第6节 一阶和二阶常系数线性差分方程

y x 2 x (2) 2 x 2( x (2) x (1) ) 2( 1 x (3) 1 x (2) ) 2 x( x 1)( x 2) x( x 1) 所以 y x 3 2 3 2 3 2 3 1 2 2 2 ( x 3 x 2 x) x x x x x 3 3 3 2 3 1 2 通解为 y x x x x A ( A为任意常数) 3 3
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第7章
微分方程与差分方程
例1 求差分方程 y x 1 3 y x 2 的通解 解 由题意 a 3 1 , c 2 ,
代人 (2) 式得通解
yx A 3x 1
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第7章
微分方程与差分方程
x
(2)
f ( x ) cb (其中c , b 1 均为常数)
y x 9 6 x 3 x 2 A 2 x ( A为任意常数)
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第7章
微分方程与差分方程
例4 解
y x 1 y x 2 x 2 的通解 求差分方程
方程转化为 y x 2 x 2
而
故
x 2 x( x 1) x x (2) x
求出它的一个特解。
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第7章
微分方程与差分方程
y x 1 2 y x 3 x 2的通解 例3 求差分方程 B B x B x2 ， 代人原方程 解 设 y
x 0 1 2
B0 B1 ( x 1) B2 ( x 1) 2 B0 2 B1 x 2 B2 x 3 x
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第7章
微分方程与差分方程
取 当 a 1 时， s 1 ， 此时将
x( B B x B x n ) yx 0 1 n
确定出 B0 , B1 , B2 ,, Bn 比较同次系数， 代人方程， 这种情况下，方程的左端为 得到方程的特解。
y x , 方程为 y x cx n ， 可将 x n 化成 x ( n ) 的形式
y x 2 a y x 1 by x f ( x ) (4) (其中a , b 0 均为常数，f ( x ) 是已知函数)
的差分方程称为二阶常系数线性差分方程。 当 f ( x ) 0 时，方程（4）称为非齐次的； 当 f ( x ) 0 时，方程
y x 2 a y x 1 by x 0 (5)
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第7章
微分方程与差分方程
y 取 当 a 1 时， s 1 ，将 x kx 代人方程得
而当 a 1时， y k c , 此时方程的特解为 x cx ，
y A ， 故此方程的 对应的齐次方程的通解为 x
通解为
y x A cx ( A为任意常数) (2)
求价格随时间变化的规律。
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第7章
微分方程与差分方程
解 假设在每一时期中价格总是确定在
即 市场出清的水平上， St Dt ，因此得到
c dPt 1 a bPt bPt dPt 1 a c
d ac 由于 d 0, b 0 Pt Pt 1 b b
这种解法称为迭代法。
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第7章
微分方程与差分方程
2）一般解法
是方程（1）的一个特解， 若 yx a f ( x) y y
x 1 x
即
它与方程（1）相减得
( y x 1 x 1 ) a ( y x x ) 0 y y
y 即 令 Yx y x 1 x 1 ， Y x 是对应齐次方程的解，
由前面知， x ( A为任意常数) 也是齐次方程的解 AY
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第7章
微分方程与差分方程
x
y 由通解的定义知， AYx 是齐次方程的通解，
y y 而 x 是非齐次方程的一个特解，故 AYx x 是
而且含有任意常数， 非齐次方程的解， 因此是
非齐次方程（1）的通解。 非齐次方程 y x 1 a y x f ( x ) 通解
*§7.6 一阶和二阶常系数线性 差分方程
1. 一阶常系数线性差分方程 2. 二阶常系数线性差分方程
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第7章
微分方程与差分方程
1. 一阶常系数线性差分方程
形如
y x 1 a y x f ( x ) (a为非零常数) (1)
的方程称为一阶常系数线性差分方程。其中
特解，因此 y Aa ( A为任意常数) 是它的通解
x
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x
第7章
微分方程与差分方程
再求非齐次方程 y x 1 a y x f ( x ) 的特解
(1) f ( x ) c (c为常数) y x 1 a y x c (2)
方程转化为
依次将 利用迭代法 设给定初值 y0 ，
y x 1 a y x cb x (3)
方程转化为
y 利用待定系数法 设方程具有形如 x kx s b x
的特解
kb x， 取 代人方程得 当 b a 时， s 0 ， y x 即
cb x c y k 于是 x ba ba
kb x 1 akb x cb x
x x 1
1,2 i
y r x ( A1 cos x A2 sin x ) x
A1 , A2 为任意常数。
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4b a 2 2 2 , 其中 r b , tan a
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第7章
微分方程与差分方程
例5 在农业生产中，种植先于产出及产 品的出售一个适当的时期， 时期该产品的价 t 格 Pt 决定着生产者在下一时期愿意在市场上
P 提供的产量 St 1 ， t 还决定着本期该产品的需
因此有 求量 Dt，
Dt a bPt , St c dPt 1 (a , b, c , d均为正常数)
1 ax x ( x 0,1,2,) 当 a 1 时，y x a y0 c 1 a c c x ( y0 )a 1 a 1 a
当 a 1 时， y x y0 c x
( x 0,1,2,)
可以验证在这两种情况下 y x 均为方程的解。
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x 0,1,2, 代人方程得 y1 a y0 c
y2 a y1 c a y0 c(1 a )
2
y3 a y2 c a 3 y0 c(1 a a 2 )
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第7章
微分方程与差分方程
因此猜想方程的解为
y x a x y0 c(1 a a 2 a x 1 )
将 设 y0 已知， x 0,1 ,2 , 依次代人 y x 1 a y x
中得 y1 ay0 , y2 ay1 a y0 , y3 ay2 a y0 ,
2 3
y x a x y0 ( x 0,1,2,) , 可以验证， 一般地， y x a x y0 满足差分方程， 因此是差分方程的解
x2 a x1 b x 0
a a 2 4b 称为特征根。 2
2 a b 0 称其为（5）的特征方程
第7章
微分方程与差分方程
根据特征根的情况确定方程通解的形式
特征根 通 解
1 1 实数
a 1 1 2
y A11x A22x x y ( A1 A2 x )
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第7章
微分方程与差分方程
例2
1 5 x 求差分方程 y x 1 y x ( ) 的通解 2 2 1 5 由题意 a , b , c 1 , 2 2
解
代人 (3) 式得通解
1 x 1 5 x y x A( ) ( ) 2 2 2
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第7章
微分方程与差分方程
y 利用待定系数法 设方程具有 x kx s形式
的特解。 当 a 1 时， s 0 ，代人方程得 k ak c 取
c c k , 所以方程的特解为 y x 1 a 1 a
又因对应的齐次方程的通解为 y Aa
x
x
x
c ( A为任意常数) 故此方程的通解为 y x Aa 1 a (2)
称其为方程（4）对应的齐次方程。
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第7章
微分方程与差分方程
二阶常系数线性差分方程的通解 =对应的齐次方程的通解+非齐次方程的特解 1）二阶常系数线性齐次差分方程的通解
设 Yx x ( 0) 为一特解， 代人方程 （5）得
其根 1,2
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y x AYx x y
齐次方程 的通解
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( A为任意常数)
非齐次方 程的特解
第7章
ຫໍສະໝຸດ Baidu
微分方程与差分方程
首先求齐次方程 y x 1 a y x 0 的通解
设 Yx x ( 0) 是此方程的一个特解，
代人方程中得 x1 a x 0 ( 0) 其根 a a 0 称为特征方程， 称为特征根，故 Yx a x 是此齐次方程的一个
得差分方程
d 所以 1 ，故方程是形如（2）的方程， b
按 (2) 求解。
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第7章
微分方程与差分方程
方程的特解为 P t a c 于是， bd d t 所求问题的 对应的齐次方程的通解为 A( ) ， b d t ac 通解为 Pt A( ) b bd
代人通解得 P 当 t 0 时， t P（初始价格）， 0
ac A P0 , 则满足初始条件的特解为 bd ac d t ac Pt ( P0 )( ) bd b bd
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第7章
微分方程与差分方程
2. 二阶常系数线性差分方程
形如
第7章
微分方程与差分方程
n
(3)
f ( x ) cx (c 为常数)
y x 1 a y x cx n (4)
方程转化为
xs (B B x B xn ) 设方程具有形如 y x 0 1 n
的特解。 B B x B xn 取 当 a 1 时， s 0 ， y x 将 0 1 n 确定出 B0 , B1 , B2 ,, Bn 比较同次系数， 代人方程， 对于 f ( x ) 是一般的 n 次多项 得到方程的特解。 式的情况可类似求解。
f ( x ) 为已知函数，y x 为未知函数， f ( x ) 0 当
时，方程（1）称为非齐次的； 时，方程（1）称为齐次的。
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当 f ( x) 0
第7章
微分方程与差分方程
一阶常系数线性差分方程的解法 1）齐次方程 y x 1 a y x 0 (a为非零常数) 的解法
2 2
2
( B0 B1 B2 ) ( B1 2 B2 ) x B2 x 2 3 x 2
比较系数得 B0 9 , B1 6 , B2 3
9 6 x 3 x 2 原方程的特解为 y x
对应齐次方程的通解为 A 2 x 故原方程的通解 ，
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第7章
微分方程与差分方程
当 b a 时，取 s 0 ，
cb 通解为 y x Aa ba
x x
( A为任意常数) (3)
当 b a 时，取 s 1 ，
y x Aa x cxb x 1 通解为
( A为任意常数) (3)
（自己推出）