抛物线的定义与标准方程

抛物线的定义与标准方程

教学目标

1．掌握抛物线的定义及其标准方程；

2．掌握抛物线的焦点、准线及方程与焦点坐标的关系；

3．认识抛物线的变化规律.

教学重点

抛物线的定义及标准方程

教学难点

区分标准方程的四种形式

教学过程

Ⅰ.复习回顾：

与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么，当e=1时，它是什么曲线呢？

Ⅱ.讲授新课：

1．抛物线的定义：

平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫抛物线.点F叫抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.

2．抛物线的标准方程：

⑴推导过程：

（先由学生自己建立坐标系，然后在确定以下方法方程最简）

如图，建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F且垂直于直线l，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合.

设|KF |=p (p ＞0)，那么焦点F 的坐标为（)0,2p ，准线l 的方程为.2

p x -= 设点M （x ,y ）是抛物线上任意一点，点M 到l 的距离为d .由抛物线的定义，抛物线就是集合}|||{d MF M P ==

|2p x |y )2p x (|2

p x |d ,y )2p x (|MF |2222+=+-∴+=+-= 将上式两边平方并化简，得y 2=2px ①

方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，坐标是).0,2(p 它的准线方程是.2

p x -= ⑵抛物线标准方程的四种形式：

一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：y 2=－2px ,x 2=2py ,x 2=－2py .这四种抛物线的图形，标准方程，焦点坐标以及标准方程列表如下：

问题：㈠有无其它建立坐标系的方法？

㈡参数p 的几何意义是什么？

㈢抛物线的标准方程有种形式，能否总结出标准方程、焦点坐标、准线方程及图形的记忆规律？

注意：

⑴抛物线标准方程中判别焦点在哪个轴上的方法是看一次项，若一次项的变量是x ，则焦点在x 轴上；若一次项的变量是y ，则焦点在y 轴上。一次项系数的正负号决定抛物线的开口方向。

“一次项的字母定轴，一次项的符号定向”

⑵“p ”表示焦点到准线的距离

例1．（1）已知抛物线的标准方程是y 2=6x ，求它的焦点坐标和准线方程；

（2）已知抛物线的焦点坐标是F （0，－2），求它的标准方程.

解：（1）因为p =3,所以焦点坐标是),0,23(准线方程是.2

3-=x （2）因为焦点在y 轴的负半轴上，并且,4,22

==p p 所以所求抛物线

的标准方程是x2=－8y.

Ⅲ.课堂练习：

课本练习

课堂小结

通过本节学习，要求大家掌握抛物线的定义及其标准方程，并掌握抛物线的焦点、准线及方程的相互关系，并能应用它解决一些相关问题.

课后作业

课本习题

教学设计、设计解说以及学生活动情况

先从数学实验开始，引导学生得出抛物线的定义和标准方程，讨论四种情况下抛物线的方程、图像、性质等。学生通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程。