2020年江苏省南通市海安高中高考数学模拟试卷(3月份)

2020年江苏省南通市海安高中高考数学模拟试卷（3月份）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上.

I．

1．（5分）已知集合{|02}

=>，则A B=

A x x

B x x

=<<，{|1}

2．（5分）复数(1)

=-的共轭复数在复平面内对应的点位于第象限．

z i i

3．（5分）为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40，80]中，其概率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[40，60)内的有辆．

4．（5分）袋中装有5个大小相同的球，其中3个黑球，2个白球，从中一次摸出2个球，则摸出1个黑球和1个白球的概率等于．

5．（5分）在一次知识竞赛中，抽取5名选手，答对的题数分布情况如表，则这组样本的方差为．

答对题数48910

人数分布1121

6．（5分）如图所示的算法流程图中，最后输出值为．

7．（5分）已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面． ①若m α⊂，m β⊥，则αβ⊥，

②若m α⊂，n αβ=I ，αβ⊥，则m n ⊥； ③若m α⊂，n β⊂，//αβ，则//m n ； ④若//m α，m β⊂，n αβ=I ，则//m n ．

上述命题中为真命题的是 （填写所有真命题的序号）．

8．（5分）公元五世纪张丘建所著《张丘建算经》卷22题为：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何”．题目的意思是：有个女子善于织布，一天比一天织得快（每天增加的数量相同），已知第一天织布5尺，一个月(30天）共织布9匹3丈，则该女子每天织尺布的增加量为 尺． (1匹4=丈，1丈10=尺）

9．（5分）若cos 2cos()4παα=+，则tan()8

π

α+= ．

10．（5分）如图，已知O 为矩形ABCD 内的一点，且2OA =，4OC =，5AC =，则OB OD =u u u r u u u r

g ．

11．（5分）已知关于x 的方程||()1x x a -=在(2,)-+∞上有三个相异实根，则实数a 的取值范围是 ．

12．（5分）已知0a >，0b >，且

111a b +=，则32b

a b a

++的最小值等于 ． 13．（5分）如图，已知8AC =，B 为AC 的中点，分别以AB ，AC 为直径在AC 的同侧作半圆，M ，N 分别为两半圆上的动点（不含端点A ，B ，)C ，且BM BN ⊥，则AM CN u u u u r u u u r

g 的

最大值为 ．

14．（5分）若关于x 的不等式3230x x ax b -++<对任意的实数[1x ∈，3]及任意的实数[2b ∈，4]恒成立，则实数a 的取值范围是 ．

二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15．（14分）已知ABC ∆内接于单位圆，且(1tan )(1tan )2A B ++=， （1）求角C

（2）求ABC ∆面积的最大值．

16．（14分）如图，在四面体ABCD 中，AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点，点F 在线段AC 上，且

AF

AC

λ=． （1）若//EF 平面ABD ，求实数λ的值； （2）求证：平面BCD ⊥平面AED ．

17．（14分）如图，长方形材料ABCD 中，已知23AB =，4AD =．点P 为材料ABCD 内部一点，PE AB ⊥于E ，PF AD ⊥于F ，且1PE =，3PF =．现要在长方形材料ABCD 中裁剪出四边形材料AMPN ，满足150MPN ∠=︒，点M ，N 分别在边AB ，AD 上． （1）设FPN θ∠=，试将四边形材料AMPN 的面积S 表示为θ的函数，并指明θ的取值范围；

（2）试确定点N 在AD 上的位置，使得四边形材料AMPN 的面积S 最小，并求出其最小值．

18．（16分）已知椭圆222:9(0)E x y m m +=>，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与E 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．

（1）若3m =，点K 在椭圆E 上，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，求12KF KF u u u r u u u u r

g 的范围；

（2）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （3）若l 过点(,

)3

m

m ，射线OM 与椭圆E 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时直线l 斜率；若不能，说明理由．

19．（16分）已知函数()x f x ae =，()g x lnx lna =-，其中a 为常数，且曲线()y f x =在其与

y 轴的交点处的切线记为1l ，曲线()y g x =在其与x 轴的交点处的切线记为2l ，且12//l l ．

（1）求1l ，2l 之间的距离；

（2）若存在x 使不等式

()

x m

x f x ->成立，求实数m 的取值范围； （3）对于函数()f x 和()g x 的公共定义域中的任意实数0x ，称00|()()|f x g x -的值为两函数在0x 处的偏差．求证：函数()f x 和()g x 在其公共定义域内的所有偏差都大于2． 20．（16分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，23n n S a +=，*n N ∈． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 满足：

对于任意的*n N ∈，都有11213211

()333

n n n n n a b a b a b a b n ---+++⋯+=+-成立．

①求数列{}n b 的通项公式；

②设数列n n n c a b =，问：数列{}n c 中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由．

【选做题】.本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修4-1：几何证明选讲]

21．如图，四边形ABCD 内接于圆O ，弧¶AB 与弧¶AD 长度相等，过A 点的切线交CB 的延长线于E 点．求证：2AB BE CD =g ．

四.[选修4-2：矩阵与变换]

22．已知矩阵2132A ⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦，列向量x X y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦r ，47B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

r ，且AX B =r r ． （1）求矩阵A 的逆矩阵1A -； （2）求x ，y 的值．

[选修4-4：坐标系与参数方程]