信号检测与估值第三次作业
信号检测估计理论与识别技术习题参考答案
2-1 1[()]2E x t =，1212(,)3X t t R t t = 2-2 略。
2-3111[()]sin cos 333E x t t t=++12112212121111111(,)sin cos sin cos sin()cos()9999999X R t t t t t t t t t t =+++++++-2-4 [()]0E X t =，20(,)cos R t t w τστ+=2-5 [()]0E X t =，20(,)cos 2a R t t w ττ+= 2-6 略。
2-7 [()]0E X t =，10(,)200R t t τττ⎧=⎪+=⎨⎪≠⎩2-8 1210()()()2cos(10)(21)X X X R R R eτττττ-=+=++，2[()](0)5X E X t R ==，2(0)2X X R σ==2-9 11()()cos 22jw jw X X o G w R e d w e d τττττ∞∞---∞-∞==⎰⎰00()()()22X P w w w w w ππδδ=-++2-10 00()(()())2Y X X aG w G w w G w w =-++2-11 ())()X R u ττ=+-3-1 二元信号统计检测的贝叶斯平均代价C 为110000000100100110111111()()=()()()() ()()()()ij i i j j i C c P H P H H c P H P H H c P H P H H c P H P H H c P H P H H ===+++∑∑ 利用01()1()P H P H =-1101()1()P H H P H H =- 0010()1()P H H P H H =-得平均代价C 为[][]0011010110011011110100101110111000111011000101()1()1()() ()()()1() ()() ()()()()()()C c P H P H H c P H P H H c P H P H H c P H P H H c c c P H H P H c c c c P H H c c P H H =-⎡-⎤+-+⎣⎦+⎡-⎤⎣⎦=+-+⎡-+---⎤⎣⎦3-2 1）由于各假设j H 的先验概率()(0,1,2)j P H j =相等，所以采用最大似然准则。
信号检测与估计作业第一二三八章答案
时间：6月16日（星期一）晚上6：30－8：30 地点：六教104室（上课教室）试卷共8题，其中4题属于教材第一章内容，其余4题分别的其他章节。
请同学们对匹配滤波器，离散卡尔曼滤波，离散维纳滤波，高斯白噪声下确知信号的检测，K －L 展开，高斯白噪声信道中的单参量信号估计等内容重点关注。
1.1 （付柏成 20060150）在例1.2中，设噪声均方差电压值为σ＝2v ，代价为f c ＝2，m c ＝1。
信号存在的先验概率P ＝0.2。
试确定贝叶斯意义下最佳门限β，并计算出相应的平均风险。
解：根据式（1-15），可以算出00.8280.21f mQc Pc ⨯Λ===⨯ 而判决门限2201ln 0.52ln 88.822βσ=+Λ=+= 根据式（1-21）可知平均风险1010Pr 0.2r 0.8R Qr r =+=+01100.2(|)0.8(|)m f c P D H c P D H =+ 而011(|)(|)D P D H p x H dx =⎰1100(|)(|)D P D H p x Hdx =⎰而2121(1)(|)exp[]22x p x H σπσ-=- 2021(|)exp[]22x p x H σπσ=-所以201121(1)(|)(|)exp[]22D D x P D H p x H dx dx σπσ-==-⎰⎰221(1)e x p []22x dx βσπσ-∞-=-⎰＝17.82()()(3.91)22β-Φ=Φ=Φ 同理11210021(|)(|)exp[]22D D x P D H p x Hdx dx σπσ==-⎰⎰221e x p ()22x dx βσπσ∞=-⎰8.821()1()1(4.41)22β=-Φ=-Φ=-Φ 所以0.21(3.91)0.82[1(4.41)]R =⨯⨯Φ+⨯⨯-Φ 1．2 (关瑞东 20060155)假定加性噪声()n t 服从均值为零，方差为的正态分布。
信号检测与估计第三章
+∞
th1
⎛ N1μ − th1 ⎞ = Φ⎜ ⎟ ⎜ N 1σ ⎟ ⎝ ⎠
⎛ N1μ − N1σΦ −1 (1 − α1 ) ⎞ ⎛ N1 μ ⎞ −1 PD1 = Φ ⎜ = Φ⎜ − Φ (1 − α1 ) ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ σ N σ 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
• 若采用符号检测器，其检验统计量为：
0 2,1
ARE
N1 = N2
0 2,1
渐近相对效率定义如下:
N1 ARE2,1 = lim ARE = lim H1 → H 0 H1 → H 0 N 2 N →+∞ N →+∞
N 2 →+∞
1
N 2 →+∞
1
渐近相对效率是检测器在 H1 → H 0 条件下样本数趋于无穷时 的相对效率。它是比较两种检测器性能的一种指标。
⎧ H 0 : f ( xi ) = f ( − xi ) ⎨ ⎩ H1 : f ( Asi + xi ) = f ( Asi − xi )
2）若只知道噪声分布的中位数为零，可表示为： 1 ⎧ H0 : F ( 0) = ⎪ ⎪ 2 ⎨ ⎪ H : F ( As ) = 1 1 i ⎪ ⎩ 2
定义非随机检验函数（连续型）：
( ) ( ) ( )
k >0
• 混合型噪声的概率密度函数为：
⎧ ⎧ x2 ⎫ ε 1− ε ⎪ 2 x f ( x) = exp ⎨ − 2 ⎬ + exp ⎨ − 2πσ 1 2σ 2 ⎩ 2σ 1 ⎭ ⎪ σ2 ⎩ ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
3.2.1 衡量检测器性能的指标
1. 检测器渐近相对效率 假设二元假设检验问题有两个检测器，若它们具有相同的 虚警概率和检测概率所需的观测样本数分别为 N1 , N 2 ， 则定义第2个检测器对于第1个的相对效率为:
信号检测与估计作业参考(电子科大)
=
⎧a ⎨⎩ 0
(0 ≤ t ≤ T ) (else)
7
第二章
新书 2.4（旧书 2.1）
利用最小错误概率准则设计一接收机，对如下两个假设做出选择：
H0 : x(t) = s0 (t) + n(t) H1 : x(t) = s1(t) + n(t)
信号 s0 (t) 和 s1(t) 如下图，加性噪声是功率谱密度为 N0 / 2 的高斯白噪声。设先验概率相等，
其 中 A, B,ω1,ω2 ,ϕ 为 已 知 常 数 。 噪 声 是 功 率 谱 密 度 为 N0 / 2 的 高 斯 白 噪 声 。 信 号
B cos(ω2t + ϕ) 对接收机性能有何影响？
解：
由式（2.18）可知此时的判决门限为
∫ β
=
N0 2
ln
Λ0
+
1 2
T 0
[s12
(t
)
−
s02 (t)]dt
i =1
> <
1 M
ln Λ0
+1
β
H0
∑ 将 mx
=
1 M
M
xi 作为判决统计量与门限进行对比
i =1
6
由于高斯分布函数的线性组合仍为正态分布，则我们可以得到 mx 在两种假设下的似然
函数：
p(mx | H0 ) =
M 4π
− Mmx2
e4
,
p(mx
|
H1)
=
M − M (mx −2)2 e4
4π
新书 1.3（老书 1.3）
只用一次观测
x
来对下面两个假设做选择，
H
0
西安交大_电信学院_研究生《信号检测与估值》作业
信号检测与估值作业1.考虑下面观测样本为y 的简单二元假设检验问题：110011:()()22:(),0y y H f y rect H f y e y --⎧=⎪⎨⎪=>⎩ 其中，12121,()=0rect t if t -<<⎧⎨⎩，otherwise(a)求该假设检验的似然比检测器并确定判决域（即确定样本空间划分方法） (b)当00012,21P P P ===，时分别计算可能获得的最小错误概率解：（a ）11100011,02,02:()()220,0,:(),0(),0y yy y H f y p y otherwise otherwise H f y e y p y e y --⎧⎧⎧⎧<<<<⎪⎪⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎪⎪=>=>⎩⎩11100110100 0y 222ln 11()y >2 ()112ln 1 H H y H H H H H H H H e y p y p y y y εεεεελλεεεεε⎧>>⎪⇒⎪<<-->⎪==⎨<-⎪>⎪∞<-⎪<≤⎩><-（）=化简得：0 0y 2>2H y ⎧⎪<≤⎪⎨⎪⎪⎩判为（b ）()001E F MP P P P P =+-,()10F y R P p y d =⎰,()01M yR P p y d=⎰2ln 220ln 2011111112ln 2=+ln 2222424y E P y P e dy dy e λ--=+=-⎰⎰当时，()=, 2ln 420ln 4021112123ln 4=ln 4332636y E P y P e dy dy e λ--=+=-+⎰⎰当时，()=,220011110=333y E P y P e dy e λ--==-⎰，()=,当时2.考虑下面观测样本为y 的简单二元假设检验问题：110011:()()221:()2y H f y rect H f y rect y -⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩（a ） 求该假设检验的似然比检测器并确定判决域（即确定样本空间划分方法） （b ） 计算虚报概率F M P P 和漏报概率 解：（a ）11100011:()()1(),022221:()()1,02y H f y rect p y y H f y rect y p y y -⎧=⎧⎪=<<⎪⎪⇒⎨⎨⎛⎫⎪⎪=-=<<⎩ ⎪⎪⎝⎭⎩１ 111000()1y ()121H H H H p y p y εελλλεε>>=⇒=<<--（）=即：1010 1<y<21 0y 1 2H H H λ⎧⎪⎪>⎨<≤⎪<⎪⎩判为（b ）11000001100100100010()1111>=<0d 2()222()11=1d 102()2()11=,12()211,2F M F M F M p y P P y p y p y P y P p y p y H H p y P P λλλλλλεεεε===<>=====-=-=⎰⎰当时，，所以判为H ，，当时，，所以判为H ，，当时，，所以假设以的概率判为的概率判为则3.一个二元通信系统的表达式可以由下面的公式表示：y x n =+其中，y 是接收机观测到的样本，x 是发射的信号，n 是接收机端引入的高斯白噪声（均值为0，方差为2σ），x 取值可为-A 或+A ，分别对应假设01H H 和 （a ）要求确定最小错误概率检测器的形式（b ）给出先验概率分布满足1001103,,5P P P P P P ===情况下的最小错误概率检测器，并计算出相应的最小错误概率解：（a）2211022:()()())()):2 2 H y A n y A y A p y y H y A n p σσ=++⎧-+⇒=-=-⎨=-+⎩ 11122100()()=ln()1121H H H AyH H H p y y e y p y A σεεσελλεεε>>>=⇒⇒<<<---Ｔ （b ）0E F M P P P P P =+０（１－） 2010010131ln 33,3442P P P P P y P A σλ=⇒==⇒==⇒Ｔ当＝ 22ln3222ln30123133ln 31ln 3()()()()4444242A E A P p y dy p y dy A A A Aσσσσ+∞-∞=+=-Φ-+Φ+⎰⎰010010111,122P P P P P y P λ=⇒==⇒==⇒Ｔ当＝０ 001011111()()()()22222E P p y dy p y dy A A +∞-∞=+=-Φ-+Φ+⎰⎰ 201001013ln35355,8852P P P P P y P A σλ=⇒==⇒==⇒Ｔ当＝22322ln52301ln 5233lnln3533555()()(-)(+)8888282AE AP p y dy p y dy A A A Aσσσσ+∞-∞=+=-Φ+Φ⎰⎰ 4.接收机输出为信号电压S 和噪声电压N 之和，其二者的联合概率密度函数为：0(,), 0&0s SN f s n N N n e s αα-≤<∞≤≤=(a) 分别给出S 和N 的边缘概率密度函数()()S N f s f n 和； (b) 证明S 和N 统计独立；(c) 推导Y=S+N 的概率密度函数，并画出图形；(d) 推导()()S N f s f n 和对应假设10H H 和成立下的条件概率密度，即1()()S f y f y =0()()N f y f y =，现给定02=1N α=和，请写出最小错误概率检测器；(e) 分别计算在1001103,,23P P P P P P ===。
信号检测及估计试题-答案（不完整版）
信号检测及估计试题-答案（不完整版）一、概念：1. 匹配滤波器。
概念：所谓匹配滤波器是指输出判决时刻信噪比最大的最佳线性滤波器。
应用：在数字信号检测和雷达信号的检测中具有特别重要的意义。
在输出信噪比最大准则下设计一个线性滤波器是具有实际意义的。
2. 卡尔曼滤波工作原理及其基本公式(百度百科)首先，我们先要引入一个离散控制过程的系统。
该系统可用一个线性随机微分方程（Linear Stochastic Difference equation）来描述：X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)再加上系统的测量值：Z(k)=H X(k)+V(k)上两式子中，X(k)是k时刻的系统状态，U(k)是k时刻对系统的控制量。
A和B是系统参数，对于多模型系统，他们为矩阵。
Z(k)是k时刻的测量值，H是测量系统的参数，对于多测量系统，H为矩阵。
W(k)和V(k)分别表示过程和测量的噪声。
他们被假设成高斯白噪声(White Gaussian Noise)，他们的covariance 分别是Q，R（这里我们假设他们不随系统状态变化而变化）。
对于满足上面的条件(线性随机微分系统，过程和测量都是高斯白噪声)，卡尔曼滤波器是最优的信息处理器。
下面我们来用他们结合他们的covariances 来估算系统的最优化输出（类似上一节那个温度的例子）。
首先我们要利用系统的过程模型，来预测下一状态的系统。
假设现在的系统状态是k，根据系统的模型，可以基于系统的上一状态而预测出现在状态：X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) (1)式(1)中，X(k|k-1)是利用上一状态预测的结果，X(k-1|k-1)是上一状态最优的结果，U(k)为现在状态的控制量，如果没有控制量，它可以为0。
到现在为止，我们的系统结果已经更新了，可是，对应于X(k|k-1)的covariance还没更新。
我们用P表示covariance：P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A’+Q (2)式(2)中，P(k|k-1)是X(k|k-1)对应的covariance，P(k-1|k-1)是X(k-1|k-1)对应的covariance，A’表示A的转置矩阵，Q是系统过程的covariance。
《信号检测与估计》第三章习题解答
∞ β
f
(x
|
H
0
)dx
+
P(H1
)C01
β −∞
f (x | H1)dx
∫ ∫ = 0.8
∞ − x2
e 8 dx +
0.4
β − (x−1)2 e 8 dx
2 2π β
2 2π −∞
3.3
只用一次观测值
x
对下面两个假设作出选择，H
0
：样本
x
为零均值，方差
σ
2 0
的高斯变量；H
1
：
样本
x
为零均值，方差 σ12 的高斯变量，且 σ12
dt
=
1 2
⎡ ⎢1 − ⎣
erf
⎜⎜⎝⎛
β 2σ
⎟⎟⎠⎞⎥⎦⎤
∫ β (q0 ) =
β −∞
∫ ∫ 1
− (x−1)2 e 2σ 2 dx = 1 −
2π σ
∞ β
1 2π σ
− (x −1)2 e 2σ 2
dx
=1−
1 2
⎜⎛ ⎜⎜⎝
2 π
∞ β −1
2σ
e−t
2
dt
⎟⎞ ⎟⎟⎠
=
1−
1 2
⎡ ⎢1 − ⎣
《信号检测与估计》习题解答
《信号检测与估计》第三章习题解答
3.1 在二元数字通信系统中，发送端等概发送 2V 和 0V 的脉冲信号，信道上迭加的噪声服从均值
为零，方差为σ 2 的正态分布，试用最大后验概率准则对接收信号进行判决。
解：由于
P(H1)
=
P(H 0
)
=
1 2
，且
测试信号分析与处理作业第三次作业第3题
% 含有频率f ，2f 和3f 的正弦波叠加原始信号Fs=8000; %采样频率8KHzf=500; %信号基频A=1;t=0:1/Fs:0.02; %产生时间序列x=A*sin(2*pi*f*t)+A*sin(4*pi*f*t)+A*sin(6*pi*f*t); %产生目标信号figure(1);subplot(2,1,1);plot(t,x);grid;title('原始信号');%FFT分析信号频谱len=512;y=fft(x,len); %对信号做len点FFT变换f1=Fs*(0:len/2-1)/len;subplot(2,1,2);plot(f1,abs(y(1:len/2)));grid;title('原始信号频谱')xlabel('频率(Hz)');ylabel('幅值');%数字滤波器设计，均采用巴特沃斯滤波器Rp=3; %通带最大衰减率为3dBRc=40; %祖代最小衰减率为40dB%IIR数字低通滤波器设计Fp=1.2*f;Fc=1.8*f;Wp=2*Fp/Fs;Wc=2*Fc/Fs;[N,Wn]=buttord(Wp,Wc,Rp,Rc);[B,A]=butter(N,Wn,'low');[H,W]=freqz(B,A,len,Fs);figuresubplot(2,1,1);plot(W,abs(H));grid;title('低通滤波器');xlabel('频率（Hz）');ylabel('幅值');xx=filter(B,A,x);yy=fft(xx,len);subplot(2,1,2);plot(f1,abs(yy(1:len/2)));grid;title('滤波后的信号频谱');xlabel('频率(Hz)');ylabel('幅值');%IIR 数字高通滤波器的设计Fp=2.6*f;Fc=2.2*f;Wc=2*Fc/Fs;[N,Wn]=buttord(Wp,Wc,Rp,Rc);[B,A]=butter(N,Wn,'high');[H,W]=freqz(B,A,len,Fs);figuresubplot(2,1,1);plot(W,abs(H));grid;title('高通滤波器');xlabel('频率（Hz）');ylabel('幅值');xx=filter(B,A,x);yy=fft(xx,len);subplot(2,1,2);plot(f1,abs(yy(1:len/2)));grid;title('滤波后的信号频谱');xlabel('频率(Hz)');ylabel('幅值'); %3.IIR 数字带通滤波器设计Fp=[1.8*f 2.2*f];Fc=[1.6*f 2.8*f];Wp=2*Fp/Fs;Wc=2*Fc/Fs;[N,Wn]=buttord(Wp,Wc,Rp,Rc);[B,A]=butter(N,Wn,'bandpass');[H,W]=freqz(B,A,len,Fs);figuresubplot(2,1,1);plot(W,abs(H));grid;title('带通滤波器');xlabel('频率（Hz）');ylabel('幅值');xx=filter(B,A,x);yy=fft(xx,len);subplot(2,1,2);plot(f1,abs(yy(1:len/2)));grid;title('滤波后的信号频谱');xlabel('频率（Hz）');ylabel('幅值');%3.IIR数字带阻滤波器设计Fp=[1.6*f 2.8*f];Fc=[1.8*f 2.2*f];Wc=2*Fc/Fs;[N,Wn]=buttord(Wp,Wc,Rp,Rc); [B,A]=butter(N,Wn,'stop'); [H,W]=freqz(B,A,len,Fs); figuresubplot(2,1,1);plot(W,abs(H));grid;title('带阻滤波器');xlabel('频率（Hz）');ylabel('幅值');xx=filter(B,A,x);yy=fft(xx,len);subplot(2,1,2);plot(f1,abs(yy(1:len/2))); grid;title('滤波后的信号频谱'); xlabel('频率（Hz）');ylabel('幅值');。
信号检测与估计 第三章 信号的检测1
§3.2 二元信号的假设检验和判决准则
➢ 二元信号基本概念 ➢ 贝叶斯准则 ➢ 最小总错误概率准则 ➢ 奈曼---皮尔逊准则 ➢ 极大极小准则
二元假设检验的模型
信源 P(H1)，P(H0)
X1 p(x | H0 )dx
X0 p(x | H1)dx
1
X1
[
p(x
|
H1)
(C10 (C01
C00 )q C11) p
p(x | H0 )]dx
贝叶斯准则
判决规则 ：
H1
l(x)
l0
(C10 (C01
C00 )q C11) p
H0
3.2.3 最小总错误概率准则
所谓最小总错误概率准则，就是已知信号的
（4） H1 为真，判决 H 0 成立；
虚警概率
第三种判决通常称为第一类错误，用雷 达术语来说是虚警错误，即在没有信号 的条件下判决为有信号。其错误概率为
X1 p(x | H0 )dx
漏报概率
第四种判决通常称为第二类错误，用雷 达术语来说是漏报错误。即在有信号的 条件下判决为无信号。其错误概率密度 为：
p[(C11 C00 ) (C01 C11) (C01 C00 ) ]
极大极小准则
由于 R ~ p的关系是一条直线 ，我们用 R( p) 来表示
R( p) C00(1 ) C10
p[(C11 C00 ) (C01 C11) ( p1) (C10 C00 ) ( p1)]
R
R(P) Rmin ( p)
0 P1
P
Rmin ( p) P
信号检测与估计 第三章 答案
e−t(a+2πf ) dt =
(3)
and Sy (f ) = Problem 3.2
a2 e−2aT Sx (f ) a2 + 4π 2 f 2
(4)
Using the definitions of bandpass noise processes, we can write E {z(ti )z(tj )} = E {[nI (ti ) + nQ (ti )] [nI (tj ) + nQ (tj )]} = E {nI (ti )nI (tj )} − E {nQ (ti )nQ (tj )} +E {nI (tj )nQ (ti )} + E {nI (ti )nQ (tj )} Since it is assumed that this bandpass process is stationary, we can rewrite this correlation as E {z(ti )z(tj )} = RI (τ ) − RQ (τ ) + [RQI (τ ) + RIQ (τ )] where τ = ti − tj . Using the properties of Eq. 3.61 in the text completes the proof. A similar proof can easily be written for E {z∗ (ti )z∗ (tj )}. Problem 3.3 Using 3.68 in the text, it follows that RI (τ ) = N0 δ (τ ), RQ (τ ) = N0 δ (τ ), and RIQ (τ ) = 0. In order to get to the desired answer, we make the following reasonable assumptions: 1. The integral of cos 2πfc t from 0 to T is approximately zero. 2. The integral of sin 2πfc t from 0 to T is also approximately zero. 3. The integrate parts of the correlators suppress any “double-frequency” terms. (6) (5)
信号检测与估计课后习题
三、（15分）在二元信号的检测中，若两个假设下的观测信号分别为：0122112::H x r H x r r ==+其中，1r 和2r 是独立同分布的高斯随机变量，均值为零，方差为1。
若似然比检测门限为η，求贝叶斯判决表示式。
解 假设0H 下，观测信号x 的概率密度函数为1/2201(|)exp 22x p x H π⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭假设1H 下，2212x r r =+，而12(0,1),(0,1)r N r N ，且相互统计独立。
大家知道，若(0,1)k r N ，且(1,2,,)k r k N =之间相互统计独立，则21Nk k x x ==∑是具有N 个自由度的2χ分布。
现在2N =，所以假设1H 下，观测信号x 的概率密度函数为22/2112/221(|)exp()2(2/2)21exp(),022x p x H x xx -=-Γ=-≥当0x <时，1(|)0p x H =。
于是，似然比函数为1/2210exp ,0(|)()222(|)0,0x x x p x H x p x H x πλ⎧⎛⎫⎛⎫-≥⎪ ⎪ ⎪==⎨⎝⎭⎝⎭⎪<⎩ 当似然比检测门限为η时，判决表达式为11/220exp ,0222,0H Hx x x H x πη⎧⎛⎫>⎛⎫⎪-≥⎪ ⎪ ⎪<⎝⎭⎨⎝⎭⎪⎪<⎩成立 对0x ≥的情况，化简整理得判决表达式为11/2222ln H Hx x ηπ⎡⎤>⎛⎫-⎢⎥ ⎪<⎝⎭⎢⎥⎣⎦四、（15分）已知被估计参量θ的后验概率密度函数为2(|)()exp[()],0p x x x θλθλθθ=+-+≥（1）求θ的最小均方误差估计量^mse θ 。
（2）求θ 的最大后验估计量^map θ 。
解 （1）参量θ的最小均方误差估计量^mse θ是θ的条件均值，即^0220221(|)()[()]1()()2,mse p x d x exp x d x x x x θθθθλθλθθλλλλ∞∞+==+-+=++=≥-+⎰⎰^0,mse x θλ=<-（2）由最大后验方程^ln (|)|0map p x θθθθ=∂=∂ 得^2[ln()ln ()]1()|0mapx x x θθλθλθθλθ=∂++-+∂=-+=解得^^1,0,map map x x x θλλθλ=≥-+=<-七、（15分）若对未知参量θ进行了六次测量，测量方程和结果如下：182222202384404384n θ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦设初始估计值和估计量的均方误差分别为：^2000,θε==∞ 试用递推估计求θ的线性最小二乘估计量^^1def s k θθ=和估计量的均方误差^122(1,2,,6)sdefk k θεε==；并将最终结果与非递推估计的结果进行比较。
信号检测与估计仿真作业
信号检测与估计计算机仿真作业一．实验目的1.学习Matlab软件在信号检测与估计中的应用2.学习MUSIC、ESPRIT、GEESE等的空间谱估计算法的原理，并通过仿真分析比较这三种算法的不同及性能特点3.通过仿真分析了解非平稳噪声和色噪声对MUSIC、ESPRIT、GEESE方法性能的影响二．实验原理2.1最小错误概率准则出发点是如何使译码后的错误概率PE为最小。
其基本思路为：收到yj后，对于所有的后验概率P(x1|yj),P(x2|yj), …,P(xi|yj),…，若其中P(x*|yj)具有最大值，则将x*判决为yj的估值。
由于这种方法是通过寻找最大后验概率来进行译码的，故又常称之为最大后验概率准则。
最大后验概率译码方法是理论上最优的译码方法，但在实际译码时，既要知道先验概率又要知道后验概率，而后验概率的定量计算有时比较困难，需要寻找更为实际可行的译码准则。
2.2 MUSIC原理MUSIC算法是一种基于矩阵特征空间分解的方法。
从几何角度讲，信号处理的观测空间可以分解为信号子空间和噪声子空间，显然这两个空间是正交的。
信号子空间由阵列接收到的数据协方差矩阵中与信号对应的特征向量组成，噪声子空间则由协方差矩阵中所有最小特征值（噪声方差）对应的特征向量组成。
MUSIC算法就是利用这两个互补空间之间的正交特性来估计空间信号的方位。
噪声子空间的所有向量被用来构造谱，所有空间方位谱中的峰值位置对应信号的来波方位。
MUSIC算法大大提高了测向分辨率，同时适应于任意形状的天线阵列，但是原型MUSIC算法要求来波信号是不相干的。
2.3 ESPRIT算法原理ESPRIT算法估计信号参数时要求阵列的几何结构存在所谓的不变性，这个不变性可以通过两种手段得到：一是阵通过某些变换获得两个或两个以上的相同子阵。
由于这种算法在有效性和方面都有非常突出的表现，已经被公认为空间谱估计的一种经典算法，随着ESPRIT 算法的深入研究，ESPRIT算法进一步被广大学者接受并推广。
2014年信号检测与估计各章作业参考答案(1~9章)
第二章 随机信号及其统计描述1．求在实数区间[]b a ,内均匀分布的随机变量X 均值和方差。
解： 变量X 的概率密度 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-=其他，,01)(b x a a b x p均值 []⎰∞∞-+===2)(ba dx x xp X E m X方差 ⎰∞∞--=-=12)()()(222a b dx x p m x X Xσ2．设X 是具有概率密度函数)(x p 的随机变量，令x 的函数为0),exp(>-=a ax y试求随机变量y 的概率密度函数)(y p 。
解： 反函数0,ln 1>-=a y ax 雅可比式为 aydy dx J 1-==所以 0),ln 1(1)ln 1()(>-=-⋅=a y ap ay y a p J y p 4. 随机过程)(t X 为)sin()cos()(00t B t A t X ωω+=式中，0ω是常数，A 和B 是两个互相独立的高斯随机变量，而且0][][==B E A E ，222][][σ==B E A E 。
求)(t X 的均值和自相关函数。
7. 设有状态连续、时间离散的随机过程)2sin()(t t X Ω=π，式中t 只能取正整数，即 ,3,2,1=t ，而Ω为在区间)1,0(上均匀分布的随机变量，试讨论)(t X 的平稳性。
8.平稳随机过程)(t X 的自相关函数为1)10cos(22)(10++=-τττe R X ，求)(t X 均值、二阶原点矩和方差。
解： 可按公式求解[])()0(,)0()(,)(222∞-==∞=X X X X X X R R R t X E R m σ。
但在求解周期性分量时，不能得出)(∞R ，为此把自相关函数分成两部分： ()12)10cos(2)()()(1021++=+=-τττττeR R R X X X由于)10cos(2)(1ττ=X R 的对应的随机过程为 是随机变量为常数，ϕϕA t A t X ),10cos()(1+=所以[]0)(1=t X E而对于12)(102+=-ττeR X ，有1)(2=∞X R ，即[]1)(2±=t X E所以[][][]1)()()(21±=+=t X E t X E t X E 可理解为1)(=∞X R从而有 []5)0()(2==X R t X E ，)()0(2∞-=X X X R R σ=4因此)(t X 的均值、二阶原点矩和方差分别为[]1)(±=t X E []5)(2=t X E 42=X σ9. 若随机过程)(t X 的自相关函数为)cos(21)(0τωτ=X R ，求)(t X 的功率谱密度。
2021年信号检测与估计各章作业参考答案(1~9章)
其中 是常数， 是 上均匀分布的随机参量； 是高斯白噪声。
(a)求判决公式及最正确接收机结构形式。
(b)如果 ，证明最正确接收机可用 作为检验统计量，并对此加以讨论。
解：〔a〕设 是均值为0、功率谱密度为 的正态白噪声，那么有
由于
所以
按照贝叶斯准那么
或者
两边取对数得到
最正确接
因此 的均值、二阶原点矩和方差分别为
9.假设随机过程 的自相关函数为 ，求 的功率谱密度。
解:自相关函数与功率谱密度函数是一对傅立叶变换对，所以有
利用欧拉公式，可得
11.平稳随机过程 具有如下功率谱密度
求 的相关函数 及平均功率 。
解：
而自相关函数 与功率谱密度 是一对傅立叶变换，
〔b〕不管是否有条件 ，
都可选 作为检验统计量。
当 时，由于
所以判决规那么为
第六章多重信号检测
思考题1：为何要进行多重信号的检测？
答：利用多重信号检测的优势是可以增加检测系统的信噪比，从而增强系统的检测性能。
思考题3：何谓随机相位相干脉冲串信号和随机相位非相干脉冲串信号？
答：通常把多个脉冲信号组成的一串信号称为脉冲串信号，各个脉冲叫做子脉冲，整个信号叫做脉冲串信号。如果脉冲串信号的初相随机，但各个子脉冲信号的相位一致，那么称之为随机相位相干脉冲串信号。如果各子脉冲信号的相位都是随机变化的，且彼此独立变化，那么称之为随机相位非相干脉冲串信号。
〔1〕求 的最大似然估计。
〔2〕假设 的概率密度
求 的最大后验概率估计。
解：〔1〕由题意可写出似然函数
按最大似然估计方程 ，由此解得
〔2〕当 时，可按最大后验概率方程 求解，得到
信号检测与估值--给大家的答案
故有
所以
2．设观测到的信号为
其中 是方差为 、均值为零的高斯白噪声。如果 服从瑞利分布，即
求 的最大后验概率估计 。
解：
根据题意， ，所以
，
且
所以 ，解得：
因为
所以
3．给定 ， 是零均值、方差为1的随即变量
（1）求 的最大似然估计 。
（2）对下列 求最大后验概率估计
解：
（1）根据题意， ，所以
又当 时，根据判决表示式
，
解得 时，判决表示式为
，判决假设 成立
，判决假设 成立
而根据判决表示式
解得 时，判决表示式为
，判决假设 成立
，判决假设 成立
这样，判决表示式为
，
，
又由于 都是以纵坐标为对称的函数，所以
2）当约束 时，采用奈曼-皮尔逊准则，也分两种情况进行讨论。
一、当 时，始终判决假设 成立，所以 ，不满足约束条件 ，不存在奈曼-皮尔逊准则。
化简得判决表示式
2）若似然比检验门限 =1，则判决表示式为
所以，判决概率 为
判决概率 为
二、当 时，判决域的划分如题图（a）所示。如果取 ，则 。
这时判决概率
满足约束条件。
判决概率
5．设观测信号在两个假设下的概率密度函数 分别如下图所示
1）若似然比检验门限为 ，求贝叶斯判决表达式。
2）如果 。
解：
1）假设H0下观测信号的概率密度函数为
假设H1下观测信号的概率密度函数为
于是，似然比检验为
（2）根据题意， ， ，
因此
4．考虑一个假设检验问题，已知
1）设 若 ，试求 。
2）设 ，试建立奈曼-皮尔逊准则。
3信号与系统,每章课后答案第三章作业
CC43
5 -4
则 yf (t) f (t)h(t) u(t)[5etu(t) - 4e2tu(t)] 3u(t) 5etu(t) 2e2tu(t)
(3)全响应 y(t) yx (t)
2019/5/22
(2)该系统的阶跃响应 g(t)
解：设 系统的零输入相应为 yx (t)
输入为 f1(t) u(t) 系统的零状态相应为 y f (t) g(t)
y1(t) y2 (t)
yx (t) yx (t)
y f (t 3yf
) (t)
2e t u (t ) 3etu(t
C3 4 2 C3 2 y(t) yc (t) yp (t) 2e3t 4e2t t 0
2019/5/22
6
<Signal & System>By 谢睿
3-2 描述某LTI系统的微分方程为
d
2 y(t) dt 2
3
dy(t) dt
2 y(t)
h(t)
1
Rt
e L u(t)
L
(3)零状态响应
y
f
(t
)
v(t
)
h(t
)
e
t 2
[u
(t
)
u(t
2)]
1 L
e
R L
t
u(t
)
(若假设L=1，R=1)
e
t 2
信号第三次作业答案
3.7 一连续周期信号()f t ，周期T=8，已知其非零傅里叶复系数是：112F F -==，334F F j *-==，试将()f t 展开成三角型傅里叶级数，求n A 并画出单边幅度谱和相位谱。
解：根据复指数形式的傅里叶级数与三角型傅里叶级数的关系Fnj n n F F e ϕ= 00120 0n n n Fn n Fn n F F A F A n n ϕϕϕϕ-====≥⎧⎨=-<⎩3102113313132j 4242F F jj j j F F F e F e F e F e F F πϕϕπϕϕ=2== =4 == = = =0 =由已知得：即：11331133 242802F F A F A F πϕϕϕϕ∴== == == ==单边幅度谱（即n A 对应的离散函数波形）n A 单边幅度频谱nϕ单边相位谱3.8 已知连续周期信号：25()2cos()4sin()33f t t t ππ=++，将其表示成复指数信号的形式，求0()n F jn ω并画出双边幅度谱和相位谱。
解：根据三角函数的关系sin()cos()cos()22ππααα=-=-，得：25()2cos()4cos()332f t t t πππ=++-根据傅里叶级数的特点，可以观察出周期信号的基波频率分量03πω=，即单边谱中：0250252 1 40 0 2A A A πϕϕϕ======-根据复指数形式的傅里叶级数与三角型傅里叶级数系数的关系Fnj n n F F e ϕ= 00120 0n n n Fn n Fn n F F A F A n n ϕϕϕϕ-====≥⎧⎨=-<⎩得：2525005222550025252 122220 0 20 2F F F F F F A A A F F F F πϕϕϕϕϕϕπϕϕϕϕ----==============-=-==-=即：2255222222555511 2222 22F F F F j j jjj j F F e F F e F F eej F F eejϕϕππϕϕ-------==========-可写出()f t 的复指数形式为：000052252211()22222jj j tj t j tj t f t e ee e e e ππωωωω---=++++ 可以画出双边幅度谱和相位谱如下：双边幅度谱n ω双边相位谱n ω3.22 求下列信号的傅里叶变换322(1)(1)[(2)(3)] (2)(1)2(3)(1) (4)(2)(5)() t t jt t te U t U t U e U t e t e U t δ-+---+ -- --+- 2(1) (6)(1)t e t δ--- 解：033363(2)93(3)303+2233(1)[(2)(3)](2)(3)(2)(3)1()1()3()(),()()1(+2)3 (t t t t t att j t t j t e U t U t e U t e U t e e U t e e U t e U t j ae U t jf t F j f t t F j e e U t e j e U t ωωωωωωω----+--------+ -- =+ --=+--↔+↔+↔-↔↔+- （）（）根据变换对：得：根据时移特性：得：31122121263(2)13)3()(),()(),()()()()a b (2j t e j f t F j f t F j af t bf t aF j bF j e e U t ωωωωωω--+↔+↔↔+↔++根据线性：（其中、为常数）得：93(3)62936932(3)3(11)(3) 331[(2)(3)](3t j j t j j e e U t e e e e j j e e e U t U t e e j ωωωωωωω-------+-+--↔-+++ -- ↔-+（、为常数）即：3))注：也可根据定义直接求出本题变换的结果，但本题注重考察大家对性质的应用，故答案采用性质来解。
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(1)
(2)
(a) 求该假设检验的似然比检测器并确定判决域(即确定样本空间划分方法); (b) 当P0 = 1/2, P0 = 2/3, P0 = 1/3时, 分别计算可能获得的最小错误概率。 2. 考虑下面观测样本为y 的简单二元假设检验问题: ) ( −1 H0 : f0 (y ) = rect y 2 ; ( ) 1 y−1 H1 : f1 (y ) = rect , 2 2
(a) 分别给出S 和N 的边缘概率密度函数fS (s)和fN (n); (b) 证明S 和N 统计独立; (c) 推导Y = S + N 的概率密度函数, 并画出图形. (d) 假定fS (s)和fN (n)对应假设H1 和H0 成立下的条件概率密度函数, 即f1 (y ) = fS (y ), f0 (y ) = fN (y ). 现给定N0 = 2和α = 1, 请写出最小错误概率检测器. (e) 分别计算在P1 = P0 /3, P1 = P0 , P1 = 2P0 /3时的最小错误概率. 5. 一个三元通信系统的表达式可以由下面的公式来表示: y = x + n; (6)
信号检测与估值第三次作业
November 6, 2012
1. 考虑下面观测样本为y 的简单二元假设检验问题: ( ) H : f (y ) = 1 rect y − 1 ; 1 1 2 2 H0 : f0 (y ) = e−y , y > 0. 其中， rect(t) { 1, if − 1 < t < 1; 0, otherwise.
其中, y 是接收机观测到的样本, x是发射的信号, n是接收机端引入的高斯白噪声(均值为0, 方差为σ 2 ). x的取值可为−A/2, 0, 或+A, 分别对应假设H0 , H1 和H2 . H0 , H1 和H2 先验分布等概. (a) 要求确定最小错误概率检测器的形式, 画出判决域; (b) 最小错误概率. 6. 考虑下面的简单二元假设检验问题: { H1 : Y = S + N ; H0 : Y = N ; 其中S 和N 为统计独立的随机变量. 其概率密度函数分别为 { 1 2 , −1 < s < 1; fS (s) = 0: otherwise; and fN (n) = {
1 4 , −2
(7)
(8)
< n < 1; otherwise;
0:
(9)
(a) 当似然比检测器门限设置为λ = 1/4, λ = 1, λ = 2时, 分别给出对应的判决域; (b) 计算(a)中队应的虚报和检测概率; (c) 画出ROC曲线.
2
y 0.
(3)
(a) 求该假设检验的似然比检测器并确定判决域(即确定样本空间划分方法); (b) 计算虚报概率PF 和漏报概率PM . 3. 一个二元通信系统的表达式可以由下面的公式来表示: y = x + n; (4)
其中, y 是接收机观测到的样本, x是发射的信号, n是接收机端引入的高斯白噪声(均值为0, 方差为σ 2 ). x的取值可为−A 或+A, 分别对应假设H0 和H1 . (a) 要求确定最小错误概率检测器的形式; (b) 给出先验分布满足P1 = P0 /3, P0 = P1 , P1 = 5P3 /3情况下的最小错误概率检测器, 并计算相应的最小错误概率. 4. 接收机输出为信号电压S 和噪声电压N 之和. 其二者的联合概率密度函数为 fSN (s, n) = α −αs e , N0 1 0 ≤ s < ∞ & 0 ≤ n ≤ N0 . (5)