二次函数yax的图像与性质
二次函数yaxh2的图象和性质
5、二次函数 y2(x3)2是由二次函
数
向左平移3个单位得到的。
在同一坐标系中作出了下列二次函数的图像：
y 1 x 2 y 1 (x2)2
2
2
y
1
6
(x
2)2
25
观察三条抛物线的 y 1 x 22 相互关系,并分别指 2
4
y 1 x2 2
y 1 x 22
2
3
出它们的开口方向,
2
对称轴及顶点.
开口向上
c>0 c<0
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称
(0,c)
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
复习
1、抛物线 y 1 x 2向上平移3个单位， 3
得到抛物线
；
2、抛物线 y2x24向 平移 个 单位，得到抛物线 y2x23。
y 3x2
y3x12
在对称轴(直线:x=1)左侧 (即x<1时),函数y=3(x-1)2 的值随x的增大而减少,.
二次函数y=3(x-1)2
与y=3x2的增减性类似.
顶点是最低点,函数 有最小值.当x=1时,
最小值是0..
在对称轴(直线:x=1)左侧 (即x>1时),函数y=3(x-1)2 的值随x的增大而增大,.
2 1
变化？
-3 -2 -1 0-1 1 2 3 x
-2
-3
y
1(x1)2---456y
2
-7
1 x2
y
2
1
(x1)2
2
-8
探究
三、观察三条抛物线： y
二次函数的图像与性质
二次函数的图像与性质二次函数（quadratic function）是数学中的一类函数，其表达式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a≠0。
这种函数的图像是一条抛物线，其特点是拥有许多有趣的性质和图像的变化规律。
本文将对二次函数的图像与性质进行详细说明。
一、基本形式二次函数的基本形式为y = ax^2，其中a为二次函数的系数，决定了抛物线的开口方向和形状。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
二、顶点二次函数的顶点（vertex）是抛物线的最高点（若开口向下）或最低点（若开口向上）。
顶点可通过求导数或利用抛物线的对称性求得。
顶点的横坐标为x = -b/2a，纵坐标为y = f(x)，其中f(x)为二次函数的表达式。
三、对称轴二次函数图像的对称轴（axis of symmetry）是通过抛物线的顶点，并且与抛物线相互对称的一条直线。
对称轴的方程可以通过对抛物线的表达式进行简单计算得到。
四、焦点和准线焦点（focus）和准线（directrix）是二次函数图像的两个重要元素。
焦点是指在平面上向外弯曲的抛物线上的一个特定点。
焦点的横纵坐标可通过复杂的求解方法得到，这里不再详述。
准线是通过焦点以及与对称轴垂直的直线上的特定点构成的直线段。
准线的方程也可通过复杂的计算得到。
五、零点二次函数的零点（zeros）是函数表达式等于零的横坐标。
其求取方法可以通过方程ax^2 + bx + c = 0来求解。
根据求根公式，可得有两个根、一个根或者无实根。
六、图像的变化规律通过改变二次函数的参数a、b、c的数值，可以使得二次函数的图像发生各种变化。
以下是几种常见的变化规律：1. 改变a的值，a越大，抛物线越“扁平”，开口越朝上或者朝下。
2. 改变b的值，b为线性项的系数，可以使抛物线左右平移。
3. 改变c的值，c为常数项的系数，可以使抛物线上下平移。
七、应用二次函数的图像与性质在实际生活中有广泛的应用。
二次函数图像与性质完整归纳
二次函数图像与性质完整归纳二次函数的图像与性质二次函数是高中数学中的重要内容之一，掌握其图像与性质是必不可少的。
二次函数的基本形式是y=ax^2，其中a表示开口方向和抛物线开口大小，x^2表示自变量的平方。
根据a的正负，抛物线的开口方向和顶点的坐标可以得到不同的性质。
当a>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴；当a<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴。
在y=ax^2的基础上，加上常数项c可以得到y=ax^2+c的形式，其中c表示抛物线在y轴上的截距。
根据a和c的正负，抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴可以得到不同的性质。
当a>0，c>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴；当a>0，c0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴；当a<0，c<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴。
除了基本形式和加上常数项的形式，二次函数还有一种顶点式的形式y=a(x-h)^2+k，其中（h，k）表示顶点坐标。
根据a的正负，抛物线的开口方向和顶点坐标可以得到不同的性质。
当a>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h。
在顶点式的基础上，加上常数项k可以得到y=a(x-h)^2+k的形式。
根据a和k的正负，抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴可以得到不同的性质。
当a>0，k>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a>0，k0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a<0，k<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h。
二次函数图象的平移二次函数的图像可以通过平移来得到新的图像。
平移的步骤是先确定顶点坐标，然后根据顶点坐标的变化来确定平移方向和距离。
二次函数yax2k的图象和性质公开课ppt课件
y＝ax2+k 图象
a>0
k＞0 k＜0
a<0
k＞0 k＜0
开口 对称性 顶点
增减性
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称
(0,k)
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
• 1、今天我学会了顶点在y轴上的抛物
线
，它的开口方向由 所决
定，它的对称轴是 ，它得顶点
是。
•
决定了平移的方向，平移的规律
归纳为四个字是
。
• 2、请你模仿y=ax2的知识结构图总结 今天的函数y=ax2+k的知识结构图。
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
已知抛物线y=3x2+1上有两点 （x1,y1）、（x2,y2）,且x1＜x2＜0,则 y1 ＞ y2（填“＞”或“＜”）。
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
• 在同一直角坐标系中，画出二次函数y=x2, • y=x2＋1，y＝x2－1的图象．（要求：每组2、
4、6号完成）
• 在同一直角坐标系中，画出二次函数y=-x2, • y=-x2＋1，y＝-x2－1的图象． （要求：每组1、
3、5号完成）
二次函数yax2c的图像和性质教案
二次函数yax2c的图像和性质教案二次函数y=ax^2+c的图像和性质。
一、引言。
二次函数是高中数学中的重要内容，也是数学中的经典函数之一。
二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
本文将重点讨论二次函数y=ax^2+c的图像和性质，希望能够帮助学生更好地理解和掌握这一内容。
二、二次函数y=ax^2+c的图像。
1. 当a>0时。
当a>0时，二次函数y=ax^2+c的图像是一个开口向上的抛物线。
其顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，对称轴为x=-b/2a，开口向上。
2. 当a<0时。
当a<0时，二次函数y=ax^2+c的图像是一个开口向下的抛物线。
其顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，对称轴为x=-b/2a，开口向下。
3. 特殊情况。
当a=0时，二次函数y=ax^2+c化为一次函数y=c，其图像是一条水平直线，与x轴平行，且位于y=c处。
三、二次函数y=ax^2+c的性质。
1. 函数的奇偶性。
二次函数y=ax^2+c的奇偶性与系数a有关。
当a为偶数时，函数为偶函数；当a为奇数时，函数为奇函数。
2. 函数的对称轴。
二次函数y=ax^2+c的对称轴为直线x=-b/2a，对称轴与顶点重合。
3. 函数的最值。
当a>0时，二次函数y=ax^2+c的最小值为c-b^2/4a，最小值点为顶点；当a<0时，二次函数y=ax^2+c的最大值为c-b^2/4a，最大值点为顶点。
4. 函数的零点。
二次函数y=ax^2+c的零点可以通过求解方程ax^2+c=0来得到。
当Δ=b^2-4ac>0时，函数有两个不相等的实根；当Δ=0时，函数有两个相等的实根；当Δ<0时，函数无实根。
5. 函数的图像特点。
二次函数y=ax^2+c的图像特点取决于系数a的正负。
当a>0时，函数的图像开口向上，顶点为最小值点；当a<0时，函数的图像开口向下，顶点为最大值点。
二次函数图像的性质与解析
二次函数图像的性质与解析一、二次函数的定义与标准形式1.二次函数的定义：一般地，形如y=ax^2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。
2.二次函数的标准形式：y=a(x-h)2+k，其中顶点式y=a(x-h)2+k的图像为抛物线，a为抛物线的开口方向和大小，h、k为顶点坐标。
二、二次函数图像的性质1.开口方向：由a的符号决定，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。
2.对称性：二次函数图像关于y轴对称，即若点(x,y)在图像上，则点(-x,y)也在图像上。
3.顶点：二次函数图像的顶点为抛物线的最高点或最低点，顶点式y=a(x-h)^2+k中，(h,k)为顶点坐标。
4.轴：二次函数图像与x轴的交点为方程ax^2+bx+c=0的根，与y轴的交点为c/a。
5.增减性：当a>0时，二次函数图像在顶点左侧单调递减，在顶点右侧单调递增；当a<0时，二次函数图像在顶点左侧单调递增，在顶点右侧单调递减。
三、二次函数图像的解析1.求顶点：根据顶点式y=a(x-h)^2+k，直接得出顶点坐标为(h,k)。
2.求对称轴：对称轴为x=h。
3.求开口大小：开口大小由a的绝对值决定，绝对值越大，开口越大。
4.求与坐标轴的交点：与x轴的交点为方程ax^2+bx+c=0的根，与y轴的交点为c/a。
5.判断增减性：根据a的符号，判断二次函数图像在顶点两侧的单调性。
四、二次函数图像的应用1.实际问题：利用二次函数图像解决实际问题，如抛物线与坐标轴的交点问题、最值问题等。
2.几何问题：利用二次函数图像研究几何图形的性质，如求解三角形面积、距离等问题。
3.物理问题：利用二次函数图像研究物理现象，如抛物线运动、振动等。
五、二次函数图像的变换1.横向变换：对二次函数y=ax2+bx+c进行横向变换，如向左平移h个单位，得到y=a(x+h)2+k；向右平移h个单位，得到y=a(x-h)^2+k。
二次函数的图像与性质
二次函数的图像与性质在我们学习数学的过程中，二次函数是一个非常重要的概念。
它不仅在数学领域有着广泛的应用，在实际生活中，比如物理、经济等方面也经常能看到它的身影。
今天，咱们就来好好聊聊二次函数的图像与性质。
二次函数的一般形式是 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0）。
当 a ＞ 0 时，函数图像开口向上；当 a ＜ 0 时，函数图像开口向下。
这就好像一个碗，如果开口向上，就能往里装东西；开口向下，东西就容易掉出来。
先来说说二次函数图像的对称轴。
对称轴的方程是 x ＝ b ／ 2a 。
这条对称轴把二次函数的图像分成了两个对称的部分，就像镜子里的反射一样。
比如说，对于函数 y ＝ x² 2x ＋ 1 ，其中 a ＝ 1 ，b ＝－2 ，那么对称轴就是 x ＝（－2) ／（2×1) ＝ 1 。
接下来看看顶点。
顶点就是二次函数图像的最高点或者最低点。
当a ＞ 0 时，顶点是图像的最低点；当 a ＜ 0 时，顶点是图像的最高点。
顶点的坐标可以通过把对称轴的 x 值代入函数中求得。
还是以 y ＝ x²2x ＋ 1 为例，对称轴 x ＝ 1 ，把 x ＝ 1 代入函数，得到 y ＝ 1² 2×1 ＋1 ＝ 0 ，所以顶点坐标就是(1, 0) 。
再说说二次函数的截距。
当 x ＝ 0 时，y ＝ c ，这个 c 就是函数在y 轴上的截距。
比如函数 y ＝ 2x²＋ 3x 1 ，这里的 c ＝－1 ，也就是说函数图像与 y 轴的交点是(0, －1) 。
二次函数的图像还与判别式Δ ＝ b² 4ac 有着密切的关系。
如果Δ＞ 0 ，函数图像与 x 轴有两个交点；如果Δ ＝ 0 ，函数图像与 x 轴有一个交点；如果Δ ＜ 0 ，函数图像与 x 轴没有交点。
比如说，对于函数 y ＝ x² 2x 3 ，其中 a ＝ 1 ，b ＝－2 ，c ＝－3 ，那么Δ ＝（－2)² 4×1×（－3) ＝ 16 ＞ 0 ，所以函数图像与 x 轴有两个交点。
二次函数yaxhk的图象和性质PPT课件
y = ax2 + k
y = a(x - h )2
上下平移 |k|个单位
左右平移
y = ax2 |h|个单位
结论: 一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k 与y = ax2形状相同，位置不同。
抛物线y=a(x－h)2+k有如下 特点:
(1)当a>0时, 开口向上; 当a<0时，开口向下;
(2)对称轴是直线x=h;
2．抛物线的左右平移 （1）把二次函数y=(x+1) 2的图像， 沿x轴向左平移３个单位， 得到___y_=_(x_+_4_)_2____的图像； （2）把二次函数___y_=_(x_+_2_)_2+_1___的图像， 沿x轴向右平移2个单位，得到y=x 2+1的图像.
3．抛物线的平移： （1）把二次函数y=3x 2的图像， 先沿x轴向左平移３个单位， 再沿y轴向下平移2个单位， 得到_y_=_3_(_x_+_3_)2_-2____的图像； （2）把二次函数___y_=_-_3(_x_+_6_)2___的图像， 先沿y轴向下平移2个单位， 再沿x轴向右平移3个单位， 得到y=-3(x+3) 2－2的图像.
2
y 1 x2 2
y 1
有什么关系?
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
平移方法1:
y 1 (x 1)2 1
-2
2
-3
y
1 2
x
2向下平移 1个单位
y
1 2
x
2
1
-4 -5 -6
向左平移 y 1 (x 1)2 1
1个单位
2
-7
二次函数yax2的图象和性质
A(x,y)
x
y=x2 y= - x2 ...
... ...
-2 -1.5 4 2.25 -4 -2.25
-1 -0.5 1
0
0.5 0.25 -0.25
1 1 -1
1.5 2.25
2
... ... ...
0.25 0 -1 -0.25 0
4 -2.25 -4
函数图象画法
描点法
注意： 注意：列表时自变量 2 取值要均匀和对称。 取值要均匀和对称。 y= x
二次函数y= 平面直角坐标系 1. 有关概念: 2. 平面内点的坐标: 3. 坐标平面内的点与有序 实数对是: 一一对应.
y(纵轴) P (a,b)
第二象限
b
第一象限
a
第三象限
o
x(横轴)
第四象限
坐标平面内的任意一点M,都有唯一一对有序实数(x,y)与它对应; 任意一对有序实数(x,y),在坐标平面内都有唯一的点M与它对应.
二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时 二次函数 所经过的路线，我们把它叫做抛物线。 所经过的路线，我们把它叫做抛物线。 抛物线
这条抛物线关于y轴 这条抛物线关于 轴 这条抛物线关于y轴 这条抛物线关于 轴 这条抛物线关于y轴 这条抛物线关于 对称， 轴就是它的 对称，y轴就是它的轴 对称， 轴就是它的 对称，y轴就是它的 对称， 对称，y轴就是它的 对称轴。 对称轴。 轴就是它的 对称轴。 对称轴。 对称轴。 对称轴。 对称轴与抛物线的交点 叫做抛物线的顶点。 叫做抛物线的顶点
≠
0时，y<0. 时
1、已知抛物线y=ax2经过点 （-2，-8）。 、已知抛物线 经过点A（ ， ）。 （1）求此抛物线的函数解析式； ）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上。 ）判断点 （ ， ）是否在此抛物线上。 的点的坐标。 （3）求出此抛物线上纵坐标为 的点的坐标。 ）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标 解（1）把（-2，-8）代入 ） ， ）代入y=ax2,得 得 -8=a(-2)2,解出 -2,所求函数解析式为 解出a= 所求函数解析式为 解出 y= -2x2. （2）因为 4 ≠ 2( 1) 2 ，所以点B（-1 ，-4） ） 所以点 （ ） 不在此抛物线上。 不在此抛物线上。 （3）由-6=-2x2 ,得x2=3, ） 得 x=± 3 所以纵坐标为-6的点有两个 的点有两个， 所以纵坐标为 的点有两个，它们分别是
1.2二次函数yax2的图象和性质课件
2、抛物线y= x2的开口向
，顶点坐标为
，
对称轴为
，当x=-2时，y=
；当y=3时，x=
,
当x≤0时，y随x的增大而 ；当x＞0时，y随x的增大而 .
探究
我们已经会画 y 1 x 2 的图象， 能不能从它
得出二次函数
y
1
2 x2 的图象呢？
2
在
y
1 2
x2
的图象上任取一
点 P(a, 1 a2 )它关于x轴的对
例2 画二次函数 y 1 x2 的图象． 4
解 列表
描点、连线
画出图象在y轴右边的
部分．利用对称性，
画出图象在y轴左边的
部分,这样就得到了
y
1 4
x2
图象．
练习 在同一直角坐标系中画出二次函数y＝-0.3x2及
y＝-8x2的图象， 并比较它们的共同点与不同点.
相同点：两函数图象顶点都是原点且是图象的最高点， 开口都向下，都是轴对称图形，对称轴是y轴，在y轴的左 侧函数值随自变量取值的增大而增大，在y轴的右侧函数值 随自变量取值的增大而减小，x＝0时，函数y取最大值0．
抛物线关于y轴对称．
抛物线关于y轴对称．
函 增减性 数
性 质 最值
x<0时，y随x的增大而减小； x<0时，y随x的增大而增大； x>0时，y随x的增大而增大． x>0时，y随x的增大而减小．
x＝0时，函数y取最小值0. x＝0时，函数y取最大值0.
达标检测：
1.下列关于抛物线y=x2和y=-x2的说法，错误的是（ ） A.抛物线y=x2和y=-x2有共同的顶点和对称轴 B.抛物线y=x2和y=-x2关于x轴对称 C.抛物线y=x2和y=-x2的开口方向相反 D.点（-2，4）在抛物线y=x2上，也在抛物线y=-x2上
二次函数图象和性质知识点总结
说明：求函数解析式一般采用待定系数法，即先按照需要设出函数方程，然后再代入求待定系数。
考点二二次函数的图像变换
例2.（20XX年浙江卷）已知t为常数，函数 在区间[0，3]上的最大值为2，则t＝。
解答：作出 的图像，I、若所有点都在x轴上方，则ymax＝f（3）＝2可解得t＝1；II、若图像有部分在x轴下方，把x轴下方的部分对称地翻折到x轴上方即可得到 的图像，则ymax＝f（1）或ymax＝f（3），解得t＝－3或t＝1，经检验，t＝1。综上所述，t＝1。
II、当 ∈[1，2]即 时： ；
III、当 ∈（2，3]即 时： ；
IV、当 >3即 时：函数在[1，3]上为减函数，故
综上所述：当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， 。
考点六方程的根或函数零点的分布问题
例6.已知二次方程 的一个根比1大，另一个根比1小，试求 的取值范围。
解答：设 ，则 ；
例7.当 为何实数时，关于 的方程
（I）有两个正实根；
（II）有一个正实根，一个负实根。
解答：（I）设 ，由方程有两个正实根，结合图像可知：
（II）设 ，结合图像可知：
说明：一元二次方程的根或二次函数零点的分布问题的处理主要思路是结合函数图像，考虑三个内容：根或零点所在区间端点的函数的正负、判别式及对称轴的位置。
9.已知关于x的函数y＝（m－1）x2＋2x＋m图像与坐标轴有且只有2个交点，则m＝
10.如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线 上运动，当⊙P与 轴相切时，圆心P的坐标为.
11.．如图，在第一象限内作射线OC,与x轴的夹角为30o,在射线OC上取一点A，过点A作AH⊥x轴于点H.在抛物线y=x2(x>0)上取点P，在y轴上取点Q，使得以P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A的坐标是_______________.
二次函数的图像与性质分析
二次函数的图像与性质分析在数学的世界里，二次函数是一个十分重要的概念。
它不仅在数学学科中有着广泛的应用，还与我们的实际生活密切相关。
比如，物体的抛射运动轨迹、拱桥的形状设计等都可以用二次函数来描述。
那么，什么是二次函数？它的图像有哪些特点？又具有怎样的性质呢？接下来，让我们一起来深入探讨。
二次函数的一般式为 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0）。
当 a ＞ 0 时，函数图像开口向上；当 a ＜ 0 时，函数图像开口向下。
这就好像是一个碗，如果碗口朝上，那就是 a ＞ 0 的情况；如果碗口朝下，那就是 a ＜ 0 的情况。
先来说说二次函数的对称轴。
对称轴的方程是 x ＝ b ／（2a) 。
这是一个非常关键的直线，它将二次函数的图像分成了对称的两部分。
就好比是一面镜子，镜子两边的图像是完全对称的。
再看顶点坐标。
顶点坐标是（ b ／（2a)，（4ac b²) ／（4a) ）。
顶点是二次函数图像的最高点或者最低点。
当 a ＞ 0 时，顶点是图像的最低点；当 a ＜ 0 时，顶点则是图像的最高点。
二次函数的图像与 x 轴的交点，也就是函数的零点，可以通过求解方程 ax²＋ bx ＋ c ＝ 0 得到。
如果判别式Δ ＝ b² 4ac ＞ 0 ，则函数图像与 x 轴有两个不同的交点；如果Δ ＝ 0 ，则有一个交点；如果Δ ＜0 ，则函数图像与 x 轴没有交点。
当 a ＞ 0 时，在对称轴左侧，函数单调递减；在对称轴右侧，函数单调递增。
而当 a ＜ 0 时，情况正好相反，在对称轴左侧，函数单调递增；在对称轴右侧，函数单调递减。
为了更直观地理解二次函数的图像和性质，我们可以通过具体的例子来分析。
比如，函数 y ＝ x² 2x 3 。
其中 a ＝ 1 ＞ 0 ，所以图像开口向上。
对称轴为 x ＝（－2) ／（2×1) ＝ 1 。
word完整版二次函数图像以及性质完整归纳,文档
适用标准文档二次函数的图像与性质一、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式： y ax 2的性质：a 的符号张口方向极点坐标 对称轴性质0，0 x 0时，y 随x 的增大而增大；x0时，y 随向上y 轴x0时，y 有最小值0．x 的增大而减小；a0，0 x 0时，y 随x 的增大而减小；x 0时，y 随向下 y 轴x0时，y 有最大值0．x 的增大而增大；的绝对值越大，抛物线的张口越小。
yax 2c 的性质：上加下减。
a 的符号 张口方向 极点坐标 对称轴 性质a0，c x 0时，y 随x 的增大而增大；x0时，y 随向上y 轴x0时，y 有最小值c ．x 的增大而减小；a 00，c x 0时，y 随x 的增大而减小；x 0时，y 随向下y 轴x0时，y 有最大值c ．x 的增大而增大；3.yax 2h 的性质：左加右减。
a 的符号 张口方向 极点坐标 对称轴 性质a 0 向上 h ，0 X=h x h 时，y 随x 的增大而增大； xh 时，y随x 的增大而减小； x h 时，y 有最小值0．a 0 向下 h ，0 X=h x h 时，y 随x 的增大而减小； xh 时，y随x 的增大而增大； x h 时，y 有最大值0．4.yax 2hk 的性质：a 的符号 张口方向 极点坐标 对称轴性质a0h，k xh时，y随x的增大而增大；xh时，y向上X=hx h时，y有最小值k．随x的增大而减小；a0h，k xh时，y随x的增大而减小；xh时，y向下X=hx h时，y有最大值k．随x的增大而增大；文案大全适用标准文档二、二次函数图象的平移1.平移步骤：方法一：⑴将抛物线分析式转变为极点式yaxh 2h ，k ；k ，确立其极点坐标 ⑵保持抛物线yax 2的形状不变，将其极点平移到h ，k 处，详细平移方法以下：向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=ax2y=ax 2+k向右(h>0)【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h<0)】 向右(h>0) 【或左(h<0) 】平移|k|个单位平移|k|个单位平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+k平移规律在原有函数的基础上 “h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移 ”．归纳成八个字“左加右减，上加下减” ．方法二：⑴y ax 2 bx c 沿y 轴平移:向上（下）平移 m 个单位，y ax 2 bx c 变为yax 2 bx c m （或y ax 2 bx cm ）⑵y ax 2 bx c 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，yax 2 bx c 变为ya(x m)2 b(x m) c （或y a(x m)2 b(x m) c ）三、二次函数yax h 2k 与y2bx c 的比较ax从分析式上看， y a x 2k 与y ax 2 bxc 是两种不一样的表达形式，后者经过配hb 24ac b 2b，k4ac b 2方能够获得前者，即y a x，此中h ．2a4a2a4a四、二次函数yax 2 bx c 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数 y ax 2 bx c 化为极点式y a(x h)2k ，确立其张口方向、对称轴及极点坐标，而后在对称轴双侧，左右对称地描点绘图.一般我们选用的五点为：极点、与 y 轴的交点0，c 、以及 0，c 对于对称轴对称的点 2h ，c 、与x 轴的交点x 1，0 ，x 2，0（若与x 轴没有交点，则取两组对于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：张口方向，对称轴，极点，与 x 轴的交点，与y 轴的交点.文案大全五、二次函数yax2bxc的性质1.当a0时，抛物线张口向上，对称轴为x b，极点坐标为b，4ac b2．2a2a4a当x b时，y随x的增大而减小；当x b时，y随x的增大而增大；当x b 2a2a2a 2时，y有最小值4acb．4a2.当a0时，抛物线张口向下，对称轴为x b，极点坐标为b，4ac b2．当2a2a4ax b时，y随x的增大而增大；当xb时，y随x的增大而减小；当x b时，y 2a2a2a 2有最大值4ac b．4a六、二次函数分析式的表示方法1.一般式：y ax2bxc（a，b，c为常数，a0）；2.极点式：y a(x h)2k（a，h，k为常数，a0）；3.两根式：y a(x x1)(x x2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的分析式都能够化成一般式或极点式，但并不是全部的二次函数都能够写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的分析式才能够用交点式表示．二次函数分析式的这三种形式能够互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系二次项系数a二次函数2yaxbxc中，a作为二次项系数，明显a0．⑴当a0时，抛物线张口向上，a的值越大，张口越小，反之a的值越小，张口越大；⑵当a0时，抛物线张口向下，a的值越小，张口越小，反之a的值越大，张口越大．总结起来，a决定了抛物线张口的大小和方向，a的正负决定张口方向，a的大小决定张口的大小．一次项系数b在二次项系数a确立的前提下，b决定了抛物线的对称轴．⑴在a0的前提下，当b0时，b0，即抛物线的对称轴在y轴左边；2a当b0时，b0，即抛物线的对称轴就是y轴；2a当b0时，b0，即抛物线对称轴在y轴的右边．2a文案大全⑵在a0的前提下，结论恰好与上述相反，即当b0时，b0，即抛物线的对称轴在y轴右边；2a当b0时，b0，即抛物线的对称轴就是y轴；2a当b0时，b0，即抛物线对称轴在y轴的左边．2a总结起来，在a确立的前提下，b决定了抛物线对称轴的地点．ab的符号的判断：对称轴xb0，在y轴左边则ab0，在y轴的右边则ab2a归纳的说就是“左同右异”总结：常数项c⑴当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵当c0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑶当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的地点．总之，只需a，b，c都确立，那么这条抛物线就是独一确立的．二次函数分析式确实定：依据已知条件确立二次函数分析式，往常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的分析式一定依据题目的特色，选择适合的形式，才能使解题简易．一般来说，有以下几种状况：已知抛物线上三点的坐标，一般采用一般式；已知抛物线极点或对称轴或最大（小）值，一般采用极点式；已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般采用两根式；已知抛物线上纵坐标同样的两点，常采用极点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种状况，能够用一般式或极点式表达对于x轴对称y ax2bx c对于x轴对称后，获得的分析式是y ax2bx c；y a x h 2yax h2 k对于x轴对称后，获得的分析式是k；对于y轴对称y ax2bx c对于y轴对称后，获得的分析式是y ax2bx c；y a x h 2y ax h2 k对于y轴对称后，获得的分析式是k；文案大全适用标准文档对于原点对称y ax2bx c对于原点对称后，获得的分析式是y ax2bx c；y ax h 2y a x h2k；k对于原点对称后，获得的分析式是4.对于极点对称（即：抛物线绕极点旋转180°）y ax2bx c对于极点对称后，获得的分析式是y ax2bx c b2；2ay ax h 2y a x h2k．k对于极点对称后，获得的分析式是5.对于点m，n对称y ax h 2y a x h22nk k对于点m，n对称后，获得的分析式是2m依据对称的性质，明显不论作何种对称变换，抛物线的形状必定不会发生变化，所以a永久不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，能够依照题意或方便运算的原则，选择适合的形式，习惯上是先确立原抛物线（或表达式已知的抛物线）的极点坐标及张口方向，再确定其对称抛物线的极点坐标及张口方向，而后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参照：y=2x 2y=3(x+4)2y=3x2y=3(x-2)2y=x2y=2x2y=2(x-4)2x2十y=2y=2(x-4)2-3一、y=2x2+2y=2x2y=2x2-4x2y=-2y=-x2y=-2(x+3)2y=-2x2y=-2(x-3)2y=-2x2文案大全适用标准文档【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数y1x24x6的图象1x221(x2【解】y4x68x12)22 1[(x24)2-4]1(x24)2-222以x4为中间值，取x的一些值，列表以下：x-7-6-5-4-3-2-1y 53-2352222【例2】求作函数y x24x3的图象。
二次函数y=ax的图象和性质ppt
在实际问题中，可以利用二次函数的性质来解决一些优化问题，如利润最大化、 距离最短等问题。
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与x轴交点
当y=0时，计算相应的x值，得出二 次函数图象与x轴的两个交点。
与y轴交点
将x=0代入二次函数表达式，得出y 值，即得到二次函数图象与y轴的交 点坐标。
02
a对二次函数图象和性质的影 响
a>0时，二次函数的图象和性质
总结词：开口向上
详细描述：当a大于0时，二次函数的图象开口向上，顶点为最低点，函数在x轴 上方，无交点在x轴下方。
y=ax^2+c的图象和性质
总结词
只有常数项
列表3
当x=0时，y=c为函数与y轴的交点纵坐标 。
列表2
当a>0时，函数图象开口向上，当a<0时 ，函数图象开口向下。
详细描述
y=ax^2+c是二次函数的一种特殊形式， 只有常数项。
列表1
函数图象的形状与a的符号有关，开口方 向和大小与a的值有关。
y=a(x-h)^2+k的图象和性质
y = ax^2 + bx + c (a, b, c是常数，a≠0)
二次函数的一般形式
一般形式
指二次函数经过整理化简后，一般有y=ax^2+bx+c的形式。
三个系数
a称为二次项系数，b称为一次项系数，c为常数项。
二次函数的图象
形状
二次函数的图象是一条抛物线，其 顶点坐标为(h,k)。
开口方向
当a>0时，抛物线开口向上；当 a<0时，抛物线开口向下。
详细描述：y=ax^2+bx+c是二次 函数的的标准形式，其中a、b、c 为常数。