2021届苏州市高三八校联考数学试卷及解答
江苏省苏州市八校联盟2021-2022学年高三上学期12月第二次适应性联考数学试题及答案
江苏省苏州市八校联盟2021-2022学年高三上学期12月第二次适应性联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知全集{|29}U x N x +=∈-<<，{3,4,5}M =，{1,3,6}P =，那么集合{2,7,8}是（ ） A ．M P ⋃ B ．MP C ．()()U U C M C PD ．()()U U C M C P2．设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知,42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，1sin 23θ=，则cos θ=（ ）A BC D 4．已知复数数列{}n a 满足12i a =，1i i 1n n a a +=++，N n *∈，（i 为虚数单位），则10a =（ ） A ．2iB ．2i -C ．1i +D ．1i -+5．已知双曲线C ：()222103x y a a-=>的离心率为2，左、右焦点分别为1F ，2F ，点A在双曲线C 上，若12AF F △的周长为10，则12AF F △的面积为（ ）A B ．C ．15D ．306．已知一平面与一正方体的12条棱的夹角都等于α，则sin α=（ ）A ．12 BC D 7．已知()cos 2sin f x x x =+，则下列函数中在R 上单调增的是( ) A ．()y f x x =+B ．2()y f x x =+C ．3()y f x x =+D ．4()y f x x =+8．已知x ，y 满足2266x y y +=- ）A ．1BC ．1D ．1 二、多选题9．已知,,,a b c d ∈R ，则下列结论中正确的有（ ） A ．若22,ac bc >则a b >B ．若11,a b<则a b > C ．若0a b >>，0ac bd >>，则c d >D ．若2211,a b ab >则a b < 10．已知函数21()222x x f x +=-+，定义域为M ，值域为[]1,2，则下列说法中一定正确．．．．的是（ ） A ．[]0,2M =B ．(],1M ⊆-∞C ．0M ∈D ．1M ∈11．圆锥曲线为什么被冠以圆锥之名？因为它可以从圆锥中截取获得.我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，截口曲线（截而与圆锥侧面的交线）是一个圆，用一个不垂直于轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴的夹角θ不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线、双曲线.因此，我们将圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线.截口曲线形状与θ和圆锥轴截面半顶角α有如下关系,0,2πθα⎛⎫⎛⎫∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；当θα>时，截口曲线为椭圆；当θα=时，截口曲线为抛物线：当0α<时，截口曲线为双曲线.（如左图）现有一定线段AB 与平面β夹角ϕ（如上右图），B 为斜足，β上一动点P 满足BAP γ∠=，设P 点在β的运动轨迹是Γ，则（ ）A ．当4πϕ=，6πγ=时，Γ是椭圆 B ．当3πϕ=，6πγ=时，Γ是双曲线 C ．当4πϕ=，4πγ=时，Γ是抛物线D ．当3πϕ=，4πγ=时，Γ是椭圆12．如图所示，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 、F 、G 分别是1DD 、AD 、BC 中点，连结1A D 、AC 分别交EF 、FG 于S 、K 两点，则下面选项叙述正确的是（ ）A ．四棱锥E DFGC -B ．SK EC ⊥C ．平面DSK 被四棱锥E DFGC -的外接球所截得的截面面积是724π D ．若1O 为正方形ABCD 的内切圆，2O 为正方形11A ADD 的外接圆，P 、Q 分别为1O 、2O 上的点，则线段PQ三、填空题13．过点(的直线l 与圆224x y +=相切，则直线l 在y 轴上的截距为__________．14．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，2AD =，2DE EC =，M 为BC 的中点，若点P 在线段BD 上运动，则PE PM ⋅的最小值为______.四、解答题15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若n n S na =，且246601860S S S S ++++=，则1a =__16．已知向量cos sin ,2sin 222x x x a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，cos sin 222x x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，函数()f x a b =⋅.（1）求函数()f x 的最大值，并指出()f x 取最大值时x 的取值集合； （2）若α，β为锐角，12cos()13αβ+=，6()5f β=，求6f πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.17．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且121n n a S +=+，()*n ∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)在n a 与1n a -之间插入n 个实数，使这2n +个数依次组成公差为n d 的等差数列，设数列1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：158n T <.18．如图所示，在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，点D ，E 分别在边AB ，BC 上，5CD =，3CE =，且△EDC 的面积为(1)求边DE 的长；(2)若3AD =，求△ABC 的面积.19．如图，在三棱台ABC DEF -中，平面BADE ⊥平面ACFD ，AB AC ⊥，3AB =，112AD DF FC AC ====.（1）求证：AB ⊥平面ACFD ；（2）求二面角F BE D --的平面角的余弦值.20．已知函数()e ln 2xf x a x x -=--（a ∈R ，0x >）.(1)若1a =，0x 是函数()f x 的零点，求证：00e 1xx ⋅=；(2)证明：对任意0x >，01a <≤，都有2sin ln e x a x x x x --<+.21．设抛物线C ：22x py =（0p >）的焦点为F ，抛物线C 上一点A 的横坐标为()110x x >，过点A 作抛物线C 的切线1l ，与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E ，与直线l ：2py =交于点M .当2FD =时，60AFD ∠=︒. (1)求抛物线C 的方程；(2)若B 为y 轴左侧抛物线C 上一点，过B 作抛物线C 的切线2l ，与直线1l 交于点P ，与直线l 交于点N ，求PMN 面积的最小值，并求取到最小值时1x 的值. 五、双空题22．极线是高等几何中的重要概念，它是圆锥曲线的一种基本特征.对于圆222x y r +=，与点()00,x y 对应的极线方程为200x x y y r +=，我们还知道如果点()00,x y 在圆上，极线方程即为切线方程；如果点()00,x y 在圆外，极线方程即为切点弦所在直线方程.同样，对于椭圆22221x y a b+=，与点()00,x y 对应的极线方程为00221x x y y a b +=.如上图，已知椭圆C ：22143x y +=，()4,P t -，过点P 作椭圆C 的两条切线P A ，PB ，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为______；直线AB 与OP 交于点M ，则sin PMB ∠的最小值是______.参考答案：1．D 【解析】 【分析】先求得全集U ，然后对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】依题意可知{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，对于A 选项，{}1,3,4,5,6M P ⋃=，故A 选项不符合； 对于B 选项，{}3M P ⋂=，故B 选项不符合；对于C 选项，{}{}{}()()1,2,6,7,82,4,5,7,81,2,4,5,6,7,8U U C M C P ⋃=⋃=，故C 选项不符合；对于D 选项，{}{}{}()()1,2,6,7,82,4,5,7,82,7,8U U C M C P ⋂=⋂=，故D 选项符合. 故选D. 【点睛】本小题主要考查集合交集、并集和补集的概念和运算，属于基础题. 2．B 【解析】分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定. 【详解】化简不等式，可知 05x <<推不出11x -<； 由11x -<能推出05x <<，故“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件， 故选B ． 【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件． 3．B 【解析】 【分析】利用同角的三角函数的基本关系式和二倍角的余弦公式可得正确的选项. 【详解】,42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2,2πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，cos20θ<，cos 23θ=-()21113cos 1cos 21223236θθ⎛⎫-=+=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭而,42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故cos θ= 故选：B. 4．D 【解析】 【分析】推导出数列{}i n a -是等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得10a 的值. 【详解】由已知可得()1i i i n n a a +-=-，因此，数列{}i n a -是以1i i a -=为首项，以i 为公比的等比数列，所以，91010i i i i 1a -=⋅==-，故101i a =-+.故选：D. 5．A 【解析】 【分析】根据离心率，可求得21a =，即可得双曲线方程，不妨设A 在双曲线的右支上，根据双曲线定义，可得1222PF PF a -==，根据题意，可得126PF PF +=，即可求得12,PF PF ，即可求得答案. 【详解】由题意得2c e a ==，所以21a =，所以双曲线方程为2213y x -=，不妨设A 在双曲线的右支上，由双曲线定义可得1222PF PF a -==△，又12AF F △的周长为121210PF PF F F ++=，且124F F ==， 所以126PF PF +=△，△△联立，解得124,2PF PF ==，所以12AF F △的面积为122⨯=故选：A 6．B 【解析】 【分析】如图，以点A 建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，设平面的法向量为()000,,n x y z =，根据平面与一正方体的12条棱的夹角都等于α，可得1n AB n AD n AA m ⋅=⋅=⋅=，求出平面的法向量，从而可得出答案.【详解】解：如图，以点A 建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则()()()11,0,0,0,1,0,0,0,1B D A ，()1,0,0AB =，()0,1,0AD =，()10,0,1AA =. 设平面的法向量为()000,,n x y z =，则可令1n AB n AD n AA m ⋅=⋅=⋅=，△(),,n m m m =，所以sin cos ,3n AB m n AB n ABα⋅=〈〉===故选：B.7．C 【解析】 【分析】对于选项ABD ：对函数求导，求出sin 2cos x x -+的范围，判断导函数是否有变号零点即可求解；对于选项C ：对函数求导，通过分类讨论自变量的取值范围，来确定导函数的符号，进而即可出答案. 【详解】对于选项A ：因为()cos 2sin y f x x x x x =+=++，所以'sin 2cos 1)1[1]y x x x ϕ=-++=++∈，因为10<10，从而'sin 2cos 1y x x =-++在R 上有变号零点， 从而()y f x x =+在R 上不是单调递增的，故A 错误；对于选项B ：由题意可知，''2')sin 2(o 2)s (c y f x x x x x =-++=+，因为sin 2cos )[x x x ϕ-+=+∈，2(,)x ∈-∞+∞， 所以'sin 2cos 2x y x x =-++必有变号零点，从而2()y f x x =+在R 上不是单调递增的，故B 错误；对于选项C ：由题意，''3'2()()sin 2cos 3y f x x x x x =+=-++，由sin 2cos )[x x x ϕ-+=+∈，故对自变量x 分类讨论：△当[0,]4x π∈时，cos sin 0x x ≥≥，故'2sin 2cos 30y x x x =-++>；△当(,]42x ππ∈时，2233()14x π>⨯>，即23sin 0x x ->，从而'2sin 2cos 30y x x x =-++>；△当(,)2x π∈+∞时，2233()2x π>⨯>'2sin 2cos 30y x x x =-++>；△当[,0)2x π∈-时，sin 0x ->，cos 0x ≥，230x >，所以'2sin 2cos 30y x x x =-++>，△当(,)2x π∈-∞-时，因为2233()2x π>⨯->'2sin 2cos 30y x x x =-++>，综上所述，对于x R ∀∈，'2sin 2cos 30y x x x =-++>， 从而3()y f x x =+在R 上单调增；故C 正确；对于选项D ：由题意，'4'3')(sin 2c )o 4(s y x x x f x x =-++=+，因为sin 2cos )[x x x ϕ-+=+∈，34(,)x ∈-∞+∞， 所以3sin 2cos 4y x x x =-++'在R 上有变号零点， 从而4()y f x x =+在R 上不是单调递增的，故D 错误. 故选：C. 8．D 【解析】 【分析】的几何意义，利用正弦函数的.【详解】求maxy y +=+设(),P x y 是圆()2233x y +-=上任一点，过P0y +=的垂线，垂足为T ，PT 的长PT=PO ，sin PTPOT PO==∠，直线y kx =与圆()2233xy +-=相切时k =令tan θ=y =与圆相切于第一象限时，sin POT ∠取最大值，此时21sin sin sin 32POT πθθθ⎛⎫∠=-=+⎪⎝⎭1122==△max1=故选：D.9．AD 【解析】根据不等式的性质判断AD ，再由特殊值判断BC. 【详解】A 选项，由22ac bc >可得20c ≠，则a b >，A 正确；B 选项，由1a =-，1b =是一个反例，B 错误；C 选项，3a =，1c =，1b =，2d =是一个反例，C 错误；D 选项，222222111100b ab a a b ab a b ab a b->⇒-=>⇒->，D 正确； 故选：AD. 10．BCD 【解析】先研究值域为[]1,2时函数的定义域，再研究使得值域为[]1,2得函数的最小值的自变量的取值集合，研究函数值取1，2时对应的自变量的取值，由此可判断各个选项. 【详解】由于[]212()222(21)11,2x x x f x +=-+=-+∈，[]2(21)0,1x ∴-∈，[]211,1x ∴-∈-，[]20,2x ∴∈，(],1x ∴∈-∞，即函数21()222x x f x +=-+的定义域为(],1-∞当函数的最小值为1时，仅有0x =满足，所以0M ∈，故C 正确； 当函数的最大值为2时，仅有1x =满足，所以1M ∈，故D 正确； 即当[]0,1M =时，函数的值域也为[]1,2，故(],1M ⊆-∞，故B 正确； 当2x =时，函数值[](2)101,2f =∉，故A 错误； 故选：BCD 【点睛】关键点睛：本题考查函数的定义域及其求法，解题的关键是通过函数的值域求出函数的定义域，再利用元素与集合关系的判断，集合的包含关系判断，考查了学生的逻辑推理与转化能力，属于基础题. 11．ACD 【解析】 【分析】认为P 在以AB 为轴的圆锥上运动，结合题干信息，逐一分析即可. 【详解】△AB 为定线段，BAP γ∠=为定值，△P 在以AB 为轴的圆锥上运动， 其中圆锥的轴截面半顶角为γ，β与圆锥轴AB 的夹角为ϕ对于A ，ϕγ>，△平面β截圆锥得椭圆，A 正确；对于B ，ϕγ>，Γ是椭圆，B 错. 对于C ，ϕγ=，Γ是抛物线，C 正确.对于D ，ϕγ>，Γ是椭圆，D 正确. 故选：ACD. 12．ACD 【解析】 【分析】根据直接求解E DFGC -的外接球的半径得r =A 选项；对于B 选项，建立空间直角坐标系，利用坐标法求SK EC ⋅判断即可;对于C 选项，结合坐标法求得O 到平面DSK的距离d ，进而得截面半径，计算面积判断即可；对于D 选项，由题设设1111cos ,sin ,02222P αα⎛⎫++ ⎪⎝⎭，11,0,22Q ββ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【详解】解：对于A 选项，四边形CDFG 的外接圆是以DG圆心设为M ，外接球球心为O ，半径为r .设OM h =，△222215216516h r h r ⎧⎛⎫-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪+=⎪⎩，△{ℎ=14r =√64△334433V r ππ=⋅=⎝⎭，A 对. 对于B 选项，如图，建系()0,0,0D ，11,0,44S ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,,022K ⎛⎫⎪⎝⎭，111,,424SK ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，10,0,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,1,0C ，10,1,2EC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，508SK EC ⋅=≠，△SK 与EC 不垂直，B 错.对于C 选项，设平面DSK 的法向量为(),,n x y z =00n DS n DK ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，△1104411022x z x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ，不妨设1x =，则1y =-，1z =-， △()1,1,1n =--，111,,042O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则111,,424O ⎛⎫⎪⎝⎭，14OM =，△O 到平面DSK的距离123OD n d n ⋅=== 设截面半径为r '，则()2238r d '+=，△()2724r '=，△()2724S r ππ='=，C 对. 对于D 选项，由题知P 在22111224x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上，Q 在22111222x z ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上，设1111cos ,sin ,02222P αα⎛⎫++ ⎪⎝⎭，11cos ,0,2222Q ββ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭22221111cos sin 2222PQ αβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22221111111cos cos cos sin sin sin 4242442ααββααββ=+++++++155cos cos sin 222424αβαββ=-+++≤+5544≤==，△PQ ≤D 对. 故选：ACD 【点睛】本题考查空间几何体的外接内切问题，坐标法解决立体几何问题.考查空间想象能力，数学运算能力，是难题.本题解题的关键在于建立空间直角坐标系，利用坐标法求解，其中D 选项的解决借助圆的参数方程1111cos ,sin ,02222P αα⎛⎫++ ⎪⎝⎭，11,0,22Q ββ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,进而求解最值. 13．4 【解析】 【分析】根据题意，分析可得点(在圆224x y +=上，根据垂直关系求出切线的斜率，由点斜式求出切线方程，根据截距的定义可得结果. 【详解】因为22(14+=，所以点(在圆224x y +=上，△切线l的斜率110k =-=- 则切线l的方程为1y x -=+，变形可得4y =+， 所以直线l 在y 轴上的截距为4； 故答案为：4. 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，考查了求圆的切线方程，考查了直线的截距，属于基础题. 14．2352【解析】 【分析】构建直角坐标系，令()1AP AB AD λλ=+-求P 的坐标，进而可得PE ，PM ，由向量数量积的坐标表示及二次函数的性质求最值即可. 【详解】以A 为坐标原点，AB ，AD 分别为x ，y 建系，则()2,2E ，()3,1M ，又(3,0)=AB ，(0,2)AD =，令()()13,22AP AB AD λλλλ=+-=-，01λ≤≤， 故(3,22)P λλ-，则(23,2)PE λλ=-，(33,21)PM λλ=--，()()23332(21)PE PM λλλλ⋅=--+-213176λλ=-+，所以1726λ=时，PE PM ⋅取最小值2352.故答案为：2352. 15．2 【解析】 【分析】先利用1(2)n n n a S S n -=-和题设⇒11n n S S n n -=-，2n ，进而说明数列{}n S n是每项均为1S 的常数列，求得n S 的表达式，再利用246601860S S S S +++⋯+=求得1a ． 【详解】 解：n n S na =，1()n n n S n S S -∴=-，2n ，即1(1)n n n S nS --=，2n ，即11n n S S n n -=-，2n ， ∴数列{}nS n是每项均为1S 的常数列， ∴11nS S a n==，即1n S na =， 又246601860S S S S +++⋯+=，113062(24660)18602a a ⨯∴+++⋯+==，解得：12a =. 故答案为：2．16．（1）最大值为2，x 的取值集合为2,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）12665. 【解析】（1）根据向量数量积的坐标运算和二倍角公式化简整理得()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据三角函数的性质求解即可；（2）由（1）得3sin 65πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再根据题意，结合同角三角函数关系得12cos()13αβ+=，5sin()13αβ+=，4cos 65πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，进而得63cos cos ()6665ππααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故1262sin 2cos 63665f πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【详解】解（1）22()cossin cos cos 2sin 22226x x x x f x x x x π⎛⎫=-+==+ ⎪⎝⎭， 令262x k πππ+=+，得23x k ππ=+，k Z ∈，所以最大值为2，此时x 的取值集合为2,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭（2）由α，β为锐角，12cos()13αβ+=，得5sin()13αβ+=， 由6()5f β=得3sin 65πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭△02βπ<<，△2663βπππ<+<，又31sin 652πβ⎛⎛⎫+=∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭， △664πππβ<+<，△4cos 65πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，△cos cos ()66ππααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦63cos()cos sin()sin 6665ππαββαββ⎛⎫⎛⎫=+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，△1262sin 2sin 2cos 6326665f πππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题考查向量数量积运算，三角函数性质，三角恒等变换等，其中恒等变换求角的值得关键点在于2663βπππ<+<，31sin 6522πβ⎛⎛⎫+=∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭得664πππβ<+<，进而得4cos 65πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再根据凑角，结合和差角公式诱导公式求解即可.考查运算求解能力，是中档题. 17．(1)13-=n n a (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用数列的递推关系和等比数列的性质，即可求出数列{}n a 的通项公式；（2）根据等差数列的性质，可得1331n n n d n --=+，可得11123n n n d -+=⋅，再利用错位相减法即可得出． (1)解：△121n n a S +=+△2n ≥时，121n n a S -=+△△−△()11232n n n n n a a a a a n ++⇒-=⇒=≥而2121a a =+，由{}n a 为等比数列，△1112131a a a +=⇒=，△11133n n n a --=⋅=；(2)解： 11332311n n n n d n n ---⋅==++，△11123n nn d -+=⋅ △0122123412323232323n n n n n T --+=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅△ 12211231132323232323n n n nn n n T ---+=++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅⋅⋅△ △−△121211111323232323n n nn T -+⇒=+++⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅⋅111116311111111234432313n n n n n n --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭++⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+-=+-- ⎪⋅⋅⎝⎭-525443n n +=-⋅， △11525158838n n n T -+=-<⋅ 18．(1) (2)答案见解析. 【解析】 【分析】（1）由三角形面积公式求得sin ∠DCE DE 的长； （2）应用正余弦定理求,AC BC 的长，注意3BC CE >=(题设有误无答案). (1)由题设，11sin 35sin 22EDCSCE CD DCE DCE =⋅⋅∠=⋅⋅⋅∠=sin ∠DCE ，由DCE ∠为锐角，故1cos 5DCE ∠=.△由余弦定理可得：DE == (2)在△ABC 中，1sin sin cos 25ACD BCD BCD π⎛⎫∠=-∠=∠= ⎪⎝⎭，由ACD ∠为锐角，所以cos ACD ∠=， 由正弦定理：531sin 1sin 35A A =⇒=，故tan A =由余弦定理：225259AC AC +-⋅=，可得AC =当AC =13BC =<，与3BC CE >=矛盾，当AC =13BC <，与3BC CE >=矛盾， 故此题为错题.19．（1）证明见解析；（2【解析】 【分析】（1）连接CD ，在等腰梯形ACFD 中，过D 作DG AC ⊥交AC 于点G ，证明CD AB ⊥，AB AC ⊥，则AB ⊥平面ACFD 即得证；（2）以,,AB AC AH 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角F BE D --的平面角的余弦值即得解. 【详解】证明：（1）连接CD ，在等腰梯形ACFD 中，过D 作DG AC ⊥交AC 于点G ，因为112AD DF FC AC ====，所以12AG =，DG =，32CG =，60DAC ︒∠=，所以CD =所以222AD CD AC +=，即CD AD ⊥， 又因为平面ABED ⊥平面ACFD ，且平面ABED ⋂平面ACFD AD =，CD ⊂平面ACFD ， 所以CD ⊥平面ABED ，又AB平面ABED ，所以CD AB ⊥，又因为AB AC ⊥，AC CD C =，AC ，CD ⊂平面ACFD 所以AB ⊥平面ACFD .（2）如图，在平面ACFD 内，过点A 作AH AC ⊥，由（1）知AB ⊥平面ACFD 所以AB AH ⊥，AB AC ⊥，以A 为原点，以,,AB AC AH 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(3,0,0)B ，10,2D ⎛ ⎝⎭，30,2F ⎛ ⎝⎭，(0,2,0)C ，所以(3,2,0)BC →=-，10,2CF →⎛=- ⎝⎭，设平面FBE 的法向量为n (x,y,z)→=，则00n BC n CF ⎧⋅=⎨⋅=⎩即320102x y y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令2x =，则n →=， 由（1）知CD ⊥平面BED，所以30,2CD ⎛=- ⎝⎭是平面BED 的一个法向量，则932cos ,4n CD n CD n CD-+⋅===⋅ 设二面角F BE D --的平面角为θ，又二面角F BE D --的平面角为锐角，cos θ= 所以二面角F BE D --20．(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）1a =时，将()00f x =整理为0000ln ln x x x x e e --+=+，构造函数()ln g x x x =+，根据其单调性推知00x x e -=，则命题得证； （2）利用0x >时sin x x >，将所证不等式变形为证明1ln 10e x x x x x ⎛⎫++-> ⎪⎝⎭，接下来构造函数()1ln 1e x h x x x x =++-，令e x x t =，得另一函数()1ln 1H t t t=+-，通过求导判断其单调性，最终即可证明不等式成立.(1)当1a =时，()e ln 2x f x x x -=--，()0000000000e ln 20e ln e lne x x x x f x x x x x x ----=--=⇒-=+=+令()ln g x x x =+，显然()g x 在()0,∞+上单调递增，0x ，0e 0x ->由()()0000e e x x g x g x --=⇒=， △00e 1x x =(2)对0x ∀>，令()sin x x x ϕ=-，()1cos 0x x ϕ'=-≥则()x ϕ在()0,∞+单调递增，且()00ϕ=，所以当0x >时，()0x ϕ>，即sin x x >，当01a <≤时，22e ln sin e ln x x x x x a x x x x ax --++->++-21e ln ln 1e x x x x x x x x x x -⎛⎫≥++-=++- ⎪⎝⎭令()1ln 1ex h x x x x =++-，令e x x t =， △()()1ln 1h x H t t t ==+-，()22111t H t t t t-'=-+= ()H t 在()0,1上单调递减，()1,+∞上单调递增，△()()10H t H ≥=，即()0h x ≥△2e ln sin 0x x x x a x -++->（△两次不等式取“=”条件不一致）即2sin ln e x a x x x x --<+，证毕!【点睛】关键点点睛：利用0x >时sin x x >将所需证不等式变形，以及在构造函数之后，采用换元令e x x t =得到新的函数再进行求导判断单调性证明不等式，是本题不等式证明的两个关键点.21．(1)24x y =(2)min =S ,1x 【解析】【分析】（1）根据题意得切线1l 方程为：2112x x y x p p=-，进而得D 为AE 的中点，再根据焦半径公式得AF EF =，进而根据几何关系得1OF =，故抛物线C 的方程为24x y =；（2）结合（1）得122P x x x +=，122P x x y =，112,12x M x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，222,12x N x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，进而得12122222x x MN x x =+--，12121212212224PMN x x x x S x x ⎛⎫⎛⎫=⋅+--⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△，再整理，利用换元法结合导数求解最值即可.(1) 解：由题知0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22x y p =， 所以x y p '=，11l x k p =，切点211,2x A x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 切线1l 方程为：()221111122x x x x y x x x p p p p =-+=-， 令10,02x y D ⎛⎫=⇒ ⎪⎝⎭，2100,2x x E p ⎛⎫=⇒- ⎪⎝⎭， 所以D 为AE 的中点， 因为根据焦半径公式得：211222x p p AF y EF p =+=+=，60AFD ∠=︒. 所以DF AE ⊥，60OFD AFD ∠=∠=︒， 因为2FD =， 所以1OF =，即2p =，所以抛物线C 的方程为24x y =；(2) 解：设222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由（1）得1l 方程：21124x x y x =-△ 同理2l 方程22224x x y x =-△，联立△△122P x x x +⇒=， 所以124P x x y =， 因为直线l 的方程为：1y =， 所以112,12x M x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，222,12x N x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以12122222x x MN x x =+--， 所以12121212212224PMN x x x x S x x ⎛⎫⎛⎫=⋅+--⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△()()121212122111224x x x x x x x x ⎡⎤-⎛⎫=⋅+--⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎣⎦， ()1212121212112121122424x x x x x x x x x x ⎛⎫⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+---≥-- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭， 令()120x x t t -=>，△12121124282PMN t t S t t ⎫⎛⎫⎫=++=+++⎪⎪⎪⎭⎝⎭⎭△218t t ⎫++⎪⎭，m ，()3208m S m m m=++>， ()()224222223443238161888m m m m S m m m m-++-'=-+==当0m <<S单调递减，m ，S 单调递增，△min S S =，当且仅当121243x x x x ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩时取“=”，此时1x . 所以PMN1x的值为1x .【点睛】本题考查抛物线的切线问题，抛物线中的三角形面积最值问题.考查运算求解能力，逻辑推理能力，是难题.本题第二问解题的关键在于结合第一问设点求切线方程，进而得112,12x M x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，222,12x N x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，122P x x y =，进而12121212212224PMN x x x x S x x ⎛⎫⎛⎫=⋅+--⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△，再利用换元法，结合导数求解最值.22． 103ty x -+-=（或330x ty -+=）；【解析】【分析】（1）根据已知直接写出直线AB 的方程；（2）求出cos ,OP n →→〈〉=sin PMB ∠=利用基本不等式求解.【详解】解：（1）由题得AB ：4143x ty -+=，即103ty x -+-=， （2）()4,OP t →=-，3k AB t→=，△AB →的方向向量(),3n t =，所以cos ,OP nOP n OP n→→→→→→⋅〈〉==sin PMB ∠=即()min sin PMB ∠=. 故答案为：103ty x -+-=。
2021届高三T8联考数学试卷答案
2021届T8第一次联考数学试题参考答案13．6 14． 12 15． 3 16．(,)e +∞ 部分选填题解答：8．解：对于选项A ：22sinh cosh 4x xe e y x x --==是奇函数，所以A 错误；对于选项B ：cosh cosh sinh sinh 2222x x y y x x y ye e e e e e e e x y x y ----++---=⋅-⋅cosh()442x y x y x y y x x y x y x y y x x y y x e e e e e e e e e e x y +----+------++++--+=-==-，所以B 错误；对于选项C 、D ：设(,)2m m e e A m -+，(,)2m me e B m --，则曲线1C 在点A 处的切线方程为：()22m m m me e e e y x m --+--=-，曲线2C 在点B 处的切线方程为：2m m e e y ---()2m me e x m -+=-，联立求得点P 的坐标为(1,)m m e +，则222()||1()124m m m m me e e e BP e ---+=+-=+， 11||22m PAB S AB e -∆==，所以||BP 随m 的增大而先减小后增大，PAB ∆的面积随m 的增大而减小，所以C 错误，D 正确．11．解：令127()()()()g x x a x a x a =+++，则()()f x xg x =，()()()f x g x xg x ''∴=+，127(0)(0)1f g a a a '∴===，因为{}n a 是等比数列，所以712741a a a a ==，即3411a a q ==，11a >，01q ∴<<，B 正确；111lg lg lg (1)lg n n a a q a n q -==+-，{lg }n a ∴是公差为lg q 的递减等差数列，A 错误； 1111(11)111n n n a a a q S q q q q q --=--=⋅---，1{}1n a S q ∴--是首项为101a qq <-，公比为q的递增等比数列，C 正确； 11a >，01q <<，41a =，3n ∴≤时，1n a >，5n ≥时，01n a <<，4n ∴≤时，1n T >， 7712741T a a a a ===，8n ∴≥时，78971n n T T a a a T =<=，又75671T T a a =>， 7671T T a =>，所以使得1n T >成立的n 的最大值为6，D 正确．12．解：对于选项A ：连接交NS 交AC 于G 点，连接BG ， 则由AB BC =，23AQ AM =，可得BG 必过点Q ，且23BQ BG =，因为⊂PS 面1BB NG ，1//PS AMB 面，111AMB BB NG B Q =面面，所以1//PS B Q ，A 正确；对于选项B ：1//PS B Q ，1NPS NBQ B QB ∴∠=∠=∠，1~Rt PNS Rt QBB ∴∆∆，112PN NS BQ BB ∴==，即111212233PN BQ BG B N ==⋅=， P ∴为靠近N 的三等分点，B 错误；对于选项C ：AC NG ⊥，AC BG ⊥，1AC BB NG ∴⊥面，AC PS ∴⊥，C 正确；对于选项D ：1//B P BQ ，且1B P BQ =，1BB PQ ∴是矩形， 111112221323P AB M B AB M B ABM V V V ---∴===⋅⋅⋅⋅=，D 正确．15．解：(cos 3cos )a c BC =+，sin sin (cos )A C B C ∴=， sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C ∴=+=+，化简得cos sin cos C B C C =，ABC ∆ 非直角三角形，cos 0C ∴≠，sin B C ∴=，即c b 3=，48172421])2([4124222222-+-=-+-=∴c c b a c a c S ，当且仅当92=c ，即3=c 时，S 有最大值．16．解：022ln)(>-++=x a ae x f x，则2)2ln(ln ln ++>++x a e a x ， 两边加上x 得到ln ln(2)ln 2ln(2)ln(2)x x x e x a x x e x ++++>+++=++，x y e x =+单调递增，ln ln(2)x a x ∴+>+，即x x a -+>)2ln(ln ，令()x x x g -+=)2ln(，则()11121+--=-+='x x x x g ，(2,1)x ∴∈--时，0)(>'x g ， )(x g 单调递增，(1,)x ∈-+∞，0)(<'x g ，)(x g 单调递减， max ln ()(1)1a g x g ∴>=-=，a e ∴>．四、解答题：17．解：（1）设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ，233a a b =-，332a S b =+，22121d q d q q q⎧=∴⎨+=+++⎩，解得：24q d =⎧⎨=⎩或00q d =⎧⎨=⎩（舍去）， 43n a n ∴=-，12n n b -=． …………………………4分（2）{}n a 是等差数列，所以212n n n a a a +++=，又由（1）知：212n n b b ++=，1121112112122121(2)2n n n n n n n n n n n n n n n n n n a b a a b b b b b c a a a a a a a a ++++++++++++++++-∴===-=-， ……………6分A BC M NP 1A 1B 1C S QG122122222455n n n n n b b T c c c a a n +++∴=+++=-=-+，1545522n n n T ++∴=+， ……8分 则2311119()13()(45)()222n n S n +'=++++ ①34211119()13()(45)()2222n n S n +'=++++ ② 由①－②得：234121111119()4[()()()](45)()222222n n n S n ++'=++++-+ 22211[1()]11511425()4(45)()2[1()](45)()12242212n n n n n n ++-=+⋅-+=+--+-2131(413)()42n n +=-+，1131(413)()22n n S n +'∴=-+． …………………………10分18．解：（1）因为()f x 的最小正周期为π，2ππω∴=，2ω∴=，………2分()f x 的图像是由)3y x πω=+的图像向右平移3π个单位得到，()()]33f x x ππω∴=-+，即())3f x x π=-， ………4分令2,32x k k Z πππ-=+∈，得()f x 的对称轴方程为5212k x ππ=+，k Z ∈，…5分要使直线5212k x ππ=+（k Z ∈）与y 轴距离最近，则须5||212k ππ+最小， 1k ∴=-，此时对称轴方程为12x π=-，即所求对称轴方程为12x π=-． ……6分（2）由已知得：()()]33f x x ππω=-+，令()0f x =得：Z k k x ∈=-+,33πωππω，即Z k k x ∈-+=,33ωπωππ，……8分()f x 在[,]2ππ上仅有一个零点，332(1)33,2(1)33k k k Z k πππωππωπππωπωπππωπω⎧+-⎪≤≤⎪⎪⎪-+-⎪∴<∈⎨⎪⎪++-⎪>⎪⎪⎩，0ω>， 3162268 322k k k k ωωω-⎧≤≤-⎪⎪∴>-⎨⎪+⎪<⎩，0ω>，6203162232682k k k k k ⎧⎪->⎪-⎪∴≤-⎨⎪+⎪-<⎪⎩，解得：123k ≤<，k Z ∈，1k ∴=，251<≤∴ω． ……12分19．解：（1）在平面EDC 内作EF CD ⊥于点F ，因为平面ABCD ⊥平面EDC ，平面ABCD 平面EDC DC =，所以EF ⊥平面ABCD ， ……2分 因为E 为半圆弧CD 上一点，所以CE ED ⊥，所以1133E ABCD ABCD CE ED V S EF CD-⋅=⋅⋅=CE ED =⋅， ……4分 因为2225CE ED CD +==，22522E ABCD CE ED V -+∴≤==当且仅当CE ED ==时等号成立，所以四棱锥E ABCD -． ……6分（2）由条件①得：4||||cos ||||cos DE DC CDE CE DC DCE ∠=∠，即224DE CE =，所以2DE CE =，又因为225DE CE +=，所以1DE =，2CE =，由条件②得：因为//AD BC ，BC ⊥平面DCE ，所以CBE ∠为直线AD 与BE 所成角，且2sin 3CE CBE BE ∠==，tan CECBE BC =∠=，由条件③得：sin sin EAB EB EBA EA ∠==∠，设AD x =，则222232x CE x DE +=+，若选条件①②，则1DE =，2CE =，且t a n CE CBE BC =∠=，所以AD BC == 若选条件①③，则1DE =，2CE =，且222232x CE x DE +=+，所以AD BC x ===若选条件②③，则tan CE CBE x =∠=，且222232x CE x DE +=+，225DE CE +=，所以AD BC x ===即从①②③任选两个作为条件，都可以得到AD BC == ……9分下面求AD 与平面EAB 所成角的正弦值：方法一：设点D 到平面EAB 的距离为h ，AD 与平面EAB 所成角为θ，则由D EABE DAB V V --=得：12EAB DAB h S EF S ∆∆⋅=⋅=EABh S ∆=， 作FG AB ⊥于点G ，连接EG ，则由EF ⊥平面ABCD 知FG 是EG 在平面ABCD 内的射影，所以EG AB ⊥，111222EAB S AB EG ∆∴=⋅⋅===，EABh S ∆∴==sin h AD θ∴==， 所以AD 与平面EAB……12分 方法二：以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B，D，E ，5(AE ∴=，(5,0,0)AB =，设平面EAB 的法向量为(,,)mx y z =，则0550 x y +==， 令1z =，则5(0,,1)2m =-，cos ,AD m ∴<>==， AD 与平面EAB 所成角,2AD m π=-<>，所以AD 与平面EAB20．解：（1）由频数分布表得：145176209231226829632422.7622.850x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==≈，所以这50个社区这一天垃圾量的平均值为22.8吨． ……3分 （2）由（1）知22.8μ=， 5.2s =， 5.2s σ∴==，10.6827(28)()0.158652P X P X μσ-∴>=>+==， ……5分3200.1586550.76851⨯=≈， 所以这320个社区中 “超标”社区的个数为51． ……7分 （3）由频数分布表知：8个“超标”社区中这一天的垃圾量至少为30.5吨的社区有4个，所以Y 的可能取值为1,2,3,4，且1444581(1)14C C P Y C ===，2344583(2)7C C P Y C ===， 3244583(3)7C C P Y C ===，4144581(4)14C C P Y C ===， ……10分 所以Y()12341477142E Y ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=．……12分21．解：（1）22221x y a b+=与24y x =有相同的焦点，所以221a b -= ①，又 抛物线的准线被椭圆截得的弦长为3，223b a∴= ②，解①②得2a =，b =C 的方程为22143x y +=． ……4分（2）设直线:(1)AB y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立直线与椭圆方程22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 得：222(34)84120k x k x k +-+-=， 则2122834k x x k+=+，212241234k x x k -=+， ……6分 21224234x x k k+∴=+，121223(1)2234y y x x k k k ++-∴=-=+， P ∴的坐标为22243(,)3434k kk k-++，直线3:4OP y x k =- ③， ……7分 直线AB 方程(1)y k x =-中令0x =得y k =-，E ∴的坐标为(0,)k -，因为直线EQ OP ⊥，EQ ∴的直线方程为43ky x k =- ④， ……8分 将③④联立相乘得到2234y x x =-+，即2239()864x y -+=，所以点Q 的轨迹为以3(,0)8为圆心，38为半径的圆， ……10分所以存在定点3(,0)8H ，使得QH 的长为定值38． ……12分22．解：（1）当1m =时，2ln 1()x f x x +=，32ln 1()x f x x +'∴=-， ……………1分 令()0f x '=，得12x e-=，120x e -∴<<时，()0f x '>，()f x 单调递增，12x e->时，()0f x '<，()f x 单调递减，12max ()()2ef x f e -∴==． ………………4分 （2）由()ln f x m x =-得22(1)ln 01m x x x --=+，令22(1)()ln 1m x g x x x -=-+， 所以方程()ln f x m x =-的实根的个数即为函数()g x 在(0,)+∞上的零点的个数， (1)0g =，1x ∴=是函数()g x 的一个零点， ………………5分又22221(1)11(1)()ln ln ()111m m x x g x g x x x x x--=-=-+=-++，()g x ∴在(0,1)(1,)+∞上的零点互为倒数，下面先研究()g x 在(1,)+∞上的零点的个数：222222214(1)4()(1)(1)(1)mx x mx g x x x x x x +-'=-=>++， ………………6分 （i ）若0m ≤，则1x >时，22(1)()ln 01m x g x x x -=->+，()g x ∴在(1,)+∞上的没有零点；………………7分（ii ）若0m >，则222222222(1)4(1)(1)()(1)(1)(1)x mx x x g x x x x x x +-++-+'==>++，令2()1(1)h x x x =-+>，①440m ∆=-≤，即01m <≤时，()0h x ≥，()0g x '∴≥，()g x 在(1,)+∞上递增，()(1)0g x g ∴>=，()g x ∴在(1,)+∞上的没有零点；………………9分②440m ∆=->，即1m >时，()0h x =有两个不等实根12,x x ，且121x x =，∴大根21x =>，小根101x <<，2(1,)x x ∴∈时，()0h x <，()0g x '<，()g x 单调递减，2(,)x x ∈+∞时，()0h x >， ()0g x '>，()g x 单调递增，2()(1)0g x g ∴<=，又222(1)2()011m mm m m e mg e m e e -=-=>++，()g x ∴在2(1,)x 上恒小于0，在2(,)x +∞上存在唯一02(,)mx x e ∈使得0()0g x =，()g x ∴在(1,)+∞上仅有一个零点0x ，……11分 因为()g x 在(0,1)(1,)+∞上的零点互为倒数，且(1)0g =，所以1m ≤时，()g x 仅有一个零点；1m >时，()g x 有三个零点．综上：1m ≤时，方程()ln f x m x =-仅有一个实根；1m >时，方程()ln f x m x =-有三个实根． ……………12分参考解法二：由()ln f x m x =-得22(1)ln 01m x x x --=+，1x =显然是该方程的一个根；………………5分1x ≠时，方程等价于22(1)ln 1x x m x +=-，令22(1)ln ()(0,1)1x xh x x x x +=>≠-， 则4222222214ln 1()(4ln )(1)(1)x x x x h x x x x x x x --'==--+--， ……………6分 令221()4ln x x x x ϕ=-+，则2233422(1)()20x x x x x xϕ-'=--=-<， 0x ∴>时，()x ϕ单调递减， ……………7分 01x ∴<<时，()(1)0x ϕϕ>=，()0h x '<，()h x 单调递减，1x >时，()(1)0x ϕϕ<=，()0h x '>，()h x 单调递增，……………8分 由x →+∞时，()h x →+∞，0x →时，()h x →+∞1x →时，()1h x →，可画出()h x 的大致图像如图所示：（注：此处用到了高中教材中没有涉及到的函数极限知识，可酌情扣2—3分）结合图像得：1m >时，方程()m h x =有两个实根；1m ≤时，方程()m h x =没有实根； 综合得：1m ≤时，方程()ln f x m x =-仅有一个实根；1m >时，方程()ln f x m x =-有三个实根． ……………12分。
江苏大联考2021届高三第八次联考数学(理)试卷 Word版含答案
江 苏 大 联 考2021届高三第八次联考·数学试卷考生留意:1.本试卷分数学Ⅰ试题,共160分,考试时间120分钟;数学Ⅱ(附加题),共40分,考试时间30分钟.2.答题前,考生务必将密封线内的项目填写清楚.3.请将各题答案填在试卷后面的答题卷上.4.交卷时,可依据需要在加注“”标志的夹缝处进行裁剪.5.本试卷主要考试内容:高考全部内容.数学Ⅰ试题一、填空题.(本大题共14小题,每小题5分,共70分.把答案填在答题卷中的横线上.) 1.已知集合A={x|x ≥-2},集合B={x|x 2≤4},则集合(R B)∩A=▲.2.已知a,b ∈R,i 是虚数单位,若a-i 与2+bi 互为共轭复数,则(a+bi)2= ▲ .3.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件,80件,60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了3件,则n= ▲ .4.甲、乙两队进行足球竞赛,若甲获胜的概率为0.3,甲不输的概率为0.8,则两队踢成平局的概率为 ▲ .5.执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为3,则输出s 的值是 ▲ .6.若sin α=-35,α是第三象限的角,则cos α2+sin α2cos α2-sin α2=▲ .7.设 F 1、F 2分别是双曲线 C:x 2a 2-y 2b2=1的左、右焦点,点 P(√62,√22)在此双曲线上,且 PF 1⊥PF 2,则双曲线C 的离心率e= ▲ .8.如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=3,AA 1=AD=2,BE=1,F 是BD 1上一点,且EF ∥平面ADD 1A 1,则三棱锥E-AFC 的体积为 ▲ .9.若S n 为等差数列{a n }的前n 项和,S 5=-10,S 9=-36,则a 3与a 5的等比中项为 ▲ . 10.在△ABC 中,|AB|=6,|AC|=8,O 为△ABC 的外心,则AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ▲ . 11.设函数f(x)=e x (sin x-cos x)(0<x<2π),则函数f(x)的极大值为 ▲ .12.已知不等式组{lnm -lnn ≥0,23-mn ≥0对任意正整数n 恒成立,则实数m 的取值范围是 ▲ .13.已知抛物线y 2=4x 的焦点为F,过点P(2,0)的直线交抛物线于A,B 两点,直线AF,BF 分别与抛物线交于点C,D,设直线AB,CD 的斜率分别为k 1,k 2,则k1k 2= ▲ .14.已知x ∈R,符号[x]表示不超过x 的最大整数,若函数f(x)=[x]x -a(x ≠0)有且仅有3个零点,则a 的取值范围是 ▲ .二、解答题.(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.(本小题满分14分)如图,在△ABC 中,B=π3,BC=2,点D 在边AB 上,AD=DC,DE ⊥AC,E 为垂足.(1)若△BCD 的面积为√33,求CD 的长;(2)若ED=√62,求角A 的大小.16.(本小题满分14分)如图所示的五面体中,四边形ABCD 是矩形,AD ⊥平面ABEF,AB ∥EF,且AD=1,AB=12EF=2√2,AF=BE=2,点P 、Q 、M 分别为AE 、BD 、EF 的中点. (1)求证:PQ ∥平面BCE;(2)求证:AM ⊥平面ADF.17.(本小题满分14分) 已知椭圆T:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率为√53,过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为83.(1)求椭圆T 的方程;(2)过点P(2,1)的两条直线分别与椭圆T 交于点A,C 和B,D,若AB ∥CD,求直线AB 的斜率. 18.(本小题满分16分)某食品厂需要定期购买食品配料,该厂每天需要食品配料200千克,配料的价格为每千克1.8元,每次购买配料需支付运费236元.每次购买来的配料还需支付保管费用(若n 天购买一次,需要支付n 天的保管费),其标准如下:7天以内(含7天),无论重量多少,均按每天10元支付;超出7天以外的天数,依据实际剩余配料的重量,以每千克每天0.03元支付.(1)当9天购买一次配料时,求该厂用于配料的保管费用p 是多少元?(2)若该厂x 天购买一次配料,求该厂在这x 天中用于配料的总费用．．．y(元)关于x 的函数关系式,并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用．．．．．．．．．最少? 19.(本小题满分16分)设函数f(x)=(x-1)e x -kx 2(其中k ∈R). (1)当k=1时,求函数f(x)的单调区间;(2)当k ∈(12,1]时,求函数f(x)在[0,k]上的最大值M.20.(本小题满分16分)已知数列{a n }中,a 1=3,a n+1+a n =3·2n ,n ∈N *.(1)证明:数列{a n -2n }是等比数列,并求数列{a n }的通项公式.(2)在数列{a n }中,是否存在连续三项成等差数列?若存在,求出全部符合条件的项;若不存在,请说明理由. (3)若1<r<s 且r,s ∈N *,求证:使得a 1,a r ,a s 成等差数列的点列(r,s )在某始终线上.数学Ⅱ (附加题)21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题,请选定其中两小．．．．．．．题作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.[选修4-1:几何证明选讲](本小题满分10分)如图,AB 为☉O 的直径,直线CD 与☉O 相切于E,AD 垂直CD 于D,BC 垂直CD 于C,EF 垂直AB 于F,连接AE,BE.求证:∠FEB=∠CEB.B.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)已知二阶矩阵M=[2ba 1],矩阵M 对应变换将点(1,2)变换成点(10,5),求M -1.C.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)已知曲线C 的极坐标方程是ρ=4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是{x =1+tcosα,y =tsinα(t 是参数).若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,且|AB|=√14,求直线倾斜角α的值.D.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分) 已知a 、b 、c 都是正数,求证:12a +12b +12c ≥1b+c +1c+a +1a+b .【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分10分)某企业规定,员工在一个月内有三项指标任务.若完成其中一项指标任务,可得奖金160元;若完成其中两项指标任务,可得奖金400元;若完成三项指标任务,可得奖金800元;若三项指标都没有完成,则不能得奖金且在基本工资中扣80元,假设员工甲完成每项指标的概率都是12.(1)求员工甲在一个月内所得奖金为400元的概率;(2)求员工甲在一个月内所得奖金数的分布列和数学期望.23.(本小题满分10分)设m>3,对于项数为m 的有穷数列{a n },令b k 为a 1,a 2,…,a k (k ≤m)中的最大值,称数列{b n }为{a n }的“创新数列”.例如:数列3,5,4,7的创新数列为3,5,5,7.考查自然数1,2,…,m(m>3)的全部排列,将每种排列都视为一个有穷数列{c n }.(1)是否存在数列{c n }的创新数列为等比数列?若存在,求出符合条件的创新数列;若不存在,请说明理由.(2)是否存在数列{c n },使它的创新数列为等差数列?若存在,求出全部符合条件的数列{c n }的个数;若不存在,请说明理由.。
江苏省2021届高三年级苏州八校联盟第二次适应性检测高三数学试题(word版含答案)
2021届高三苏州八校联盟第二次适应性检测数学试题（含答案）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．已知双曲线方程为2213y x -=，则该双曲线的渐近线方程为A ．x =B ．x =C ．y =D ．y = 2．据记载，欧拉公式i e cos isin x x x =+(x ∈R)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”．特别是当x ＝π时，得到一个令人着迷的优美恒等式i e 10π+=，这个恒等式将数学中五个重要的数（自然对数的底e ，圆周率π，虛数单位i ，自然数的单位1和零元0）联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的公式”．根据欧拉公式，若复数2i 3e z π=，则复数z 在复平面内对应的点在第几象限A ．一B ．二C ．三D ．四 3．数列{}n a 的通项公式22n n a n =+，若该数列的第k 项k a 满足40＜k a ＜70，则k 的值为A ．3B ．4C ．5D ．6 4．饕餮(t āo ti è)纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期，最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上．有人将饕餮纹的一 部分画到了方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为1，有一点P 从A 点出发跳动五次到达点B ，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么恰好是沿着饕餮纹的路线到达的概率为A ．15B ．110 C ．116 D ．1325．已知向量a ＝(sin θ，﹣2)，b ＝(1，cos θ)，且a ⊥b ，则sin2θ＋cos 2θ的值为 A ．1 B ．2 C ．12D ．3 6．17世纪法国数学家费马在《平面与立体轨迹引论》中证明，方程222a x ky -=(k ＞0，k ≠1，a ≠0)表示椭圆，费马所依据的是椭圆的重要性质：若从椭圆上任意一点P 向长轴AB （异于A ，B 两点）引垂线，垂足为Q ，则2PQ AQ BQ⋅为常数．据此推断，此常数的值为A ．椭圆的离心率B ．椭圆离心率的平方C ．短轴长与长轴长的比D ．短轴长与长轴长比的平方 7．已知方程23ln 02x ax -+=有4个不同的实数根，则实数a 的取值范围是A ．(0，2e 2)B ．(0，2e 2]C ．(0，2e 3)D ．(0，2e 3]8．在平面四边形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝4，BC ＝CD ＝2，则四边形ABCD 面积的最大值为A B C ． D ．二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．将()221f x x x -+的图象向左平移4π个单位，再向下平移1个单位，得到 函数()y g x =的图象，则下列关于函数()y g x =的说法正确的是 A ．函数()y g x =的最小正周期是2πB ．函数()y g x =的一条对称轴是8x π=C ．函数()y g x =的一个零点是38π D ．函数()y g x =在区间[12π，58π]上单调递减10．如图，在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为A 1D 1的中点，Q 为A 1B 1上任意一点，E ，F 为CD 上两点，且EF 的长为定值，则下面四个值中 是定值的为A ．三棱锥P —QEF 的体积B ．直线A 1E 与PQ 所成的角C ．直线PQ 与平面PEF 所成的角D ．二面角P —EF —A 1的余弦值11．已知圆M ：22(2)1x y +-=，点P 为x 轴上一个动点，过点P 作圆M 的两条切线，切 点分别为A ，B ，直线AB 与MP 交于点C ，则下列结论正确的是 A ．四边形PAMB 周长的最小值为2＋3 B ．AB 的最大值为2 C ．若P(1，0)，则三角形PAB 的面积为85D ．若Q(15，0)，则CQ 的最大值为9412．已知数列{}n a 满足：11a ≥，111()2n n na a a +=+．下列说法正确的是 A ．存在1a ，使得{}n a 为常数数列 B ．1n n a a +≤ C ．212n n n a a a +++≤ D ．1i 11(1)1nii a a a =+-≤-∑ 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．在4()()x y x y -+展开式中，32x y 的系数为 ．14．2013年国家提出“一带一路”发展战略，共建“一带一路”致力于亚欧非大陆及附近 海洋的互联互通，建立和加强沿线各国互联互通伙伴关系，构建全方位、多层次、复合型的互联互通伙伴关系，实现沿线各国多元、自主、平衡、可持续的发展．为积极响应国家号召，中国的5家企业，对“一带一路”沿线的3个国家进行投资，每个国家至少一个企业，则有 种不同的方案． 15．在三棱锥P —ABC 中，满足PA ＝BC ＝2，PB ＝AC ，PC ＝AB ，且PB·PC＝9，则三棱锥 P —ABC 外接球表面积的最小值为 ．16．已知椭圆方程为22143x y +=，A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，P 点为椭圆上任意一点 （异于左、右顶点），直线BP 交直线x ＝﹣4于点M ．设AP ，AM 的斜率分别为1k ，2k ，若直线AP 平分∠BAM ，则12k k +的值为 ． 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）在①442(1)S a =+，②221n n a a =+，③22222645a a a a +=+中任选两个，补充在横线上，并回答下面问题．已知公差不为0的等差数列{}n a ，且 ． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若21n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S ．18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥A—BCDE中，四边形BCDE为梯形，ED∥BC，且ED＝12 BC，△ABC是边长为2的正三角形，顶点D在AC边上的射影为F，且DF＝1，CD BD＝2．（1）证明：AC⊥BD；（2）求二面角E—AB—D的余弦值．19．（本小题满分12分）如图，在三角形ABC中，已知AB＝1，AC＝3，D为BC的三等分点（靠近点B），且∠BAD＝30°．（1）求sin∠CAD的值；（2）求△ABC的面积．20．（本小题满分12分）探索浩瀚宇宙是全人类的共同梦想，我国广大科技工作者、航天工作者为推动世界航天事业发展付出了艰辛的努力，为人类和平利用太空、推动构建人类命运共同体贡献了中国智慧、中国方案、中国力量．（1）某公司试生产一种航空零件，在生产过程中，当每小时次品数超过90件时，产品的次品率会大幅度增加，为检测公司的试生产能力，同时尽可能控制不合格品总量，抽取几组一小时生产的产品数据进行次品情况检查分析，已知在x 百件产品中，得到次品数量y （单位：件）的情况汇总如下表所示，且y （单位：件）与x （单位：百件）线性相关：根据公司规定，在一小时内不允许次品数超过90件，请通过计算分析，按照公司的现有 生产技术设备情况，判断可否安排一小时试生产10000件的任务？（2）“战神”太空空间站工作人员需走出太空站完成某项试验任务，每次只派一个人出去，且每个人只派出一次，工作时间不超过10分钟，如果有人10分钟内不能完成任务则撤回，再派下一个人，直到完成任务为止．现在一共有n 个人可派，工作人员1a ，2a ，3a …n a 各自在10分钟内能完成任务的概率都为12，各人能否完成任务相互独立，派出工作人员顺序随机，记派出工作人员的人数为X ，X 的数学期望为E(X)，证明：E(X)＜2．（参考公式：用最小二乘法求线性回归方程y bx a =+的系数公式1122211()()()nni iii i i nniii i x ynx y xx y y b xnxxx ====-⋅--==--∑∑∑∑；a y bx =-．）（参考数据：514530i i i x y ==∑，5215750i i x ==∑．）21．（本小题满分12分）已知函数()(48)lnf x ax x bx=-+(a，b∈R)．（1）若a＝12，b＝0，求函数()f x的单调区间；（2）若a∈Z，b＝﹣1，满足()f x≤0对任意x∈(0，+∞)恒成立，求出所有满足条件的a的值．22．（本小题满分12分）如图，已知椭圆C1：22221x ya b+=(a＞b＞0)，且离心率为12，抛物线C2：22y px =(p ＞0)．点P(1，32)是椭圆C 1与抛物线C 2的交点． （1）求曲线C 1和曲线C 2的方程；（2）过点P 作斜率为k (k ＜0)的直线l 1交椭圆C 1于点A ，交抛物线C 2于点B （A ，B 异 于点P ）．①若PB 3PA =，求直线l 1的方程；②过点P 作与直线l 1的倾斜角互补的直线 l 2，且直线l 2交抛物线C 2于点C ，交椭圆C 1于点D （C ，D 异于点P ）．记△PAC 的面积为 S 1，△PBD 的面积为S 2．若12S S ∈(121，311)，求k 的取值范围．。
2021年高三八省联考数学试卷(含答案)
A． 在 单调递增
B． 有两个零点
C．曲线 在点 处切线的斜率为
D． 是偶函数
10．设 为复数， ．下列命题中正确的是（）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
11．右图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（）
A． B． C． D．
12．设函数 ，则（）
A． B． 的最大值为
故渐近线方程为： ，所以 ， ，
又 ， ，
所以
，
因为故 ，
故 .
22.已知函数 ．
（1）证明：当 时， ；
（2）若 ，求 ．
【详解】(1)分类讨论：
①.当 ， ；
②.当 时， ，
，
则函数 在 上单调增，则 ，
则函数 在 上单调减，则 ；
③.当 时，由函数的解析式可知 ，
当 时，令 ，则 ，
故函数 在区间 上单调递增，从而： ，
故 ，
.
故答案为： ； .
15.
【详解】由最小正周期为2，可考虑三角函数中的正弦型函数 ， ，
满足 ，即是奇函数；
根据最小正周期 ，可得 .
故函数可以是 中任一个，可取 .
故答案为： .
16.
【详解】根据正态曲线的对称性知：要使误差 在 的概率不小于0.9545，
则 且 ， ，
所以 .
故答案为：32.
所以 （ ）
18.在四边形 中， ， ．
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求 ．
【详解】（1）在 中，由余弦定理可得 ，
， ，
在 中，由余弦定理可得 ， ；
（2）设 ，则 ，
在 中， ，
在 中， ，
江苏省苏州八校联盟2021届高三上学期第一次适应性检测数学试题 含解析
∴ aa a1 a ， bb b1 b ，故 aa bb a b ( a b)2 1 ，故选 C．
2
2
8．函数 f (x) 16 sin 2 x 9 cos2 x 16 cos2 x 9 sin 2 x 的值域为
为 a，b 的加权平均数．如
ab
2
图，C 为线段 AB 上的点，且 AC＝a，CB＝b，O 为 AB 中点，以 AB 为直径作半圆， 过点 C 作 AB 的垂线交半圆于 D，连接 OD，AD，BD，过点 C 作 OD 的垂线，垂足为 E，取弧 AB 的中点 F，连接 FC，则
A．OD 的长度是 a，b 的几何平均数 B．DE 的长度是 a，b 的调和平均数
则 a 的取值范围是
．
15．如图，在 P 地正西方向 8km 的 A 处和正东方向 1km 的 B
处各有一条正北方向的公路 AC 和 BD，现计划在 AC 和
BD 路边各修建一个物流中心 E 和 F，为缓解交通压力，
决定修建两条互相垂直的公路 PE 和 PF，设∠EPA＝ ( 0 )，为了节省建设成本，要使得 PE＋PF 的值
(m) cos C
恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的(m) ，并证明之；若不存在，请给出一个理由．
22．（本小题满分 12 分）
已知函数 f (x) ex ， g(x) ax 1，其中 e＝2.71828…为自然对数的底数．
（1）设 a N ， f (x) g(x) 恒成立，求 a 的最大值；
（2）设
a＞0，讨论函数 h(x)
1
f (g(x)) cos x e a
在[0，
]上的零点个数．（参考
江苏省苏州八校联盟2021届高三上学期第一次适应性检测数学试题 含解析
江苏省苏州市2021届高三苏州八校联盟第一次适应性检测数学试题2020．10一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．已知集合A ＝11N2162x x +⎧⎫∈<<⎨⎬⎩⎭，B ＝{}240x x x m -+=，若1∈A B ，则A B ＝A ．{1，2，3}B ．{1，2，3，4}C ．{0，1，2}D ．{0，1，2，3} 2．命题“x ∀∈(0，1)，20x x -<”的否定是A ．0x ∃∉(0，1)，2000x x -≥ B ．0x ∃∈(0，1)，2000x x -≥ C ．0x ∀∉(0，1)，2000x x -< D ．0x ∀∈(0，1)，2000x x -≥ 3．()1cos xf x x=-的部分图象大致是4．函数2(ln 1)y x x =+在x ＝1处的切线方程为A ．42y x =+B ．24y x =-C ．42y x =-D ．24y x =+ 5．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos2B ＋2sinAsinC ＝1，则B 的 最大值为 A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 6．如图直角坐标系中，角α(0＜α＜2π)、角β(02πβ-<<)的终边分别交单位圆于A ，B 两点，若B 点的纵坐标为513-，且满足S △AOB ＝34，则1sin (3sin )2222ααα-+的值为 A ．513-B ．1213C ．1213- D ．5137．已知a ＞0，b ＞0，1a b +=，则A ．baa b ≥ B ．baa b ≤ C ．12aba b +>D ．1a ba b +<第11题 第6题8．函数2222()16sin 9cos 16cos 9sin f x x x x x =+++的值域为A ．[5，10]B ．[52，10]C ．[7，10]D ．[7，52]二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．下面命题正确的是 A ．“a ＞1”是“11a<”的充分不必要条件 B ．在△ABC 中，“sinA ＋cosA ＝sinB ＋cosB ”是“A ＝B ”的充要条件 C ．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的必要而不充分条件 D ．设a ，b ∈R ，则“a ≠0”是“ab ≠0”的必要不充分条件10．已知函数()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中正确的是 A ．函数()f x 的值域与()g x 的值域不相同 B ．把函数()f x 的图象向右平移2π个单位长度，就可以得到函数()g x 的图象 C ．函数()f x 和()g x 在区间(4π-，4π)上都是增函数 D ．若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数()g x 的零点11．设a ＞0，b ＞0，称2ab a b +为a ，b 的调和平均数，称222a b +为a ，b 的加权平均数．如图，C 为线段AB 上的点，且AC ＝a ，CB ＝b ，O 为AB 中点，以AB 为直径作半圆，过点 C 作AB 的垂线交半圆于D ，连接OD ，AD ，BD ，过点C 作OD 的垂线，垂足为E ，取弧 AB 的中点F ，连接FC ，则A ．OD 的长度是a ，b 的几何平均数B ．DE 的长度是a ，b 的调和平均数C ．CD 的长度是a ，b 的算术平均数 D ．FC 的长度是a ，b 的加权平均数 12．关于函数2()ln f x x x=+，下列判断正确的是 A ．x ＝2是()f x 的极大值点B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点C ．存在正实数k ，使得()f x kx >成立D ．对任意两个正实数1x ，2x ，且1x ＞2x ，若12()()f x f x =，则124x x +> 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．若关于x 的不等式ax ﹣b ＜0的解集是(1，+∞)，则关于x 的不等式02ax bx +>-的解集是 ．14．已知函数0()10x x f x x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩，，，则((5))f f -＝ ；若实数a 满足(())f f a a ≥，则a 的取值范围是 ．15．如图，在P 地正西方向8km 的A 处和正东方向1km 的B处各有一条正北方向的公路 AC 和BD ，现计划在AC 和 BD 路边各修建一个物流中心E 和F ，为缓解交通压力， 决定修建两条互相垂直的公路PE 和PF ，设∠EPA ＝α(02πα<<)，为了节省建设成本，要使得 PE ＋PF 的值最小，则当PE ＋PF 的值最小时，AE ＝ km ．第15题 16．已知α，β∈(4π，2π)，且22sin sin sin()cos cos αβαβαβ⋅=+⋅⋅，则tan()αβ+的最大值为 ．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）（1）已知2lglg lg 2x y x y -=+，求xy的值； （2）求值：14sin80tan10︒-︒．18．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，c ＝2．有以下3个条件：①2c cosA ＝b ；②2b ﹣a ＝2c cosA ；③a ＋b ＝2c ．请在以上3个条件中选择一个，求△ABC 面积的最大值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 19．（本小题满分12分）如图，A 、B 是一矩形OEFG 边界上不同的两点，且∠AOB ＝45°，OE ＝1，EF ＝3，设∠AOE ＝α．（1）写出△AOB 的面积关于α的函数关系式()f α； （2）求（1）中函数()f α的值域．20．（本小题满分12分）对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”．（1）已知二次函数2()24f x ax x a =+-(a ∈R)，试判断()f x 是否为“局部奇函数”？并说明理由；（2）若12()423xx f x m m +=-⋅+-为定义域R 上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围． 21．（本小题满分12分）在非直角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）若a ＋c ＝2b ，求角B 的最大值； （2）若a ＋c ＝mb (m ＞1)．（i ）证明：A C 1tantan 221m m -=+；（可能运用的公式有sin sin 2sin2αβαβ++=cos2αβ-）（ii ）是否存在函数()m ϕ，使得对于一切满足条件的m ，代数式cos A cos C ()()cos A cos Cm m ϕϕ++恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的()m ϕ，并证明之；若不存在，请给出一个理由． 22．（本小题满分12分）已知函数()e xf x =，()1g x ax =-，其中e ＝2.71828…为自然对数的底数． （1）设a N +∈，()()f x g x ≥恒成立，求a 的最大值；（2）设a ＞0，讨论函数1()(())cos e ah x f g x x -=⋅-在[0，2π]上的零点个数．（参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10）江苏省苏州市2021届高三苏州八校联盟第一次适应性检测数学试题2020．10一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．已知集合A ＝11N2162x x +⎧⎫∈<<⎨⎬⎩⎭，B ＝{}240x x x m -+=，若1∈A B ，则A B ＝A ．{1，2，3}B ．{1，2，3，4}C ．{0，1，2}D ．{0，1，2，3} 答案：D解析：∵若1∈A B ，∴B ＝{1，3}，又∵A ＝11N2162x x +⎧⎫∈<<⎨⎬⎩⎭＝{0，1，2}，∴A B ＝{0，1，2，3}，故选D ． 2．命题“x ∀∈(0，1)，20x x -<”的否定是A ．0x ∃∉(0，1)，2000x x -≥ B ．0x ∃∈(0，1)，2000x x -≥ C ．0x ∀∉(0，1)，2000x x -< D ．0x ∀∈(0，1)，2000x x -≥ 答案：B解析：全称量词命题的否定，首先全称量词变存在量词，同时否定结论，故选B ． 3．()1cos xf x x=-的部分图象大致是答案：A解析：首先可判断函数()f x 是奇函数，其次可判断x ≠0，当x ＞0时，()f x ＞0，综上，选A ．4．函数2(ln 1)y x x =+在x ＝1处的切线方程为A ．42y x =+B ．24y x =-C ．42y x =-D ．24y x =+ 答案：C解析：设切线斜率为k ，首先求得切点是(1，2)，2ln 4y x '=+，故k ＝4，根据点斜式得，y ﹣2＝4(x ﹣1)，即42y x =-，故选C ．5．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos2B ＋2sinAsinC ＝1，则B 的 最大值为 A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 答案：C解析：由cos2B ＋2sinAsinC ＝1，得sinAsinC ＝sin 2B ，即ac ＝b 2，∴cosB ＝2221122222a c b a c ac c a +-=+-≥，则B 的最大值为3π，故选C ． 6．如图直角坐标系中，角α(0＜α＜2π)、角β(02πβ-<<)的终边分别交单位圆于A ，B 两点，若B 点的纵坐标为513-，且满足S △AOB ＝34，则1sin (3sin )2222ααα-+的值为A ．513-B ．1213C ．1213- D ．513答案：B 解析：∵123cos 13β=>02πβ-<<，故06πβ-<<，又0＜α＜2π， ∴0＜αβ-＜23π，即∠AOB ∈(0，23π)，根据S △AOB ＝34，得sin ∠AOB ＝3π，13112sin(3sin )cos cos()cos 222222313αααπαααβ-+=+=-==，故选B ．7．已知a ＞0，b ＞01a b =，则A ．baa b ≥ B ．baa b ≤ C ．12aba b +> D ．1a ba b +< 答案：C解析：∵a ＞0，b ＞01a b =，故0＜a ＜1，0＜b ＜1，∴1aa a a >=，1bb b b >=，故2()122aba b a b a b +>+≥=，故选C ． 8．函数2222()16sin 9cos 16cos 9sin f x x x x x =++A ．[5，10]B ．[210]C ．[7，10]D ．[7，52答案：D解析：∵2222()16sin 9cos 16cos 9sin f x x x x x =++∴22()2557649sin 2f x x =+0≤2sin 2x ≤1，故49≤2()f x ≤50，又()f x ≥0，∴7≤()f x ≤2D ．二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．下面命题正确的是 A ．“a ＞1”是“11a<”的充分不必要条件 B ．在△ABC 中，“sinA ＋cosA ＝sinB ＋cosB ”是“A ＝B ”的充要条件 C ．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的必要而不充分条件 D ．设a ，b ∈R ，则“a ≠0”是“ab ≠0”的必要不充分条件 答案：AD解析：选项A ，a ＞111011a a⇒<<⇒<，故A 正确； 选项B ，sinA ＋cosA ＝sinB ＋cosB sin(A )sin(B )44ππ⇔+=+⇔A ＝B 或A ＋B ＝2π，故B 错误； 选项C ，“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的充分不必要条件，故C 错误；选项D ，∵a ≠0时，ab ≠0不一定成立，而ab ≠0，则a ≠0一定成立，故D 正确． 综上，选AD ．10．已知函数()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中正确的是 A ．函数()f x 的值域与()g x 的值域不相同 B ．把函数()f x 的图象向右平移2π个单位长度，就可以得到函数()g x 的图象 C ．函数()f x 和()g x 在区间(4π-，4π)上都是增函数 D ．若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数()g x 的零点 答案：CD解析：()sin cos )4f x x x x π=-=-，()cos sin )4g x x x x π=+=+，所以函数()f x 的值域与()g x 的值域相同，A 错误，把函数()f x 的图象向右平移2π个单位长度，得到3)4y x π=-，并不是函数()g x 的图象，故B 错误；选项C ，D 都正确，故选CD ．11．设a ＞0，b ＞0，称2ab a b +为a ，b 的调和平均数，称222a b +为a ，b 的加权平均数．如图，C 为线段AB 上的点，且AC ＝a ，CB ＝b ，O 为AB 中点，以AB 为直径作半圆，过点 C 作AB 的垂线交半圆于D ，连接OD ，AD ，BD ，过点C 作OD 的垂线，垂足为E ，取弧 AB 的中点F ，连接FC ，则A ．OD 的长度是a ，b 的几何平均数B ．DE 的长度是a ，b 的调和平均数C ．CD 的长度是a ，b 的算术平均数 D ．FC 的长度是a ，b的加权平均数答案：BD解析：OD 的长度是a ，b 的算术平均数，CD 的长度是a ，b 的算术平均数，DE 的长度是a ，b 的调和平均数，FC 的长度是a ，b 的加权平均数，故选BD ． 12．关于函数2()ln f x x x=+，下列判断正确的是 A ．x ＝2是()f x 的极大值点B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点C ．存在正实数k ，使得()f x kx >成立D ．对任意两个正实数1x ，2x ，且1x ＞2x ，若12()()f x f x =，则124x x +> 答案：BD 解析：2()ln f x x x =+，22()x f x x-'=， 选项A ，x ＝2是()f x 的极小值点，故A 错误；选项B ，()y f x x =-，2220x x y x-+'=-<，y 在(0，+∞)上单调递减，当x ＝1时，y ＞0，当x ＝2时，y ＜0，故函数()y f x x =-有且只有1个零点，B 正确；选项C ，由2()1ln f x x x x x =+，当x →+∞，210x →，ln 0xx→，知C 错误； 选项D ，212121212()()()ln x x xf x f x x x x -=⇒=，欲证124x x +>，则证212121212()()4ln x x x x x x x x -+=，即证212212112ln 0(1)x x x xx x x x -->>，显然成立，故D 正确，故选BD ．三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．若关于x 的不等式ax ﹣b ＜0的解集是(1，+∞)，则关于x 的不等式02ax bx +>-的解集是 ． 答案：(﹣1，2)解析：∵不等式ax ﹣b ＜0的解集是(1，+∞)， ∴a ＜0，1ba=， ∵02ax bx +>-， ∴﹣1＜x ＜2，解集为(﹣1，2)．14．已知函数0()10x f x x x >=+≤⎪⎩，，则((5))f f -＝ ；若实数a 满足(())f f a a ≥，则a 的取值范围是 ．答案：2；(-∞，﹣1]解析：((5))(4)2f f f -===，14,0(())10,10,1a a f f a a a a ⎧>⎪=-<≤<-=-⎪⎩，∴(())f f a a ≥，解得a ≤﹣1．15．如图，在P 地正西方向8km 的A 处和正东方向1km 的B 处各有一条正北方向的公路 AC和BD ，现计划在AC 和BD 路边各修建一个物流中心E 和F ，为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路PE 和PF ，设∠EPA ＝α(02πα<<)，为了节省建设成本，要使得 PE ＋PF 的值最小，则当PE ＋PF 的值最小时，AE ＝ km ．答案：4解析：由PE ＋PF ＝81cos sin αα+，由权方和知22411tan cos sin 2ααα=⇒=， 故AE ＝8tan α＝4． 16．已知α，β∈(4π，2π)，且22sin sin sin()cos cos αβαβαβ⋅=+⋅⋅，则tan()αβ+的最大值为 ． 答案：﹣4解析：由已知齐次化得2(tan tan )tan tan αβαβ=+，故2tan tan (tan tan 11)tan()41tan tan tan tan 1αβαβαβαβαβ+-++==-≤---．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）（1）已知2lglg lg 2x y x y -=+xy的值； （2）求值：14sin80tan10︒-︒．解：（1）由2lglg lg 2x y x y -=+可得：2lg()lg()2x y xy -=且x y >， 所以，222(),602x y xy x xy y -=-+= 即22()6()10,(3)8,322,21x x x x x y y y y y-+=-==+=. （2） 因为14sin 80sin10cos104sin 80tan10sin10--=2sin 20cos10sin10-=2sin(3010)cos10sin10--==18．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，c ＝2．有以下3个条件：①2c cosA ＝b ；②2b ﹣a ＝2c cosA ；③a ＋b ＝2c ．请在以上3个条件中选择一个，求△ABC 面积的最大值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：若选择① 由正弦定理sin sin sin a b cA B C==可将2cos c A b =化为：2sin cos sin C A B = 又A B C π++=，所以sin sin()B A C =+ 所以2sin cos sin()C A A C =+即sin cos cos sin 0A C A C -=，sin()0A C ∴-=，A C ∴=2a c ∴==所以1sin 2sin 22ABC S ac B B ∆==≤（当2B π=时取到等号） 所以ABC ∆面积的最大值为2.若选择② 由正弦定理sin sin sin a b cA B C==可将22cos b a c A -=化为：2sin sin 2sin cos B A C A -=又A B C π++=，所以sin sin()B A C =+ 所以2sin()sin 2sin cos A C A C A +-= 即2sin cos sin A C A =，1cos 2C ∴=又(0,)C π∈，3C π∴=又由余弦定理2222cos c a b ab C =+-可得：2242a b ab ab ab ab =+-≥-=（当且仅当a b =时取等号）1sin 2sin 2ABC S ab C C ∆∴=≤=所以ABC ∆.若选择③因为2c =，所以242a b c ab +==≥4ab ∴≤（当且仅当a b =时取等号）又由余弦定理222cos 2a b c C ab+-=得：2222231()()1242cos 2222a b a b a b abab C ab ab ab ++-+-==≥=（当且仅当a b =时取等号） 03C π∴<≤11sin 4sin 3223ABCS ab C π∆∴=≤⨯⨯=（当且仅当a b =时取等号） 所以ABC ∆面积的最大值为3. 19．（本小题满分12分）如图，A 、B 是一矩形OEFG 边界上不同的两点，且∠AOB ＝45°，OE ＝1，EF ＝3，设∠AOE ＝α．（1）写出△AOB 的面积关于α的函数关系式()f α； （2）求（1）中函数()f α的值域．解：（1）∵OE =1，EF =3∴∠EOF =60° 当α∈[0，15°]时，△AOB 的两顶点A 、B 在E 、F 上， 且AE =tan α,BE =tan(45°+ α)∴f (α)=S △AOB =21[tan(45°+ α)－tan α] =sin 452cos cos(45)αα︒⋅︒+22cos(245)2α+︒+当α∈（15°,45°]时，A 点在EF 上，B 点在FG 上，且OA =αcos 1，OB =3 ∴)(αf =S △AOB =21OA·OB·sin45°=αcos 21·3·sin45° =62cos(2)24πα-+综上得：f (α)= 2[0,]122cos(2)246(,]1242cos(2)24παπαππαπα⎧∈⎪⎪++⎪⎨⎪∈⎪-+⎪⎩ （2）由（1）得：当α∈[0，12π]时 f (α)= 22cos(2)24πα++∈[21,3－1]且当α=0时，f (α)min =21；α=12π时，f (α)max =3－1； 当α∈]4,12(ππ时,－12π≤2 α－4π≤4π，f （α）=62cos(2)24πα-+∈[6－3,23]且当α=8π时，f (α) min =6－3；当α=4π时，f (α) max =23所以f (α) ∈[21,23]． 20．（本小题满分12分）对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”．（1）已知二次函数2()24f x ax x a =+-(a ∈R)，试判断()f x 是否为“局部奇函数”？并说明理由；（2）若12()423xx f x m m +=-⋅+-为定义域R 上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围． 解：（1）当时， 方程即有解，所以为“局部奇函数”． （2）当时，可化为 ．设，则，从而在有解即可保证为“局部奇函数”． 令， 1° 当，在有解， 由，即，解得； 2° 当时，在有解等价于 解得．（说明：也可转化为大根大于等于2求解） 综上，所求实数m 的取值范围为． 21．（本小题满分12分）在非直角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）若a ＋c ＝2b ，求角B 的最大值； （2）若a ＋c ＝mb (m ＞1)．（i ）证明：A C 1tantan 221m m -=+；（可能运用的公式有sin sin 2sin2αβαβ++=cos2αβ-）（ii ）是否存在函数()m ϕ，使得对于一切满足条件的m ，代数式cos A cos C ()()cos A cos Cm m ϕϕ++恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的()m ϕ，并证明之；若不存在，请给出一个理由． 解：（1）因为2a c b +=，所以由余弦定理222cos 2a c b B ac+-=可得：2222231()()1242cos 2222a c a c a c ac ac B ac ac ac ++-+-==≥=（当且仅当a c =时取等号）又(0,)B π∈，(0,]3B π∴∈所以角B 的最大值为3π. （2）（i ）由a c mb +=及正弦定理sin sin sin a b cA B C==得sin sin sin A C m B +=， 所以2sin cos 2sin cos 2222A C A CB Bm +-=（或者由sin()sin()2sin cos 222222A C A C A C A CB Bm +-+-++-=可得上式） 因为222A C B π+=-，所以有cos cos 22A C A Cm -+=， 展开整理得(1)sin sin (1)cos cos 2222A C A Cm m +=-，故1tan tan 221A C m m -=+，（ii ）由1tan tan 221A C m m -=+及半角正切公式1cos sin tan 2sin 1cos ααααα-==+可得 2221cos sin 1cos sin 1cos 1cos (1)(tan tan )22sin 1cos sin 1cos 1cos 1cos (1)A C A A C C A C m A A C C A C m -----=⋅⋅⋅=⋅=+++++，对其展开整理得242(1)(cos cos )4cos cos m m A C m A C -++=-即()()2421cos cos 4cos cos m m A C m A C-++=-，即222cos cos 21cos cos 1m A C m m A C m +-+=+，即222cos cos 112cos cos 1mA C m m A C m +-+=--+ 与原三角式作比较可知()m ϕ存在且22()1mm m ϕ=-+．22．（本小题满分12分）已知函数()e xf x =，()1g x ax =-，其中e ＝2.71828…为自然对数的底数． （1）设a N +∈，()()f x g x ≥恒成立，求a 的最大值； （2）设a ＞0，讨论函数1()(())cos e ah x f g x x -=⋅-在[0，2π]上的零点个数．（参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10）解：（1）设函数()()()1xF x f x g x e ax =-=-+，所以()xF x e a '=-，令()0F x '=得ln x a =，（a >0）且当ln x a <时，()0F x '<；当ln x a >时，()0F x '> 所以()F x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增，所以min ()(ln )ln 1F x F a a a a ==-+因为要使得()()f x g x ≥恒成立，只要()0F x ≥恒成立 即min ()(ln )ln 10F x F a a a a ==-+≥ ① 设()ln 1G a a a a =-+，1a ≥且a N +∈()ln 0G a a '∴=-≤，()G a ∴在1a ≥上单调递减又(3)33ln 314 3.30G =-+≈->，(4)44ln 415 5.520G =-+≈-<， 且()G a 图象连续不断，所以满足①的a 的最大值为3.（2）11()cos ax ah x e x e--=⋅-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦设1()cos ax H x ex -=⋅，则()111()cos sin cos tan ax ax ax H x ae x e x x e a x ---'=⋅-⋅=⋅-，因为0a >，所以在(0,)2π内必存在唯一的实数0x ，使得0tan x a =所以()00,,()0,()x x H x H x '∈>为增函数 0(,)2x x π∈，()0H x '>，()H x 为减函数（说明()h x 单调性同样给分）下面先证明：10()aH x e->.因为0tan x a =，所以00cos x x ==（法一）当0x ≥时，有1,sin xe x x x ≥+≥，（不证明不扣分）01111cos cos 001,cos cos x x ex e x --∴≥∴≥， ()000011sin 1cos cos 00cos ax a x ax x x H x e x ee---∴=⋅≥>下证0011sin cos a x x aee -->，即证0011sin cos a x x a ->-21a >-.2211a a -=>-+()0H x ∴1ae ->.（法二）当0x ≥时，有1,sin xe x x x ≥+≥，（不证明不扣分）0100sin ax eax a x -∴≥>，()02100002cos sin cos 1ax a H x ex a x x a-∴=⋅>=+ 下证1221a a e a ->+，令1t a=-，则0t < 即证21(0)1t e t t><+，即证()()21100tt e t +-<< 令()()211t t t e ϕ=+-，则()()210t t t e ϕ'=+≥()t ϕ∴为单调递增函数∴当0t <时，()()00t ϕϕ<=∴()()21100t t e t +-<<()0H x ∴1ae ->.（法三）欲证0110cos ax aex e--⋅>，即证0111cos ax aex +->因为01101ax aeax a+-≥+，所以只需证0011cos ax a x +>，即证000011tan tan cos x x x x +>， 即证000000sin cos 1cos sin cos x x x x x x +>即证220000sin cos sin x x x x +>，又00sin x x >只需证32000sin cos sin x x x +>，即证32000sin sin sin 10x x x --+>即证()()200sin 1sin 10x x -+>又0(0,)2x π∈，所以()()200sin 1sin 10x x -+>显然成立.()0H x ∴1ae ->.接下来，求函数()h x 在0,2x π⎛⎤⎥⎝⎦上的零点个数 ()100,02a h e h x π-⎛⎫=-<> ⎪⎝⎭，且函数()h x 在0,2x π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减()h x ∴在0,2x π⎛⎤ ⎥⎝⎦上有唯一零点，即函数()h x 在0,2x π⎛⎤⎥⎝⎦上的零点个数为1最后，求函数()h x 在[]00,x 上的零点个数()()1100,0ah e e h x --=->，且函数()h x 在[]00,x 上单调递增∴1 当01a <<时，()1100ah e e--=->，所以函数()h x 在[]00,x 上没有零点，即函数()h x 在[]00,x 上的零点个数为0 2当1a ≥时，()1100ah e e--=-≤，所以函数()h x 在[]00,x 上有唯一零点，即函数()h x 在[]00,x 上的零点个数为1 综上所述：当01a <<时，()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的零点个数为1 ； 当1a ≥时，()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的零点个数为2 .。
数学 苏州21届八校联盟10月联考试卷
▲
）
2
A.{1，2，3}
B.{1，2，3，4}
C.{0，1，2}
2．命题“ x (0,1), x2 x 0 ”的否定是（ ▲ ）
D.{0，1，2，3}
A． x0 (0,1), x02 x0 0
B． x0 (0,1), x02 x0 0
C． x0 (0,1), x02 x0 0
（1）已知 2 lg x y lg x lg y ，求
x
的值；
2
y
（2）求值：
4sin
80
1 tan10
.
18．(本小题满分 12 分)
在 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a, b, c ， c 2 .有以下 3 个条件： ① 2c cos A b ；② 2b a 2c cos A ；③ a b 2c . 请在以上 3 个条件中选择一个，求 ABC 面积的最大值.
(
,
) ，且 sin2
sin 2
sin(
) cos
cos
，
42
高三八校联考数学试卷
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则 tan ) β+ α(的最大值为 ▲ .
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.
a,b 的加权平均数.如图，C 为线段 AB 上的点，且 AC=a,CB=b，O
为 AB 中点，以 AB 为直径作半圆，过点 C 作 AB 的垂线交半圆于
D，连接 OD,AD,BD，过点 C 作 OD 的垂线，垂足为 E，取弧 AB 的中点 F，连接 FC，则（ ▲ ）
A．OD 的长度是 a,b 的几何平均数
2020年10月江苏省苏州市八校联盟2021届高三毕业班第一次适应性检测数学试题及答案
绝密★启用前江苏省苏州市八校联盟2021届高三毕业班第一次适应性联考检测数学试题2020年10月一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1． 已知集合{}121216,402x A x N B x x x m +⎧⎫=∈<<=-+=⎨⎬⎩⎭，若1A B ∈，则A B =（ ▲ ）A.{1，2，3}B.{1，2，3，4}C.{0，1，2}D.{0，1，2，3}2．命题“(0,1),x ∀∈20x x -<”的否定是（ ▲ ）A ．0(0,1),x ∃∉2000x x -≥B ．0(0,1),x ∃∈2000x x -≥C ．0(0,1),x ∀∉2000x x -<D ．0(0,1),x ∀∈2000x x -≥3．()1cos x f x x=-的部分图象大致是（ ▲ ）4．函数2(ln 1)y x x =+在1x =处的切线方程为（ ▲ ）A. 42y x =+B. 24y x =-C. 42y x =-D. 24y x =+5．在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,且cos22sin sin 1B A C +=,则B 的最大值为（ ▲ ） A. 6π B. 4π C. 3π D. 2π6．如图直角坐标系中,角(0)2παα<<、角(0)2πββ-<<的终边分别交单位圆于A ,B 两点,若B 点的纵坐标为513-,且满足34AOB S ∆=,则1sin (3cos sin )2222ααα-+的值为（ ▲ ） A ．513-B ．1213C ．1213-D ． 513 7．已知0,0,1a b a b >>+=,则（ ▲ ）A. b a a b ≥B. b a a b ≤C. 12a b a b +>D. 1a b a b +< 8．函数()222216sin 9cos 16cos 9sin f x x x x x =+++的值域为（ ▲ ）A ．[]5,10B ．52,10⎡⎤⎣⎦C ．[]7,10D ． 7,52⎡⎤⎣⎦二、多项选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
江苏省苏州市2021届苏州八校联盟第一次适应性检测高三数学答案
2021届高三年级苏州八校联盟第一次适应性检测数学参考答案2020.10一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.试题中包含两个空的，只答对1个给3分，全部答对的给5分. 13. (—1,2) 14. 2；(],1-∞ 15. 4 16. —4四、解答题：本题共6小题，共70分。
请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答。
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.解：（1）由2lglg lg 2x y x y -=+可得：2lg()lg()2x y xy -=且x y >， 所以，222(),602x y xy x xy y -=-+=即22()6()10,(3)8,31x x x x y y y y -+=-==+=.┅┅┅┅┅┅┅┅5分 （2） 因为14sin80sin10cos104sin80tan10sin10--=2sin 20cos10sin10-=2sin(3010)cos10sin10--==10分18.解：若选择① 由正弦定理sin sin sin a b cA B C==可将2cos c A b =化为：2sin cos sin C A B =┅┅┅3分 又A B C π++=，所以sin sin()B A C =+所以2sin cos sin()C A A C =+即sin cos cos sin 0A C A C -=，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅7分sin()0A C ∴-=，A C ∴=2a c ∴==┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅9分所以1sin 2sin 22ABC S ac B B ∆==≤（当2B π=时取到等号） 所以ABC ∆面积的最大值为2. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分 若选择② 由正弦定理sin sin sin a b c A B C==可将22cos b a c A -=化为：2sin sin 2sin cos B A C A -= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分 又A B C π++=，所以sin sin()B A C =+ 所以2sin()sin 2sin cos A C A C A +-=即2sin cos sin A C A =，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分1cos 2C ∴=又(0,)C π∈，3C π∴=┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8分又由余弦定理2222cos c a b ab C =+-可得：2242a b ab ab ab ab =+-≥-=（当且仅当a b =时取等号）┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10分1sin 2sin 2ABC S ab C C ∆∴=≤= 所以ABC ∆┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分 若选择③因为2c =，所以24a b c +==≥4ab ∴≤（当且仅当a b =时取等号）┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分 又由余弦定理222cos 2a b c C ab+-=得：2222231()()1242cos 2222a b a b a b ab ab C ab ab ab ++-+-==≥=（当且仅当a b =时取等号）┅8分 03C π∴<≤11sin 4sin 223ABC S ab C π∆∴=≤⨯⨯=a b =时取等号） 所以ABC ∆┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分 19. 解：（1）∵OE =1，EF =3 ∴∠EOF =60° 当α∈[0，15°]时，△AOB 的两顶点A 、B 在E 、F 上， 且AE =tan α,BE =tan(45°+ α)∴f (α)=S △AOB =21[tan(45°+ α)－tan α] =sin 452cos cos(45)αα︒⋅︒+┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分当α∈（15°,45°]时，A 点在EF 上，B 点在FG 上，且OA =αcos 1，OB∴)(αf =S △AOB =21OA·OB·sin45°=αcos 21·sin45°=2cos(2)4πα-+┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分综上得：f(α)= [0,]122cos(2)4(,]1242cos(2)4παπαππαπα⎧∈⎪⎪+⎪⎨⎪∈⎪-+⎪⎩ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅7分（2）由（1）得：当α∈[0，12π]时f (α)= 2cos(2)4πα++∈[21,3－1]且当α=0时，f (α)min =21；α=12π时，f (α)max =3－1；┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅9分当α∈]4,12(ππ时,－12π≤2α－4π≤4π，f （α）=2cos(2)4πα-∈[6－3,23]且当α=8π时，f (α) min =6－3；当α=4π时，f (α) max =23┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅11分所以f (α) ∈[21,23].┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分20. 解：（1）当 时， 方程 即有解 ，所以 为“局部奇函数”． ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分 （2）当 时， 可化为．设 ，则 ，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分 从而 在 有解即可保证 为“局部奇函数”． 令 ，1° 当 ， 在 有解，由 ，即 ，解得 √ √ ； ┅┅┅┅┅┅┅┅8分 2° 当 时， 在 有解等价于{解得 √ √ ． ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅11分 （说明：也可转化为大根大于等于2求解）综上，所求实数m 的取值范围为 √ √ ． ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分 21.解：（1）因为2a c b +=，所以由余弦定理222cos 2a c b B ac+-=可得：2222231()()1242cos 2222a c a c a c ac ac B ac ac ac ++-+-==≥=（当且仅当a c =时取等号）┅2分 又(0,)B π∈，(0,]3B π∴∈所以角B 的最大值为3π.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分（2）（i ）由a c mb +=及正弦定理sin sin sin a b cA B C==得sin sin sin A C m B +=， 所以2sin cos 2sin cos 2222A C A C B Bm +-= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分 （或者由sin()sin()2sin cos 222222A C A C A C A CB Bm +-+-++-=可得上式） 因为222A C B π+=-，所以有cos cos 22A C A Cm -+=，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分 展开整理得(1)sin sin (1)cos cos 2222A C A Cm m +=-，故1tan tan 221A C m m -=+．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅7分（ii ）由1tan tan 221A C m m -=+及半角正切公式1cos sin tan 2sin 1cos ααααα-==+可得2221cos sin 1cos sin 1cos 1cos (1)(tan tan )22sin 1cos sin 1cos 1cos 1cos (1)A C A A C C A C m A A C C A C m -----=⋅⋅⋅=⋅=+++++，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅9分 对其展开整理得242(1)(cos cos )4cos cos m m A C m A C -++=-即()()2421cos cos 4cos cos m m A C m A C-++=-，即222cos cos 21cos cos 1m A C m m A C m +-+=+，即222cos cos 112cos cos 1mA C m m A C m +-+=--+┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅11分 与原三角式作比较可知()m ϕ存在且22()1mm m ϕ=-+． ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分22.解：（1）设函数()()()1x F x f x g x e ax =-=-+，所以()xF x e a '=-，令()0F x '=得ln x a =，（a >0）且当ln x a <时，()0F x '<；当ln x a >时，()0F x '> 所以()F x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增，所以min ()(ln )ln 1F x F a a a a ==-+┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分 因为要使得()()f x g x ≥恒成立，只要()0F x ≥恒成立 即min ()(ln )ln 10F x F a a a a ==-+≥ ① 设()ln 1G a a a a =-+，1a ≥且a N +∈()l n 0G a a '∴=-≤，()G a ∴在1a ≥上单调递减 又(3)33ln 314 3.30G =-+≈->，(4)44ln 415 5.520G =-+≈-<， 且()G a 图象连续不断，所以满足①的a 的最大值为3. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分（2）11()cos ax ah x ex e --=⋅-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦设1()cos ax H x e x -=⋅，则()111()cos sin cos tan ax ax ax H x ae x e x x e a x ---'=⋅-⋅=⋅-，因为0a >，所以在(0,)2π内必存在唯一的实数0x ，使得0tan x a =所以()00,,()0,()x x H x H x '∈>为增函数 0(,)2x x π∈，()0H x '>，()H x 为减函数（说明()h x 单调性同样给分）┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分下面先证明：10()aH x e->.因为0tan x a =，所以00cos x x ==（法一）当0x ≥时，有1,sin x e x x x ≥+≥，（不证明不扣分）01111cos cos 001,cos cos x x ex e x --∴≥∴≥， ()000011sin 1cos cos 00cos ax a x ax x x H x e x ee---∴=⋅≥>下证0011sin cos a x x aee -->，即证0011sin cos a x x a ->-21a >-. 2211a a -=>-+()0H x ∴1ae ->.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8分（法二）当0x ≥时，有1,sin x e x x x ≥+≥，（不证明不扣分）0100sin ax eax a x -∴≥>，()02100002cos sin cos 1ax a H x ex a x x a -∴=⋅>=+ 下证1221aa e a->+，令1t a =-，则0t < 即证21(0)1te t t><+，即证()()21100t t e t +-<< 令()()211tt t e ϕ=+-，则()()210t t t e ϕ'=+≥()t ϕ∴为单调递增函数∴当0t <时，()()00t ϕϕ<=∴()()21100t t e t +-<<()0H x ∴1ae ->.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8分（法三）欲证0110cos ax aex e--⋅>，即证0111cos ax aex +->因为01101ax aeax a+-≥+，所以只需证0011cos ax a x +>，即证000011tan tan cos x x x x +>， 即证000000sin cos 1cos sin cos x x x x x x +>即证220000sin cos sin x x x x +>，又00sin x x >只需证32000sin cos sin x x x +>，即证32000sin sin sin 10x x x --+> 即证()()200sin 1sin 10x x -+>又0(0,)2x π∈，所以()()200sin 1sin 10x x -+>显然成立.()0H x ∴1ae ->.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8分接下来，求函数()h x 在0,2x π⎛⎤⎥⎝⎦上的零点个数 ()100,02a h e h x π-⎛⎫=-<> ⎪⎝⎭，且函数()h x 在0,2x π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减()h x ∴在0,2x π⎛⎤ ⎥⎝⎦上有唯一零点，即函数()h x 在0,2x π⎛⎤⎥⎝⎦上的零点个数为1┅┅┅9分最后，求函数()h x 在[]00,x 上的零点个数()()1100,0ah e e h x --=->，且函数()h x 在[]00,x 上单调递增∴1 当01a <<时，()1100ah e e--=->，所以函数()h x 在[]00,x 上没有零点，即函数()h x 在[]00,x 上的零点个数为0┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10分 2当1a ≥时，()1100ah e e--=-≤，所以函数()h x 在[]00,x 上有唯一零点，即函数()h x 在[]00,x 上的零点个数为1┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅11分 综上所述：当01a <<时，()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的零点个数为1 ； 当1a ≥时，()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的零点个数为2 . ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分。
江苏省苏州市2021届高三(10月)苏州八校联盟第一次适应性检测数学试题(解析版)
江苏省苏州市2021届高三苏州八校联盟第一次适应性检测数学试题2020．10一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．已知集合A ＝11N2162x x +⎧⎫∈<<⎨⎬⎩⎭，B ＝{}240x x x m -+=，若1∈A B ，则A B ＝A ．{1，2，3}B ．{1，2，3，4}C ．{0，1，2}D ．{0，1，2，3} 2．命题“x ∀∈(0，1)，20x x -<”的否定是A ．0x ∃∉(0，1)，2000x x -≥ B ．0x ∃∈(0，1)，2000x x -≥ C ．0x ∀∉(0，1)，2000x x -< D ．0x ∀∈(0，1)，2000x x -≥ 3．()1cos xf x x=-的部分图象大致是4．函数2(ln 1)y x x =+在x ＝1处的切线方程为A ．42y x =+B ．24y x =-C ．42y x =-D ．24y x =+ 5．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos2B ＋2sinAsinC ＝1，则B 的 最大值为 A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 6．如图直角坐标系中，角α (0＜α＜2π)、角β (02πβ-<< )的终边分别交单位圆于A ，B 两点，若B 点的纵坐标为513-，且满足S △AOB ＝4，则1sin sin )2222ααα-+的值为 A ．513-B ．1213C ．1213- D ．5137．已知a ＞0，b ＞0，1a b +=，则A ．baa b ≥ B ．baa b ≤ C ．12aba b +>D ．1a ba b +<第11题 第6题8．函数2222()16sin 9cos 16cos 9sin f x x x x x =+++的值域为A ．[5，10]B ．[52，10]C ．[7，10]D ．[7，52] 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．下面命题正确的是 A ．“a ＞1”是“11a<”的充分不必要条件 B ．在△ABC 中，“sinA ＋cosA ＝sinB ＋cosB ”是“A ＝B ”的充要条件 C ．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的必要而不充分条件 D ．设a ，b ∈R ，则“a ≠0”是“ab ≠0”的必要不充分条件10．已知函数()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中正确的是 A ．函数()f x 的值域与()g x 的值域不相同 B ．把函数()f x 的图象向右平移2π个单位长度，就可以得到函数()g x 的图象 C ．函数()f x 和()g x 在区间(4π-，4π)上都是增函数 D ．若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数()g x 的零点11．设a ＞0，b ＞0，称2ab a b +为a ，b 的调和平均数，称222a b +为a ，b 的加权平均数．如图，C 为线段AB 上的点，且AC ＝a ，CB ＝b ，O 为AB 中点，以AB 为直径作半圆，过点 C 作AB 的垂线交半圆于D ，连接OD ，AD ，BD ，过点C 作OD 的垂线，垂足为E ，取弧 AB 的中点F ，连接FC ，则A ．OD 的长度是a ，b 的几何平均数B ．DE 的长度是a ，b 的调和平均数C ．CD 的长度是a ，b 的算术平均数 D ．FC 的长度是a ，b 的加权平均数 12．关于函数2()ln f x x x=+，下列判断正确的是 A ．x ＝2是()f x 的极大值点B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点C ．存在正实数k ，使得()f x kx >成立D ．对任意两个正实数1x ，2x ，且1x ＞2x ，若12()()f x f x =，则124x x +> 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．若关于x 的不等式ax ﹣b ＜0的解集是(1，+∞)，则关于x 的不等式02ax bx +>-的解集是 ．14．已知函数0()10x x f x x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩，，，则((5))f f -＝ ；若实数a 满足(())f f a a ≥，则a 的取值范围是 ．15．如图，在P 地正西方向8km 的A 处和正东方向1km 的B处各有一条正北方向的公路 AC 和BD ，现计划在AC 和 BD 路边各修建一个物流中心E 和F ，为缓解交通压力， 决定修建两条互相垂直的公路PE 和PF ，设∠EPA ＝α(02πα<<)，为了节省建设成本，要使得 PE ＋PF 的值最小，则当PE ＋PF 的值最小时，AE ＝ km ．第15题 16．已知α，β∈(4π，2π)，且22sin sin sin()cos cos αβαβαβ⋅=+⋅⋅，则tan()αβ+的最大值为 ．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）（1）已知2lglg lg 2x y x y -=+ （2）求值：14sin80tan10︒-︒．18．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，c ＝2．有以下3个条件：①2c cosA ＝b ；②2b ﹣a ＝2c cosA ；③a ＋b ＝2c ．请在以上3个条件中选择一个，求△ABC 面积的最大值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 19．（本小题满分12分）如图，A 、B 是一矩形OEFG 边界上不同的两点，且∠AOB ＝45°，OE ＝1，EF 设∠AOE ＝α．（1）写出△AOB 的面积关于α的函数关系式()f α； （2）求（1）中函数()f α的值域．20．（本小题满分12分）对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”．（1）已知二次函数2()24f x ax x a =+-(a ∈R)，试判断()f x 是否为“局部奇函数”？并说明理由；（2）若12()423xx f x m m +=-⋅+-为定义域R 上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围． 21．（本小题满分12分）在非直角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）若a ＋c ＝2b ，求角B 的最大值； （2）若a ＋c ＝mb (m ＞1)．（i ）证明：A C 1tantan 221m m -=+；（可能运用的公式有sin sin 2sin 2αβαβ++=cos2αβ-）（ii ）是否存在函数()m ϕ，使得对于一切满足条件的m ，代数式cos A cos C ()()cos A cos Cm m ϕϕ++恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的()m ϕ，并证明之；若不存在，请给出一个理由． 22．（本小题满分12分）已知函数()e xf x =，()1g x ax =-，其中e ＝2.71828…为自然对数的底数． （1）设a N +∈，()()f x g x ≥恒成立，求a 的最大值；（2）设a ＞0，讨论函数1()(())cos e ah x f g x x -=⋅-在[0，2π]上的零点个数．（参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10）江苏省苏州市2021届高三苏州八校联盟第一次适应性检测数学试题2020．10一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．已知集合A ＝11N2162x x +⎧⎫∈<<⎨⎬⎩⎭，B ＝{}240x x x m -+=，若1∈A B ，则A B ＝A ．{1，2，3}B ．{1，2，3，4}C ．{0，1，2}D ．{0，1，2，3} 答案：D解析：∵若1∈A B ，∴B ＝{1，3}，又∵A ＝11N2162x x +⎧⎫∈<<⎨⎬⎩⎭＝{0，1，2}，∴A B ＝{0，1，2，3}，故选D ． 2．命题“x ∀∈(0，1)，20x x -<”的否定是A ．0x ∃∉(0，1)，2000x x -≥ B ．0x ∃∈(0，1)，2000x x -≥ C ．0x ∀∉(0，1)，2000x x -< D ．0x ∀∈(0，1)，2000x x -≥ 答案：B解析：全称量词命题的否定，首先全称量词变存在量词，同时否定结论，故选B ． 3．()1cos xf x x=-的部分图象大致是答案：A解析：首先可判断函数()f x 是奇函数，其次可判断x ≠0，当x ＞0时，()f x ＞0，综上，选A ．4．函数2(ln 1)y x x =+在x ＝1处的切线方程为A ．42y x =+B ．24y x =-C ．42y x =-D ．24y x =+ 答案：C解析：设切线斜率为k ，首先求得切点是(1，2)，2ln 4y x '=+，故k ＝4，根据点斜式得，y ﹣2＝4(x ﹣1)，即42y x =-，故选C ．5．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos2B ＋2sinAsinC ＝1，则B 的 最大值为 A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 答案：C解析：由cos2B ＋2sinAsinC ＝1，得sinAsinC ＝sin 2B ，即ac ＝b 2，∴cosB ＝2221122222a c b a c ac c a +-=+-≥，则B 的最大值为3π，故选C ． 6．如图直角坐标系中，角α (0＜α＜2π)、角β (02πβ-<< )的终边分别交单位圆于A ，B 两点，若B 点的纵坐标为513-，且满足S △AOB ＝4，则1sin sin )2222ααα-+的值为A ．513-B ．1213C ．1213- D ．513答案：B解析：∵12cos 13β=>02πβ-<<，故06πβ-<<，又0＜α＜2π，∴0＜αβ-＜23π，即∠AOB ∈(0，23π)，根据S △AOB ＝4，得sin ∠AOB ＝3π，1112sinsin )cos cos()cos 222222313αααπαααβ-+=+=-==，故选B ．7．已知a ＞0，b ＞01=，则A ．baa b ≥ B ．baa b ≤ C ．12aba b +> D ．1a ba b +< 答案：C解析：∵a ＞0，b ＞01=，故0＜a ＜1，0＜b ＜1，∴1aa a a >=，1bb b b >=，故2122aba b a b +>+≥=，故选C ．8．函数()f x =A ．[5，10]B ．[10]C ．[7，10]D ．[7， 答案：D解析：∵()f x =∴2()25f x =0≤2sin 2x ≤1，故49≤2()f x ≤50，又()f x ≥0，∴7≤()f x ≤D ．二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．下面命题正确的是 A ．“a ＞1”是“11a<”的充分不必要条件 B ．在△ABC 中，“sinA ＋cosA ＝sinB ＋cosB ”是“A ＝B ”的充要条件 C ．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的必要而不充分条件 D ．设a ，b ∈R ，则“a ≠0”是“ab ≠0”的必要不充分条件 答案：AD解析：选项A ，a ＞111011a a⇒<<⇒<，故A 正确； 选项B ，sinA ＋cosA ＝sinB ＋cosB sin(A )sin(B )44ππ⇔+=+⇔A ＝B 或A ＋B ＝2π，故B 错误； 选项C ，“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的充分不必要条件，故C 错误；选项D ，∵a ≠0时，ab ≠0不一定成立，而ab ≠0，则a ≠0一定成立，故D 正确． 综上，选AD ．10．已知函数()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中正确的是 A ．函数()f x 的值域与()g x 的值域不相同 B ．把函数()f x 的图象向右平移2π个单位长度，就可以得到函数()g x 的图象 C ．函数()f x 和()g x 在区间(4π-，4π)上都是增函数 D ．若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数()g x 的零点 答案：CD解析：()sin cos )4f x x x x π=-=-，()cos sin )4g x x x x π=+=+，所以函数()f x 的值域与()g x 的值域相同，A 错误，把函数()f x 的图象向右平移2π个单位长度，得到3)4y x π=-，并不是函数()g x 的图象，故B 错误；选项C ，D 都正确，故选CD ．11．设a ＞0，b ＞0，称2ab a b +为a ，b 的调和平均数，a ，b 的加权平均数．如图，C 为线段AB 上的点，且AC ＝a ，CB ＝b ，O 为AB 中点，以AB 为直径作半圆，过点 C 作AB 的垂线交半圆于D ，连接OD ，AD ，BD ，过点C 作OD 的垂线，垂足为E ，取弧 AB 的中点F ，连接FC ，则A ．OD 的长度是a ，b 的几何平均数B ．DE 的长度是a ，b 的调和平均数C ．CD 的长度是a ，b 的算术平均数 D ．FC 的长度是a ，b的加权平均数答案：BD 解析：OD 的长度是a ，b 的算术平均数，CD 的长度是a ，b 的算术平均数，DE 的长度是a ，b 的调和平均数，FC 的长度是a ，b 的加权平均数，故选BD ． 12．关于函数2()ln f x x x=+，下列判断正确的是 A ．x ＝2是()f x 的极大值点B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点C ．存在正实数k ，使得()f x kx >成立D ．对任意两个正实数1x ，2x ，且1x ＞2x ，若12()()f x f x =，则124x x +> 答案：BD 解析：2()ln f x x x =+，22()x f x x-'=， 选项A ，x ＝2是()f x 的极小值点，故A 错误；选项B ，()y f x x =-，2220x x y x-+'=-<，y 在(0，+∞)上单调递减，当x ＝1时，y ＞0，当x ＝2时，y ＜0，故函数()y f x x =-有且只有1个零点，B 正确；选项C ，由2()1ln f x x x x x =+，当x →+∞，210x →，ln 0xx→，知C 错误； 选项D ，212121212()()()ln x x xf x f x x x x -=⇒=，欲证124x x +>，则证212121212()()4ln x x x x x x x x -+=，即证212212112ln 0(1)x x x x x x x x -->>，显然成立，故D 正确，故选BD ．三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．若关于x 的不等式ax ﹣b ＜0的解集是(1，+∞)，则关于x 的不等式02ax bx +>-的解集是 ． 答案：(﹣1，2)解析：∵不等式ax ﹣b ＜0的解集是(1，+∞)， ∴a ＜0，1ba=， ∵02ax bx +>-， ∴﹣1＜x ＜2，解集为(﹣1，2)．14．已知函数0()10x f x x x >=+≤⎪⎩，，则((5))f f -＝ ；若实数a 满足(())f f a a ≥，则a 的取值范围是 ．答案：2；(-∞，﹣1]解析：((5))(4)2f f f -===，14,0(())10,10,1a a f f a a a a ⎧>⎪=-<≤<-=-⎪⎩，∴(())f f a a ≥，解得a ≤﹣1．15．如图，在P 地正西方向8km 的A 处和正东方向1km 的B 处各有一条正北方向的公路AC 和BD ，现计划在AC 和BD 路边各修建一个物流中心E 和F ，为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路PE 和PF ，设∠EPA ＝α(02πα<<)，为了节省建设成本，要使得 PE ＋PF 的值最小，则当PE ＋PF 的值最小时，AE ＝ km ．答案：4解析：由PE ＋PF ＝81cos sin αα+，由权方和知22411tan cos sin 2ααα=⇒=， 故AE ＝8tan α＝4． 16．已知α，β∈(4π，2π)，且22sin sin sin()cos cos αβαβαβ⋅=+⋅⋅，则tan()αβ+的最大值为 ． 答案：﹣4解析：由已知齐次化得2(tan tan )tan tan αβαβ=+，故2tan tan (tan tan 11)tan()41tan tan tan tan 1αβαβαβαβαβ+-++==-≤---． 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）（1）已知2lglg lg 2x y x y -=+ （2）求值：14sin80tan10︒-︒．解：（1）由2lglg lg 2x y x y -=+可得：2lg()lg()2x y xy -=且x y >， 所以，222(),602x y xy x xy y -=-+=即22()6()10,(3)8,31x x x x yy y y -+=-==+=. （2） 因为14sin 80sin10cos104sin 80tan10sin10--=2sin 20cos10sin10-=2sin(3010)cos10sin10--==18．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，c ＝2．有以下3个条件：①2c cosA ＝b ；②2b ﹣a ＝2c cosA ；③a ＋b ＝2c ．请在以上3个条件中选择一个，求△ABC 面积的最大值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：若选择① 由正弦定理sin sin sin a b cA B C==可将2cos c A b =化为：2sin cos sin C A B = 又A B C π++=，所以sin sin()B A C =+ 所以2sin cos sin()C A A C =+即sin cos cos sin 0A C A C -=，sin()0A C ∴-=，A C ∴=2a c ∴==所以1sin 2sin 22ABC S ac B B ∆==≤（当2B π=时取到等号） 所以ABC ∆面积的最大值为2.若选择② 由正弦定理sin sin sin a b cA B C==可将22cos b a c A -=化为：2sin sin 2sin cos B A C A -=又A B C π++=，所以sin sin()B A C =+ 所以2sin()sin 2sin cos A C A C A +-= 即2sin cos sin A C A =，1cos 2C ∴=又(0,)C π∈，3C π∴=又由余弦定理2222cos c a b ab C =+-可得：2242a b ab ab ab ab =+-≥-=（当且仅当a b =时取等号）1sin 2sin 2ABC S ab C C ∆∴=≤=所以ABC ∆若选择③因为2c =，所以24a b c +==≥4ab ∴≤（当且仅当a b =时取等号）又由余弦定理222cos 2a b c C ab+-=得：2222231()()1242cos 2222a b a b a b ab ab C ab ab ab ++-+-==≥=（当且仅当a b =时取等号）03C π∴<≤11sin 4sin 223ABCS ab C π∆∴=≤⨯⨯=a b =时取等号） 所以ABC ∆19．（本小题满分12分）如图，A 、B 是一矩形OEFG 边界上不同的两点，且∠AOB ＝45°，OE ＝1，EF设∠AOE ＝α．（1）写出△AOB 的面积关于α的函数关系式()f α； （2）求（1）中函数()f α的值域．解：（1）∵OE =1，EF =3∴∠EOF =60°当α∈[0，15°]时，△AOB 的两顶点A 、B 在E 、F 上， 且AE =tan α,BE =tan(45°+ α)∴f (α)=S △AOB =21[tan(45°+ α)－tan α]=sin 452cos cos(45)αα︒⋅︒+当α∈（15°,45°]时，A 点在EF 上，B 点在FG 上，且OA =αcos 1，OB=cos(45)α︒- ∴)(αf =S △AOB =21OA·OB·sin45°=αcos 21·cos(45)α︒-·sin45°2cos(2)4α-综上得：f (α)= [0,]122cos(2)4(,]1242cos(2)4παπαππαπα⎧∈⎪⎪+⎪⎨⎪∈⎪-+⎪⎩ （2）由（1）得：当α∈[0，12π]时 f (α)= 2cos(2)4πα++∈[21,3－1]且当α=0时，f (α)min =21；α=12π时，f (α)max =3－1；当α∈]4,12(ππ时,－12π≤2 α－4π≤4π，f （α）2cos(2)4α-+[6－3,23]且当α=8π时，f (α) min =6－3；当α=4π时，f (α) max =23所以f (α) ∈[21,23]． 20．（本小题满分12分）对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”．（1）已知二次函数2()24f x ax x a =+-(a ∈R)，试判断()f x 是否为“局部奇函数”？并说明理由；（2）若12()423xx f x m m +=-⋅+-为定义域R 上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围． 解：（1）当f(x)=ax 2+2x −4a(a ∈R)时， 方程f(x)+f(−x)=0即有解x =±2，所以f(x)为“局部奇函数”．（2）当f(x)=4x −m2x+1+m 2−3时，f(x)+f(−x)=0可化为 4x +4−x −2m(2x +2−x )+2m 2−6=0．设t =2x +2−x ∈[2,+∞)，则4x +4−x =t 2−2，从而t 2−2mt +2m 2−8=0在[2,+∞)有解即可保证f(x)为“局部奇函数”． 令F(t)=t 2−2mt +2m 2−8，1° 当F(2)≤0，t 2−2mt +2m 2−8=0在[2,+∞)有解， 由F(2)≤0，即2m 2−4m −4≤0，解得1−√3≤m ≤1+√3； 2° 当F(2)>0时，t 2−2mt +2m 2−8=0在[2,+∞)有解等价于 {Δ=4m 2−4(2m 2−8)≥0,m >2,F(2)>0 解得1+√3<m ≤2√2． （说明：也可转化为大根大于等于2求解）综上，所求实数m 的取值范围为1−√3≤m ≤2√2． 21．（本小题满分12分）在非直角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）若a ＋c ＝2b ，求角B 的最大值； （2）若a ＋c ＝mb (m ＞1)．（i ）证明：A C 1tantan 221m m -=+；（可能运用的公式有sin sin 2sin 2αβαβ++=cos2αβ-）（ii ）是否存在函数()m ϕ，使得对于一切满足条件的m ，代数式cos A cos C ()()cos A cos Cm m ϕϕ++恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的()m ϕ，并证明之；若不存在，请给出一个理由． 解：（1）因为2a c b +=，所以由余弦定理222cos 2a c b B ac+-=可得：2222231()()1242cos 2222a c a c a c ac ac B ac ac ac ++-+-==≥=（当且仅当a c =时取等号）又(0,)B π∈，(0,]3B π∴∈所以角B 的最大值为3π. （2）（i ）由a c mb +=及正弦定理sin sin sin a b cA B C==得sin sin sin A C m B +=，所以2sincos 2sin cos 2222A C A C B Bm +-= （或者由sin()sin()2sin cos 222222A C A C A C A CB Bm +-+-++-=可得上式） 因为222A C B π+=-，所以有cos cos 22A C A Cm -+=， 展开整理得(1)sin sin (1)cos cos 2222A C A Cm m +=-，故1tan tan 221A C m m -=+，（ii ）由1tan tan 221A C m m -=+及半角正切公式1cos sin tan 2sin 1cos ααααα-==+可得 2221cos sin 1cos sin 1cos 1cos (1)(tan tan )22sin 1cos sin 1cos 1cos 1cos (1)A C A A C C A C m A A C C A C m -----=⋅⋅⋅=⋅=+++++，对其展开整理得242(1)(cos cos )4cos cos m m A C m A C -++=-即()()2421cos cos 4cos cos m m A C m A C-++=-，即222cos cos 21cos cos 1m A C m m A C m +-+=+，即222cos cos 112cos cos 1mA C m m A C m +-+=--+ 与原三角式作比较可知()m ϕ存在且22()1mm m ϕ=-+．22．（本小题满分12分）已知函数()e xf x =，()1g x ax =-，其中e ＝2.71828…为自然对数的底数． （1）设a N +∈，()()f x g x ≥恒成立，求a 的最大值； （2）设a ＞0，讨论函数1()(())cos e ah x f g x x -=⋅-在[0，2π]上的零点个数．（参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10）解：（1）设函数()()()1xF x f x g x e ax =-=-+，所以()xF x e a '=-，令()0F x '=得ln x a =，（a >0）且当ln x a <时，()0F x '<；当ln x a >时，()0F x '>所以()F x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增， 所以min ()(ln )ln 1F x F a a a a ==-+因为要使得()()f x g x ≥恒成立，只要()0F x ≥恒成立 即min ()(ln )ln 10F x F a a a a ==-+≥ ① 设()ln 1G a a a a =-+，1a ≥且a N +∈()ln 0G a a '∴=-≤，()G a ∴在1a ≥上单调递减又(3)33ln 314 3.30G =-+≈->，(4)44ln 415 5.520G =-+≈-<， 且()G a 图象连续不断，所以满足①的a 的最大值为3.（2）11()cos ax ah x e x e--=⋅-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦设1()cos ax H x ex -=⋅，则()111()cos sin cos tan ax ax ax H x ae x e x x e a x ---'=⋅-⋅=⋅-，因为0a >，所以在(0,)2π内必存在唯一的实数0x ，使得0tan x a =所以()00,,()0,()x x H x H x '∈>为增函数 0(,)2x x π∈，()0H x '>，()H x 为减函数（说明()h x 单调性同样给分）下面先证明：10()aH x e->.因为0tan x a =，所以00cos x x ==（法一）当0x ≥时，有1,sin xe x x x ≥+≥，（不证明不扣分）01111cos cos 001,cos cos x x ex e x --∴≥∴≥， ()000011sin 1cos cos 00cos ax a x ax x x H x ex ee---∴=⋅≥>下证0011sin cos a x x aee -->，即证0011sin cos a x x a ->-21a >-.2211a a -=>-+()0H x ∴1ae ->.（法二）当0x ≥时，有1,sin xe x x x ≥+≥，（不证明不扣分）0100sin ax eax a x -∴≥>，()02100002cos sin cos 1ax a H x ex a x x a -∴=⋅>=+下证1221a a e a ->+，令1t a=-，则0t < 即证21(0)1t e t t><+，即证()()21100t t e t +-<< 令()()211t t t e ϕ=+-，则()()210t t t e ϕ'=+≥()t ϕ∴为单调递增函数∴当0t <时，()()00t ϕϕ<=∴()()21100t t e t +-<<()0H x ∴1ae ->.（法三）欲证0110cos ax aex e--⋅>，即证0111cos ax aex +->因为01101ax aeax a+-≥+，所以只需证0011cos ax a x +>，即证000011tan tan cos x x x x +>， 即证000000sin cos 1cos sin cos x x x x x x +>即证220000sin cos sin x x x x +>，又00sin x x >只需证32000sin cos sin x x x +>，即证32000sin sin sin 10x x x --+>即证()()200sin 1sin 10x x -+>又0(0,)2x π∈，所以()()200sin 1sin 10x x -+>显然成立.()0H x ∴1ae ->.接下来，求函数()h x 在0,2x π⎛⎤⎥⎝⎦上的零点个数()100,02a h e h x π-⎛⎫=-<> ⎪⎝⎭，且函数()h x 在0,2x π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减()h x ∴在0,2x π⎛⎤ ⎥⎝⎦上有唯一零点，即函数()h x 在0,2x π⎛⎤⎥⎝⎦上的零点个数为1最后，求函数()h x 在[]00,x 上的零点个数()()1100,0ah e e h x --=->，且函数()h x 在[]00,x 上单调递增∴1 当01a <<时，()1100ah e e--=->，所以函数()h x 在[]00,x 上没有零点，即函数()h x 在[]00,x 上的零点个数为0 2当1a ≥时，()1100ah e e--=-≤，所以函数()h x 在[]00,x 上有唯一零点，即函数()h x 在[]00,x 上的零点个数为1 综上所述：当01a <<时，()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的零点个数为1 ； 当1a ≥时，()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的零点个数为2 .。
【数学】苏·八校联考数学终稿
小，则当 PE + PF 的值最小时，AE = ▲ km . 16．已知 α,β ∈ ( π4 , π2 ) ，且 sin2α ⋅ sin2β = sin(α + β) ⋅ cosα ⋅ cosβ ，则
tanα + β 的最大值为 ▲ .
12．关于函数 fx = x2 + lnx，下列判断正确的是(
D． FC 的长度是 a,b 的加权平均数 ▲)
A． x = 2 是 fx 的极大值点
B．函数 y = fx - x 有且只有 1 个零点
C．存在正实数 k，使得 fx > kx 成立
D．对任意两个正实数 x1，x2，且 x1 > x2，若 fx1 = fx2 ，则 x1 + x2 > 4.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.
17．(本小题满分 10 分)
(1)已知 2lgx-2y = lgx + lgy，求
(2)求值：4sin80° - tan110° .
xy 的值；
18．(本小题满分 12 分)
在 △ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，c = 2.有以下 3 个条件： ① 2ccosA = b；② 2b - a = 2ccosA；③ a + b = 2c. 请在以上 3 个条件中选择一个，求 ΔABC 面积的最大值.
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.试题中包含两个空的，只答对 1 个给 3 分，全部答对的给
5 分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
江苏省苏州八校联盟2021届高三上学期第一次适应性检测数学试题 含解析
A．函数 f (x)的值域与 g(x)的值域不相同
B．把函数 f (x) 的图象向右平移 个单位长度，就可以得到函数 g(x)的图象 2
C．函数 f (x) 和 g(x)在区间(
， )上都是增函数
44
D．若 是函数
的极值点，则 是函数
x
f (x)
x
g(x)
0
0
的零点
Earlybird
晨鸟教育
2ab
N 2 16 2
2．命题“ x (0，1)， x2 x 0 ”的否定是
A． x (0，1)， 2 xx 0 00
0
B． x
(0，1)，
2 0
00
xx
0
C． x
(0，1)，
2 0
00
xx
00
D． x (0，1)，
0
x02 x0
答案：B 解析：全称量词命题的否定，首先全称量词变存在量词，同时否定结论，故选 B．
1
A．“a＞1”是“
a
1
”的充分不必要条件
B．在△ABC 中，“sinA＋cosA＝sinB＋cosB”是“A＝B”的充要条件 C．设 x，y R，则“x≥2 且 y≥2”是“x2＋y2≥4”的必要而不充分条件 D．设 a，b R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件
10．已知函数 f (x) sin x cos x ， g(x)是 f (x)的导函数，则下列结论中正确的是
Earlybird
晨鸟教育
字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 10 分）
xy
（1）已知 2lg
lg x lg y ，求
2
x
的值；
y
八校联考数学答案
2021届高三年级苏州八校联盟第三次适应性检测数 学 试 卷 （参考答案）（满分150分 考试时间120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．A 2．C 3．B 4．C 5．A 6．B 7．C 8．D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分． 9．ACD 10．BD 11．ABD 12．AD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．22188y x -= 14．15 15．2π- 16．2-四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）如图，在平面四边形ABCD 中，=1,90,60O O BC ABC BCD ∠=∠=，75O BAD ∠=． （1）若030CBD ∠=，求三角形ABD 的面积； （2）若AD求CBD ∠的大小.【解析】（1）在BCD ∆中，由30C 60OOCBD B D ∠=∠=，，可得90,OBDC BD ∠==，0000000sin75sin(4530)sin45cos30cos45sin30=+=+=在ABD ∆中，由正弦定理知sin sin AD BD ABD A =∠∠，可得AD =．．．．．．．．．．．2分 所以011sin 4522S BD AD ADB =⋅⋅∠==．．．．．．．．．．．．．．4分 BACD(第17题图)（2）由=1,60O AD BC BCD ∠=， 在ABD BCD ∆∆、中，由正弦定理知，02=sin sin 75BD ABD ∠，01=sin sin60BD BDC ∠．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分又090ABC ∠=，所以sin ∠ABD=cos ∠CBD从而有1cos ,sin 22BD CBD BD BDC ⋅∠=⋅∠=两式相除可得sin BDC CBD ∠=∠ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 由0sin sin(18060)sin(60)BDC CBD CBD ∠=--∠=+∠001sin 60cos cos 60sin sin 2CBD CBD CBD CBD =∠+∠=∠+∠因此有tan CBD ∠=000180CBD <∠<可得060CBD ∠= ．．．．．．．．．．10分 （延长BA ，CD 交与点E ，在三角形EAD 中计算同样给分） 18．（本小题满分12分）已知数列{a n }为等比数列，且各项均为正数，12a =，23a a +是3a 与4a 的等差中项．记正项数列{b n }前n 项之积为T n ，b 1=1，2(1)(2)n n n T a n -=≥．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）证明：1111()(2)(21)2ni i i i a n N b i b i +=+-∈---∑≥．【解析】（1）设等比数列{a n }的公比为q ，由各项为正，故q>0． 由于23a a +是3a 与4a 的等差中项，可得23342()a a a a =++， 又a 1=2，所以2232(2)222q q q q ++=，因此=2q ，从而112n nn a q a -==，即a n =2n ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分(第19题图)PBACDQ由b n >0, b 1=1，2212222T b b b ===，．当3n ≥时，12(2)(1)n n n T a ---=，得12(1)22(1)2(1)(2)2n n n n n n n n T a a b T -----===，故12(3)n n b n -=≥，b 1=1，b 2=2均符合上式，所以12n n b -=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）11112111(2)(21)(2)(21)22(1)i i i i i i i i a b i b i i i i i +++--==---------+，．．．．．．．6分 因此有：2231111111111()()()()(1)2122222322(1)ni i i n n i a b i b i n n +=+-=-+-++----------+∑1112(1)n n +=--+ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 要证不等式成立，即证12(1)2()n n n N ++-+≥∈由212(2)[2(1)]4210n n n n n ++-+--+=⨯->可得数列1{2(1)}n n +-+递增，．．．10分 所以1112(1)2(11)2n n ++-+≥-+=．由此1111()(2)(21)2ni i i i a n N b i b i +=+-≥∈---∑．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分（亦可运用二项式定理证明） 19．（本小题满分12分）如图，多面体PQABCD 中，四边形ABCD是菱形，P A ⊥平面ABCD ， ==2AB PA ，0=60ABC ∠，QC QD ==(0)PQ a a =>．（1）设点F 为棱CD 的中点，求证：对任意的正数a ，四边形PQF A 为平面四边形；（2）当a =PQ 与平面PBC 所成角的正弦值．【解析】（1）方法1：设Q 在平面内的射影为E ，由QC=QD 可得EC=ED ，y所以点E 在CD 的垂直平分线上 ．．．．．．．．．．．．2分 由ABCD 是菱形，且0=60ABC ∠，故直线AE 与CD 的交点即为CD 的中点F ．．．．．4分 因为P A ⊥平面ABCD ，QE ⊥平面ABCD ，所以PA//QE ，从而P A ，QE 共面，因此 PQ ，F A 共面，所以PQF A 为平面四边形．．．．．．．．．．．．．6分 方法2：证明CD ⊥平面AFQ ， ．．．．．．．．．．．．2分 再证明CD ⊥平面P AF ．．．．．．．．．．．．．4分 由AFQ 与平面P AF 均过点A 可得平面AFQ 与平面P AF 重合．即P 、Q 、F 、A 共面，所以PQF A 为平面四边形． ．．．．．．．．．．．．6分（2）分别以AB 、AF 、AP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B(2,0,0)，(0,0,2)C F P当a=PF QF ==222PF QF PQ +=,所以Q 的坐标为(0，，． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分可求平面PBC 的一个法向量为(3,1,n =． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 设直线PQ 与平面PBC 所成角为θ， 则5sin cos ,n PQ θ=<>=， 从而直线PQ 与平面PBC ．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20.（本小题满分12分）FPB ACDQ某贫困地区截至2016年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康．现从这些尚未实现小康的家庭中随机抽取50户，得到这50户2016年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图．（1）将家庭人均年纯收入不足5000元的家庭称为“特困户”，若从这50户中再取出10户调查致贫原因，求这10户中含有“特困户”的户数X 的数学期望； （2） 假设2017年底该地区有1000户居民，其中900户为小康户，100户为“特困户”，若每经过一年的脱贫工作后，“特困户”中有90%变为小康户，但小康户仍有%t (0<t <10)变为“特困户”，假设该地区居民户数保持不变，记经过n 年脱贫工作后该地区小康户数为n a ． （i ）求1a 并写出1n a +与n a 的关系式；（ii ）要使经2年脱贫工作后该地区小康户数至少有950户，求最大的正整数t 的值． 【解析】（1）由频率分布直方图可知，家庭人均年收入在[)2000,3000元、[)3000,4000元、[)4000,5000元、[)5000,6000元、[)6000,7000元、[)7000,8000元的家庭数依次为：0.04502⨯=户；0.10505⨯=户；0.325016⨯=户；0.305015⨯=户；0.18509⨯=户；0.06503⨯=户；共计50户，若从这50户中再取出10户调查致贫原因，0.10 0.32 0.300.06 0.040.18(第20题图)这10户中含有“特困户”的户数X 服从H(10，23，50)的超几何分布， 因为当(),,X H n M N 时，()=⨯ME X n N，（2）因为每经过一年的脱贫工作后，“特困户”中有90%变为小康户，但小康户仍有%010t t <<（）变为"特困户”，所以有（ⅱ）211010900(9909)900100100t ta a t --=+=-+， 记函数()()()990910f t t t =--，其中0t 10<<，因函数()()()990910f t t t =--是开口向上的二次函数，且其对称轴为t=60， 则函数()()()990910f t t t =--在()0,10上单调递减，21.（本小题满分12分）已知圆()22+18E x y +=:，点(,0)(0)F m m >，P 是圆E 上一点，线段PF 的垂直平分线l 与直线EP 相交于点Q ．【解析】（1）m =2时，点F 在圆E 外，EF由Q 是线段PF 的垂直平分线l 与直线EP 的交点，∴QP =QF ，又点Q 在线段PE 外，故有QP QE -QF QE -又由EF QE QF EF -<，（不说明QE QF EF -<扣1分）（2）当=1m 时，(1,0),(1,0)E F -，同（1）可得||||||QF QE EF +=>， 故Q 点的轨迹C 是以E ，F 为左右焦点的椭圆，∴=1c ，又222-=a b c，QE +QF a ，∴22=21a b =，，设()()()11122001A ,B ,M l x ty x y x y x y =-：，，，，， ①② 0t ≠由221,+=1,2x ty x y =-⎧⎪⎨⎪⎩，消去x 得()22+2210t y ty --=， 因点E 在椭圆内，所以有0∆>恒成立，且1222=2t y y t ++，120222y y ty t +∴==+， 由点()00M x y ，在直线11l x ty =-：上，002212x ty t ∴=-=-+即222M +22t t t -⎛⎫ ⎪+⎝⎭，（ⅰ）若22222221t t t --≠++，则有21t ≠， 此时()()()22224222313+221222121+221MNt t t t t t t k t t t t t +++===---++，（ⅱ）若22222221t t t --=++，则有21t =，此时2121M N 3333⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，， 或2121M N 3333，，，⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭此时直线MN 过点203⎛⎫- ⎪⎝⎭，；其它解法根据情况酌情给分．22.（本小题满分12分）已知函数()e xf x =，()sing x x =.（1）设函数()()()()1h x f x x g x =--⋅，当[]π,0x ∈-时，求函数()h x 零点的个数； （2）求证：()()()1ln g x g x x f x x '⋅+<⋅-．【解析】（1）由题意可得：()()1sin xh x e x x =--⋅，()()sin 1cos x h x e x x x '∴=---⋅，()()2cos 1sin x h x e x x x ''=-+-⋅，1 当,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，0xe >，sin 0x ≤，()1cos 0x x -⋅≤， ()0h x '∴>， ()h x ∴在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增， …………………………………………2分2当,2x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，0x e >，cos 0x ≤，()1sin 0x x -⋅≥()0h x ''∴>， ()h x '∴在,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，又()210,()102h eh e πππππ--''-=--<-=+>，且()h x '的图象在,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦内连续不断，0(,)2x ππ∴∃∈--使得()00h x '=，且当[)0,x x π∈-时，()0h x '<；当0(,]2x x π∈-时，()0h x '>，()h x ∴在[)0,x π-内单调递减，在0(,]2x π-内单调递增，综合12可知：()h x 在[)0,x π-内单调递减，在0(,0]x 内单调递增，……………4分 又()0h eππ--=>，()20()1022h x h eπππ-<-=--<，()010h =>，且()h x 的图象在[],0π-内连续不断，1020(,),(,0)x x x x π∴∃∈-∃∈使得()()120h x h x ==，∴函数()h x 在[],0π-内零点的个数是2. ………………………………………6分 （2）证明：要证明()()()1ln g x g x x f x x '⋅+<⋅-， 即证：sin cos 1ln 0x x x x e x ⋅+-⋅+< 即证：sin 21ln 02x xx e x +-⋅+<，（*） 设()sin 22F x x x =-，则()()2cos 222cos 210F x x x '=-=-≤()F x ∴在()0,+∞内单调递减，()()00F x F ∴<=，sin22x x ∴<所以要证（*）成立，只需证1ln 0x x x e x +-⋅+≤ …………………………8分（法一）设()1ln xG x x x e x =+-⋅+，则()()()11111x x x G x x e xe x x+'=-+⋅+=- 又设()1x k x xe =-，()(1)0xk x x e '∴=-+<，()k x ∴在()0,+∞内单调递减，又()()010,110k k e =>=-<()0,1t ∴∃∈使得()0k t =，即1t te =，ln 0t t += …………………………10分当()()0,,0x t G x '∈>，()G x 单调递增， 当()(),,0x t G x '∈+∞<，()G x 单调递减，所以，()()1ln tG x G t t t e t ≤=+-⋅+=0，所以原命题得证. ………………12分（法二）设()1x H x e x =--，则()1xH x e '=-所以()H x 在(),0-∞单调递减，在()0,+∞单调递增，所以()()00H x H ≥=，1x e x ∴≥+ …………………………………………………………………10分 ln ln 1x x e x x +∴≥++，ln 1x xe x x ∴≥++，即证1ln 0x x x e x +-⋅+≤成立所以原命题得证. …………………………………………………………12分。
江苏省苏州八校联盟2021届高三上学期第一次适应性检测数学试题 Word版含解析
江苏省苏州市2021届高三苏州八校联盟第一次适应性检测数学试题2020．10一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．已知集合A ＝11N2162x x +⎧⎫∈<<⎨⎬⎩⎭，B ＝{}240x x x m -+=，若1∈A B ，则A B ＝A ．{1，2，3}B ．{1，2，3，4}C ．{0，1，2}D ．{0，1，2，3} 2．命题“x ∀∈(0，1)，20x x -<”的否定是A ．0x ∃∉(0，1)，2000x x -≥ B ．0x ∃∈(0，1)，2000x x -≥ C ．0x ∀∉(0，1)，2000x x -< D ．0x ∀∈(0，1)，2000x x -≥ 3．()1cos xf x x=-的部分图象大致是4．函数2(ln 1)y x x =+在x ＝1处的切线方程为A ．42y x =+B ．24y x =-C ．42y x =-D ．24y x =+ 5．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos2B ＋2sinAsinC ＝1，则B 的 最大值为 A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 6．如图直角坐标系中，角α (0＜α＜2π)、角β (02πβ-<< )的终边分别交单位圆于A ，B 两点，若B 点的纵坐标为513-，且满足S △AOB ＝4，则1sin sin )2222ααα-+的值为 A ．513-B ．1213C ．1213- D ．5137．已知a ＞0，b ＞0，1a b +=，则A ．baa b ≥ B ．baa b ≤ C ．12aba b +>D ．1a ba b +<第11题 第6题8．函数2222()16sin 9cos 16cos 9sin f x x x x x =+++的值域为A ．[5，10]B ．[52，10]C ．[7，10]D ．[7，52] 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．下面命题正确的是 A ．“a ＞1”是“11a<”的充分不必要条件 B ．在△ABC 中，“sinA ＋cosA ＝sinB ＋cosB ”是“A ＝B ”的充要条件 C ．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的必要而不充分条件 D ．设a ，b ∈R ，则“a ≠0”是“ab ≠0”的必要不充分条件10．已知函数()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中正确的是 A ．函数()f x 的值域与()g x 的值域不相同 B ．把函数()f x 的图象向右平移2π个单位长度，就可以得到函数()g x 的图象 C ．函数()f x 和()g x 在区间(4π-，4π)上都是增函数 D ．若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数()g x 的零点11．设a ＞0，b ＞0，称2ab a b +为a ，b 的调和平均数，称222a b +为a ，b 的加权平均数．如图，C 为线段AB 上的点，且AC ＝a ，CB ＝b ，O 为AB 中点，以AB 为直径作半圆，过点 C 作AB 的垂线交半圆于D ，连接OD ，AD ，BD ，过点C 作OD 的垂线，垂足为E ，取弧 AB 的中点F ，连接FC ，则A ．OD 的长度是a ，b 的几何平均数B ．DE 的长度是a ，b 的调和平均数C ．CD 的长度是a ，b 的算术平均数 D ．FC 的长度是a ，b 的加权平均数 12．关于函数2()ln f x x x=+，下列判断正确的是 A ．x ＝2是()f x 的极大值点B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点C ．存在正实数k ，使得()f x kx >成立D ．对任意两个正实数1x ，2x ，且1x ＞2x ，若12()()f x f x =，则124x x +> 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．若关于x 的不等式ax ﹣b ＜0的解集是(1，+∞)，则关于x 的不等式02ax bx +>-的解集是 ．14．已知函数0()10x x f x x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩，，，则((5))f f -＝ ；若实数a 满足(())f f a a ≥，则a 的取值范围是 ．15．如图，在P 地正西方向8km 的A 处和正东方向1km 的B处各有一条正北方向的公路 AC 和BD ，现计划在AC 和 BD 路边各修建一个物流中心E 和F ，为缓解交通压力， 决定修建两条互相垂直的公路PE 和PF ，设∠EPA ＝α(02πα<<)，为了节省建设成本，要使得 PE ＋PF 的值最小，则当PE ＋PF 的值最小时，AE ＝ km ．第15题 16．已知α，β∈(4π，2π)，且22sin sin sin()cos cos αβαβαβ⋅=+⋅⋅，则tan()αβ+的最大值为 ．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）（1）已知2lglg lg 2x y x y -=+ （2）求值：14sin80tan10︒-︒．18．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，c ＝2．有以下3个条件：①2c cosA ＝b ；②2b ﹣a ＝2c cosA ；③a ＋b ＝2c ．请在以上3个条件中选择一个，求△ABC 面积的最大值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 19．（本小题满分12分）如图，A 、B 是一矩形OEFG 边界上不同的两点，且∠AOB ＝45°，OE ＝1，EF 设∠AOE ＝α．（1）写出△AOB 的面积关于α的函数关系式()f α； （2）求（1）中函数()f α的值域．20．（本小题满分12分）对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”．（1）已知二次函数2()24f x ax x a =+-(a ∈R)，试判断()f x 是否为“局部奇函数”？并说明理由；（2）若12()423xx f x m m +=-⋅+-为定义域R 上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围． 21．（本小题满分12分）在非直角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）若a ＋c ＝2b ，求角B 的最大值； （2）若a ＋c ＝mb (m ＞1)．（i ）证明：A C 1tantan 221m m -=+；（可能运用的公式有sin sin 2sin 2αβαβ++=cos2αβ-）（ii ）是否存在函数()m ϕ，使得对于一切满足条件的m ，代数式cos A cos C ()()cos A cos Cm m ϕϕ++恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的()m ϕ，并证明之；若不存在，请给出一个理由． 22．（本小题满分12分）已知函数()e xf x =，()1g x ax =-，其中e ＝2.71828…为自然对数的底数． （1）设a N +∈，()()f x g x ≥恒成立，求a 的最大值；（2）设a ＞0，讨论函数1()(())cos e ah x f g x x -=⋅-在[0，2π]上的零点个数．（参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10）江苏省苏州市2021届高三苏州八校联盟第一次适应性检测数学试题2020．10一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．已知集合A ＝11N2162x x +⎧⎫∈<<⎨⎬⎩⎭，B ＝{}240x x x m -+=，若1∈A B ，则A B ＝A ．{1，2，3}B ．{1，2，3，4}C ．{0，1，2}D ．{0，1，2，3} 答案：D解析：∵若1∈A B ，∴B ＝{1，3}，又∵A ＝11N2162x x +⎧⎫∈<<⎨⎬⎩⎭＝{0，1，2}，∴A B ＝{0，1，2，3}，故选D ． 2．命题“x ∀∈(0，1)，20x x -<”的否定是A ．0x ∃∉(0，1)，2000x x -≥ B ．0x ∃∈(0，1)，2000x x -≥ C ．0x ∀∉(0，1)，2000x x -< D ．0x ∀∈(0，1)，2000x x -≥ 答案：B解析：全称量词命题的否定，首先全称量词变存在量词，同时否定结论，故选B ． 3．()1cos xf x x=-的部分图象大致是答案：A解析：首先可判断函数()f x 是奇函数，其次可判断x ≠0，当x ＞0时，()f x ＞0，综上，选A ．4．函数2(ln 1)y x x =+在x ＝1处的切线方程为A ．42y x =+B ．24y x =-C ．42y x =-D ．24y x =+ 答案：C解析：设切线斜率为k ，首先求得切点是(1，2)，2ln 4y x '=+，故k ＝4，根据点斜式得，y ﹣2＝4(x ﹣1)，即42y x =-，故选C ．5．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos2B ＋2sinAsinC ＝1，则B 的 最大值为 A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 答案：C解析：由cos2B ＋2sinAsinC ＝1，得sinAsinC ＝sin 2B ，即ac ＝b 2，∴cosB ＝2221122222a c b a c ac c a +-=+-≥，则B 的最大值为3π，故选C ． 6．如图直角坐标系中，角α (0＜α＜2π)、角β (02πβ-<< )的终边分别交单位圆于A ，B 两点，若B 点的纵坐标为513-，且满足S △AOB ＝4，则1sin sin )2222ααα-+的值为A ．513-B ．1213C ．1213- D ．513答案：B解析：∵12cos 13β=>02πβ-<<，故06πβ-<<，又0＜α＜2π，∴0＜αβ-＜23π，即∠AOB ∈(0，23π)，根据S △AOB ＝4，得sin ∠AOB ＝3π，1112sinsin )cos cos()cos 222222313αααπαααβ-+=+=-==，故选B ．7．已知a ＞0，b ＞01=，则A ．baa b ≥ B ．baa b ≤ C ．12aba b +> D ．1a ba b +< 答案：C解析：∵a ＞0，b ＞01=，故0＜a ＜1，0＜b ＜1，∴1aa a a >=，1bb b b >=，故2122aba b a b +>+≥=，故选C ．8．函数()f x =A ．[5，10]B ．[10]C ．[7，10]D ．[7， 答案：D解析：∵()f x =∴2()25f x =0≤2sin 2x ≤1，故49≤2()f x ≤50，又()f x ≥0，∴7≤()f x ≤D ．二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．下面命题正确的是 A ．“a ＞1”是“11a<”的充分不必要条件 B ．在△ABC 中，“sinA ＋cosA ＝sinB ＋cosB ”是“A ＝B ”的充要条件 C ．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的必要而不充分条件 D ．设a ，b ∈R ，则“a ≠0”是“ab ≠0”的必要不充分条件 答案：AD解析：选项A ，a ＞111011a a⇒<<⇒<，故A 正确； 选项B ，sinA ＋cosA ＝sinB ＋cosB sin(A )sin(B )44ππ⇔+=+⇔A ＝B 或A ＋B ＝2π，故B 错误； 选项C ，“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的充分不必要条件，故C 错误；选项D ，∵a ≠0时，ab ≠0不一定成立，而ab ≠0，则a ≠0一定成立，故D 正确． 综上，选AD ．10．已知函数()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中正确的是 A ．函数()f x 的值域与()g x 的值域不相同 B ．把函数()f x 的图象向右平移2π个单位长度，就可以得到函数()g x 的图象 C ．函数()f x 和()g x 在区间(4π-，4π)上都是增函数 D ．若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数()g x 的零点 答案：CD解析：()sin cos )4f x x x x π=-=-，()cos sin )4g x x x x π=+=+，所以函数()f x 的值域与()g x 的值域相同，A 错误，把函数()f x 的图象向右平移2π个单位长度，得到3)4y x π=-，并不是函数()g x 的图象，故B 错误；选项C ，D 都正确，故选CD ．11．设a ＞0，b ＞0，称2ab a b +为a ，b 的调和平均数，a ，b 的加权平均数．如图，C 为线段AB 上的点，且AC ＝a ，CB ＝b ，O 为AB 中点，以AB 为直径作半圆，过点 C 作AB 的垂线交半圆于D ，连接OD ，AD ，BD ，过点C 作OD 的垂线，垂足为E ，取弧 AB 的中点F ，连接FC ，则A ．OD 的长度是a ，b 的几何平均数B ．DE 的长度是a ，b 的调和平均数C ．CD 的长度是a ，b 的算术平均数 D ．FC 的长度是a ，b的加权平均数答案：BD 解析：OD 的长度是a ，b 的算术平均数，CD 的长度是a ，b 的算术平均数，DE 的长度是a ，b 的调和平均数，FC 的长度是a ，b 的加权平均数，故选BD ． 12．关于函数2()ln f x x x=+，下列判断正确的是 A ．x ＝2是()f x 的极大值点B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点C ．存在正实数k ，使得()f x kx >成立D ．对任意两个正实数1x ，2x ，且1x ＞2x ，若12()()f x f x =，则124x x +> 答案：BD 解析：2()ln f x x x =+，22()x f x x-'=， 选项A ，x ＝2是()f x 的极小值点，故A 错误；选项B ，()y f x x =-，2220x x y x-+'=-<，y 在(0，+∞)上单调递减，当x ＝1时，y ＞0，当x ＝2时，y ＜0，故函数()y f x x =-有且只有1个零点，B 正确；选项C ，由2()1ln f x x x x x =+，当x →+∞，210x →，ln 0xx→，知C 错误； 选项D ，212121212()()()ln x x xf x f x x x x -=⇒=，欲证124x x +>，则证212121212()()4ln x x x x x x x x -+=，即证212212112ln 0(1)x x x x x x x x -->>，显然成立，故D 正确，故选BD ．三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．若关于x 的不等式ax ﹣b ＜0的解集是(1，+∞)，则关于x 的不等式02ax bx +>-的解集是 ． 答案：(﹣1，2)解析：∵不等式ax ﹣b ＜0的解集是(1，+∞)， ∴a ＜0，1ba=， ∵02ax bx +>-， ∴﹣1＜x ＜2，解集为(﹣1，2)．14．已知函数0()10x f x x x >=+≤⎪⎩，，则((5))f f -＝ ；若实数a 满足(())f f a a ≥，则a 的取值范围是 ．答案：2；(-∞，﹣1]解析：((5))(4)2f f f -===，14,0(())10,10,1a a f f a a a a ⎧>⎪=-<≤<-=-⎪⎩，∴(())f f a a ≥，解得a ≤﹣1．15．如图，在P 地正西方向8km 的A 处和正东方向1km 的B 处各有一条正北方向的公路AC 和BD ，现计划在AC 和BD 路边各修建一个物流中心E 和F ，为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路PE 和PF ，设∠EPA ＝α(02πα<<)，为了节省建设成本，要使得 PE ＋PF 的值最小，则当PE ＋PF 的值最小时，AE ＝ km ．答案：4解析：由PE ＋PF ＝81cos sin αα+，由权方和知22411tan cos sin 2ααα=⇒=， 故AE ＝8tan α＝4． 16．已知α，β∈(4π，2π)，且22sin sin sin()cos cos αβαβαβ⋅=+⋅⋅，则tan()αβ+的最大值为 ． 答案：﹣4解析：由已知齐次化得2(tan tan )tan tan αβαβ=+，故2tan tan (tan tan 11)tan()41tan tan tan tan 1αβαβαβαβαβ+-++==-≤---． 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）（1）已知2lglg lg 2x y x y -=+ （2）求值：14sin80tan10︒-︒．解：（1）由2lglg lg 2x y x y -=+可得：2lg()lg()2x y xy -=且x y >， 所以，222(),602x y xy x xy y -=-+=即22()6()10,(3)8,31x x x x yy y y -+=-==+=. （2） 因为14sin 80sin10cos104sin 80tan10sin10--=2sin 20cos10sin10-=2sin(3010)cos10sin10--==18．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，c ＝2．有以下3个条件：①2c cosA ＝b ；②2b ﹣a ＝2c cosA ；③a ＋b ＝2c ．请在以上3个条件中选择一个，求△ABC 面积的最大值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：若选择① 由正弦定理sin sin sin a b cA B C==可将2cos c A b =化为：2sin cos sin C A B = 又A B C π++=，所以sin sin()B A C =+ 所以2sin cos sin()C A A C =+即sin cos cos sin 0A C A C -=，sin()0A C ∴-=，A C ∴=2a c ∴==所以1sin 2sin 22ABC S ac B B ∆==≤（当2B π=时取到等号） 所以ABC ∆面积的最大值为2.若选择② 由正弦定理sin sin sin a b cA B C==可将22cos b a c A -=化为：2sin sin 2sin cos B A C A -=又A B C π++=，所以sin sin()B A C =+ 所以2sin()sin 2sin cos A C A C A +-= 即2sin cos sin A C A =，1cos 2C ∴=又(0,)C π∈，3C π∴=又由余弦定理2222cos c a b ab C =+-可得：2242a b ab ab ab ab =+-≥-=（当且仅当a b =时取等号）1sin 2sin 2ABC S ab C C ∆∴=≤=所以ABC ∆若选择③因为2c =，所以24a b c +==≥4ab ∴≤（当且仅当a b =时取等号）又由余弦定理222cos 2a b c C ab+-=得：2222231()()1242cos 2222a b a b a b ab ab C ab ab ab ++-+-==≥=（当且仅当a b =时取等号）03C π∴<≤11sin 4sin 223ABCS ab C π∆∴=≤⨯⨯=a b =时取等号） 所以ABC ∆19．（本小题满分12分）如图，A 、B 是一矩形OEFG 边界上不同的两点，且∠AOB ＝45°，OE ＝1，EF设∠AOE ＝α．（1）写出△AOB 的面积关于α的函数关系式()f α； （2）求（1）中函数()f α的值域．解：（1）∵OE =1，EF =3∴∠EOF =60°当α∈[0，15°]时，△AOB 的两顶点A 、B 在E 、F 上， 且AE =tan α,BE =tan(45°+ α)∴f (α)=S △AOB =21[tan(45°+ α)－tan α]=sin 452cos cos(45)αα︒⋅︒+当α∈（15°,45°]时，A 点在EF 上，B 点在FG 上，且OA =αcos 1，OB=cos(45)α︒- ∴)(αf =S △AOB =21OA·OB·sin45°=αcos 21·cos(45)α︒-·sin45°2cos(2)4α-综上得：f (α)= [0,]122cos(2)4(,]1242cos(2)4παπαππαπα⎧∈⎪⎪+⎪⎨⎪∈⎪-+⎪⎩ （2）由（1）得：当α∈[0，12π]时 f (α)= 2cos(2)4πα++∈[21,3－1]且当α=0时，f (α)min =21；α=12π时，f (α)max =3－1；当α∈]4,12(ππ时,－12π≤2 α－4π≤4π，f （α）2cos(2)4α-+[6－3,23]且当α=8π时，f (α) min =6－3；当α=4π时，f (α) max =23所以f (α) ∈[21,23]． 20．（本小题满分12分）对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”．（1）已知二次函数2()24f x ax x a =+-(a ∈R)，试判断()f x 是否为“局部奇函数”？并说明理由；（2）若12()423xx f x m m +=-⋅+-为定义域R 上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围． 解：（1）当时， 方程即有解，所以为“局部奇函数”． （2）当时，可化为 ．设，则，从而在有解即可保证为“局部奇函数”． 令，1° 当，在有解， 由，即，解得；2° 当时，在有解等价于 解得．（说明：也可转化为大根大于等于2求解） 综上，所求实数m 的取值范围为． 21．（本小题满分12分）在非直角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）若a ＋c ＝2b ，求角B 的最大值； （2）若a ＋c ＝mb (m ＞1)．（i ）证明：A C 1tantan 221m m -=+；（可能运用的公式有sin sin 2sin 2αβαβ++=cos2αβ-）（ii ）是否存在函数()m ϕ，使得对于一切满足条件的m ，代数式cos A cos C ()()cos A cos Cm m ϕϕ++恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的()m ϕ，并证明之；若不存在，请给出一个理由． 解：（1）因为2a c b +=，所以由余弦定理222cos 2a c b B ac+-=可得：2222231()()1242cos 2222a c a c a c ac ac B ac ac ac ++-+-==≥=（当且仅当a c =时取等号）又(0,)B π∈，(0,]3B π∴∈所以角B 的最大值为3π. （2）（i ）由a c mb +=及正弦定理sin sin sin a b cA B C==得sin sin sin A C m B +=， 所以2sin cos 2sin cos 2222A C A CB Bm +-=（或者由sin()sin()2sin cos 222222A C A C A C A CB Bm +-+-++-=可得上式） 因为222A C B π+=-，所以有cos cos 22A C A Cm -+=， 展开整理得(1)sin sin (1)cos cos 2222A C A Cm m +=-，故1tan tan 221A C m m -=+，（ii ）由1tan tan 221A C m m -=+及半角正切公式1cos sin tan 2sin 1cos ααααα-==+可得 2221cos sin 1cos sin 1cos 1cos (1)(tan tan )22sin 1cos sin 1cos 1cos 1cos (1)A C A A C C A C m A A C C A C m -----=⋅⋅⋅=⋅=+++++，对其展开整理得242(1)(cos cos )4cos cos m m A C m A C -++=-即()()2421cos cos 4cos cos m m A C m A C-++=-，即222cos cos 21cos cos 1m A C m m A C m +-+=+，即222cos cos 112cos cos 1mA C m m A C m +-+=--+ 与原三角式作比较可知()m ϕ存在且22()1mm m ϕ=-+．22．（本小题满分12分）已知函数()e xf x =，()1g x ax =-，其中e ＝2.71828…为自然对数的底数． （1）设a N +∈，()()f x g x ≥恒成立，求a 的最大值； （2）设a ＞0，讨论函数1()(())cos e ah x f g x x -=⋅-在[0，2π]上的零点个数．（参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10）解：（1）设函数()()()1xF x f x g x e ax =-=-+，所以()xF x e a '=-，令()0F x '=得ln x a =，（a >0）且当ln x a <时，()0F x '<；当ln x a >时，()0F x '> 所以()F x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增，所以min ()(ln )ln 1F x F a a a a ==-+因为要使得()()f x g x ≥恒成立，只要()0F x ≥恒成立 即min ()(ln )ln 10F x F a a a a ==-+≥ ① 设()ln 1G a a a a =-+，1a ≥且a N +∈()ln 0G a a '∴=-≤，()G a ∴在1a ≥上单调递减又(3)33ln 314 3.30G =-+≈->，(4)44ln 415 5.520G =-+≈-<， 且()G a 图象连续不断，所以满足①的a 的最大值为3.（2）11()cos ax ah x e x e--=⋅-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦设1()cos ax H x ex -=⋅，则()111()cos sin cos tan ax ax ax H x ae x e x x e a x ---'=⋅-⋅=⋅-，因为0a >，所以在(0,)2π内必存在唯一的实数0x ，使得0tan x a =所以()00,,()0,()x x H x H x '∈>为增函数 0(,)2x x π∈，()0H x '>，()H x 为减函数（说明()h x 单调性同样给分）下面先证明：10()aH x e->.因为0tan x a =，所以00cos x x ==（法一）当0x ≥时，有1,sin xe x x x ≥+≥，（不证明不扣分）01111cos cos 001,cos cos x x ex e x --∴≥∴≥， ()000011sin 1cos cos 00cos ax a x ax x x H x e x ee---∴=⋅≥>下证0011sin cos a x x aee -->，即证0011sin cos a x x a ->-21a >-.2211a a -=>-+()0H x ∴1ae ->.（法二）当0x ≥时，有1,sin xe x x x ≥+≥，（不证明不扣分）0100sin ax eax a x -∴≥>，()02100002cos sin cos 1ax a H x ex a x x a-∴=⋅>=+ 下证1221a a e a ->+，令1t a=-，则0t < 即证21(0)1t e t t><+，即证()()21100tt e t +-<< 令()()211t t t e ϕ=+-，则()()210t t t e ϕ'=+≥()t ϕ∴为单调递增函数∴当0t <时，()()00t ϕϕ<=∴()()21100t t e t +-<<()0H x ∴1ae ->.（法三）欲证0110cos ax aex e--⋅>，即证0111cos ax aex +->因为01101ax aeax a+-≥+，所以只需证0011cos ax a x +>，即证000011tan tan cos x x x x +>， 即证000000sin cos 1cos sin cos x x x x x x +>即证220000sin cos sin x x x x +>，又00sin x x >只需证32000sin cos sin x x x +>，即证32000sin sin sin 10x x x --+>即证()()200sin 1sin 10x x -+>又0(0,)2x π∈，所以()()200sin 1sin 10x x -+>显然成立.()0H x ∴1ae ->.接下来，求函数()h x 在0,2x π⎛⎤⎥⎝⎦上的零点个数 ()100,02a h e h x π-⎛⎫=-<> ⎪⎝⎭，且函数()h x 在0,2x π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减()h x ∴在0,2x π⎛⎤ ⎥⎝⎦上有唯一零点，即函数()h x 在0,2x π⎛⎤⎥⎝⎦上的零点个数为1最后，求函数()h x 在[]00,x 上的零点个数()()1100,0ah e e h x --=->，且函数()h x 在[]00,x 上单调递增∴1 当01a <<时，()1100ah e e--=->，所以函数()h x 在[]00,x 上没有零点，即函数()h x 在[]00,x 上的零点个数为0 2当1a ≥时，()1100ah e e--=-≤，所以函数()h x 在[]00,x 上有唯一零点，即函数()h x 在[]00,x 上的零点个数为1 综上所述：当01a <<时，()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的零点个数为1 ； 当1a ≥时，()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的零点个数为2 .。