抛物线的定义与标准方程
抛物线的定义与标准方程
抛物线的定义与标准方程
抛物线是一种几何图形，它的形状像弓形，早在古希腊时期就已被哲学家用来描述天体运动的轨道。
抛物线拥有独特的几何结构，是分析数学中的一个重要的几何图形。
抛物线定义为一个二次方程
y=ax^2+bx+c的解集合，其中a是不等于0的实数，b与c是实数。
bx 和c分别表示抛物线的斜率和截距。
抛物线有若干不同的特性，其定义可以用标准方程表示，即：
y=ax2+bx+c，其中a、b、c分别是抛物线的系数，而a必须为不等于0的实数。
抛物线的系数a可以用来确定抛物线的开口方向，如果a>0，则抛物线向上开口；如果a<0，则抛物线向下开口。
抛物线的中点是抛物线函数的最高点或最低点，即y的最大值或最小值。
另外，抛物线的对称轴是横坐标x的值，由其标准方程中的b系数决定。
此外，抛物线的几何图形还具有一些特殊的性质，比如切线的斜率，其斜率的值等于解抛物线方程时的系数a。
另外，抛物线的曲线旁线总是平行于切线，这对抛物线几何图形的描述非常重要。
在学习数学时，抛物线可以用来解决许多复杂的问题，抛物线的定义与标准方程可以帮助人们理解抛物线的相关特性，从而更好地解决各种复杂的数学问题。
尽管抛物线的定义看起来很简单，但是人们在分析抛物线的运动轨迹及其性质时，还有许多需要注意的地方。
抛物线及其标准方程
抛物线1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不过F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．其数学表达式：|MF |＝d (其中d 为点M 到准线的距离)．2．抛物线的标准方程与几何性质1(1)定点不在定直线上．(2)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F 与定直线l 垂直的一条直线．2．抛物线的方程特点方程y ＝ax 2(a ≠0)可化为x 2＝1ay ，是焦点在y 轴上的抛物线．3．结论设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(2)|AF |＝p 1－cos α，|BF |＝p 1＋cos α，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)，S △OAB ＝p 22sin α；(3)1|FA |＋1|FB |＝2p；(4)以弦AB 为直径的圆与准线相切；(5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．(7)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的顶点O (0,0)作互相垂直的两条射线且都与抛物线相交，交点为A ，B (如图)．则直线AB 过定点M (2p,0)；反之，若过点M (2p,0)的直线l 与抛物线y 2＝2px (p ＞0)，交于两点A ，B ，则必有OA ⊥OB ．1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．()(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．()(3)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎪⎭⎫⎝⎛0,4a，准线方程是x ＝－a 4.()(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．()2．抛物线y ＝14x 2的准线方程是()A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－23．若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝()A ．2B ．3C ．4D ．84．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点．如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |＝()A ．6B ．8C ．9D ．105．已知抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)的准线与抛物线C 2：x 2＝－2py (p >0)交于A ，B 两点，C 1的焦点为F ，若△FAB 的面积等于1，则C 1的方程是()A ．x 2＝2y B ．x 2＝2y C ．x 2＝yD ．x 2＝22y 6．(教材改编)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是________．7．焦点在直线2x ＋y ＋2＝0上的抛物线的标准方程为_______________抛物线的定义及应用例:1．动圆与定圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1外切，且和直线x ＝1相切，则动圆圆心的轨迹是()A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线(2)(2020·全国卷Ⅰ)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝()A ．2B ．3C ．6D ．9(3)若点P 到点F(0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，则P 的轨迹方程为()A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．x 2＝8yD ．x 2＝－8y(4)在y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是()A ．(－2,1)B ．(1,2)C ．(2,1)D ．(－1,2)(5)．已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.(6).已知椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点F 为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，点P 的坐标为(3,2)．若点M 为该抛物线上的动点，则|MP |＋|MF |的最小值为__________．(7).若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为()A ．(0,0)B ．⎪⎭⎫⎝⎛121C ．(1，2)D ．(2,2)(8).已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是___________.(9).已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x －y ＋3＝0和y 轴的距离之和的最小值是()A ．3B ．5C ．2D ．5－1(10).已知抛物线y ＝12x 2的焦点为F ，准线为l ，M 在l 上，线段MF 与抛物线交于N 点，若|MN |＝2|NF |，则|MF |＝______.抛物线的标准方程例:(1)(2020·全国卷Ⅰ)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝()A ．2B ．3C ．6D ．9(2)(2021·山西吕梁二模)如图，过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝2，则p ＝()A ．1 B.2C ．2D ．2－2(3).顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是()A ．y 2＝－xB ．x 2＝－8yC ．y 2＝－8x 或x 2＝－yD ．y 2＝－x 或x 2＝－8y(4).如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝6，则此抛物线方程为()A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x(5).已知抛物线x 2＝ay 与直线y ＝2x －2相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为3，则此抛物线的方程为()A ．x 2＝32yB ．x 2＝6yC ．x 2＝－3yD ．x 2＝3y(6).抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线的方程为()A ．y 2＝6xB ．y 2＝8xC ．y 2＝16xD ．y 2＝152x(7).抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点O 是坐标原点，过点O ，F 的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为__________．抛物线的几何性质例：(1)(2020·全国卷Ⅲ)设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为()A ．⎪⎭⎫⎝⎛041，B ．⎪⎭⎫⎝⎛021，C ．(1,0)D ．(2,0)(2)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为－1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为()A ．x ＝1B ．x ＝2C ．x ＝－1D ．x ＝－2(3)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴．若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为______________．(4).若双曲线C ：2x 2－y 2＝m (m ＞0)与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，且|AB |＝43，则m 的值是____________.(5).在平面直角坐标系xOy 中有一定点A (4,2)，若线段OA 的垂直平分线过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，则该抛物线的准线方程是_____________(6).已知抛物线y 2＝4x 的焦点F ，准线l 与x 轴的交点为K ，P 是抛物线上一点，若|PF |＝5，则△PKF 的面积为()A ．4B ．5C ．8D ．10(7)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP .若|FQ |＝6，则C 的准线方程为__________________．(8).过抛物线：y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为60°的直线l ，若直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，并且点A 也在双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线上，则双曲线的离心率为()A.213B.13C.233D.5(9).如图，已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线依次交抛物线及圆(x －1)2＋y 2＝14于A ，B ，C ，D 四点，则|AB |＋|CD |的值是()A ．6B ．7C ．8D ．9直观想象、数学运算——抛物线中最值问题的求解方法与抛物线有关的最值问题是历年高考的一个热点，由于所涉及的知识面广，题目多变，一般需要通过数形结合或利用函数思想来求最值，因此相当一部分同学对这类问题感到束手无策．下面就抛物线最值问题的求法作一归纳．1．定义转换法【典例1】(2021·上海虹口区一模)已知点M(20,40)，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F.若对于抛物线上的任意点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________．2．平移直线法【典例2】抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是________．[切入点]解法一：求出与已知直线平行且与抛物线相切的直线方程，从而求两平行线间的距离．解法二：求出与已知直线平行且与抛物线相切的直线与抛物线的切点坐标，从而求切点到已知直线的距离．3．函数法【典例3】若点P在抛物线y2＝x上，点Q在圆(x－3)2＋y2＝1上，则|PQ|的最小值为________．[切入点]P、Q都是动点，转化为圆心与点P的最值．1．(2021·东北三省四市二模)若点P为抛物线y＝2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为()A．2 B.12C.14D.182．(2021·云南省高三统一检测)设P，Q分别为圆x2＋y2－8x＋15＝0和抛物线y2＝4x上的点，则P，Q两点间的最小距离是________．直线与抛物线的位置关系1．直线与抛物线的位置关系2＝2px，＝kx＋m，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0.(1)相切：k2≠0，Δ＝0.(2)相交：k2≠0，Δ>0.(3)相离：k2≠0，Δ<0.2．焦点弦的重要结论抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F的焦点弦AB的倾斜角为θ，则有下列性质：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝p24.(2)|AF|＝x1＋p2＝p1－cosθ；|BF|＝x2＋p2＝p1＋cosθ；|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2θ.(3)抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦．(4)S△AOB＝p22sinθ.(5)1|AF|＋1|BF|为定值2p.(6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．(7)以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切．(8)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线与抛物线有且仅有1个公共点，则它们相切．()(2)所有的焦点弦中，以通径的长为最短．()(3)直线l过(2p,0)，与抛物线y2＝2px交于A、B两点，O为原点，则OA⊥OB.()(4)过准线上一点P作抛物线的切线，A、B为切点，则直线AB过抛物线焦点．() 2．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有() A．1条B．2条C．3条D．4条3．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |＝()A ．9B ．8C ．7D ．64．如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为()A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x5．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为__________．直线与抛物线的位置关系【例1】(1)过点(0,3)的直线l 与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点，则直线l 的方程为__________．(2)已知抛物线C ：x 2＝2py ，直线l ：y ＝－p2，M 是l 上任意一点，过M 作C 的两条切线l 1，l 2，其斜率为k 1，k 2，则k 1k 2＝________.焦点弦问题【例2】(1)(2021·石家庄市质检)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点M (2,22)的直线l 交抛物线于另一点N ，则|NF |∶|FM |等于()A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶2D ．1∶3(2)(2021·湖南五市十校摸底)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线交于M 、N 两点(其中M 点在第一象限)，若MN →＝3FN →，则直线l 的斜率为________．(3)过抛物线y 2＝4x 焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，交其准线于点C ，且A 、C 位于x 轴同侧，若|AC |＝2|AF |，则|BF |等于()A ．2B ．3C ．4D ．5(2020·山东卷)斜率为3的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB |＝________.直线与抛物线的综合问题例题1：已知以F 为焦点的抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点P (1，－2)，直线l 与C 交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，且OM →＋OP →＝λOF →.(1)当λ＝3，求点M 的坐标；(2)当OA →·OB →＝12时，求直线l 的方程．例题2：设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2,0)，B (－2,0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；(2)证明：∠ABM ＝∠ABN .例题3：已知抛物线P ：y 2＝2px (p >0)上的点⎪⎭⎫ ⎝⎛a ，43到其焦点的距离为1.(1)求p 和a 的值；(2)求直线l ：y ＝x ＋m 交抛物线P 于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交抛物线P 于C ，D 两点，求证：A ，B ，C ，D 四点共圆．例题4.如图所示，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 经过点F 且与抛物线C 相交于A ，B 两点．(1)若线段AB 的中点在直线y ＝2上，求直线l 的方程；(2)若线段|AB |＝20，求直线l 的方程．例题5：已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎪⎭⎫ ⎝⎛250，为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．。
抛物线的定义及其标准方程
抛物线的定义及其标准方程抛物线是一种常见的平面曲线形状，它形似一条弯曲的碗，也可以理解为一弹出物飞行时所经过的曲线。
抛物线有许多重要的应用，如机械运动、射击学、光学和电子学等领域。
本篇文章将介绍抛物线的定义及其标准方程。
一、抛物线的定义抛物线可以由一个固定点(称为焦点)和一条直线(称为准线)所确定。
以焦点为原点，以准线到焦点的垂线长度为 x 轴的正半轴，则抛物线的反比例距离与该垂线长度成正比。
抛物线的几何性质：1. 抛物线有轴线对称性。
2. 抛物线的定点为焦点。
3. 抛物线上各点P到准线的距离等于该点到焦点的距离。
4. 抛物线上的点P到焦点F的距离等于P到直线的距离。
二、抛物线的标准方程为了描述抛物线更加方便，我们引入直角坐标系，坐标系原点是焦点，x 轴是准线，y 轴垂直 x 轴，向上取正。
设一个参数 p>0，焦点为 F(p,0)，准线为 x = -p，抛物线上任意一点 P(x,y) 到焦点的距离是：PF = √[(x-p)² + y²]抛物线上任意一点 P 到准线 x=-p 的距离是：PD = |x+p|由于抛物线上各点到焦点的距离等于该点到直线的距离，因此：PF = PD将 PF 的表达式代入，得：√[(x-p)² + y²] = |x+p|平方两边，得：(x-p)² + y² = (x+p)²化简得到标准方程：y² = 4px这个方程被称为抛物线的标准方程。
其中参数 p>0 决定了焦点与准线之间的距离。
若正抛物线，焦点在 y 轴下方；若负抛物线，焦点在 y 轴上方。
标准方程的性质：1. 抛物线的顶点位于原点。
2. 抛物线开口方向由参数 p 确定：当 p > 0 时，抛物线向右开口，当 p < 0 时，抛物线向左开口。
3. 抛物线的对称轴为 y 轴。
抛物线在实际应用中具有广泛的应用，如光学中的抛物面镜头、瞬时动作线、射流的发射、弹道轨迹以及天体运动等。
抛物线的定义和标准方程
2
2
1 2 2 （3）y= x ; (4) x+4y =0 10 2 （5）y=ax ( a 0 )
例2、分别求满足下列条件的抛物 线的标准方程：
（1） 焦点坐标为（-2，0） ； （2） 焦点到准线距离为 8； （3） 焦点与椭圆 4x2+5y2=20 的一个焦点相同； （4） 焦点在 y 轴上，且抛物线上一点（-3，m） 到焦点的距离是 5 （5） 经过点 P（4，-2）
p ( , o) 2
p (0, ) 2
p (0, ) 2
p x 2
p y 2
o y o
x
l l
x
x 2 py ( p 0)
2
x 2 py ( p 0)
2
p y 2
例1、先判断下列抛物线的开口方向， 再求出它们的焦点坐标和准线方程：
（1） y =6x； （2）y= -2x ;
例 3、点 M 与点 F（4，0） 的距离比它到直线 l：x+5=0 的距离小 1，求点 M 的轨迹 方程，并在轨迹上求到 F 距 离等于 5 的点的坐标。
抛物线的定义和标准方程
北京师大二附中 赵昕
抛物线的定义：
平面内与一定点F和一条定直线l的 距离相等的点的轨迹叫抛物线 定点F叫抛物线的焦点 定直线l叫做抛物线的准线
图形
标准方程
焦点坐标
p ( ,0 ) 2
准线方程
p x 2
l
o y
y x
y 2 2 px ( p 0)x Nhomakorabeal
y
o
y 2 2 px ( p 0)
高二数学抛物线的定义及标准方程
1、根据下列条件写出抛物线的标准方程： （1）焦点是F（3,0）； y2=12x
1 （2）准线方程是x=－ ； 4 y2=x
（3）焦点到准线的距离是2； y2=4x , y2=－4x , x2=4y , x2=－4y
已知抛物线的方程是x2 +4y=0， 求它的焦点坐标和准线方程.
解: 把 抛物线的方程x2 +4y=0化为标准方程， x2 =-4y． 所以p=Байду номын сангаас,
(A) y2 = - 4x
(C) y2 = 4x
(B) y2 = - 8x
(D) y2 = 8x
(2) 抛物线x2 +y=0 的焦点位于 ( C )
(A) x轴的负半轴上 (B) x轴的正半轴上 (C) y轴的负半轴上 (D) y轴的正半轴上
2 . 填空题:
(1) 焦点在直线3x－4y－12＝0上的抛物线
的标准方程为
y2 = 16x 或 x2 = -12x
(2) 经过点（－8,8）的抛物线的标准方程为
y2 = -8x 或 x2 = 8y
1 . 解：设直线与x轴，y轴交于点F1、F2 ， 将y＝0或x=0分别代入直线方程可解得 F1（4,0），F2（0,3），故所求抛物线 方程为： y2＝16x 或 x2＝-12y
焦点坐标是(0,-1),
准线方程是 y = 1
2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
(1) y 2 20x;
1 ( 2) x y ; 2
2
F(5,0),x=-5
(3)2 y 5x 0;
2
(4) x 2 8 y 0;
F(0 , -2) , y=2 ;
1 . 选择题:
抛物线的定义及标准方程
抛物线的定义及标准方程一、抛物线的定义1. 定义内容- 平面内与一定点F和一条定直线l(F∉ l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。
2. 定义理解要点- 强调“平面内”这一前提条件，因为在空间中满足到定点与定直线距离相等的点的轨迹是一个抛物面。
- 焦点F不在准线l上，如果F∈ l，则轨迹为过F且垂直于l的直线。
二、抛物线的标准方程1. 建立坐标系推导标准方程- 设抛物线的焦点为F，准线为l，过点F作准线l的垂线，垂足为K，以线段FK的中点O为坐标原点，FK所在直线为x轴建立直角坐标系。
- 设|FK| = p(p>0)，则焦点F的坐标为((p)/(2),0)，准线l的方程为x =-(p)/(2)。
- 设抛物线上任一点M(x,y)，根据抛物线的定义，点M到焦点F的距离等于点M到准线l的距离。
- 点M到焦点F的距离| MF|=√((x - frac{p){2})^2+y^2}，点M到准线l的距离| x+(p)/(2)|。
- 由√((x - frac{p){2})^2+y^2}=| x+(p)/(2)|，两边平方可得(x-(p)/(2))^2 + y^2=(x + (p)/(2))^2，展开并化简得y^2=2px(p>0)，这就是抛物线的一种标准方程，它表示焦点在x轴正半轴上的抛物线。
2. 其他几种标准方程形式- 当焦点在x轴负半轴上时，设焦点F(-(p)/(2),0)，准线l的方程为x=(p)/(2)，按照上述推导过程可得抛物线方程为y^2=-2px(p > 0)。
- 当焦点在y轴正半轴上时，设焦点F(0,(p)/(2))，准线l的方程为y =-(p)/(2)，设抛物线上一点M(x,y)，根据定义可得√(x^2)+(y-(p)/(2))^2=|y+(p)/(2)|，化简后得到x^2=2py(p>0)。
- 当焦点在y轴负半轴上时，设焦点F(0,-(p)/(2))，准线l的方程为y=(p)/(2)，可得抛物线方程为x^2=-2py(p>0)。
抛物线的定义及其标准方程
1.抛物线的定义. 2.抛物线的四种标准方程形式及其对应的焦点和准线.
学习重点
1.抛物线的定义及焦点与准线. 2.抛物线的四种标准方程形式，以及p的意义.
抛物线的四种图形,标准方程的推导及焦点坐标与 准线方程.
复习回顾：
我们知道，到一个定点的距离和到一条 定直线的距离的比是常数的点的轨迹，当常 数在（0，1）内变化时，轨迹是椭圆；那么 当常数等于1时轨迹是什么曲线呢？这就是 今天我们要学习的另一种圆锥曲线——抛物 线，以及它的定义和标准方程.
( p 0)
( p , 0) 2
( p , 0) 2
x p 2
x p 2
x2 2 py
( p 0)
x2 2 py
( p 0)
(0, p ) 2
(0, p) 2
y p 2
y p 2
例题1：（1）已知抛物线的标准方程是 y2=6x ， 求它的焦点坐标和准线方程
（2）已知抛物线的焦点坐标是F(0,2)， 求它的标准方程.
解（1）∵抛物线方程为 y2 6x p 3
根据抛物线定义，知道F是定点,L是定 直线，从而F到L的距离为定值，设为p， 则p是大于0的数.
探究：在建立椭圆的标准方程时，选择不同的坐标系得到不同
形式的标准方程。那么，抛物线的标准方程有哪些不同的形式？ 探究后填写下表：
图形
标准方程 焦点坐标 准线方程
y 2 2 px
( p 0)y 2 来自 2 px探究：如图，点 F是定点，L 是不经过点F 的定直线。H是 L上任
意一点，过点H 做 MH L，线段FH的垂直平分线m交
MH于点M，拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M
抛物线定义及标准方程
抛物线定义及标准方程抛物线是二次函数的图象，它是平面上到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹。
在日常生活中，我们经常可以看到抛物线的形状，比如喷泉中水流的轨迹、抛出的物体的运动轨迹等。
抛物线的研究对于理解物体的运动规律、建立数学模型等都具有重要的意义。
抛物线的标准方程是y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0。
抛物线的开口方向取决于a的正负，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
现在我们来详细了解一下抛物线的定义及标准方程。
首先，我们来看抛物线的定义。
如前所述，抛物线是平面上到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹。
这个定点叫做焦点，定直线叫做准线。
在平面直角坐标系中，抛物线的焦点通常在y轴上，坐标为(0, p)，准线为y=-p。
根据这个定义，我们可以得出抛物线的数学表达式。
其次，我们来推导抛物线的标准方程。
假设抛物线上有一点P(x, y)，它到焦点的距离为PF，到准线的距离为PM。
根据抛物线的定义，我们可以得到PF=PM，即√(x^2+(y-p)^2)=|x|。
将这个方程进行整理化简，就可以得到抛物线的标准方程y=ax^2+bx+c。
最后，我们来看一些抛物线的性质。
首先，抛物线的对称轴是与x轴平行的直线，它通过焦点并且与抛物线的开口方向垂直。
其次，抛物线的顶点坐标为(-b/2a,c-b^2/4a)。
最后，抛物线的焦距为|4a|p。
这些性质可以帮助我们更好地理解抛物线的形状和特点。
总之，抛物线是二次函数的图象，它具有很多重要的数学性质和物理意义。
通过学习抛物线的定义及标准方程，我们可以更好地理解它的形式和特点，为后续的数学学习和物理研究打下基础。
希望本文能够帮助大家更好地理解抛物线，欢迎大家批评指正。
抛物线的定义及其标准方程
则焦点坐标是
(
3 2
,
0)
，
准线方程是
x
3 2
（2）∵焦点在 y 轴的负半轴上，且 p 2, p 4
2
则所求抛物标准方程：
（1） 焦点是F (3, 0) ；
解： p 3 p 6
2
所以抛物线的标准方程为 y2 2 6x 12x
探究：在建立椭圆的标准方程时，选择不同的坐标系得到不同
形式的标准方程。那么，抛物线的标准方程有哪些不同的形式？ 探究后填写下表：
图形
标准方程 焦点坐标 准线方程
y 2 2 px
( p 0)
y 2 2 px
( p 0)
( p , 0) 2
( p , 0) 2
x p 2
x p 2
准线的距离为 2 。
y
解（1）由题意得抛物线的方
程为 y2 2 px 或 x2 2 py( p 0)
因为图像过点 (2,3)
o
(2, 3)
x
故 32 2 p 2，p
9 4
或
22 2 p3，p
2 3
所以抛物线方程为
y2
9 2
x或 x 2
4 3
y
（2）由题意得抛物线的焦点在 x 轴或 y 轴上。 当焦点在 x 轴上时， p 2 ，
探究：
如图，点 F是定点，L 是不经过点F 的定直线。H是 L上任
意一点，过点H 做 MH L，线段FH的垂直平分线m交
MH于点M，拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M
满足的几何条件吗？
L
H
M
F
抛物线的定义及其标准方程
抛物线的定义及其标准方程抛物线是一种常见的二次曲线，其形状与开口向上或开口向下的弓形极为相似。
抛物线有着广泛的应用，例如在物理学、工程学、建筑学等领域中都有着重要的地位。
一、抛物线的定义抛物线可以定义为：过定点且不垂直于定直线的所有点到定点距离与该点到定直线距离之差相等的点的集合。
简单来说，就是抛物线上任何点到它的焦点距离减去它到抛物线的准线（即过抛物线的焦点且垂直于直线）距离的差值为常数，成为焦距。
抛物线的准线垂直于抛物线的轴线。
二、抛物线的标准方程一般来说，抛物线的标准方程为y = ax² + bx + c，其中a不等于0。
如果我们规定焦点位于y轴上，且顶点为原点，那么这个抛物线的标准方程将为y = ax²。
这个标准方程中的a值决定了抛物线的形状。
如果a大于0，则抛物线开口向上，如果a小于0，则抛物线开口向下。
当a = 0时，标准方程变为y = bx + c，这是一条线性函数。
可以通过把上述标准方程与完美的抛物线的三个关键点联系起来，以确定它的形状。
这些基本关键点包括：焦点、顶点和准线交点。
三、抛物线的性质1. 抛物线对称性: 由于抛物线具有对称性，因此任何垂直于抛物线轴线的直线与抛物线的交点都会沿着轴线形成一个对称点。
2. 抛物线焦点: 抛物线的焦点是距离准线的焦距相等的所有点的集合。
抛物线的焦点与准线相等的距离通常被称为焦距，通常用字母f表示。
3. 抛物线顶点: 抛物线的顶点是抛物线开口处的点。
如果抛物线开口向上，则顶点的y坐标为抛物线函数的最小值。
如果抛物线的开口向下，则顶点的y坐标为抛物线函数的最大值。
4. 抛物线的交点: 如果直线y = mx + b与抛物线相交，那么它将与抛物线在两个位置相交。
交点公式为x = (-b +√(b² - 4ac))/ (2a)和x = (-b -√(b² - 4ac))/ (2a)。
五、总结抛物线是一种非常基础的二次曲线，在工程数学中经常被使用。
抛物线的标准方程及相关公式
抛物线的标准方程及相关公式抛物线是我们在初中时就接触到的一个概念，大部分人都知道它是一种平面曲线，但是具体的表达方式可能不是所有人都能记得清。
其实，抛物线也可以用一种简单的标准方程来表达，下面我会详细介绍这个方程以及与抛物线相关的公式。
一、抛物线的定义抛物线是一种平面曲线，其数学定义是所有到定点距离与到定直线距离相等的点的轨迹，其中定点称为焦点，定直线称为准线。
在我们的日常生活中，许多自然现象都可以使用抛物线来描述，比如炮弹的轨迹、跳水运动员的姿态等等。
二、抛物线的标准方程在数学中，抛物线可以用一种简单的标准方程表示。
这个方程是：y = ax² + bx + c其中 a、b、c 都是常量，具体的数值由抛物线的形状以及位置决定，下面我将逐一解释这些常量。
① aa 是抛物线的开口方向和开口大小的决定因素。
如果a 大于0，那么抛物线开口向上，开口大小取决于 a 的大小；如果 a 小于 0，那么抛物线开口向下，开口大小同样取决于 a 的大小。
如果 a 等于 0，那么抛物线就变成了一条水平直线，这个时候抛物线不存在焦点和准线。
② bb 是抛物线在 x 轴上方的截距，也称抛物线的对称轴。
如果 b等于 0，那么抛物线就与 y 轴对称，即为偶函数。
如果 b 不等于 0，那么抛物线就可以沿着 y 轴方向平移，改变抛物线的位置。
③ cc 是抛物线在 y 轴上的截距。
如果 c 等于 0，那么抛物线的焦点就位于原点。
通过上述的分析，我们已经可以根据抛物线的形状和位置来确定 a、b、c 的数值，进而得到抛物线的标准方程。
三、与抛物线相关的公式在学习抛物线的过程中，还有许多与它相关的公式需要掌握。
①抛物线在 x 轴的范围根据抛物线的表现形式，我们可以得到其在 x 轴的范围为：x ∈ [-∞,∞]这个范围表明了抛物线在 x 轴上可以取到任何一个实数。
②抛物线的对称轴抛物线的对称轴就是它的顶点，顶点的 x 坐标可以通过以下公式计算出来：x = -b/2a根据这个公式，我们可以得到抛物线的顶点坐标。
9、抛物线的定义及标准方程
x
抛物线的特征：
顶点，对称轴，开口方向（左右，上下） 除了以上的几个特征，还有什么特点呢？
d: 表示 动点 M 到 直线 l 的 距离 |MF|: 表示 动点 M 到 定点 F的距离 y
d
o
பைடு நூலகம்
M
|MF|=d
F
x
抛物线的特点： 抛物线上的任意一点，
定义
到其焦点的距离 等于 到其准线的距离。 d:表示动点M到 准线 直线l 的距离 |MF|:表示动点M到定点 焦点F 的距离 准 |MF|=d 线 y
2、一个动点 P 到点（3,0）的距离比它到直线 x 2 的距离大 1，求该 动点 P 的轨迹方程。
3、抛物线 y2 4x 上的一点Ｍ的到焦点的距离为 1，求点 M 的纵坐标。 思考： 4、 已知 P 为抛物线 记 y 2 4x 上一点，
P 到此抛物线的准线的距离为 d1 ，
P 到直线 x 2 y 12 0 的距离为 d2 ，求 d1 d2 的最小值。
（3）已知点P为抛物线 y
2
2x上的一个动点，
17 2
。
则点P到点A(0,2)的距离与点P到该抛物线准线
的距离之和的最小值为
例2：定义法求轨迹方程
1.已知动圆Ｍ经过点A（3,0），且与直线l: x
相切，求动圆圆心Ｍ的轨迹方程。 2.已知动圆Ｍ与直线 y
3
2相切，且与 2 2 x ( y 3) 1外切，求动圆 定圆C：
1 (2)焦点的非零坐标是一次项系数的 倍， 4 1 准线方程中等式右边是一次项系数的 倍。 4
（3）P 为 焦准距（焦点到准线距离）
y 20 x x为一次项 x 5 (5, 0) 右 开口方向 ，焦点 ，准线方程 ；
抛物线的定义及标准方程
抛物线的定义及标准方程抛物线是一种常见的二次曲线，其定义和标准方程是初中数学中的重要内容。
抛物线在物理学、工程学和数学中都有着广泛的应用，因此了解抛物线的定义及标准方程对于学习和工作都是非常重要的。
首先，我们来看一下抛物线的定义。
抛物线是平面上到定点（焦点）的距离与到定直线（准线）的距离相等的点的轨迹。
这意味着抛物线是由一定点和一条直线确定的轨迹，其形状呈现出一种特殊的曲线形态。
在平面直角坐标系中，抛物线通常是关于y轴对称的，其开口方向可以向上或向下。
接下来，我们来看一下抛物线的标准方程。
一般来说，抛物线的标准方程可以表示为：y = ax^2 + bx + c。
其中，a、b、c为常数，且a不等于0。
这个方程描述了抛物线的一般形式，通过调整a、b、c的数值，我们可以得到不同位置和形状的抛物线。
当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。
而当a等于0时，这个方程描述的是一条直线，而不是抛物线。
除了一般形式的标准方程之外，我们还可以通过顶点和焦点来确定抛物线的标准方程。
通过平移和缩放的操作，我们可以将抛物线的顶点平移到坐标原点，并且使得焦点在y轴上，这样就可以得到抛物线的标准方程。
这种方法可以更直观地理解抛物线的形状和特征。
总的来说，抛物线的定义及标准方程是数学中的重要概念，它们不仅在学术研究中有着重要的地位，同时也在实际生活和工作中有着广泛的应用。
通过理解和掌握抛物线的定义及标准方程，我们可以更好地应用它们解决实际问题，同时也可以更深入地理解数学中的相关知识。
希望本文的介绍可以帮助大家更好地理解抛物线的相关概念，为进一步学习和工作中的应用打下坚实的基础。
抛物线的定义-高中数学知识点讲解
抛物线的定义1．抛物线的定义【概念】抛物线是指平面内到一个定点和一条定直线l 距离相等的点的轨迹．他有许多表示方法，比如参数表示，标准方程表示等等．它在几何光学和力学中有重要的用处．抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线．抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图象．【标准方程】①y2＝2px，当p＞0 时，为右开口的抛物线；当p＜0 时，为左开口抛物线；②x2＝2py，当p＞0 时，为开口向上的抛物线，当p＜0 时，为开口向下的抛物线．【性质】我们以y2＝2px（p＞0）为例：푝①焦点为（2，0）；②准线方程为：x =―푝2；③离心率为e＝1．④通径为 2p（过焦点并垂直于x 轴的弦）；⑤抛物线上的点到准线和到焦点的距离相等．【实例解析】例 1：点P 是抛物线y2＝x 上的动点，点Q 的坐标为（3，0），则|PQ|的最小值为解：∵点P 是抛物线y2＝x 上的动点，∴设P（x，푥），∵点Q 的坐标为（3，0），∴|PQ| =(푥―3)2+(푥―0)2=푥2―5푥+9=(푥―5)2+11，24∴当x =5525，即P（，）时，224|PQ|取最小值112．1/ 2故答案为：11 2．这个例题其实是一个求最值的问题，一般的解题思路就是把他转化为求一个未知数的最值，需要注意的是一定要明确这个未知数的定义域，后面的工作就是求函数的最值了．例 2：已知点P 是抛物线y2＝4x 上的一个动点，点P 到点（0，3）的距离与点P 到该抛物线的准线的距离之和的最小值是．解：如图所示，设此抛物线的焦点为F（1，0），准线l：x＝﹣1．过点P 作PM⊥l，垂足为M．则|PM|＝|PF|．设Q（0，3），因此当F、P、Q 三点共线时，|PF|+|PQ|取得最小值．∴（|PF|+|PQ|）min＝|QF| =32+12=10．即|PM|+|PQ|的最小值为10．故答案为：10．这是个经典的例题，解题的关键是用到了抛物线的定义：到准线的距离等于到焦点的距离，然后再根据几何里面的两点之间线段最短的特征求出p 点．这个题很有参考价值，我希望看了这个例题的同学能把这个题记下了，并拓展到椭圆和双曲线上面去．【考点分析】抛物线是初中高中阶段重要的一个知识点，高中主要是增加了焦点、准线还有定义，这也提示我们这将是它的一个重点，所以在学习的时候要多多理会它的含义，并能够灵活运用．2/ 2。
抛物线的定义及标准方程备考策略
抛物线的定义及标准方程备考策略内容：1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．[提醒] 当直线l 经过点F 时，点的轨迹是过定点F 且垂直于定直线l 的一条直线．2．标准方程顶点在坐标原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线的标准方程为：y 2＝2px (p >0)； 顶点在坐标原点，焦点在x 轴负半轴上的抛物线的标准方程为：y 2＝－2px (p >0)； 顶点在坐标原点，焦点在y 轴正半轴上的抛物线的标准方程为：x 2＝2py (p >0)； 顶点在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上的抛物线的标准方程为：x 2＝－2py (p >0)．[提醒] 抛物线标准方程中参数p 的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离，所以p 的值永远大于0，当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时，不要出现p <0的错误．思维规律解题：考点一：求抛物线的方程例1．(2015·石家庄调研)若抛物线y 2＝2px 上一点P (2，y 0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝4xB ．y 2＝6xC ．y 2＝8xD ．y 2＝10x 答案 C解析： ∵抛物线y 2＝2px ，∴准线为x ＝－p 2. ∵点P (2，y 0)到其准线的距离为4，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪－p 2－2＝4. ∴p ＝4.∴抛物线的标准方程为y 2＝8x .选C考点二：抛物线的定义应用例2.(2012·重庆高考)过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝2512，|AF |＜|BF |，则|AF |＝______. 答案 56 解答 由y 2＝2x ，得p ＝1，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0. 又|AB |＝2512，知AB 的斜率存在(否则|AB |＝2)．。
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抛物线的定义与标准方程
教学目标
1．掌握抛物线的定义及其标准方程；
2．掌握抛物线的焦点、准线及方程与焦点坐标的关系；
3．认识抛物线的变化规律.
教学重点
抛物线的定义及标准方程
教学难点
区分标准方程的四种形式
教学过程
Ⅰ.复习回顾：
与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么，当e=1时，它是什么曲线呢？
Ⅱ.讲授新课：
1．抛物线的定义：
平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫抛物线.点F叫抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
2．抛物线的标准方程：
⑴推导过程：
（先由学生自己建立坐标系，然后在确定以下方法方程最简）
如图，建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F且垂直于直线l，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合.
设|KF |=p (p ＞0)，那么焦点F 的坐标为（)0,2p ，准线l 的方程为.2
p x -= 设点M （x ,y ）是抛物线上任意一点，点M 到l 的距离为d .由抛物线的定义，抛物线就是集合}|||{d MF M P ==
|2p x |y )2p x (|2
p x |d ,y )2p x (|MF |2222+=+-∴+=+-= 将上式两边平方并化简，得y 2=2px ①
方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，坐标是).0,2(p 它的准线方程是.2
p x -= ⑵抛物线标准方程的四种形式：
一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：y 2=－2px ,x 2=2py ,x 2=－2py .这四种抛物线的图形，标准方程，焦点坐标以及标准方程列表如下：
问题：㈠有无其它建立坐标系的方法？
㈡参数p 的几何意义是什么？
㈢抛物线的标准方程有种形式，能否总结出标准方程、焦点坐标、准线方程及图形的记忆规律？
注意：
⑴抛物线标准方程中判别焦点在哪个轴上的方法是看一次项，若一次项的变量是x ，则焦点在x 轴上；若一次项的变量是y ，则焦点在y 轴上。
一次项系数的正负号决定抛物线的开口方向。
“一次项的字母定轴，一次项的符号定向”
⑵“p ”表示焦点到准线的距离
例1．（1）已知抛物线的标准方程是y 2=6x ，求它的焦点坐标和准线方程；
（2）已知抛物线的焦点坐标是F （0，－2），求它的标准方程.
解：（1）因为p =3,所以焦点坐标是),0,23(准线方程是.2
3-=x （2）因为焦点在y 轴的负半轴上，并且,4,22
==p p 所以所求抛物线
的标准方程是x2=－8y.
Ⅲ.课堂练习：
课本练习
课堂小结
通过本节学习，要求大家掌握抛物线的定义及其标准方程，并掌握抛物线的焦点、准线及方程的相互关系，并能应用它解决一些相关问题.
课后作业
课本习题
教学设计、设计解说以及学生活动情况
先从数学实验开始，引导学生得出抛物线的定义和标准方程，讨论四种情况下抛物线的方程、图像、性质等。
学生通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程。