精品文档-随机过程——计算与应用(研究生)(冯海林)-平稳过程4

e
j
RY
(
)d
1 e j (1 )d 1
1
20 (1 ) cos( )d
2(1 cos) 2
,
(, )
随机过程引论—西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
例5.4.3. 设平稳过程X的功率谱密度为
SX
()
4
2 3
2
2
计算X的平均功率.
解 利用维纳-辛钦公式得：
RX
(0)
1
2
e
j
0
证明 mY (n)=E[ ck X nk ] = ckE[X nk ] 0
k
k
RY (n, n m)=E[YnYnm]
+
+
E[ ck X nk cl Xnml ]
k=-
l =-
+
E[
(ck X nk )cl X nml ]
k=- l =-
+
ck cl E[ X nk X nml ]
)d
S（X -） S（X -） S（X ）
随机过程引论—西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
(3)
S（X 0）
RX ( )d
说明谱密度的零频率分量等于相关函数曲线下的总面积.
RX
(0)
1
2
S（X ）d
平均功率
即 lim 1 T 2T
E
T T
Xt
2 dt RX (0)
说明平均功率可以用谱密度曲线下的总面积来计算.
4 , 42 2
(, )
随机过程引论—西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
例5.4.2 设X={Xt, -∞<t<+∞ }为零均值的实的正交增量过程
，
E[Xt -X且s ]满2 足t s , Yt Xt -Xt1,
t (,令)
验证 Y={Yt, -∞<t<+∞ }为平稳过程，并计算Y的谱密 证度明. mY (t) E[Xt -Xt1]=0,
S
X
()d
1
2
4
2 3
2
d
2
1
2
(
2 2 2
211)d
1 2
(
2 1).
随机过程引论—西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
例5.4.4. 已知平稳过程的功率谱密度为
S
X
(
)
2 2 4 5 2
1
计算 相关函数.
解
RX ( )
1
2
e
j
S
X
(
)d
1
2
e j
( 2
2 2 4)( 2
k l =-
+
2 ckckm RY (m) k=-
Y为平稳序列.
随机过程引论—西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
+
又
RY (m)
2 ckckm
m
m k=-
+
2
ck ck m
m k=-
+
2
ck cl
k=- l
令 kml
2 ( ck ) cl
k
l
SX
()
lim
T
1 2T
E
T T
e
jt
X t dt
2
则称SX ()为平稳过程X的功率谱密度.简称谱密度.
又称
1
lim E[ T 2T
T T
Xt
2 dt]
为平稳过程X的平均功率.
随机过程引论—西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
定理5.4.1 设平稳过程X={Xt -∞<t<+ ∞}的相关函数RX(τ)
Fx ()
x(t)e jt dt,
逆变换
x(t)
1
2
Fx ()e jtd
则有 x2 (t)dt
x(t)[
1
2
Fx ()e jtd]dt
1
2
[Fx ()
x(t)e jtdt]d
1
2
2
Fx () d
上式称为Parseval等式，即
随机过程引论—西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
lim 1 T x2 (t)dt
T 2T T 为信号x(t)在(-,+)上的平均功率.
相应的是否也有一个能计算平均功率的谱密度？
为此构造一个截尾函数:
令
xT
(t
)
x(t 0
)
t T t T
随机过程引论—西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
则xT (t)绝对可积,存在Fourier变换及逆变换
1 2T
T T
T T
e
j ( t s )
RX
(t
s)dsdt
令
u v
t t
s s
,
则
s t
1 2
1 2
(v (v
u) u)
J
(s,t ) (u,v)
1 2
1
1
2 1
1 2
22
2T 2T
e
jwu
(1
u 2T
)RX
(u)du
e jwuRT (u)du
X
令
RXT
(u)
（ 1
u 2T
)RX
随机过程引论—西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
谱密度的计算 以维纳-辛钦公式为基本公式,并结合Fourier变换的性质等 进行相关的计算.
Fourier变换的性质
● 线性性质 [ f1(t) f2 (t)] [ f1(t)] [ f2(t)]
● 位移性质 [ f (t t0 )] e jt0 [ f (t)]
2
则称SX ()为平稳过程X的功率谱密度.简称谱密度.
随机过程引论—西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
一些预备知识 信号通常有能量型和功率型 能量型信号— 总能量有限的信号 设能量型信号x(t)在 (-∞,+∞)上绝对可积，则x(t)的Fouier变 换存在 ，或说x(t) 存在频谱，即
随机过程引论—西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
谱密度的性质
平稳过程的谱密度有以下性质： （1）谱密度是非负实函数.
由SX
()
lim
T
1 2T
E
T T
e
jt
X
t
dt
2
易知结论成立.
（2）实平稳过程的谱密度是非负实偶函数.
事实上，对实平稳过程, 有RX ( ) RX ( )
S（X ）
e
j
RX
(
)d
e
j
RX
(
)d
e
j( )
RX
(
Fx (,T )
e
jt
xT
(t
)dt
T e jt x(t)dt T
得截尾函数的Parseval等式
xT2 (t)dt
T x2 (t)dt
T
1
2
Fx (,T )
2
d
随机过程引论—西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
则平均功率
lim 1
T 2T
T x2 (t)dt lim 1
过程,则XS和XYY(的)互功Tli率m谱21T密E度[F(X简(称,T互)谱FY密(度,T)为)]
其中
FX (,T )
T T
e
jt
X
t
dt
,
FY (,T )
T T
e
jtYt
dt
随机过程引论—西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
互谱密度的性质
(1)联合平稳的平稳过程X={Xt, -∞<t<+ ∞}和Y={Yt, -∞<t<+ ∞} 的互相关函数绝对可积:
（2 ck ）2 k
所以Y 存在谱密度.
随机过程引论—西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
Y的谱密度
S（Y ） e jmRY (m)
+
(RY (m) 2 ckckm ) 代入 k=-
m
+
e jm[ 2 ck ck m ]
m
k=-
+
2
[ e jm ck ck m ]
d
1)
(利用留数定理)
随机过程引论—西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
1 2 j[Res(
2 2
e j , j) Res(
2 2
e j , 2 j)]
2
(2 4)(2 1)
(2 4)(2 1)
j( 1 e 1 e2 )
6j
6j
1 (e e2 ) 6
其中，Res(
(
2
2 2 4)(2
1)
e
j
,
j) lim( j
j
)
(
2
2 2 4)(2
1)
e
j
1 e 6j
Res(
2 2
e j , 2 j) lim ( 2 j)
2 2
e j 1 e2
(2 4)(2 1)
2 j
(2 4)(2 1)
6j
随机过程引论—西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
在工程实际中，常用到 -函数的傅里叶变换和逆变换
E[Xn ] 0,
E[XmXn
]=
2 mn
,
n, m 0, 1,...
{cn , n 0, 1, }为一复数序列,且 cn , cn 2 ,令
n
n
N
Yn
=
k
ck
X
nk
=
l.i.m
M N
k
M
ck
X
nk
验证 序列Y={Yn, n=0, ±1, …}为平稳序列，并计算其谱密 度.
随机过程引论—西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
平稳过程的功率谱密度 ➢ 在无线电、通信技术等领域的一些问题中, 通常需要分析
平稳过程的频域结构. ➢ 为此引入平稳过程的功率谱密度
随机过程引论—西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
定义5.4.1
设X={Xt, -∞<t<+ ∞}是平稳过程,记
SX
()
lim
T
1 2T
E
T T
e
jt
X t dt
x2 (t)dt 1
2
2
Fx () d
左边为x(t)在(-,+)上的总能量
右边的被积式 Fx () 2 称为信号x(t)的能谱密度.
即信号的总能量等于能谱密度在全频域上的积分.
随机过程引论—西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
对总能量无限的信号—功率型信号x(t) ，转为讨论其平均功率：
，即
RX (m)
m
则以下级数收敛，
S（X ） e jmRX (m), m
称S（X ）为平稳序列X的谱密度.
绝对收敛
且也有反变换 :
1
RX (m) 2
e
jm
S（X ）d,
m 0, 1, 2,
随机过程引论—西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
例5.4.8 设X={Xn, n=0, ±1,…}为纯随机序列,即有
RY (t, t ) E[(Xt -Xt1)(Xt -Xt 1)]
EE[[((XXtt
-Xt -Xt
1 1
)]2 )]2
, ,
0 1 1 0
0,
1
1 , 0 1 1 , 1 0
0, 1
1 ,
0,
1
,
1
随机过程引论—西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
所以谱密度 S（Y ）
(u)
0
u 2T ,
u 2T
令T
，注意到有：lim T
RXT
(u)
RX
(u)
得
随机过程引论—西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
SX
()
lim
T
1 2T
E
T T
e
jt
X t dt
2
= lim e jwu RT (u)du
T
X
e
jwu
RX
(u)du
随机过程引论—西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
SX () [RX ( )]
5 [1] 2 [e3 ] 2 [e3 cos 4 ]
10 ()
12
9 2
2[
9
3
(
4)2
9
3
(
4)2
]
随机过程引论—西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
平稳序列谱密度的相应概念和结论
设平稳序列X={Xn, n=0, ±1,…} 的相关函数RX (m)
m k=-
令 kml
+
2
e jlc（l e jk ck）
k l =-
+
+
2
2 ( e jkck ) e jlcl 2
ck e jk
k=-
l =-
k
随机过程引论—西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
互谱密度及其性质
设源自文库={Xt, -∞<t<+ ∞}, Y={Yt, -∞<t<+ ∞}是联合平稳的平 稳
绝对可积,则有
SX ()
e
jt
RX
(
)dt
证明 因为
1E 2T
T T
e
jt
X t dt
2
1 2T
E[
T T
e
js
X
s
ds
T T
e
jt
X
t
dt
]
1
T
E[
2T T
T T
Xs
Xte
j (t s ) dsdt ]
1 2T
T T
T T
e
R j ( t s ) X
(t
s)dsdt
随机过程引论—西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
T
T 4 T
2
Fx (,T ) d
1
1
lim
T
2
e jt x(t)dt d
2 T 2T T
记
S（x ）
lim
T
1 2T
T e jt x(t)dt 2
T
称S（x ）为x(t)的功率谱密度.
随机过程引论—西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
定义5.4.1
设X={Xt, -∞<t<+ ∞}是平稳过程,记
● 微分性质 [ f (n) (t)] ( j)n [ f (t)]
随机过程引论—西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
例5.4.1 设平稳过程X={Xt, t≥0}的相关函数为
RX ( ) e2 , (, )
试计算X的谱密度.
解
谱密度 S（X ）
e
j
RX
(
)d
e j e2 d
2 cos( )e2 d 0
由定理5.4.1知道 若平稳过程X={Xt -∞<t<+ ∞}的相关函数 RX(τ)绝对可积,则有
S（X ）
e
j
RX
(
)d
,
RX
(
)
1
2
e
j
S（X ）d,
上式表明相关函数和谱密度是一对傅里叶变换对. 上两式也称为维纳-辛钦公式.
➢ 傅里叶变换实现了时域与频域的转换.
随机过程引论—西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
e
j ( )d 1
e
1
jd ( )
2
e
1
jd 2 ()
e
1
j 2 ()d 1
2
随机过程引论—西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
例5.4.6. 已知平稳过程的相关函数
RX ( ) 5 4e3 (cos2 2 )
求其谱密度.
解 RX ( ) 5 2e3 2e3 cos 4 )