高中数学第三章不等式3.1不等关系不等式的性质及其应用素材北师大版必修

不等式的性质及其应用

不等式的性质是证明不等式和解不等式的理论依据，不等式性质的应用也是历年高考的重点。因此掌握不等式的性质及其应用是非常必要的，本文就不等式的性质及其应用加以探讨。

一、不等式最基本的性质

对称性：a b b a >⇔<

传递性：,a b b c a c >>⇔>

加法性： ,a b c R a c b c >∈⇔+>+

乘法性： 00

a b ac bd c d >≥⎧⇒>⎨

>≥⎩

除法性： 110a b ab a b >⎧⇒<⎨>⎩

乘方性： 0()n n a b a b n N *>≥⇒>∈

开方性：

0)a b n N *>≥>∈ 倒数法则：011ab a b

a b >⎧⇒<⎨>⎩ 二、不等式性质的应用

（1）比较实数的大小

因为“0a b a b ->⇔>；0a b a b -=⇔=；0a b a b -<⇔<”是比较两个实数大小的最基本的方法，通常用它得到这些大小关系。

例1、试比较1(1)log a a

+与(1)log a a +(01)a a >≠且的大小 分析：对于1(1)log a a +和(1)log a a +这两个对数，由于式中含有参数a ，故我们不能直接确定它

们之间的大小关系，于是可用上面的不等式的最基本的性质，让它们作差从而比较大小。 解：∵1

111(1)(1)1log log log log 10a

a a a a a a a a ++++-===-<，∴1(1)(1)log log a a a a ++<

点评：通过让两个式子作差，并经过恒等变形，从而确定了两式差的符号，即确定了两式的大小。

例2、（2006年上海卷）如果0,0a b <>，那么，下列不等式中正确的是（ ） A.

11a b

<

22a b < D.||||a b > 解：对于A ：如果0,0a b <>，那么110,0a b <>，由不等式的传递性知 11a b <，故选A 点评：在运用不等式性质时，不要忽略性质成立的条件

（2）求范围

利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围是一类常见的综合问题，求解步骤：先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性不等关系的运算，求得待求的范围”。

例2、若二次函数)(x f 图像关于y 轴对称，且2)1(1≤≤f ，4)2(3≤≤f ，求)3(f 的范围。

解：设c ax x f +=2)(（0≠a ）。

⎩⎨⎧+=+=c a f c a f 4)2()1(⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧-=-=⇒3)2()1(43)1()2(f f c f f a 3

)1(5)2(83)2()1(4)1(3)2(39)3(f f f f f f c a f -=-+-=+= ∵2)1(1≤≤f ，4)2(3≤≤f ，

∴10)1(55≤≤f ，32)2(824≤≤f ，27)1(5)2(814≤-≤f f ， ∴

93

)1(5)2(8314≤-≤f f ， 即9)3(314≤≤f 。 点评：对于这类问题要注意：“同向（异向）不等式的两边可以相加（相减）”，这种转化不是等价变形，在一个解题过程中多次使用这种转化时，就有可能扩大真实的取值范围，解题时务必小心谨慎。

（3）证明不等式

利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式。

例3、若0>>b a ，0<

b e

c a e ->-。 分析：本题考查学生对不等式性质的掌握及灵活应用。

解：∵0<->-d c ，又0>>b a

∴0>->-d b c a ，故

d b c a -<-11。 而0<

e ，∴d

b e

c a e ->- 点评：解决此类问题一定要熟练掌握不等式的性质并注意性质的使用条件。

（4）解不等式

例5、（2006年安徽卷）不等式112

x <的解集是（ ） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(0,2) D ．(,0)-∞⋃(2,)+∞ 解法1：显然0x ≠，所以要对x 进行讨论

①当0x >时，10x >，又102>，由不等式的倒数法则知，此时不等式112

x <的解是2x >； ②当0x <时，10x <，又102>，所以此时不等式112

x <的解是0x <。 综上所述，原不等式的解集为(,0)-∞⋃(2,)+∞，故选D 。

解法2 ：由112x <得：112022x x x

--=<，即(2)0x x -<，解得(,0)-∞⋃(2,)+∞， 故选D 。

点评：对于这种简单的不等式，可以利用不等式的性质综合求解，注意讨论要完备。