三角函数的概念和计算

三角函数的概念和计算

（一）角的概念

1.角的正负：我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角.当一条射线没有作任何旋转时，把这个角称为零角。

2.象限角：

角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合。那么，角的终边（除顶点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任一象限。

例题与练习：作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？

（1）4200；（2）-750；（3）8550；（4）-5100.

3.终边相同的角的表示法：

与角α的终边相同的所有角组成的集合是}|360{0

Z k k ∈⋅+α 注：两个终边相同的角的差为3600

的整数倍. 例题与练习：

1.在00

到3600

范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角. （1）-1200

；（2）6400

；（3）-9500

2.写出（1）终边落在Ｘ正半轴上的角的集合：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； （2）终边落在Ｘ负半轴上的角的集合：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； （3）终边落在Ｙ正半轴上的角的集合：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； （4）终边落在Ｙ负半轴上的角的集合：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； （5）终边落在Ｘ轴上的角的集合：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； （6）终边落在Ｙ轴上的角的集合：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； （7）第一象限角的集合＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； （8）第二象限角的集合＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； （9）第三象限角的集合＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； （10）第四象限角的集合＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；

3.下列命题准确的是（ ）

Ａ.终边相同的角相等 Ｂ.第一象限的角相等 Ｃ.第二象限的角第第一象限的角大 Ｄ.小于900

的角不一定是锐角. 4.时钟的分针经过30分钟时间旋转的角度是（ ） Ａ.1800

Ｂ.300

Ｃ.-1800

Ｄ.-300

5.下列角中，终边与3300相同的角是（ ） Ａ.-6300 Ｂ.-18300 Ｃ.300 Ｄ.9900

6.若α是第四象限的角，则1800

－α是第（ ）象限的角 Ａ.一 Ｂ.二 Ｃ.三 Ｄ.四 7.已知角α是第一象限的角，问

2

α

、2α是哪个象限的角？

（二）弧度制.

1.弧度制的定义：弧长等于半径的弧所对的圆心角称为1弧度的角。

2.角度制与弧度制的互化 π＝1800

， 1＝

π

180≈57.30，10＝

180

π

3..弧长和扇形的面积公式 弧长公式：Ｌ=｜α｜r 即：在弧度制．．．中，圆弧的长度等于所对的圆心角的大小与半径的乘积. 扇形的面积公式： 2||2

1

21r Lr S α==

. 例题与练习：

1.下列关于1弧度的角的说法准确的是（ ）

A.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于1弧度 Ｂ.1=（

π

180

）0

Ｃ.弧长等于半径的弧所对的圆周角等于1弧度 D.1=57.30 2.填空：

（1）1350

＝＿＿＿弧度； （2）2250

＝＿＿＿弧度； （3）3150

＝＿＿＿弧度； （4）670

30"＝＿＿＿弧度； （5）-8＝＿＿＿0

；（6）3.5＝＿＿＿0

. 3.角α＝-4的终边落在第（ ）象限 Ａ.一 Ｂ.二 Ｃ.三 Ｄ.四

4.将下列各角化为α+)20)((2παπ<≤∈Z k k 的形式，并判断它们是第几象限的角. （1）

1267π （2）5

28π- （3）4600 （4）22300

5.半径为2m 的圆中，1200

的圆心角所对的弧长为＿＿＿＿，该扇形的面积为＿＿＿. （三）.三角函数的概念

(1)定义：若点P(x, y)是角α终边上一点（除原点外），r=22y x +>0,则有： sin α=

r y ,cos α=r x ,tan α=x

y

，csc α=y r ,sec α=x r ,cot α=y x

例题：1）已知角α的终边上有一点P （-1，2），求sin α、cos α、tan α的值。

2） 已知角α的终边上有点P （3t ，4t ）（t<0），求sin α，cos α、tan α的值。

练习：

1.角α的终边经过Ｐ（4，-3），求sin α、cos α、tan α

2.已知角α的终边在直线y=3x 上，求sin α的值。 (2)符号：

sin α，csc α cos α，sec α tan α ，cot α 例题：1）已知tan αsin α>0，求角α所在的象限。

2）已知sin α>0，求角α的终边在坐标系中所在的位置。 练习：1.判断下列各三角函数的符号：

（1）)5

sin(437tan 3169cos 249sin

ππππ-） （） （） （ 2.cos α=0.5，则角α在第＿＿＿＿＿＿＿象限.

3..sin α+3cos α=0，则角α在第＿＿＿＿＿＿＿象限.

4.已知角α终边上有一点P （x ，4）且cos α=－5

3

，求x 的值.

α 00 300

450

600

900

1800

2700

3600

sin α cos α tan α