数列的概念【优质课】

记为 a1 , a2 , a3 , ⋯, an
简记为
{an }
例如： ， ， ， ， ， 例如： 1，2，3，…，n，… 可记为数列{n } 或数列 {an } ,其中 an = n 其中
{an } 与 an 是相同的吗？ an 表示数列的第 项 是相同的吗？ 表示数列的第n项 {an }表示的是整个数列
111 1, , , ⋯ 248
项数的多少分类 （ 问1：根据项数的多少分类？ 数列中数的总数为数列的项数） ：根据项数的多少分类？ 数列中数的总数为数列的项数 项数）
有穷数列： 有穷数列：项数有限的数列叫有穷数列 无穷数列： 无穷数列：项数无限的数列叫无穷数列
问2：根据项的大小关系分类？ ：根据项的大小关系分类？
递增数列：从第 项起 项起， 递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫递增数列 递减数列：从第2项起 项起， 递减数列：从第 项起，每一项都小于它的前一项的数列叫递减数列 摆动数列：从第2项起 有些项大于它的前一项， 项起， 摆动数列：从第 项起，有些项大于它的前一项，有些小于它的前一 项的数列叫摆动数列 常数列： 常数列：各项都相等的数列叫做常数列
【问题3】分析下列两个数列的项与序号间的关系 问题 】 (1) 1 序号 1 3 25 73 9 … 4 5
5 × 2－1
…
1 1 关系 1×2－ 2×2－
项 (2) 序号 关系
3×2－1
4×2－1
y = 2x −1
1
2
3
2
4
3
⋯
4
3
3
1
3
3
3
y = 3x
项
9
27
81
⋯
发现： 发现：每一个序号在相同的一个对应关系下都对应于数列中的一项 换一个角度说， 换一个角度说，如果一个函数 y = 3x + 1，要求在正整数集上依次取值 x y 1 4 2 7 3 10 4 13 5 16 … …
（8）7，77，777，7777 ） ， ， ，
关于数列的通项公式的几点说明： 关于数列的通项公式的几点说明： （1）通项公式在形式上不一定唯一 ） （2）并不是所有的数列都有通项公式。如 2 的不足近似值， ）并不是所有的数列都有通项公式。 的不足近似值， 精确到1， ， 精确到 ，0.1，0.01，0.001，…所构成的数列 ， ， 所构成的数列 1，1.4，1.41，1.414，… ， ， ， ， 就没有通项公式。 就没有通项公式。 （3）有些数列，只给出它的几项，并没有给出它的构成规律， ）有些数列，只给出它的几项，并没有给出它的构成规律， 那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不唯一。 那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不唯一。如 1，2，3…我们可认为是数列 ，2，3，4，5，6，…也可 我们可认为是数列1， ， ， ， ， ， 也可 ， ， 我们可认为是数列 认为是数列1， ， ， ， ， ， 的前三项 的前三项。 认为是数列 ，2，3，5，8，13，…的前三项。
关键是 什么？ 什么？
的关系。 找出项a 与序号n的关系 找出项 n与序号 的关系。
（3）3，5，9，17 ） （4）-1，1，-1，1 ） （5）2，0，2，0 ）2 0 2 0 （6）1, − , , − ）
1 1 2 3 1 4
2 3 4 10 （7） − 1,10 − 1,10 − 1, ， ， ， ， ， ，
从生活中提炼出一列数据，分析数据的规律， 从生活中提炼出一列数据，分析数据的规律，利用规律解决 一些实际生活问题，这就是一个重要的数学模型——数列 一些实际生活问题，这就是一个重要的数学模型 数列
数列：按照一定顺序排列的一列数称为数列。 数列：按照一定顺序排列的一列数称为数列。 【问题1】思考下面两个问题 问题 】 是同一数列吗？ （1）1，3，5，7和7，5，3，1是同一数列吗？ ） ， ， ， 和 ， ， ， 是同一数列吗 ）－1， ，－ ，－1， ，－ ，－1， 是不是数列？ （2）－ ，1，－ ，1，－ ，1…是不是数列？数列中的数可重复吗？ ）－ 是不是数列 数列中的数可重复吗？ 强调：数列中的数是有序 可重复的。 有序且 强调：数列中的数是有序且可重复的。 数列中的每个数我们称为这个数列的项 数列中的每个数我们称为这个数列的项。 数列中每一项都和它的序号有关，排第一位的数称为这个数列的第1项 数列中每一项都和它的序号有关，排第一位的数称为这个数列的第 项 序号有关 或叫首项），排第二位的数称为这个数列的第2项 ），排第二位的数称为这个数列的第 （或叫首项），排第二位的数称为这个数列的第 项，……，排第 位 ，排第n位 的数称为这个数列的第n项 的数称为这个数列的第 项
个数列， 【问题2】分析下列 个数列，按照给定的标准分类 问题 】分析下列5个数列 ⑴全体自然数构成数列 0，1，2，3… ， ， ， ⑵1996～2002年某市普通高中生人数（单位：万人）构成数列 ～ 年某市普通高中生人数（单位：万人） 年某市普通高中生人数 82，93，105，119，130，132 ， ， ， ， ， 无穷多个3构成数列 ⑶无穷多个 构成数列 3，3，3，3，… ， ， ， ， 目前人民币面额从大到小的顺序构成数列（单位： ⑷目前人民币面额从大到小的顺序构成数列（单位：元） 100，50，20，10，5，2，1，0.5，0.2，0.1，0.05，0.02，0.01 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 次幂， 次幂 次幂， 次幂 次幂， 次幂 次幂……构成数列 ⑸－1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂 的 次幂 构成数列 ，－1， ， －1，1，－ ，1，… ， ，－
那么我们就有了数列在函数角度的说明： 那么我们就有了数列在函数角度的说明：数列可看成以正整数 数集（或它的有限子集） 数集（或它的有限子集）为定义域的函数
an = f ( n)
当自变量从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值。 当自变量从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值。 对于刚才讲到的两个例子 （1）1，3，5，7，9，… an = 2n − 1 ） ， ， ， ， ， 2）3，9，27，81， （2）3，9，27，81，…
54 是不是这个数列 55
例2、写出下面数列的通项公式，使它的前 项分别为下列各数 、写出下面数列的通项公式，使它的前4项分别为下列各数
2 2 − 1 32 − 1 4 2 − 1 5 2 − 1 （1） 2 , 2 , 2 , 2 ）
1 2 3 4 1 （2） , 2 , 3 , 4 ） 2 3 4 5
数列的概念与简单表示法
（1）棋盘中的数字 1，2，4，8，16… ） ， ， ， ， （2）一尺之棰，日取其半，万事不竭 1, ）一尺之棰，日取其半， （3）三角形数 1，3，6，10… ） ， ， ， （4）正方形数 1，4，9，16… ） ， ， ， （5）观察树枝的数目 ）
1 1 1 , , ⋯ 2 4 8
an = 3n
注意：（ ）有限子集必须从1开始 注意：（1）有限子集必须从 开始 ：（ （2）自变量一定是按从小到大依次取值 ） （3） a n = f ( n ) 可以表示数列中的每一项 ）
如果数列
序号n之间的关系可以用一个式子表示 之间的关系可以用一个式子表示， 项 {an } 的第n项 an与序号 之间的关系可以用一个式子表示，
本节课的重点是数列及其通项公式，数列是一种特殊的函数， 本节课的重点是数列及其通项公式，数列是一种特殊的函数，是 定义在正整数集（或其有限子集）上的函数， 定义在正整数集（或其有限子集）上的函数，且自变量要由小到大依 次取值。 次取值。
谢谢！
（1）棋盘中的数字 1，2，4，8，16… ） ， ， ， ， （2）一尺之棰，日取其半，万事不竭 ）一尺之棰，日取其半， （3）三角形数 1，3，6，10… ） ， ， ， （4）正方形数 1，4，9，16… ） ， ， ， （5）观察树枝的数目 ） 1，2，3，5，8，13，21… ， ， ， ， ， ，
那么这个公式叫做这个数列的通项公式。 那么这个公式叫做这个数列的通项公式。 通项公式
的通项公式，求出其前5项 例1、根据 {an } 的通项公式，求出其前 项 、
（1） a n = n n +1
n （ 2） a n = − 1） ⋅ n （
试问：在第（ ） 为多少， 试问：在第（1）题中 a101 为多少，且 中的一项，若是，是第几项？ 中的一项，若是，是第几项？