余角与补角公开课课件
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人教版七年级数学下册第六章《余角和补角》公开课课件
数学语言表示：若 1 2 90°，则 1，2互为余角。
v 如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角， 简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角。
数学语言表示 ：若 180°，则 ，互为补角。
的余角=90º– ；
的补角= 180º–
做一做Zx xk ：
1. 试举出互余、互补角的例子． 2. 30º与60º是互余的两角，能说30º是余角吗？ 3. 若一个角为35°35′35″，写出它的余角和补角． 解：35°35′35″的余角为90°–35°35′35″=54°24′25″．
这个角的度数。
•1、人才教育不是灌输知识，而是将开发文化宝库的钥匙，尽我们知道的交给学生。 •2、一个人的知识如果只限于学校学习到的那一些，这个人的知识必然是十分贫乏的2021/10/132021/10/132021/10/1310/13/2021 7:32:17 AM •3、意志教育不是发扬个人盲目的意志，而是培养合于社会历史发展的意志。 •4、智力教育就是要扩大人的求知范围 •5、最有价值的知识是关于方法的知识。 •6、我们要提出两条教育的诫律，一、“不要教过多的学科”；二、“凡是你所教的东西，要教得透彻”2021年10月2021/10/132021/10/132021/10/1310/13/2021 •7、能培养独创性和唤起对知识愉悦的，是教师的最高本领2021/10/132021/10/13October 13, 2021 •8、先生不应该专教书，他的责任是教人做人；学生不应该专读书，他的责任是学习人生之道。2021/10/132021/10/132021/10/132021/10/13
ØP184. 1，2，3。
Ø 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1）一个锐角的补角一定是钝角。 （2）如果两个角互补，那么 这两个角中，
v 如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角， 简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角。
数学语言表示 ：若 180°，则 ，互为补角。
的余角=90º– ；
的补角= 180º–
做一做Zx xk ：
1. 试举出互余、互补角的例子． 2. 30º与60º是互余的两角，能说30º是余角吗？ 3. 若一个角为35°35′35″，写出它的余角和补角． 解：35°35′35″的余角为90°–35°35′35″=54°24′25″．
这个角的度数。
•1、人才教育不是灌输知识，而是将开发文化宝库的钥匙，尽我们知道的交给学生。 •2、一个人的知识如果只限于学校学习到的那一些，这个人的知识必然是十分贫乏的2021/10/132021/10/132021/10/1310/13/2021 7:32:17 AM •3、意志教育不是发扬个人盲目的意志，而是培养合于社会历史发展的意志。 •4、智力教育就是要扩大人的求知范围 •5、最有价值的知识是关于方法的知识。 •6、我们要提出两条教育的诫律，一、“不要教过多的学科”；二、“凡是你所教的东西，要教得透彻”2021年10月2021/10/132021/10/132021/10/1310/13/2021 •7、能培养独创性和唤起对知识愉悦的，是教师的最高本领2021/10/132021/10/13October 13, 2021 •8、先生不应该专教书，他的责任是教人做人；学生不应该专读书，他的责任是学习人生之道。2021/10/132021/10/132021/10/132021/10/13
ØP184. 1，2，3。
Ø 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1）一个锐角的补角一定是钝角。 （2）如果两个角互补，那么 这两个角中，
余角和补角课件(共23张PPT)
6.3.3
余角和补角
符号语言：
因为∠3 +∠4 = 180°，
所以∠3 与∠4 互为补角.
3
注意：(1) 补角是指两个角的关系；
(2) 补角只考虑两个角的数量关系，与位置无关.
4
6.3.3
余角和补角
思考
∠1 与∠2 、∠3 都互为补角，那么∠2 与∠3 的大小有什么关系？
∠1 与∠2 、∠3 都互为补角，那么∠2 = 180° -∠1，∠3 = 180° -∠1.
6.3.3
余角和补角
七年级上
6.3.3
余角和补角
学习目标
1. 了解余角、补角的概念.
重点
2. 掌握余角和补角的性质，并能利用余角、补角的性质解决相关问题.
重点
6.3.3
余角和补角
新课引入
问题1：下图中的∠A 和∠B 有怎样的数量关系？
A
A
30°
45°
90° 45°
C
B
∠A +∠B = 90°
90° 60°
6.3.3
余角和补角
例3 如图，点A，O，B在同一直线上，射线 OD 和射线 OE 分别平分
∠AOC 和∠BOC，图中哪些角互为余角？
解:因为点A，O，B在同一直线上，所以∠AOC 和∠BOC
互为补角.
又因为射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，
所以∠COD+∠COE= ∠AOC+ ∠BOC= (∠AOC+∠BOC )
6.3.3
余角和补角
3.如图，要测量两堵围墙所形成的∠AOB 的度数，但人不能进入围墙
，如何测量？
余角与补角公开课课件
2、请认真观察下图，回答下列问题：
（1）图中有哪几对互余的角？
C
(∠A+∠B=90°, ∠A+∠C=90°) (∠BOE+∠B=90°, ∠COD+∠C=90°)
D
O B E A
（2）图中哪几对角是相等的角(直角除外)？为什么?
(∠B=∠C) （同角的余角相等） (∠A=∠BOE) (∠A=∠COD) (∠BOE=∠COD)
180-x=4(90-x) 解得x=60 答：这个角是60o。
自学反馈
如图两堵墙围一个 角 AOB ，但人不能进入 围墙，我们如何去测这个角的大小呢？
A
动动脑
C
O
B
自学解惑
同角的余角和补角的有关系吗？
一个锐角的补角比这个角的 余角大 90°
自学解惑
1.请你借助直角三角板，在原图上画出∠COB 所有的余角。
D
同角的补角相等
自学解惑
如图，∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，如果 ∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么?
2 1
3 4
解：∠2与∠4相等。 ∵ ∠1与∠2互补；∠3与∠4互补， ∴ ∠2=180°-∠1；∠4=180°-∠3， 又∵ ∠1=∠3， ∴ ∠2=∠4。 得出结论：等角的补角相等
同角或等角的余角相等。 同角或等角的补角相等。
A C
动手画图
O
B
D
自学解惑
2.画完图后请回答下列问题：
A
C
1 2
（1）图中有哪几对互余的角? BOC与AOC， BOC与BOD
(∠1+∠2=90°, ∠3+∠2=90°)
（2）你能发现哪几个角是相等的(直角除外)？
（1）图中有哪几对互余的角？
C
(∠A+∠B=90°, ∠A+∠C=90°) (∠BOE+∠B=90°, ∠COD+∠C=90°)
D
O B E A
（2）图中哪几对角是相等的角(直角除外)？为什么?
(∠B=∠C) （同角的余角相等） (∠A=∠BOE) (∠A=∠COD) (∠BOE=∠COD)
180-x=4(90-x) 解得x=60 答：这个角是60o。
自学反馈
如图两堵墙围一个 角 AOB ，但人不能进入 围墙，我们如何去测这个角的大小呢？
A
动动脑
C
O
B
自学解惑
同角的余角和补角的有关系吗？
一个锐角的补角比这个角的 余角大 90°
自学解惑
1.请你借助直角三角板，在原图上画出∠COB 所有的余角。
D
同角的补角相等
自学解惑
如图，∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，如果 ∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么?
2 1
3 4
解：∠2与∠4相等。 ∵ ∠1与∠2互补；∠3与∠4互补， ∴ ∠2=180°-∠1；∠4=180°-∠3， 又∵ ∠1=∠3， ∴ ∠2=∠4。 得出结论：等角的补角相等
同角或等角的余角相等。 同角或等角的补角相等。
A C
动手画图
O
B
D
自学解惑
2.画完图后请回答下列问题：
A
C
1 2
（1）图中有哪几对互余的角? BOC与AOC， BOC与BOD
(∠1+∠2=90°, ∠3+∠2=90°)
（2）你能发现哪几个角是相等的(直角除外)？
余角和补角 课件(共16张PPT)
课堂小结
余角和补角的定义 定义：两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余
角，简称互余．如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个 角互为补角，简称互补．
余角和补角都是相互的,不能说哪一个角是余角或补角.
请同学们比较互余与互补的概念，说说它们的区别和共同之处.
区别 互余是两个角的和是90°（直角）， 互补是两个角的和是180°（平角）.
3 1
获取新知
2 1
两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角,简称互余. 如图，∠1+∠2=90°，那么∠1是∠2的余角,∠2也是∠1的余角.
4 3
如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，简称互补. 如图，∠3+∠4=180°，那么∠3是∠4的补角，∠4也是∠3的补角.
【分析】因为∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠3＝180°， 所以∠3＝∠1＝50°.故选A.
同角的补 角相等.
随堂演练
1. 已知∠A=55°,则它的余角是( B )
A.25°
B.35° C.45°
D.55°
2.如果两个角互补,那么这两个角( D为钝角 D.均为直角,或一个为锐角,另一个为钝角
3.若一个锐角和它的余角相等,则它的补角为( C )
A.75°
B.120°
C.135°
D.150°
4. 如图，在三角形ABC中，∠C=90°，点D,E 分别在边AC、AB上，若∠B=∠ADE，则下列 结论正确的是（ C ） A.∠A和∠B互为补角. B.∠B和∠ADE互为补角. C.∠A和∠ADE互为余角. D.∠AED和∠DEB互为余角.
1
3
2
同角的余角相等.
探究： 已知∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，如果∠1=∠3， 那么∠2与∠4相等吗？为什么？
余角与补角公开课课件
2021/3/9
8
三、开动脑筋
如图两堵墙围一个 角 AOB，但人不能进入 围墙，我们如何去测这个角的大小呢？
A
动动脑
C
B O
2021/3/9
9
2021/3/9
10
开动脑筋
已知一个角的补角是这个角的余角的4倍， 求这个角的度数。
解：设这个角为x°，那么它的余角为(90-x) °，它 的补角为(180-x) °，则
同角的补角相等
2021/3/9
18
如图，∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，如果∠1=∠3， 那么∠2与∠4相等吗？为什么?
2
1
3
4
解：∠2与∠4相等。 因为∠1与∠2互补；∠3与∠4互补， 所以∠2=180°-∠1；∠4=180°-∠3， 又因为∠1=∠3， 所以∠2=∠4。
等角的补角相等
这里， 我们用到 了“等量 减等量， 差相等”。
180-x=4(90-x) 解得x=60
答：这个角是60o。
2021/3/9
11
余角和补角的关系
一个锐角的补角比这个角 的余角大 90°。
2021/3/9
12
(三)、例题：
已知一个角的补角是这个角的余角的 3倍，求这个角的度数。
解：设这个角为 x0,则它的余角(是 90 x)0,它的补角是 (180 x)0,
（2）互余、互补的两角是否一定有公共顶点或公共边？
两角互余或互补，只与角的度数有关，与位置无关。
（3）∠1 + ∠2 + ∠3 = 90°（180°）,能说∠1 、∠2、 ∠3 互余
（互补）吗？
不能，互余或互补是两个角之间的数量关系。
2021/3/9
余角和补角(57张PPT)数学
13
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17
9.一个角的补角加上10°后等于这个角的余角的3倍，则比这个角小15°32′的角的度数是________.
24°28′
解析 设这个角为x°，则它的余角为90°－x°，补角为180°－x°，根据题意，得180°－x°＋10°＝3×(90°－x°)，解得x＝40，40°－15°32′＝24°28′.
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解析 ∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
1
2
3
4
5
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17
∴∠MOC与∠NOC互余，∠MOA与∠NOC互余，∠MOC与∠NOB互余，∠MOA与∠NOB互余，故选A.
14.如图，∠AOB与∠COD都是直角，∠AOD＝140°21′，则∠COB＝________°.若∠AOD＝α，则∠COB＝__________.
解 如图所示，∠BOC与∠BOC′即为所求；
(2)在(1)的条件下，若OP是∠AOC的角平分线，直接写出∠AOP的度数(不需要计算过程).
解 ∵∠AON＝45°，∠BON＝30°，∴∠AOB＝75°，∵∠BOC与∠AOB互余，∴∠BOC＝15°，∴∠AOC＝90°或60°，∵OP是∠AOC的角平分线，∴∠AOP＝45°或30°.
解 当∠AOD＝α时，∠DOE＝90°.
解
归纳总结 本题考查了余角和补角以及角平分线的定义；熟练掌握两个角的互余和互补关系是解决问题的关键.
例2 (教材例2变式训练)一个角的余角的3倍比它的补角的2倍少120°，则这个角的度数为________.
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9.一个角的补角加上10°后等于这个角的余角的3倍，则比这个角小15°32′的角的度数是________.
24°28′
解析 设这个角为x°，则它的余角为90°－x°，补角为180°－x°，根据题意，得180°－x°＋10°＝3×(90°－x°)，解得x＝40，40°－15°32′＝24°28′.
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解析 ∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
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∴∠MOC与∠NOC互余，∠MOA与∠NOC互余，∠MOC与∠NOB互余，∠MOA与∠NOB互余，故选A.
14.如图，∠AOB与∠COD都是直角，∠AOD＝140°21′，则∠COB＝________°.若∠AOD＝α，则∠COB＝__________.
解 如图所示，∠BOC与∠BOC′即为所求；
(2)在(1)的条件下，若OP是∠AOC的角平分线，直接写出∠AOP的度数(不需要计算过程).
解 ∵∠AON＝45°，∠BON＝30°，∴∠AOB＝75°，∵∠BOC与∠AOB互余，∴∠BOC＝15°，∴∠AOC＝90°或60°，∵OP是∠AOC的角平分线，∴∠AOP＝45°或30°.
解 当∠AOD＝α时，∠DOE＝90°.
解
归纳总结 本题考查了余角和补角以及角平分线的定义；熟练掌握两个角的互余和互补关系是解决问题的关键.
例2 (教材例2变式训练)一个角的余角的3倍比它的补角的2倍少120°，则这个角的度数为________.
余角和补角ppt课件
综合素养训练
(2)若∠ AOE 与∠ DOB 互补，求∠ DOE的度数.
解：因为∠AOE＋∠AOC＝180°，
∠AOE＋∠DOB＝180°，所以∠AOC＝∠BOD.
因为∠BOC＋∠AOC＝90°，
所以∠BOC＋∠BOD＝90°.
所以∠EOD＝180°－(∠BOC＋∠BOD)＝90°.
④，∠α ＋ ∠β =180 °，则∠α和∠β 互补．答案：A
综合素养训练
1.[中考·武威] 若∠α =70 °，则∠α的补角的度数是( B )
A.13 0 °
B.110 °
C.30 °
D. 20 °
综合素养训练
2. 如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中∠α
与∠β 一定相等的图形个数共有( B )
∠2＋
(∠1 － ∠2)=
∠1＋
∠2 的余角.D 选项是∠2 的余角.
∠2 =9 0 °，故C 选项不是
答案：D
综合应用创新
方法点拨
识别两个角是否互余，只需要计算两个
角的和是否等于90°即可.
综合应用创新
题型
2 利用角平分线的定义探究互余、互补
例 6 [新视角 操作探究题]如图6.3－26，把一张长方形纸片
FG 是∠CFC′的平分线，
所以∠EFB′=
∠BFB′，∠GFC′= ∠CFC′.
因为∠BFC=180°，所以∠GFC′＋∠EFB′=
(∠CFC′＋
∠BFB′)= ∠CFB= ×180°=90°.
所以∠GFC′与∠EFB′互为余角.
4.3.余角和补角课件ppt
∠3＝180º －∠1，
所以∠2＝∠3.
补角的性质： 同角 （等角） 的补角相等.
归纳
补角的性质： 同角 （等角）的补角相等.
对于余角是否也有类似性质？
余角的性质： 同角 （等角） 的余角相等.
推导性质，理解运用
（1）若∠1与∠2互余，∠2与∠3互余， 同角的余角相等 则_____ ∠1 ＝______ ∠3 ，根据是＿＿＿＿＿＿＿
2
1
4
3
互为补角 如果两个角的和等于180°(平角）， 那么这两个角叫做互为补角，其中一个角 是另一个角的补角。
图中给出的各角，哪些互为余角？
哪些互为补角？
10o 30o
60Biblioteka o80o100o 120o 150o
170o
我来试一试：
∠α
15° 40°
∠α的余角
75° 50° 无 90° x
∠α的补角
4.3.3余角和补角
学习目标 重点 ：1、余角、补角的定义 2、余角、补角的性质
意 大 利 名 胜 比 萨 斜 塔
思考：
三角板中的两个锐角有什么关系？
3 4
1
1 2 90
2
1
互为余角 如果两个角的和等于90°(直角)， 那么这两个角叫做互为余角，其中一个角 是另一个角的余角。
有时以正北、正南方向为基准， 描述物体运动的方向.
表示方向的角（方位角）在航行、 测绘等工作中经常用到.
推导性质，理解运用
例 如图，货轮 O 在航行过 程中 , 发现灯塔 A在它南偏东 60º 的方向上,同时,在它北偏 东 40º 、南偏西 10º 、西北 ( 即西 北偏西 45º ) 方向上又分别发 现了客轮 B, 货轮 C 和海岛 D. 仿照表示灯塔方位的方法， 画出表示客轮B、货轮C和海 岛D方向的射线.
人教版4.3.3 余角和补角公开课课件
解得x=50°，则180°-x=130°.
即∠AOB=50°， ∠AOC=130°.
C
M
B N
D
O
A
观察与思考
∠α ∠α的余角 5° 85° 32° 58° 45° 45° 77° 13° 62°23′ 27°37′ x°(0＜x＜90) (90－x)°
∠α的补角 175° 148° 135° 103° 117°37′ (180－x)°
C E
B
练一练
如图,已知∠AOB=90°， ∠AOC= ∠BOD，则与
∠AOC互余的角有__________________. ∠BOC 和 ∠AODA C D O B来自三 方位角互动探究
观看下列视频，议一议其中蕴含的数学知识.
八大方位
E
北 D
45° 45°
H
正东：射线 OA 正南：射线 OB 正西：射线 OC 正北：射线 OD
若∠MON=40°，试求∠AOC与∠AOB的度数．
解：设∠AOB=x， M 因为∠AOC与∠AOB互补， C 则∠AOC=180°-x． 因为OM，ON分别为∠AOC， ∠AOB的平分线， D O 1 1 所以∠AOM= (180 - x) ，∠AOM= x . 2 2 B N
A
1 1 所以 (180 - x) x 40 , 2 2
观察可得结论： 锐角的补角比它的余角大_____. 90°
二 余角和补角的性质
思考：∠1 与∠2，∠3都互为补角， ∠2 与∠3 的大小有什么关系？
1
2
3
∠2=180°－∠1
=∠3=180°－∠1
结论： 同角 (等角) 的补角相等.
类似地，可以得到： 同角 (等角) 的余角相等.
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提问答疑，理解定义
（1）定义中的“互为”一词如何理解？
如果 ∠1 与∠2互余，那么∠1 的余角是∠2，同样 ∠2的余角是∠1 ；如果∠1 与∠2互补，那么∠1 的补角 是∠2， 同样∠2的补角是∠1 。
（2）互余、互补的两角是否一定有公共顶点或公共边？
两角互余或互补，只与角的度数有关，与位置无关。
5° 32°
∠α 的余角
85° 58° 45° 13° 27°37′ 90° x
∠α 的补角
175° 148° 135° 103° 117°37′ 180° x
45°
77
°
62°23′
x
三、开动脑筋
如图两堵墙围一个 角 AOB ，但人不能进入 围墙，我们如何去测这个角的大小呢？
A
动动脑
C
O
B
开动脑筋 已知一个角的补角是这个角的余角的4倍， 求这个角的度数。
解：设这个角为x°，那么它的余角为(90-x) °， 它的补角为(180-x) °，则
180-x=4(90-x) 解得x=60 答：这个角是60o。
知识提升
A D
30°60° 30° 2 1 3
B
O
O ∵∠1与∠ 2互余， ∠1与∠3互余，
∴∠ 2＝ 90 °－ ∠1， ∠3＝ 90 °－ ∠1
C
（3）∠1 + ∠2 + ∠3 = 90°（180°）,能说∠1 、∠2、 ∠3
互余（互补）吗？
不能，互余或互补是两个角之间的数量关系。
你问我答
问题： 1、钝角有没有余角？ 2、直角有没有补角？ 90°- α ， 3、∠α的余角可表示为________ 180°- α 。 补角可表示为__________
性质
谢谢各位的光临与指导
∴∠2＝∠3
同角的余角相等；
如图，∠1和∠2互余，∠3和∠4互余，若 ∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？
解： ∠2与∠4相等
理由:∵∠1与∠2互余 ∴∠2=90o-∠1 ∵∠3与∠4互余 ∴∠4=90o-∠3 又∵∠1=∠3 ∴∠2=∠4
4 3
1
2
等角的余角相等。
变式
如图，画出∠1的补角
这里， 我们用到 了“等量 减等量， 差相等”。
性质： 同角或等角的余角相等。 同角或等角的补角相等。
巩固练习
认真观察下面的图形，回答下列问题：
（1）图中有哪几对互余的角？
C 2
1
∠A与∠B互余 ，∠A与∠2互余
∠1与∠B互余 ，∠1与∠2互余
（2）图中哪几对角是相等的角(直角除外)？
A
D
B
说明它们相等的原因。
∠B=∠2 ∠A=∠1
（同角的余角相等） （同角的余角相等）
如图所示，有一个破损的扇形零件，利用 图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆 心角的度数.你能说出所量角是多少度吗？ 你的根据是什么？
答：40°, 根据是同 角的补角 相等。
互余
互补
两角间 1 2 90 1 2 180 的数量 (1 90 2) (1 180 2) 关系 对应 图形 同角或等角的 余角相等 同角或等角的 补角相等
一张长方形纸片，沿一个 角折叠后，折痕与长方形的边 形成了几个角？ ∠1与∠2有什么数量关系？ ∠1+∠2=90° ∠3与∠4又有什么数量关系 ？ ∠3+∠4=180°
1
2
4 3
2
1
4 3
如果两个角的和为90° (直角)，那么称 这两个角 互为余角 ，简称“互余”。 如果两个角的和为180°(平角)，那 么称这两个角 互为补角，简称“互补” 。
判断 1）一个角的余角必为锐角。 2）一个角的补角必为钝角。 （
√
）
（× ）
3）一个角的补角一定比这个角大。（ × ） 4）互余的两个角一定都是锐角，两个锐角一 定互余. （× ） 5）如果∠1=30°，∠2=25°，∠3=35°，那么 ∠1、∠2、∠3这三个角互为余角.× （ ）
我来试一试：
∠α
2
1
3
1
解： ∠2与∠3相等. 理由：∵∠1与∠ 2互补， ∠1与∠3互补， ∴∠ 2＝ 180 ° － ∠1， ∠3＝ 180 ° － ∠1 ∴∠2＝∠3
同角的补角相等；
如图，∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，如果 ∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么?
2 1 3 4
解：∠2与∠4相等。 因为∠1与∠2互补；∠3与∠4互补， 所以∠2=180°-∠1；∠4=180°-∠3， 又因为∠1=∠3， 所以∠2=∠4。 等角的补角相等