形，并说明理由。
-运用勾股定理解决简单的实际问题。
1.学生在勾股定理的解上可能存在误区，需要通过实例分析、几何作图等方式，帮助他们消除误解，形成正确的数学观念。
2.学生的空间想象力有限，需要借助实物模型、几何画板等教学工具，帮助他们形象地理解勾股定理。
3.部分学生对数学问题的解决策略掌握不足，教学中应注重培养他们分析问题、解决问题的能力。
4.学生在合作交流方面有待提高，需要教师在教学过程中营造良好的讨论氛围，引导学生积极参与，学会倾听与表达。
（五）总结归纳
1.知识回顾：引导学生回顾本节课所学内容，总结勾股定理的证明、性质、应用等知识点。
2.课堂反思：组织学生进行自我反思，分享学习过程中的收获和困惑，提高他们的自我认知能力。
3.教师总结：针对学生的反馈，教师进行针对性的总结，强调勾股定理的重要性，并鼓励学生在课后继续深入学习和探索。
4.课后作业：布置与勾股定理相关的课后作业，巩固所学知识，培养学生的自主学习能力。
北师大版八年级数学初二上册《勾股定理的应用》教案设计
北师大版八年级数学初二上册《勾股定理的应用》教案设计1.3勾股定理的应用一．教学目标：1．知识与技能（1）利用勾股定理及逆定理解决生活中的实际问题。
（2）通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念．2．过程与方法在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想．3．情感、态度与价值观在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学研究的实用性．二．教学重点：探索、发现事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用它们解决实际问题．三．教学难点:利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理解决实际问题。
XXX．学情分析：本节将利用勾股定理及其逆定理解决一些具体的实际问题，其中需要学生了解空间图形、对一些空间图形进行展开、折叠等活动．学生在研究七年级上第一章时对生活中的立体图形已经有了一定的认识，并从事过相应的实践活动，因而学生已经具备解决本课问题所需的知识基础和活动经验基础．五．教学方法：引导——探究——归纳XXX．教具准备：多媒体，矩形纸片做成的圆柱等模型XXX．教学过程：（一）情境引入德国天文学家XXX曾经说过“几何学中有两大宝藏”，一个是黄金分割，另一个就是勾股定理，并被无数人论证，由此可见勾股定理的重要性。
然后引导大家复勾股定理及逆定理的内容。
（学生回答，教师板书）我们还知道许多科学家为了探寻其他星球上的生命，向宇宙发射很多信号，我国数学家XXX曾提议向宇宙发射勾股定理的图形，并说如果宇宙中有文明人，他们一定会认识这种图形“语言”的，由此可见勾股定理非常重要。
那么，它在我们的实际生活中到底有什么广泛的应用呢？下面，就让我们漫步走进勾股定理的世界，一起来用这种大自然共同的“语言”来解决实际问题吧！（由此引入课题:勾股定理的应用。
教师板书）（二）协作探究下面，我们通过几个例题来探究勾股定理的应用。
例1.如图所示，有一个圆柱，它的高是12cm,底面上圆的周长等于18cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B 处的食品，沿圆柱侧面爬行到B点，求其爬行的最短路程是多少？析：学生活动：学生分为2人活动小组，合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后，汇总各小组的方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，总结出最短路线。
北师大版数学八年级上册1.3勾股定理的应用教学设计
（1）导入：通过趣味故事或实际案例，激发学生对勾股定理的兴趣；
（2）新知探究：引导学生从实际问题中抽象出直角三角形，发现勾股定理；
（3）例题讲解：结合课本例题，讲解勾股定理的运用方法，强调计算过程中的注意事项；
（4）课堂练习：设计不同难度的练习题，巩固学生对勾股定理的理解和运用；
（5）拓展提升：将勾股定理与其他数学知识相结合，提高学生解决问题的能力；
（2）熟练运用勾股定理进行计算，解决实际问题；
（3）将勾股定理与其他数学知识相结合，解决更为复杂的数学问题。
（二）教学学生通过观察、思考、探究，发现勾股定理；
（2）运用数形结合的教学方法，将勾股定理与实际图形相结合，使学生更加直观地理解定理；
（3）采用小组合作学习，鼓励学生互相交流、讨论，共同解决问题。
3.学生回答：鼓励学生发表自己的看法，引导学生关注勾股定理在实际生活中的应用。
（二）讲授新知
1.教学内容：讲解勾股定理的表达形式及其适用条件，结合实际图形进行说明。
2.讲解方法：采用数形结合的方式，通过动态演示和板书，使学生直观地理解勾股定理。
3.举例说明：以直角三角形为例，讲解如何运用勾股定理求斜边、直角边等。
（2）选择3道不同类型的勾股定理计算题，要求学生详细列出解题步骤；
（3）请学生利用勾股定理，测量并计算生活中一个直角三角形的斜边或直角边的长度，并记录下来。
2.应用提高题：旨在提高学生运用勾股定理解决实际问题的能力，布置以下作业：
（1）完成课本例题4、5，并尝试寻找生活中的类似问题进行解答；
（2）设计一个实际情境，运用勾股定理解决问题，并写出解题过程和答案；
（3）教师要及时批改作业，给予评价和反馈，帮助学生发现并纠正错误。
北师大版八年级上册数学《勾股定理的应用》教案
《勾股定理的应用》教案【教学目标】：知识与技能目标：能运用勾股定理及逆定理解决简单的实际问题．过程与分析目标：经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用的条件．情感与态度目标：培养合情推理能力，体会数形结合的思维方法，激发学习热情．【教学重点】：勾股定理及逆定理的应用【教学难点】：勾股定理的正确使用．【教学关键】：在现实情境中捕抓直角三角形，确定好直角三角形之后，再应用勾股定理.【教学准备】：教师准备：投影片、直尺、圆规学生准备：复习勾股定理及逆定理，自制课本14.2.1图【教学过程】：一、创设情境1、问题情境：如图14-2-1所示，有一个圆柱，它的高等于4厘米，底面周长等于20厘米，在圆柱下底面的A点有一点妈蚁，它想吃到上底面上与A点相对的C点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（精确到0.01cm）（1）自制一个圆柱，尝试从A点到C点沿圆柱侧面画出几条路线，你认为哪条路寒最短呢？（2）如图，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从A点到C点的最短线路是什么？你画对了吗？（3）蚂蚁从A点出发，想吃到C点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？2、思路点拨：引导学生尝试着在自制的圆柱侧面上寻找最短路线，提醒学生将圆柱侧面展开成长方形，此时学生发现了“两点之间的所有连线中，线段最短”这个结论较易解决问题．教师活动操作投影仪，启发、引导学生动手操作，通过感性认识来突破学生空间想像的难点．学生活动：观察、拿出事先准备好的学具，边操作边讨论边理解，寻求解决问题的途径．媒体使用：投影显示“问题情境”．二、范例学习例2一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图14.2.3的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?图14.2.3分析由于厂门宽度足够，所以卡车能否通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH．如图14.2.3所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥AB，与地面交于H．解在Rt△OCD中，由勾股定理得CD＝22ODOC-＝228.01-＝0.6米，CH＝0.6＋2.3＝2.9（米）＞2.5（米）．因此高度上有0. 4米的余量，所以卡车能通过厂门．教师活动：分析例2，帮助学生寻找Rt△OCD，强调应用方法学生活动：听教师分析，积累实际应用经验媒体使用：投影显示例2教学形式：接受式引导学生完成P121页“做一做”课堂演练：演练一：从地图上看（如图所示），南京玄武湖东西向隧道与中央路北段及龙姗路大致成直角三角形．从B 处到C 处，如果直接走湖底隧道BC,将比绕道BAC （约.36km ）和AC （约2. 95km ）减少多少行程（精确到0.lkm ）?演练二：若△ABC 的三边a 、b 、c 满足条件c b a c c a 262410338222++=+++ 请你判断△ABC 的形状.教师活动：操作投影仪，显示“课堂演练”，启发、引导学生、关注“学困生”学生活动：先独立完成，再有困难时，寻求同伴的帮助，通过交流，解决问题三、随堂练习1、课本P121练习第1、2题2、探研时空．1）《九章算法》中的“折竹问题”如下“今有竹高一丈末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是有一根竹子原高1丈(1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？教师活动：操作投影仪，提出问题，引导学生思考．学生活动：先独立解题，再踊跃上台演示．2）如图所示，由5个小正方形组成的十字形纸板，现在要把它剪开．使剪成的若干块能够拼成一个大正方形．（1）如果剪4刀，应如何剪拼？（2）少剪几刀，也能拼成一个大正方形吗？教师活动：操作投影仪，引导学生动手操作，感受方法．学生活动分小组合作交流，得到答案．四、课堂总结由学生分小组进行总结，教师请个别组学生在全班总结勾定理的应用方法．五、布置作业：P123 习题14.2 1、2、3。
八年级数学上册1.3勾股定理的应用教学设计 (新版北师大版)
八年级数学上册1.3勾股定理的应用教学设计（新版北师大版）一. 教材分析勾股定理是数学中的重要定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系。
本节课的教学内容是北师大版八年级数学上册1.3勾股定理的应用，主要包括勾股定理的证明和应用。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生理解和掌握勾股定理，并能够运用勾股定理解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了直角三角形的性质、勾股定理的初步知识，对数学几何有一定的基础。
但部分学生可能对勾股定理的理解不够深入，难以将理论知识应用于实际问题中。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行引导和辅导。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生理解和掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、分析、推理等方法，培养学生解决几何问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。
四. 教学重难点1.重点：理解和掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决实际问题。
2.难点：将勾股定理应用于实际问题中，灵活运用定理解决复杂问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过丰富的实例，引导学生观察、分析和推理，让学生在实际问题中体验勾股定理的应用。
2.问题驱动法：教师提出问题，引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣。
3.合作学习法：分组讨论和解答问题，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作勾股定理的应用实例和练习题课件。
2.教学素材：准备一些实际的勾股定理应用问题，用于课堂练习和拓展。
3.教学工具：直尺、三角板等几何画图工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个生活中的实例，如测量房间的面积，引出勾股定理的应用。
让学生思考如何利用勾股定理解决这个问题。
2.呈现（15分钟）介绍勾股定理的定义和证明方法。
通过多媒体课件展示勾股定理的证明过程，让学生直观地理解定理的意义。
北师大版八年级数学上册《勾股定理的应用》示范课教学设计
第一章勾股定理3 勾股定理的应用一、教学目标1.会灵活运用勾股定理求解立体图形上两点之间路线最短的问题.体会勾股定理在代数问题和几何问题中的应用.2.能正确运用勾股定理及直角三角形的判别方法解决简单的实际问题.3.能够运用勾股定理解决实际生活中的问题，熟练运用勾股定理进行计算，增强数学知识的应用意识.4.在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.二、教学重难点重点：会用勾股定理求解立体图形上两点之间路线最短的问题.难点：能正确运用勾股定理及直角三角形的判别方法解决简单的实际问题.三、教学用具电脑、多媒体、课件、教学用具等四、教学过程设计【复习回顾】教师活动：教师引导学生回顾勾股定理，并通过简单的提问，回顾勾股定理逆定理以及勾股数的内容，接着通过小情境引入本节课要讲解的内容.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a²+b²=c².如果三角形的三边长a、b、c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是.预设答案：直角三角形.满足a²+b²=c²的三个正整数，称为.预设答案：勾股数.观察思考：小明要去野外郊游，走哪条路最近呢？为什么呢？教师活动：教师提出问题，观察学生如何思考，再让学生说明理由.关注学生能否都认真看题积极思考，能否立刻利用两点之间线段最短确定最短路径.答案：线路③.【问题探究】有一个圆柱，它的高等于12cm，底面上圆的周长等于18cm.在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面蚂蚁怎么爬行的路程最短呢？做一做自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？教师活动：让学生说出自己规划的蚂蚁的路线，然后用课件展示.③A→B的路线长为：AA′+A′B ；③A→B的路线长为：AA′+曲线A′B；③A→B的路线长为：曲线AP +曲线PB；③A→B的路线长：曲线AB．将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从点A到点B的最短路线是什么？你画对了吗？教师活动：对照圆柱上的线路，用课件展示侧面剪开图，让学生观察并说出哪条线路最近.教师活动：将圆柱的侧面展开，把曲线分别转化为对应线段，然后结合两点之间线段最短，得出结论：第（4）种方案路程最短．追问：蚂蚁从点A出发，想吃到点B上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？该如何计算呢？答案：在Rt③A′AB中，利用勾股定理，得AB²=AA′²+A′B²．其中AA′是圆柱体的高，A′B是底面圆周长的一半(πr) ．已知圆柱体高为12 cm，底面周长为18 cm，则AB=15cm.做一做如图，在棱长为10 cm的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1 cm/s，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20 s内从A爬到B？教师活动：先由学生独立完成，教师及时给予指导，在此活动中，教师应重点关注学生能否进一步理解蚂蚁最近线路该如何走.多媒体展示答题过程解：将正方体展开得到如下图形，由勾股定理得，22AB2.=10+20=50020×1=20(cm).③202<500．③蚂蚁不能在20 s内从A爬到B．【思考探究】教师活动：多媒体演示课件，引导学生观察并思考：李叔叔想要检测雕塑底座正面的边AD和边BC是否分别垂于底边AB，但他随身只带了卷尺.你能替他想办法完成任务吗？提示：连接BD,如果能算出AD2+AB2=BD2 ,就可以说明边AD和边BC分别垂于底边AB.提示：连接AC,如果能算出AB2+BC2=AC2 ,就可以说明边BC垂于底边AB.问题：李叔叔想要检测雕塑底座正面的边AD 和边BC是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺.李叔叔量得边AD长是30 cm，边AB长是40 cm，边BD长是50 cm.边AD垂直于边AB 吗？教师活动：引导学生通过勾股定理证得BC垂直于AB得出结论.巡视同学做题过程，对于有困难的学生给予指导，然后用多媒体展示答题过程.解:连接BD③AD=30,AB=40,BD=50又③AD2+AB2=302+402=502=BD2③ΔABD为直角三角形,③A=90°③AD⊥AB同理可证得：BC⊥AB.问题：小明随身只有一个长度为20cm的刻度尺，他能有办法检验边AD是否垂直于边AB吗？解:在AD上取点M,使AM=9,在AB上取点N，使AN=12,92+122=152【典型例题】教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再在小组内交流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.典型例题【例1】如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长．已知滑梯的高度CE=3 m，CD=1 m，试求滑道AC的长．分析：根据题意可的AC=AB，可设AC为x m,从而AE是（x-1）m,而③AEC是直角三角形，由勾股定理可得AC的值.解：设滑道AC的长度为x m，则AB的长度为x m，AE的长度为(x－1)m．在Rt③AEC中，③AEC=90°，由勾股定理得AE2+CE2=AC2，即(x－1)2+32= x 2，解得x =5．故滑道AC的长度为5 m．【例2】在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离树根底部8米处.你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？教师根据题干分析题中提供的已知条件，并画出图形.解：根据题意可以构建一直角三角形模型，如图.在Rt③ABC中，AC=6米，BC=8米，由勾股定理得AB=10米.③这棵树在折断之前的高度是10+6=16（米）.教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.1.小华和小刚兄弟两个同时从家去同一所学校上学，速度都是每分钟走50米.小华从家到学校走直线用了10分钟，而小刚从家出发先去找小明再到学校（均走直线），小刚到小明家用了6分钟，小明家到学校用了8分钟，小刚上学走了个（）A.锐角弯B.钝角弯C.直角弯D.不能确定教师画示意图：222⨯+⨯=⨯(650)(850)(1050)∴所以小刚上学走了个直角弯.答案：C2.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长是.教师提示：因为DE是折痕，所以E为AB的中点，AE=BE=12AB，只要根据勾股定理求出Rt△ABC斜边AB的长，就可求出BE的长.答案：5 cm.3.如图，某探险队的A组由驻地O点出发，以12km/h的速度前进，同时，B组也由驻地O出发，以9km/h的速度向另一个方向前进，2h后同时停下来，这时A、B两组相距30km.此时，A，B两组行进的方向成直角吗？请说明理由.解：2小时后，A组行驶的路程为：12×2=24（km）；B组行驶的路程为：9×2=18（km）；又因为A，B两组相距30 km，且有242+182=302所以A，B两组行进的方向成直角.。
北师大版八年级上册数学1.3勾股定理的应用(教案)
在今天的课程中，我们探讨了勾股定理的应用。回顾整个教学过程，我觉得有几个方面值得反思和总结。
首先，关于导入新课环节，我通过提出一个与生活密切相关的问题来激发学生的兴趣，效果还是不错的。大部分同学都能够积极参与，表达自己的想法。但我也注意到，有些学生对这个问题还不够敏感，可能是因为他们对勾股定理还不够熟悉。在今后的教学中，我需要更加关注这部分学生，尽量用简单易懂的语言和例子来引导他们。
-学生需掌握勾股定理的表述和证明，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
-学生需学会运用勾股定理解决实际问题，如计算直角三角形的斜边长度或确定直角三角形的形状。
-学生应能运用勾股定理推导出直角三角形的其他性质，如面积公式和周长计算。
-举例解释：例如，在解决实际问题中，学生需要能够识别直角三角形的结构，并应用勾股定理来计算斜边的长度。重点在于让学生理解勾股定理是解决这类问题的基本工具。
北师大版八年级上册数学1.3勾股定理的应用（教案）
一、教学内容
本节课选自北师大版八年级上册数学第1章第3节“勾股定理的应用”。教学内容主要包括以下方面：
1.理解勾股定理的应用范围，掌握勾股定理在直角三角形中的运用；
2.学会运用勾股定理解决实际问题，如计算直角三角形的斜边长度、确定直角三角形的形状等；
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“勾股定理在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
北师大版八年级数学上册：1.3《勾股定理的应用》教学设计
北师大版八年级数学上册：1.3《勾股定理的应用》教学设计一. 教材分析《勾股定理的应用》是人教版八年级数学上册第1章第3节的内容。
本节主要让学生掌握勾股定理在实际问题中的应用。
教材通过引入实际问题，引导学生运用勾股定理解决问题，培养学生的数学应用能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了勾股定理的定义和证明，对勾股定理有了初步的了解。
但学生在实际应用勾股定理解决实际问题时，可能会遇到一些困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习困难，引导学生正确运用勾股定理解决问题。
三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解勾股定理的应用，并能运用勾股定理解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过解决实际问题，培养学生运用数学知识解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学思维。
四. 教学重难点1.重点：引导学生理解勾股定理的应用。
2.难点：如何引导学生运用勾股定理解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与课堂。
2.案例教学法：通过分析典型例题，引导学生掌握勾股定理的应用方法。
3.小组合作学习法：学生在小组内讨论问题，培养学生的合作意识和团队精神。
六. 教学准备1.教师准备：熟悉教材内容，了解学生的学习情况，准备典型例题和练习题。
2.学生准备：预习本节内容，了解勾股定理的定义和证明。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入实际问题，如直角三角形的边长关系，引导学生回顾勾股定理的内容。
2.呈现（10分钟）教师展示典型例题，如直角三角形斜边长度的计算。
引导学生运用勾股定理解决问题。
3.操练（10分钟）学生独立完成练习题，巩固勾股定理的应用。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4.巩固（10分钟）教师学生进行小组讨论，分享各自解决问题的方法。
学生互相评价，总结勾股定理的应用技巧。
5.拓展（10分钟）教师提出一些生活中的实际问题，引导学生运用勾股定理解决问题。
最新北师版八年级初二数学上册《勾股定理的应用》名师精品教案
1．3勾股定理的应用1．能熟练运用勾股定理求最短距离；(难点)2．能运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题．(重点)一、情境导入一个门框的宽为1.5m，高为2m，如图所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过？为什么？二、合作探究探究点一：求几何体表面上两点之间的最短距离【类型一】长方体上的最短线段如图①，长方体的高为3cm，底面是正方形，边长为2cm，现有绳子从D出发，沿长方体表面到达B′点，问绳子最短是多少厘米？解析：可把绳子经过的面展开在同一平面内，有两种情况，分别计算并比较，得到的最短距离即为所求．解：如图②，在Rt△DD′B′中，由勾股定理得B′D2＝32＋42＝25；如图③，在Rt△DC′B′中，由勾股定理得B′D2＝22＋52＝29.因为29>25，所以第一种情况绳子最短，最短为5cm.方法总结：此类题可通过侧面展开图，将要求解的问题放在直角三角形中，问题便迎刃而解．【类型二】圆柱上的最短线段为筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图①.已知圆筒的高为108cm，其横截面周长为36cm，如果在表面均匀缠绕油纸4圈，应裁剪多长的油纸？解析：将圆筒侧面展开成平面图形，利用平面上两点之间线段最短求解，构造直角三角形，利用勾股定理来解决．解：如图②，在Rt△ABC中，因为AC＝36cm，BC＝108÷4＝27(cm)．由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝362＋272＝2025＝452，所以AB＝45cm，所以整个油纸的长为45×4＝180(cm)．方法总结：解决这类问题的关键就是转化，即把曲面转化为平面，曲线转化成直线，构造直角三角形，利用勾股定理求出未知线段长．探究点二：利用勾股定理解决实际问题如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A出发，沿北偏东53°方向走了400m 到达点B，然后再沿北偏西37°方向走了300m到达目的地C.求A、C两点之间的距离．解析：把实际问题中的角度转化为图形中的角度，找到直角三角形，利用勾股定理求解．解：如图，过点B作BE∥AD.∴∠DAB＝∠ABE＝53°.∵37°＋∠CBA＋∠ABE＝180°，∴∠CBA＝90°，∴AC2＝BC2＋AB2＝3002＋4002＝5002，∴AC＝500m，即A、C两点间的距离为500m.方法总结：此类问题解题的关键是将实际问题转化为数学问题；在数学模型(直角三角形)中，应用勾股定理或勾股定理的逆定理解题．三、板书设计通过观察图形，探索图形间的关系，培养学生的空间观念．在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想．在利用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学学习的魅力．学生每日提醒～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～励志名言：1、泰山不是垒的，学问不是吹的。
北师大版数学八年级上册第一章勾股定理第3节勾股定理的应用优秀教学案例
（三）学生小组讨论
1.教师给出具体的合作任务，如共同探究勾股定理的证明方法，分享解题心得等。
2.学生分组进行讨论，相互交流，共同解决问题。
3.教师巡回指导，关注学生的个体差异，给予有针对性的帮助。
（四）总结归纳
1.教师引导学生对所学内容进行总结，如勾股定理的定义、证明方法及其应用等。
北师大版数学八年级上册第一章勾股定理第3节勾股定理的应用优秀教学案例
一、案例背景
北师大版数学八年级上册第一章勾股定理第3节勾股定理的应用，旨在让学生通过探究、实践，掌握勾股定理在实际问题中的应用。本节内容与日常生活紧密相连，旨在培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
本节课的内容包括：理解勾股定理的应用场景，如直角三角形、矩形、正方形等；学会运用勾股定理解决实际问题，如计算直角三角形的斜边长度、判断一个四边形是否为矩形等；培养学生的合作交流能力，通过小组讨论、分享解题方法，提高学生对勾股定理应用的掌握程度。
三、教学策略
（一）情景创设
1.生活情境：以实际生活中的实例引入，如测量房屋面积、计算登机桥的长度等，让学生感受到勾股定理的实际应用。
2.媒体素材：运用多媒体课件、视频等素材，展示勾股定理的历史背景、发现过程，让学生深入了解勾股定理的来历。
3.问题情境：设计一些具有启发性的问题，如“为什么勾股定理适用于所有直角三角形？”“如何判断一个四边形是否为矩形？”等，激发学生的思考兴趣。
4.教师在小组合作过程中进行巡视指导，关注学生的个体差异，给予有针对性的帮助。
（四）反思与评价
1.引导学生对自己的学习过程进行反思，如“在学习勾股定理的过程中，你遇到了哪些困难？是如何克服的？”“你在解决问题时采用了哪些方法？效果如何？”等。
最新北师版八年级初二上册数学《勾股定理的应用》名师精品教案
1.3 勾股定理的应用第一环节：情境引入内容：情景1：多媒体展示：提出问题：从二教楼到综合楼怎样走最近？情景2：如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？意图：通过情景1复习公理：两点之间线段最短；情景２的创设引入新课，激发学生探究热情．效果：从学生熟悉的生活场景引入，提出问题，学生探究热情高涨，为下一环节奠定了良好基础．第二环节：合作探究内容：学生分为４人活动小组，合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后，汇总各小组的方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，总结出最短路线．让学生发现：沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形，研究“蚂蚁怎么走最近”就是研究两点连线最短问题，引导学生体会利用数学解决实际问题的方法．意图：通过学生的合作探究，找到解决“蚂蚁怎么走最近”的方法，将曲面最短距离问题转化为平面最短距离问题并利用勾股定理求解．在活动中体验数学建摸，培养学生与人合作交流的能力，增强学生探究能力，操作能力，分析能力，发展空间观念．效果：学生汇总了四种方案：（1） （2） （3） （4）学生很容易算出：情形（1）中A →B 的路线长为：'AA d +，情形（2）中A →B 的路线长为：'2dAA π+所以情形（1）的路线比情形（2）要短．学生在情形（3）和（4）的比较中出现困难，但还是有学生提出用剪刀沿母线AA ’剪开圆柱得到矩形，情形（3）A →B 是折线，而情形（4）是线段，故根据两点之间线段最短可判断（4）较短，最后通过计算比较（1）和（4）即可．如图：（1）中A →B 的路线长为：'AA d +． （2）中A →B 的路线长为：''AA A B +>AB ． （3）中A →B 的路线长为：AO +OB >AB ． （4）中A →B 的路线长为：AB ．得出结论：利用展开图中两点之间，线段最短解决问题．在这个环节中，可让学生沿母线剪开圆柱体，具体观察．接下来后提问：怎样计算AB ？在Rt △AA′B 中，利用勾股定理可得222'B A A A AB +'=，若已知圆柱体高为12cm ，底面半径为3cm ，π取3，则22212(33),15AB AB =+⨯∴=．注意事项：本环节的探究把圆柱侧面寻最短路径拓展到了圆柱表面，目的仅仅是让学生感知最短路径的不同存在可能．但这一拓展使学生无法去论证最短路径究竟是哪条．因此教学时因该在学生在圆柱表面感知后，把探究集中到对圆柱侧面最短路径的探究上．A’A’A’方法提炼：解决实际问题的关键是根据实际问题建立相应的数学模型，解决这一类几何型问题的具体步骤大致可以归纳如下：1．审题——分析实际问题；2．建模——建立相应的数学模型；3．求解——运用勾股定理计算；4．检验——是否符合实际问题的真实性．第三环节：做一做内容：李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺，（1）你能替他想办法完成任务吗？（2）李叔叔量得AD长是30厘米，AB长是40厘米，BD长是50厘米，AD边垂直于AB边吗？为什么？（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？解答：（2）2222+=+=30402500AD AB22500BD=222AD AB BD∴+=∴AD和AB垂直．意图：运用勾股定理逆定理来解决实际问题，让学生学会分析问题，利用允许的工具灵活处理问题．效果：先鼓励学生自己寻找办法，再让学生说明李叔叔的办法的合理性．当刻度尺较短时，学生可能会在上面解决问题的基础上，想出多种办法，如利用分段相加的方法量出AB，AD和BD的长度，或在AB，AD边上各量一段较小长度，再去量以它们为边的三角形的第三边，从而得到结论．北东CBA3220BA 第四环节：小试牛刀内容：1．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6 km/h 的速度向正东行走，1时后乙出发，他以5 km/h 的速度向正北行走．上午10：00，甲、乙两人相距多远？解答：如图:已知A 是甲、乙的出发点，10:00甲到达B 点，乙到达C 点．则: AB =2×6=12（km ） AC =1×5=5（km ） 在Rt △ABC 中:22222251216913BC AC AB =+=+==．∴BC =13（km ）．即甲乙两人相距13 km ．2．如图，台阶A 处的蚂蚁要爬到B 处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离．解答：2222152062525AB ∴=+==.3．有一个高为1.5 m ，半径是1m 的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5 m ，问这根铁棒有多长？解答：设伸入油桶中的长度为x m ． 则最长时:2221.522.5x x =+=．．∴最长是2.5+0.5=3（m ）． 最短时: 1.5x =． ∴最短是1.5+0.5=2（m ）．答:这根铁棒的长应在2～3m 之间． 意图：对本节知识进行巩固练习，训练学生根据实际情形画出示意图并计算． 效果：学生能独立地画出示意图，将现实情形转化为数学模型，并求解．第五环节：举一反三内容：1．如图，在棱长为10 cm 的正方体的一个顶点A 处有一只蚂蚁，现要向顶点B 处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1 cm/s ，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20 s 内从A 爬到B ？解：如图，在Rt △ABC 中: 222221020AB AC BC =+=+=500．∵500＞202 .∴不能在20 s 内从A 爬到B .2．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？解答：设水池的水深AC 为x 尺，则这根芦苇长为 AD =AB =（x +1）尺，在直角三角形ABC 中，BC =5尺. 由勾股定理得:BC 2+AC 2=AB 2. 即 52+ x 2=（x +1）2.25+x 2= x 2+2x +1. 2x =24.∴ x =12，x +1=13．答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺． 意图：BABABC第1题旨在对“蚂蚁怎样走最近”进行拓展，从圆柱侧面到棱柱侧面，都是将空间问题平面化；第2题，学生可以进一步了解勾股定理的悠久历史和广泛应用，了解我国古代人民的聪明才智；运用方程的思想并利用勾股定理建立方程．效果：学生能画出棱柱的侧面展开图，确定出AB位置，并正确计算．如有可能，还可把正方体换成长方体进行讨论．学生能画出示意图，找等量关系，设适当的未知数建立方程．注意事项：对于普通班级而言，学生完成“小试牛刀”，已经基本完成课堂教学任务．因此本环节可以作为教学中的一个备选环节，共老师们根据学生状况选用．第六环节：交流小结内容：师生相互交流总结：1．解决实际问题的方法是建立数学模型求解．2．在寻求最短路径时，往往把空间问题平面化，利用勾股定理及其逆定理解决实际问题．意图：鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获和感想，体会到勾股定理及其逆定理的广泛应用及它们的悠久历史．效果：学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获，总结出在寻求曲面最短路径时，往往考虑其展开图，利用两点之间，线段最短进行求解．并赞叹我国古代数学的成就．第七环节：布置作业1．课本习题1．4第1，2，3题．2．如图是学校的旗杆，旗杆上的绳子垂到了地面，并多出了一段，现在老师想知道旗杆的高度，你能帮老师想个办法吗?请你与同伴交流设计方案?注意事项：作业2作为学有余力的学生的思考题．教学设计反思本节从生动有趣的问题情景出发，通过学生自主探究，运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题，既巩固了基本知识点，又在将实际问题抽象成几何图形过程中，学会观察，提高分析能力，渗透数学建摸思想．在设计中，我注重以下两点：1．要充分利用好教材提供的素材“蚂蚁怎么走最近”是一个生动有趣的问题，让学生充满了探究的欲望，这个问题体现了二、三维图形的转化，对发展学生的空间观念很有好处．2．合理使用教材提供的练习本节课通过“小试牛刀”和“举一反三”把教材中的练习重组，使练习有梯度，既巩固了基本知识点，又训练了学生的应用能力．第一个作业让学生深入理解和应用勾股定理及逆定理．3．突破重点、突破难点的策略在教学过程中教师应通过情景创设，激发兴趣，鼓励引导学生经历探索过程，得出结论，从而发展学生的数学应用能力，提高学生解决实际问题的能力．4．分层教学根据本班学生实际情况可在教学过程中选择：基础训练——“小试牛刀”；提高训练——“举一反三”；拓展训练——作业第2题．5．评价方式根据新课标的评价理念，在教学过程中应关注学生的参与程度，关注活动中所反映出的思维水平，关注对实际问题的理解水平，关注学生对基本知识的掌握情况和应用勾股定理及逆定理解决实际问题的意识和能力．在教学过程中尊重学生的个体差异，对于学生的回答教师应给予恰当的评价与鼓励，并帮助学生树立学习数学的自信，充分发挥教育的价值．附：板书设计蚂蚁怎样走最近情境引入————小试牛刀：举一反三—————合作探究————１．——————１．——————２．——————２．——————３．——————课后作业：良好的学习态度能够更好的提高学习能力。
北师大版八年级数学上册《勾股定理的应用》精品教案
《勾股定理的应用》精品教案●教学目标：知识与技能目标：1.了解勾股定理的作用是“在直角三角形中已知两边求第三边”；而勾股逆定理的作用是由“三角形边的关系得出三角形是直角三角形”.2.掌握勾股定理及其逆定理，运用勾股定理进行简单的长度计算.过程与方法目标1.让学生亲自经历卷折圆柱.2.让学生在亲自经历卷折圆柱中认识到圆柱的侧面展开图是一个长方形（矩形）.3.让学生通过观察、实验、归纳等手段，培养其将“实际问题转化为应用勾股定理解直角三角形的数学问题”的能力.情感与态度目标1.在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想．2.在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性．●重点：勾股定理的应用.●难点：将实际问题转化为“应用勾股定理及其逆定理解直角三角形的数学问题”.●教学流程：一、课前回顾在一个直角三角形中三条边满足什么样的关系呢？勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.→逆命题：如果三角形的三边长a、b、c满足a2 + b2 = c2那么这个三角形是直角三角形。
二、情境引入探究1：有一个圆柱,它的高等于12厘米,底面半径等于3厘米,在圆柱下底面上的A点有一只蚂蚁,它想从点A爬到点B,蚂蚁沿着圆柱侧面爬行的最短路程是多少? （π取3）当圆柱高为12cm ，底面周长为18cm 时，蚂蚁怎么走最近呢？所走路程为高+直径=12+2×3=18cm所走路程为高 +πr=12+3×3=21cm在Rt △ABC 中，利用勾股定理可得， 222CB AC AB +=cm AB 1522591222=∴=+= 比较方案①②③，可得，方案③为最短路径，最短路径是15cm总结：1、线段公理两点之间，线段最短2、勾股定理在Rt △ABC 中，两直角边为a 、b,斜边为c ，则a 2+b 2=c 2.练习1：在底面半径为1、高为2的圆柱体的左下角A 处有一只蚂蚁，欲从圆柱体的侧面如图迂回爬行去吃左上角B 处的食物，问怎样爬行路径最短，最短路径是多少？从A 点向上剪开，则侧面展开图如图所示，连接AB ，则AB 为爬行的最短路径.最短路径πππ22221244AB）2（2+=+=+=拓展思考：在棱长为1的立方体的右下角A处有一只蚂蚁，欲从立方体的外表面爬行去吃右上角B处的食物，问怎样爬行路径最短，最短路径是多少？它有几种爬行方法？（注：每一个面均能爬行）现在，我们来一起画一个正方体。
2022年北师大版八年级上册《勾股定理的应用》精品教案
3勾股定理的应用【知识与技能】1.能运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题.2.学生观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念.3.在将实际问题抽象成几何图形的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.【过程与方法】在不同条件，不同环境中反复运用勾股定理及直角三角形的判定条件，使学生到达熟练、灵活运用的程度.在解决问题的过程中，培养学生的空间观念，提高学生建立数学模型的能力.【情感态度】通过解决实际问题，提高了学生应用数学的意识和锻炼了学生与他人交流合作的意识，再次感悟勾股定理和直角三角形判定的应用价值.【教学重点】探索发现给定事物中隐含的勾股定理及直角三角表判定条件，并用它们解决生活中的实际问题.【教学难点】利用数学中的建模思想构造直角三角形，灵活运用勾股定理及直角三角形的判定，解决实际问题.一、创设情境，导入新课勾股定理的应用前几节课我们学习了勾股定理，你还记得它有什么作用吗？例如：欲登12米高的建筑物，为平安需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需要多长的梯子？日常生活当中，我们还会遇到下面的问题.【教学说明】回忆勾股定理，稳固旧知识，解决实际问题，完成知识的过渡，为学生学习新知识又一次打下了坚实的根底.二、思考探究，获取新知蚂蚁怎么走最近？出示问题：有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米.在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？〔π的取值3〕.〔1〕同学们可自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？〔2〕如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A点到B点的最短路线是什么？你画对了吗？〔3〕蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱的侧面爬行的最短路程是多少？【教学说明】让学生经历把曲面上两点之间的距离转化为平面上两点之间线段最短更为直观，再次利用勾股定理解决生活中较为复杂的实际问题，使所学的知识得到充分运用.【归纳结论】我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形.好了，现在咱们就用剪刀沿母线AA′将圆柱的侧面展开〔如下列图〕.我们不难发现，刚刚几位同学的走法：哪条路线是最短呢？你画对了吗？“两点之间的连线中线段最短〞.三、运用新知，深化理解∶00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走.1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北进行，上午10∶00，甲、乙两人相距多远？2.如图，有一个高1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，铁棒在油桶外的局部是0.5米，问这根铁棒应有多长？【教学说明】学生独立解决，把生活中的实际问题转化为解直角三角形，对学生所学的知识进行强化，以利于教师及时纠正.【答案】1.分析：首先我们需要根据题意将实际问题转化成数学模型.解：〔如图〕根据题意，可知A是甲、乙的出发点，10∶00时甲到达B点，那么AB=2×6=12〔千米〕；乙到达C点，那么AC=1×5=5〔千米〕.在Rt△ABC中，BC2=AC2+AB2=52+122=169=132，所以BC=13千米.即甲、乙两人相距13千米.2.分析：从题意可知，没有告诉铁棒是如何插入油桶中，因而铁棒的长是一个取值范围而不是固定的长度，所以铁棒最长时，是插入至底部的A点处，铁棒最短时是垂直于底面时.解：设伸入油桶中的长度为x米，那么应求最长时和最短时的值.〔1〕x22+22，x2所以最长是2.5+0.5=3〔米〕.〔2〕x=1.5，最短是1.5+0.5=2〔米〕.答：这根铁棒的长应在2～3米之间〔包含2米、3米〕.四、师生互动，课堂小结通过本节课的学习，你掌握了哪些知识？还有哪些疑问？【教学说明】学生梳理知识，加强教与学的互通，进一步提高课堂教学的效果.P14~15第1、2、3、4题.2.完成练习册中本课时相应练习.这节课的内容综合性比拟强，可能有些同学掌握得不是太好，今后要继续加强这方面的训练.6.3 从统计图分析数据的集中趋势一、学生知识状况分析学生的知识技能根底：学生在前面的数学学习中，已掌握了条形统计图、扇形统计图等统计图的画法，并能从条形统计图、扇形统计图等统计图表中获取信息，解决一些相关问题。
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《勾股定理的应用》精品教案
●教学目标：
知识与技能目标：
1.了解勾股定理的作用是“在直角三角形中已知两边求第三边”；而勾股逆定理的
作用是由“三角形边的关系得出三角形是直角三角形”.
2.掌握勾股定理及其逆定理，运用勾股定理进行简单的长度计算.
过程与方法目标
1.让学生亲自经历卷折圆柱.
2.让学生在亲自经历卷折圆柱中认识到圆柱的侧面展开图是一个长方形（矩形）.
3.让学生通过观察、实验、归纳等手段，培养其将“实际问题转化为应用勾股定理
解直角三角形的数学问题”的能力.
情感与态度目标
1.在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数
学建模的思想．
2.在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性．
●重点：
勾股定理的应用.
●难点：
将实际问题转化为“应用勾股定理及其逆定理解直角三角形的数学问题”.
●教学流程：
一、课前回顾
在一个直角三角形中三条边满足什么样的关系呢？
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
→逆命题：如果三角形的三边长a、b、c满足a2 + b2 = c2那么这个三角形是直角三角形。
二、情境引入
探究1：有一个圆柱,它的高等于12厘米,底面半径等于3厘米,
在圆柱下底面上的A点有一只蚂蚁,它想从点A爬到点B,蚂蚁沿着圆柱
侧面爬行的最短路程是多少? （π取3）
当圆柱高为12cm ，底面周长为18cm 时，蚂蚁怎么走最近呢？
所走路程为高+直径=12+2×3=18cm
所走路程为高 +πr=12+3×3=21cm
在Rt △ABC 中，利用勾股定理可得， 222CB AC AB +=
cm AB 1522591222=∴=+= 比较方案①②③，可得，方案③为最短路径，最短路径是15cm
总结：1、线段公理
两点之间，线段最短
2、勾股定理
在Rt △ABC 中，两直角边为a 、b,斜边为c ，则a 2+b 2=c 2.
练习1：在底面半径为1、高为2的圆柱体的左下角A 处有一只蚂蚁，欲从圆柱体的侧面如图迂回爬行去吃左上角B 处的食物，问怎样爬行路径最短，最短路径是多少？
从A 点向上剪开，则侧面展开图如图所示，连接AB ，则
AB 为爬行的最短路径.
最短路径 πππ2
2221244AB ）2（2+
=+=+=
拓展思考：在棱长为1的立方体的右下角A 处有一只蚂蚁，欲从立方体的外表面爬行去吃右上角B 处的食物，问怎样爬行路径最短，最短路径是多少？它有几种爬行方法？（注：每一个面均能爬行）
现在，我们来一起画一个正方体。
该正方体共有六个面，上下，左右，前后
我们来看这个正方体的展开与合上的过程，大家可以发现什么？点B 分散到了四个地方。
所以由点A 到点B 有六种路径
三、自主思考
探究2：李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂
直于底边AB，但他随身只带了卷尺
（1）你能替他想办法完成任务吗？
（2）李叔叔量得AD长是30厘米，AB长是40厘米，BD长是50
厘米，AD边垂直于AB边吗？为什么？
解答：（2）2222
+=+=
AD AB
30402500
22500
BD=
222
∴+=
AD AB BD
∴AD和AB垂直．
（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB 边吗？BC边与AB边呢？
当刻度尺较短时，学生可能会在上面解决问题的基础上，想出多种办法，如利用分段相加的方法量出AB，AD和BD的长度，或在AB，AD边上各量一段较小长度，再去量以它们为边的三角形的第三边，从而得到结论．
四、合作探究
探究3：在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它
高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
解答：设水池的水深AC 为x 尺，则这根芦苇长为
AD =AB =（x +1）尺，
在直角三角形ABC 中，BC =5尺.
由勾股定理得:BC 2+AC 2=AB 2.
即 52+ x 2=（x +1）2.
25+x 2= x 2+2x +1.
2x =24.
∴ x =12，x +1=13．
答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺．
练习2：一个门框的尺寸如图所示，一块长3m ，宽2.2m 的薄木板能否从门框内通过?为什么?
连结AC,在Rt △ABC 中,根据勾股定理,
52122222=+=+=BC AB AC
因此,AC= 5≈ 2.236 因为AC__大于____木板的宽,
所以木板__能__ 从门框内通过.
总结：１、立体图形中路线最短的问题:
➢
把立体图形展开，得到平面图形． ➢ 根据“两点之间，线段最短” 确定行走路线，根据勾股定理计算出最短距离． ２、解决实际问题:
➢
将实际问题抽象为数学问题. ➢
构建直角三角形模型，运用勾股定理解决实际问题．
五、达标测评
1. 在△ABC 中，∠B =90°AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b 。
⑴若a =9，b =15，则c = 12 ；
⑵若a =6，c =8，则b = 10 ；
c a b A
B C
⑶已知a :c =3:4, b =25,求 c = __20__.
2. 现准备将一块形为直角三角形的绿地扩大，使其仍为直角三角形，两直角边同时扩大到原来的两倍，问斜边扩大到原来的__2___倍?
3．如图，学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花园内走出了一条“路”，仅仅少走了___4_____步路, 却踩伤了花草.（假设1米为2步）
4.如图,圆锥的底面半径为1,母线长为4,一只蚂蚁要从底面圆周上一点B 出发,沿圆锥侧面爬行一圈再回到点B,问它爬行的最短路线是多少?
我们来看圆锥的侧面展开图，连接BB ’，则BB ’为蚂蚁爬行的最短路径.
解:设圆锥的侧面展开图为扇形ABB ’, ∠BAB ’=n °
连接BB ’,即为蚂蚁爬行的最短路线
∵ 圆锥底面半径为1,母线长为4
∴ 2π= n=90°
∴ △ABB ’是直角三角形
4n π
180
∴ BB ’=244422=+
答:蚂蚁爬行的最短路线为 24
5、如图，要登上8米高的建筑物BC ，为了安全需要，需使梯子底端离建筑物距离AB 为6米，问至少需要多长的梯子？
解：在Rt △ABC 中根据勾股定理得：
AC 2= 62 + 82
=36+64
=100
即：AC=10
答：梯子至少长10米。
六、应用提高
1．一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图14.2.3的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?
图14.2.3
分析由于厂门宽度足够，所以卡车能否通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH ．如图１４.２.３所示，点D 在离厂门中线0.8米处，且CD ⊥ＡＢ， 与地面交于H ．
解 ：OC ＝1米 (大门宽度一半)，
OD ＝0.8米 （卡车宽度一半）
在Rt △OCD 中，由勾股定理得
ＣＤ＝22OD OC -＝228.01-＝０.６米，
C Ｈ＝０.６＋２.３＝２.９（米）＞２.５（米）．
因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门．
2.一辆高３米，宽2.4米的卡车要通过一个半径为
3.6米的半圆形隧道，它能顺利通过吗？
解：AB 2=3.62-1.22=12.96-1.44= 11.52
∵11.52＞32
七、体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1、学会用勾股定理求解问题。
2、将实际问题抽象成数学图形。
3、理解了数形结合的思想。
七、布置作业
教材15页习题第3、4题。