线性回归和灰色预测模型案例
人口预测模型经典
中 国 人 口 预 测 模 型摘要本文对人口预测的数学模型进行了研究。
首先，建立一次线性回归模型，灰色序列预测模型和逻辑斯蒂模型。
考虑到三种模型均具有各自的局限性，又用加权法建立了熵权组合模型，并给出了使预测误差最小的三个预测模型的加权系数，用该模型对人口数量进行预测，得到的结果如下：其次，建立Leslie 人口模型，充分反映了生育率、死亡率、年龄结构、男女比例等影响人口增长的因素，并利用以1年为分组长度方式和以5年为负指数函数，并给出了反映城乡人口迁移的人口转移向量。
最后我们BP 神经网络模型检验以上模型的正确性关键字：一次线性回归 灰色序列预测 逻辑斯蒂模型 Leslie 人口模型BP 神经网络一、问题重述1. 背景人口增长预测是随着社会经济发展而提出来的。
由于人类社会生产力水平低，生产发展缓慢，人口变动和增长也不明显，生产自给自足或进行简单的以货易货，因而对未来人口发展变化的研究并不重要，根本不用进行人口增长预测。
而当今社会，经济发展迅速，生产力达到空前水平，这时的生产不仅为了满足个人需求，还要面向社会的需求，所以必须了解供求关系的未来趋势。
而人口增长预测是对未来进行预测的各环节中的一个重要方面。
准确地预测未来人口的发展趋势，制定合理的人口规划和人口布局方案具有重大的理论意义和实用意义。
2. 问题人口增长预测有短期、中期、长期预测之分，而各个国家和地区要根据实际情况进行短期、中期、长期的人口预测。
例如，中国人口预期寿命约为70岁左右，因此，长期人口预测最好预测到70年以后，中期40—50年，短期可以是5年、10年或20年。
根据2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》（附录一）及《中国人口年鉴》收集的数据（附录二），再结合中国的国情特点，如老龄化进程加速，人口性别比升高，乡村人口城镇化等因素，建立合理的关于中国人口增长的数学模型，并利用此模型对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测，同时指出此模型的合理性和局限性。
基于VB的 灰色模型预测 和 线性回归预测
灰色模型预测GM(1,1)与线性回归预测（一元、多元）新建一个工程，添加一个模块（.bas），两个命令按钮：窗体代码：Option ExplicitPrivate Sub Command1_Click() '灰色模型预测Dim Data As StringData = "2.67,3.13,3.25,3.36,3.56,3.72"GM1_1_Predict DataEnd SubPrivate Sub Command2_Click() '线性回归预测Dim X1 As String, X2 As String, X3 As String, X4 As String, Y As StringX1 = "100.38,99.7,92.3,87.6,87.17,88.3,92.75,100.6,90.05;" '最后要加上分号;X2 = "53.24,51.5,50.5,52.4,59.6,59.7,65.2,62.4,53.68;" '最后要加上分号;X3 = "226,250,281,272,194,180,105,115,250;" '最后要加上分号;Y = "644,640,517,425,385,401,448,599,462" '最后不要加上分号;请注意！！！Linear_Regression_Predict X1 & X2 & X3 & YEnd Sub模块代码：Option ExplicitPrivate Sub Calculate_1_AGO(X_0() As Double, X_1() As Double) '做一次累加生成1-AGODim i As Long, TempX As Double, K As LongK = UBound(X_0)ReDim X_1(K)For i = 0 To KTempX = TempX + X_0(i)X_1(i) = TempXNext iEnd SubPrivate Sub Calculate_Matrix_B(X_1() As Double, B() As Double) '计算数据矩阵B Dim i As Long, K As LongK = UBound(X_1) - 1ReDim B(K, 1)For i = 0 To KB(i, 0) = -0.5 * (X_1(i) + X_1(i + 1))B(i, 1) = 1Next iEnd SubPrivate Sub Calculate_Matrix_YN(X_0() As Double, YN() As Double) '计算数据矩阵YNDim i As Long, K As LongK = UBound(X_0) - 1ReDim YN(K, 0)For i = 0 To KYN(i, 0) = X_0(i + 1)Next iEnd Sub'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' '''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' 函数名：Matrix_Transpotation' 功能：计算矩阵的转置transpotation' 参数：m - Integer型变量，矩阵的行数' n - Integer型变量，矩阵的列数' mtxA - Double型m x n二维数组，存放原矩阵' mtxAT - Double型n x m二维数组，返回转置矩阵'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' ''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''Private Sub Matrix_Transpotation(mtxA() As Double, mtxAT() As Double) Dim i As Integer, j As IntegerDim M As Integer, N As IntegerM = UBound(mtxA, 2)N = UBound(mtxA, 1)ReDim mtxAT(M, N)For i = 0 To MFor j = 0 To NmtxAT(i, j) = mtxA(j, i)Next jNext iEnd Sub'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' '''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' 函数名：Matrix_Multiplication' 功能：计算矩阵的乘法multiplication' 参数：m - Integer型变量，相乘的左边矩阵的行数' n - Integer型变量，相乘的左边矩阵的列数和右边矩阵的行数' l - Integer型变量，相乘的右边矩阵的列数' mtxA - Double型m x n二维数组，存放相乘的左边矩阵' mtxB - Double型n x l二维数组，存放相乘的右边矩阵' mtxC - Double型m x l二维数组，返回矩阵乘积矩阵'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' ''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''Private Sub Matrix_Multiplication(mtxA() As Double, mtxB() As Double, mtxC() As Double)Dim i As Integer, j As Integer, K As IntegerDim M As Integer, N As Integer, L As IntegerM = UBound(mtxA, 1): N = UBound(mtxB, 1): L = UBound(mtxB, 2)ReDim mtxC(M, L)For i = 0 To MFor j = 0 To LmtxC(i, j) = 0#For K = 0 To NmtxC(i, j) = mtxC(i, j) + mtxA(i, K) * mtxB(K, j)Next KNext jNext iEnd Sub'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' '''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' 函数名：Matrix_Inversion' 功能：矩阵求逆' 参数：n - Integer型变量，矩阵的阶数' mtxA - Double型二维数组，体积为n x n。
基于多元线性回归模型和灰色关联分析的江苏省粮食产量预测_王春辉
1
1． 1 法
研究方法
灰色关联分析 灰色关联分析是一种用灰色关联度顺序来描述因素间关系的强弱 、 大小、 次序的系统理论分析方 ． 该分析方法的基本思路是两个变量之间的相似性或一致性越高 ， 它们之间的的关联度也会越高， 反
［12 ］
之它们之间的关联度就会越低． 该分析方法具有样本需求量少， 数据分布规律要求低， 精准度高， 工作量 ［13 ］ ， ． 少 定量分析与定性分析结果高度一致等优点 灰色关联分析的基本原理是： （ 1 ） 确定所要分析数据序列， 并设置一母序列 x o（ t） 和若干子序列 x i（ t） ， 构成矩阵： x o（ 1 ） … x o（ m ） Z= … x n（ 1 ） … x n（ m ）
表1 Table 1 年份 X0 X1 15． 89 15． 91 16． 24 15． 47 16． 30 15． 70 16． 40 16． 70 15． 70 15． 90 2000 ～ 2009 年江苏省粮食产量与其影响因子 Grain yield of Jiangsu province and the influencing factor from 2000 ～ 2009 X3 3 411． 68 2 283． 24 2 288． 46 3 305． 00 836． 58 2 139． 50 1 324． 07 1 642． 00 4 83． 70 1 001． 63 X4 5 304． 31 4 886． 66 4 882． 58 4 659． 47 4 774． 59 4 909． 48 5 110． 8 5 215． 59 5 267． 1 5 272． 04 X5 335． 45 338 337． 53 334． 67 336． 80 340． 81 342． 01 342． 03 340． 76 344． 00 X6 9． 15 9． 16 8． 64 8． 79 9． 23 10． 33 9． 86 9． 68 9． 38 9． 23 人为影响因素 X7 2 925． 29 2 957． 93 2 983． 89 3 029． 10 3 052． 51 3 135． 33 3 278． 53 3 392． 44 3 630． 86 3 810． 57 X8 1 890． 96 1 832． 25 1 744． 41 1 615． 49 1 506． 31 1 414． 83 1 323． 88 1 230． 28 1 179． 94 1 120． 19 X9 314． 6 345． 05 423． 61 529． 5 679． 83 825． 1 1 011． 79 1 159． 03 1 234． 14 1 316． 62 X10 6． 51 6． 61 6． 88 6． 97 7． 04 7． 2 7． 51 8． 04 8． 54 9． 43
基于灰色预测和线性回归的烟叶产量预测模型
Ｆ ｏ ｒ ｅ ｃ ａ ｓ ｔ ｍｏ ｄ ｅ ｌ ｏ ｆ ｔ ｏ ｂａ ｃ ｃ ｏ ｐ ｒ ｏ ｄｕ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｂａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ
ｇ ｒ ｅ ｙ ｄｙ ｎａ ｍｉ ｃ ｍｏ ｄ ｅ ｌ ａ ｎｄ ｍｕ ｌ ｔ ｉ ｖ ａ ｒ ｉ ａ ｔ ｅ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｒ ｅ ｇ ｒ ｅ ｓ ｓ ｉ ｏ ｎ
４． Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ Ｔ ｏ ｂ ａ ｃ ｃ ｏ ｔ ｌ ｅ ｎ ａ ｎ Ｉ ｎ ｄｕ ｓ ｔ ｒ ｉ ａ ｌ Ｃ ｏ ｍ ｐ ａｎ ｙ Ｌ ｉ ｍｉ ｔ ｅ ｄ ，Ｚｈ ｅ ｎ ｇ ｚ ｈ ｏ ｕ Ｈｅ ｎ ａｎ ４ ５ ０ ０１ ６ ， Ｃｈ ｉ ｎ ａ ） Ａｂｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ：Ｉ ｎ ｔ ｈ ｉ ｓ ｐａ ｐ ｅ ｒ ，ｇ ｒ ｅ ｙ ｄｙ ｎ ａ ｍｉ ｃ ｍｏ ｄｅ ｌ ａ ｎｄ ｍｕ ｌ ｔ ｉ ｖ ａ ｉａ ｒ ｔ ｅ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｒ ｅ ｇ ｒ ｅ ｓ ｓ ｉ ｏ ｎ ｍｏ ｄｅ ｌ ｗｅ ｒ ｅ ｕ ｓ ｅ ｄ ｔ ｏ ｂｕ ｉ ｌ ｄ Ｔ ｏ ｂａ ｃ ｃ ｏ
ｈ ｔ ｔ ｐ ： ／ ／ ｗ ｗ ｗ． ｊ ｏ ｃ ａ ． ｃ ｎ
基 于 灰 色 预 测 和 线 性 回 归 的 烟 叶 产 量 预 测 模 型
易 谆 ， 王晓 东 ， 陈 刚‘ ， 瞿 鑫 ， 马俊 宽 ， 张明明
（ １ ． 中国科学院 成都计算机应 用研究所 ， 成都 ６ １ ０ ０ ４ １ ；２ ． 中圆科学院大学， 北京 １ ０ ０ ０ ４ ９； ３ ．四川 省烟草公司 凉山州公司 ， 四川 西 昌 ６ １ ５ ０ ０ ０； ４ ． 河南 中烟工业有限责任公司 ， 郑州 ４ ５ ０ ０ １ ６ ） （ 通信作者电子邮箱 ｙ ｉ ｚ 一 １ ９ ８ ８ ＠１ ６ ３ ． ｃ ｏ ｍ）
线性回归和灰色预测模型案例
预测未来2015年到2020年的货运量灰色预测模型是通过少量的、不完全的信息,建立数学模型并做出预测的一种预测方法.当我们应用运筹学的思想方法解决实际问题,制定发展战略和政策、进行重大问题的决策时,都必须对未来进行科学的预测. 预测是根据客观事物的过去和现在的发展规律,借助于科学的方法对其未来的发展趋势和状况进行描述和分析,并形成科学的假设和判断.灰色系统的定义灰色系统是黑箱概念的一种推广;我们把既含有已知信息又含有未知信息的系统称为灰色系统.作为两个极端,我们将称信息完全未确定的系统为黑色系统；称信息完全确定的系统为白色系统.区别白色系统与黑色系统的重要标志是系统各因素之间是否具有确定的关系;建模原理模型的求解原始序列为：)16909 15781 13902 12987 12495 11067 101499926 9329 10923 7691())6(),...1(()0()0()0(==x x x构造累加生成序列)131159,114250,98469,84567,71580,59085,48018,37869,27943,18614,7691())6(),...1(()1()1()1(==x x x归纳上面的式子可写为称此式所表示的数据列为原始数据列的一次累加生成,简称为一次累加生成.对(1)X 作紧邻均值生成,....2))1()((21)()1()1()1(=-+=k k z k z k zMATLAB 代码如下：x=7691 18614 27943 37869 48018 590857 71580 84567 98469 114250 131159; z1=x1; for i=2:6 zi=xi+xi-1; endformat long g z z =Columns 1 through 37691Columns 4 through 632906Columns 7 through 991518Columns 10 through 11因此)53551.5 42943.5 3290623278.5 13152.5 ())5(),...1(()1()1()1(==z z z构造B 矩阵和Y 矩阵；对参数ˆα进行最小二乘估计,采用matlab 编程完成解答如下：B= -32906 -91518 ',ones10,1;Y=18614 27943 37869 48018 59085 71580 84567 98469 114250 131159'; format long g a=invB'BB'Y结果如下：a =即∂=,u=59277∂u = 则GM1,1白化方程为59277x 085.0)1(=-dtdx 预测模型为：697376.471-471.705067)1(ˆk *0.085)1(e k x =+再次通过线性回归模型对货运量进行预测：线性回归预测模型：一、定义一元线性回归预测是处理因变量y与自变量x 之间线性关系的回归预测法.二、模型的建立：1,设年份y, 货运量x y随x的变化函数,建立一元线性回归方程：Y=β0 + β1x其中β0、β1称为回归系数;散点图如下：首先根据x、y的现有统计数据,在直角坐标系中作散点图,观察y随x而变是否为近似的线性关系;若是,则求出的β0、β1值,就可确定其数学模型,然后由x的未来变化去求相应的y 值;,2,确定方法—最小二乘法使拟合的数值与实际值的总方差为最小,即拟合程度最好,则得两者之差e i根据极值原理,式对a、b分别求偏导,并令其=0,得z)()(()()222iiiiQiia aa b aaa ba bxyy xy x∂∂=∂∂∂=---∂=-----∑∑∑三,模型的求解：运用MATLAB 软件对数据进行一元线性回归分析：代码如下：x=1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 '; x=ones11,1 x;y=7691 10923 9329 9926 10149 11067 12495 12987 13902 15781 16909'; plotx,y, '+';b,bint,r,rint,stats=regressy,x b,bint ,stats ,rcoplotr,rint;()()()()()()()()222i i i i i i i Q y b x x y i b b y b x b x b y b x xy x x y x x ∂∂⎡⎤=---∑⎣⎦∂∂∂⎡⎤⎡⎤=-----⎣⎦⎣⎦∂⎡⎤=-----⎣⎦∑∑()()()()()()2002(7.4.8)i i i i xy xxx x y y b x x ix x y y b x xiS S =---=---==-∑∑∑∑令其，即所以结果：b =+006bint =+006stats =+005注：+006 为110^6 后同理因为,p<,所以可知回归方程为y=-1579600 + 800x 先观察观察模型残差：如图所示,应该剔除第2组数据;MATLAB代码为：x=1991 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 ';x=ones10,1 x;y=7691 9329 9926 10149 11067 12495 12987 13902 15781 16909'; plotx,y, '+';b,bint,r,rint,stats=regressy,xb,bint ,stats ,rcoplotr,rint;结果为：b =+006bint =+006stats =+005其中：+006 为110^6同理+005 为110^5剔除之后结果如下：回归系数回归系数估计值回归系数置信区间β0+006 +006 +005β1+006 +006 +006R2= F= +005 p< s2 = +005将异常数据去除后,再次对去除异常点的数据进行最小二乘法拟合一个多元回归模型,残差图如下：因为,p<, 无异常数据可剔除因此,可知最终回归方程为y=-1787900 + 900x,对ployfit拟合的函数进行评价与估计;运用polyconf函数对多项式评价和置信区间估计,matlab代码如下：x=1991 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 ;y=7691 9329 9926 10149 11067 12495 12987 13902 15781 16909;p,S=polyfitx,y,1结果为：p =+006S =R: 2x2 doubledf: 8normr: +003对2015年的货运量预测,即y=polyconfp,2015y =+004DELTA =+003其中所以预测区间为：+004-+003, +004++003即,2015年的货运量在之间;同理对2016年的货运量预测,即y =+004DELTA =+003所以预测区间为：+004-+003, +004++003即,2016年的货运量在之间;对2017年的货运量预测,即y =+004DELTA =+003所以预测区间为：+004- +003, +004++003 即,2017年的货运量在之间;对2018年的货运量预测,即y =+004DELTA =+003所以预测区间为：+004- +003, +004+ +003 即,2018年的货运量在之间;对2019年的货运量预测,即y =+004DELTA =+003所以预测区间为：+004-+003, +004+ +003即,2019年的货运量在之间;对2020年的货运量预测,即y =+004DELTA =+003所以预测区间为：+004-+003, +004++003即,2020年的货运量在之间;附：MATLAB代码：1, x=1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 ';x=ones11,1 x;y=7691 10923 9329 9926 10149 11067 12495 12987 13902 15781 16909'; plotx,y, '+';b,bint,r,rint,stats=regressy,xb,bint ,stats ,rcoplotr,rint;2,x=1991 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 ';x=ones10,1 x;y=7691 9329 9926 10149 11067 12495 12987 13902 15781 16909'; plotx,y, '+';b,bint,r,rint,stats=regressy,xb,bint ,stats ,rcoplotr,rint;3,x=1991 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 ;y=7691 9329 9926 10149 11067 12495 12987 13902 15781 16909;p,S=polyfitx,y,1y=polyconfp,2015。
灰色预测模型案例
1.1.5 两岸间液体化工品贸易前景预测从上述分析可见，两岸间液体化工品贸易总体上呈现上升的增长趋势。
然而，两岸间的这类贸易受两岸关系、特别是台湾岛内随机性政治因素影响很大。
因此，要对这一贸易市场今后发展的态势做出准确的定量判断是相当困难的；但从另一方面来说，按目前两岸和平交往的常态考察，贸易作为两岸经济与贸易交往的一个有机组成部分，其一般演化态势有某些规律可寻的。
故而，我们可以利用其内在的关联性，通过选取一定的数学模型和计算方法，对之作一些必要的预测。
鉴此，本研究报告拟采用一定的预测技术，借助一定的计算软件，对今后10余年间大陆从台湾进口液化品贸易量作一个初步的预测。
(1) 模型的选择经认真考虑，我们选取了灰色系统作为预测的技术手段，因为两岸化工品贸易具有的受到外界的因素影响大和受调查条件限制数据采集很难完全的两大特点，正好符合灰色系统研究对象的主要特征，即“部分信息已知，部分信息未知”的不确定性。
灰色系统理论认为，对既含有已知信息又含有未知信息或不确定信息的系统进行预测，就是在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程进行的预测。
尽管这一过程中所显示的现象是随机的，但毕竟是有序的，因此这一数据集合具有潜在的规律。
灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。
本报告以灰色预测模型，对两岸间化工品贸易进行的预测如下： 灰色预测模型预测的一般过程为： ① 一阶累加生成（1-AGO ） 设有变量为)0(X的原始非负数据序列)0(X =[)1()0(x ,)2()0(x ,…)()0(n x ] （1.1）则)0(X的一阶累加生成序列)1(X =[)1()1(x ,)2()1(x …)()1(n x ] （1.2）式中)()(1)0()1(i x k x ki ∑== k=1,2…n② 对)0(X进行准光滑检验和对进行准指数规律检验设)1()()()1()0(-=k x k x k ρ k=2,3…n （1.3） 若满足)(k ρ<1、)(k ρ∈[0,ε]（ε<0.5），)(k ρ呈递减趋势，则称)0(X 为准光滑序列，则)1(X具有准指数规律。
【数学建模】灰色预测模型（预测）
【数学建模】灰色预测模型（预测）文章目录•一、算法介绍•o 1.灰色预测模型o 2.灰色系统理论o 3. 针对类型o 4. 灰色系统o 5. 灰色生成o 6. 累加生成o7. GM（1，1）模型o▪推导▪精度检验▪精度检验等级参照表•二、适用问题•三、算法总结•o 1. 步骤•四、应用场景举例•o 1. 累加生成o 2. 建立GM（1，1）模型o 3. 检验预测值•五、MATLAB代码•六、实际案例•七、论文案例片段（待完善）灰色预测模型主要针对数学建模问题中的一些小的子问题进行求解，如果想直接使用请跳转至——四、五另外之前看过一篇比较完整的【数学建模常用算法】之灰色预测模型GM，作者：張張張張视频回顾一、算法介绍1.灰色预测模型灰色预测模型(Gray Forecast Model)是通过少量的、不完全的的信息，建立数学模型并做出预测的一种预测方法.当我们应用运筹学的思想方法解决实际问题，制定发展战略和政策、进行重大问题的决策时，都必须对未来进行科学的预测.预测是根据客观事物的过去和现在的发展规律，借助于科学的方法对其未来的发展趋势和状况进行描述和分析，并形成科学的假设和判断。
2.灰色系统理论灰色系统理论是研究解决灰色系统分析、建模、预测、决策和控制的理论.灰色预测是对灰色系统所做的预测。
目前常用的一些预测方法(如回归分析等)，需要较大的样本，若样本较小，常造成较大误差，使预测目标失效。
灰色预测模型所需建模信息少，运算方便，建模精度高，在各种预测领域都有着广泛的应用，是处理小样本预测问题的有效工具。
3. 针对类型灰色系统理论是由华中理工大学邓聚龙教授于1982年提出并加以发展的。
二十几年来，引起了不少国内外学者的关注，得到了长足的发展。
目前，在我国已经成为社会、经济、科学技术在等诸多领域进行预测、决策、评估、规划控制、系统分析与建模的重要方法之一。
特别是它对时间序列短、统计数据少、信息不完全系统的分析与建模，具有独特的功效，因此得到了广泛的应用.4. 灰色系统灰色系统是黑箱概念的一种推广。
基于灰色与线性回归组合模型在变形预测中的研究
城
市
勘
测
Ａｕ ２ １ ｇ． ０１ Ｎｏ． ４
Ｕｒ ｎ Ｇｅ ｔｃｈ ｉ ａ ｎ ｅ ｔｇ ｔｏ ＆ Ｓ ｒ ｅ ｉ ｇ ｂａ ｏ ｅ ｎ ｃ ｌＩ ｖ ｓｉａｉ ｎ ｕｖ ｙｎ
Ｉ样 有 ： 吲
ｙ（ １＝ ・ ｐ（ １ ［ｘ （ ） １ ｌ ｐ Ｖ 一 ］ ｔ ） Ｃｅ ｖｔ ）ｅ 一 Ｉｅ （ ） １ ＋ ｘ ＋ ｐ ｘ （７ １）
则 上 面两式 相 比为 ：
Ｙ （＋ ） ｙ ＝ ｘ （ １ ／ ｅｐ ） 因此 得到 的解 为 ：
Ｃ：（ ） ＝（ ９ ． ２ 一 ６ ２ ， ３ ５ ５ ） Ａ ３３ ７ ，２ ．３ 一 ９．４
原 始 系列 ：
ｘ ＝（ ０ ３ ， ６ ９ ， ９ Ｏ ７ ． ， ０ ． ８ １６ ８ ｏ １． ８ ２ ． ２ ４ ． ５， ３ ７ １４ ６ ，３ ． ，
１ ２ ４ ，３ ． ５ ８． ３２ １ １ ）
Ｙ（） ｔ＝ｚ（＋ 一 ｔ ｔ ｍ） ｚ（）
＝
则有 ： ＝ Ｉ ／ ｃ
（ ２ ２）
Ｃｅｐ 优） ｅｐ ） １ ［ｘ （ 一 ］ １ ） ．ｘ （ ［ｘ （ 一 ］ ｅｐ ） １ （６
从而 ： Ａ Ａ ＡＸ Ｃ：（ ） Ｔ
得到 生成 序列 的预 测值 为 ：
（ ３ ２）
误差 如 表 ６所 示 ， 测值 的平 均 相对 误 差 为 １．２ ， 预 ２４ ％ 预测 １８ ９ ８年沉 降量 的 相对 误差 为 １．９ ， 测 １８ ２ ３％ 预 ９９
ｘ ＝｛ｏ １ ，ｏ２ ， ｏ ｘ （ ）ｘ （ ） …… ，ｏｎ ｝ ｘ （ ）
基于并联灰色-线性回归组合模型的客运量预测
其 中ｙ 代表 多 元 线 性 回归 的 估 计 值 ；为 待 定 的常 ａ
易表 对 ｘ 代表 影 响事 物 发 展 的 合 预 测 方 法 。 合 预 测 是 将 两 种 及 以 上 不 同的 预 测 模 数 ； 示 ｙ ｘ的 回 归 系 数 ； 组
ｌ 求旅客 ｉ 流量， 还要根据旅客流量的统计分析， 关 系 来 预 测 事 物 未 来 的 发 展趋 势 。 元 线性 回归 模 型 改 多
进 车 站 硬 件 设 施 和 提 高 旅 客 服 务 质 量 。因此 ， 来 客 的 一 般 形 式 为 ： 未 运 量 的预 测 对 铁 路 部 门决 策和 判 断具 有 重 要 作 用 。 本 文 将 采 用灰 色 Ｇ （ ， ） 型与 线性 回 归模 型并 联 成 组 Ｍ １ １模
色 模型—线 性回归组合预 测方法＇ 对武 昌站２ ０ ０８
方 法 ， 重 分 析 预 测 对 象 的 各 因素 对 结 果 所 造 成 的 影 注 响 。 际上 ， 种 现 象 常 常 与 多 个 因素 相 联 系 ， 实 一 由多 个 自变量 的 最优 组 合共 同来 预测 或 估计 因变 量 ， 比只 用 相
个 根 带 型 的预 测 结 果 按 照一 定 的方 式 组 合 起 来 ， 成新 的预 第 ｆ 因素 。 据 最 小 二 乘 法 原 理 ， 入 已知 数 据 确 定 形 Ｔ ｉ １ ｉ ，， ｎ ， ］ 生回 测方法。 组合 预 测 方法 改 善 了单 一 预测 方 法 的局 限性 ， 参数 ａｆｂ（一１２ … ， ）从而 得 到 多元 线 Ｉ 归方 程 。
一
—－０ ２ ２ １ 年的客运 量进行预测 预 测结果 和单一 ｊ 型相比， 合预测 模型考虑 的影响 因素 较 多 ， 模 组 。可操 作性 强 ’ ≥ 预澍 数据 综合了内外 因素影响 ， 预
数学建模灰色预测法
灰色预测法
1 灰色预测理论
2 GM(1,1)模型 3 GM(1,1)残差模型及GM (n, h)模型
二、模型检验 灰色预测检验一般有残差检验、关联度检 验和后验差检验。
（1）残差检验
ˆ 0 i , ˆ 1 i 累减生成 X ˆ 1 i , 并将 X 按预测模型计算 X
ˆ 0 i 的绝对误差序列及相 然后计算原始序列X 0 i 与 X
对误差序列。
原始数据进行生成处理来寻找系统变动
的规律，生成有较强规律性的数据序列，
然后建立相应的微分方程模型，从而预
测事物未来发展趋势的状况。
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• 灰色预测法用等时距观测到的反映预测对 象特征的一系列数量值构造灰色预测模型， 预测未来某一时刻的特征量，或达到某一
特征量的时间。
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1灰色预测理论
一、灰色预测的概念
（1）灰色系统、白色系统和黑色系统 • 白色系统是指一个系统的内部特征是完全 已知的，即系统的信息是完全明确的。
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• 黑色系统是指一个系统的内部信息对外界
来说是一无所知的，只能通过它与外界的
联系来加以观测研究。 • 灰色系统内的一部分信息是已知的，另一 部分信息是未知 的，系统内各因素间有不
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一个计算关联度的例子
工业、农业、运输业、商业各部门的行为 数据如下： 工业
X1 45.8, 43.4, 42.3, 41.9
数学建模灰色预测法
则关联系数定义为：
m in m inX ˆ0 k X 0 km a x m a xX ˆ0 k X 0 k (k )
X ˆ0 k X 0 km a x m a xX ˆ0 k X 0 k
A
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A
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记原始时间序列为：
X 0 X 0 1 , X 0 2 , X 0 3 ,X . 0 n ..
生成列为：
X 1 X 1 1 , X 1 2 , X 1 3 ,X . 1 n . .
上标1表示一次累加，同理，可作m次累加：
A
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（3）灰色系统的应用范畴
• 灰色系统的应用范畴大致分为以下几方面： • （1）灰色关联分析。 • （2）灰色预测：人口预测；初霜预测；灾变预
测….等等。 • （3）灰色决策。 • （4）灰色预测控制。
A
7
（4）灰色预测的四种常见类型
• 灰色时间序列预测
即用观察到的反映预测对象特征的时 间序列来构造灰色预测模型，预测未来某 一时刻的特征量，或达到某一特征量的时 间。
A
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3
1. 灰 色 预 测 理 论
一、灰色预测的概念 （1）灰色系统、白色系统和黑色系统 • 白色系统是指一个系统的内部特征是完全
已知的，即系统的信息是完全明确的。
A
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• 黑色系统是指一个系统的内部信息对外界 来说是一无所知的，只能通过它与外界的 联系来加以观测研究。
A
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（2）关联度
X0k 和 Xˆ 0k 的关联度为：
灰色预测模型GM
灰色预测模型GM (1,1)§1 预备知识平面上有数据序列 nn y x y x y x ,,,,,,2211 ，大致分布在一条直线上。
设回归直线为：b ax y ，要使所有点到直线的距离之和最小（最小二乘），即使误差平方和ni iib ax y J 12最小。
J 是关于a, b 的二元函数。
由120211n i i i i n i i i i i b x a y b J x b x a y a J0112n i i i ni ii i i b a y bx ax y x 则得使J 取极小的必要条件为：ii ii ni i i y nb x a y x x b x a 12 （*）22222ii i i i i i ii i i i i x x n y x x x y b x x n y x y x n a (1)以上是我们熟悉的最小二乘计算过程。
下面提一种观点，上述算法，本质上是用实际观测数据ix 、iy 去表示a 与b，使得误差平方和J 取最小值，即从近似方程b b b x x x a y y y n n 2121 中形式上解出a 与b。
把上式写成矩阵方程。
令 n y y y Y21，b a x x x Y n11121 yix xiiy x , jjyx ,令11121nx x x B ，则b a B Y 左乘T B 得b a B B Y B T T 注意到B T B 是二阶方阵，且其行列式不为零，故其逆阵(B T B)-1存在，所以上式左乘1BB T得 Y BB B b a TT 1（2）可以具体验算按最小二乘法求得的结果（1）与（2）式完全相同，下面把两种算法统一一下：由最小二乘得结果：方程（*） ii i i ni i i y nb x a y x x b x a 12 方程组改写为：n n iii y y y x xx b a nxxx21212111 令：11121nx x x B ，n y y y Y 21， b a a ˆ （*）化为 Y B aB B TTˆ所以Y BB B a TT1ˆ以后，只要数据列n j yx jj,,2,1, 大致成直线，既有近似表达式 n i bax y ii,,2,1当令： n y y y Y21，11121nx x x B ，b a a ˆ 则有 a B Y ˆy BBB a TT1ˆ（2）（2）式就是最小二乘结果，即按最小二乘法求出的回归直线b ax y 的回归系数a 与b。
灰度预测模型详解举例分析
灰色系统预测重点内容：灰色系统理论的产生和发展动态，灰色系统的基本概念，灰色系统与模糊数学、黑箱方法的区别，灰色系统预测GM （1，1）模型，GM（1，N）模型，灰色系统模型的检验，应用举例。
1灰色系统理论的产生和发展动态1982邓聚龙发表第一篇中文论文《灰色控制系统》标志着灰色系统这一学科诞生。
1985灰色系统研究会成立，灰色系统相关研究发展迅速。
1989海洋出版社出版英文版《灰色系统论文集》，同年，英文版国际刊物《灰色系统》杂志正式创刊。
目前，国际、国内200多种期刊发表灰色系统论文，许多国际会议把灰色系统列为讨论专题。
国际著名检索已检索我国学者的灰色系统论著500多次。
灰色系统理论已应用范围已拓展到工业、农业、社会、经济、能源、地质、石油等众多科学领域，成功地解决了生产、生活和科学研究中的大量实际问题，取得了显著成果。
2灰色系统的基本原理2.1灰色系统的基本概念我们将信息完全明确的系统称为白色系统，信息未知的系统称为黑色系统，部分信息明确、部分信息不明确的系统称为灰色系统。
系统信息不完全的情况有以下四种：1.元素信息不完全2.结构信息不完全3.边界信息不完全4.运行行为信息不完全2.2灰色系统与模糊数学、黑箱方法的区别主要在于对系统内涵与外延处理态度不同；研究对象内涵与外延的性质不同。
灰色系统着重外延明确、内涵不明确的对象，模糊数学着重外延不明确、内涵明确的对象。
“黑箱”方法着重系统外部行为数据的处理方法，是因果关系的两户方法，使扬外延而弃内涵的处理方法，而灰色系统方法是外延内涵均注重的方法。
2.3灰色系统的基本原理 公理1：差异信息原理。
“差异”是信息，凡信息必有差异。
公理2：解的非唯一性原理。
信息不完全，不明确地解是非唯一的。
公理3：最少信息原理。
灰色系统理论的特点是充分开发利用已有的“最少信息”。
公理4：认知根据原理。
信息是认知的根据。
公理5：新信息优先原理。
新信息对认知的作用大于老信息。
预测模型(灰色系统分析方法)
• 定义
xd (1)
为GM(1,1)模型dt
a
x(1)
b
x (0) (k) az (1) (k) b
的白化方程，也叫影子方程。
其时间响应函数为
x x e (1) (t) ( (1) (1) b ) at b
a
a
由此得到GM（1，1）的时间响应序列
xˆ x e (1) (k 1) ( (0) (1) b ) ak b
k2
2
1 s sˆ
111502 11430.5 0.997 0.90
1 s sˆ sˆ s 111502 11430.5 71.5
关联度为一级。
计算均方差比 C
x
1 4
4 k 1
x(k)
31151.5, S12
1 4
4
(x(k)
k 1
x)2
37252465, S1
6103.48
m xm
n
jj
x
2 j
j1
interaction（交叉）： y 0 1 x1 m xm jk x j xk
1 jk m
quadratic（完全二次）： y 0 1 x1 m xm jk x j xk
1 j,k m
灰色系统分析方法
一、灰色系统相关背景
• 1982年，中国学者邓聚龙教授创立的灰色 系统理论，是一种研究少数据、贫信息不 确定性问题的新方法。灰色系统理论以 “部分信息已知，部分信息未知”的“小 样本”、“贫信息”不确定性系统为研究 对象，主要通过对“部分”已知信息的生 成、开发，提取有价值的信息，实现对系 统运行行为、演化规律的正确描述和有效 监控。灰色系统模型对实验观测数据没有 什么特殊的要求和限制，因此应用领域十 分宽广。
灰色与线性回归组合模型在变形预测中的应用研究
Ｘ ） （ ｎ
２３
２ ４
９３ ．ｌ
９１ ３ ．４ ８９ ．８ ８３ －１ ８ ５１ ． ７ ９０ ． ６ｌ １ ６ ０６ ８ １ ．７ ３２ ８
０．８ ７４
０． ３ ６１ ０．６ ３ ９ — １ ０３ ０ — ．４３ ０１ ０． ９ ３２ １１ ６ ．７ ２． ５ １２
则上面两式相 比为： ｙ ｆ １ Ｙ ＝ｅ ｐｖ ￣ ＋ ） ｍ ｘ （） ｔ ／
因 此 得 到 ｖ 的解 为 ： ｖ ｌ【 （ １／ ＝ｎｙ ｔ ） 十 ｙ （９ １）
时问 ／ 日
１ １ １ ２
、ｉ
预ｌ 值 ／ ｍ 时 间 ／ 测 ｍ 日 ｌ
Ｌ Ｌ Ｌ
Ｃ
预测值 ／ ｍｍ
（０ １）
根 据 灰 色 系 统 理 论 对 原 始 序 列 做 １次 累 加 生 成 后 ， 得 到 生 成 序 列 Ｘ １， ： （１即
ｘ ＝ ｘ （）Ｘ （） … ， （） ｛ １， ２ ， ｘ ｎ｝
（１ １）
对 Ｘ （ １求 导 或 做 累减 还 原 ， 到 原 始 系 列 的预 测 公 ｔ ） ＋ 得 式 为： Ｘ ｏ＝（ ） （） ｏａｅｐ 一ａ 一ａ［ １一 ． ］ｘ （ ｔ ｘＵ ／ ）
Ｘ ＝Ｘ （） ｏ １ １ ＝Ｘ （ ）
（） ６
式（） 式（） ４在 ５条件 下 的 特 解 为 ：
丈（）［（ ］ （ａ ｕ １ ｘ１ ｅ ＿１ ｆ Ｄ一 ｘ ） 十 ） ｐ ＋
辨 识 值 ａ可 由式 （） 算 ： ８计
ａ＝（， ）；（ ｑ ） Ｔ ａ ｕ Ｂ ３ Ｂ ｙ
一
５ ３—
ｌ 学术探讨 应用技术与研究
一
＝ ＿ ： ＝ ：： ： ： ＝＿ ＝： ： 一 土：： ＝ ： ． 二 ＝ 二 二 ＿ ：ｕ ｌ 叭 ２繇 第 ５ ２
最新灰色预测模型案例资料
1.1.5 两岸间液体化工品贸易前景预测从上述分析可见，两岸间液体化工品贸易总体上呈现上升的增长趋势。
然而，两岸间的这类贸易受两岸关系、特别是台湾岛内随机性政治因素影响很大。
因此，要对这一贸易市场今后发展的态势做出准确的定量判断是相当困难的；但从另一方面来说，按目前两岸和平交往的常态考察，贸易作为两岸经济与贸易交往的一个有机组成部分，其一般演化态势有某些规律可寻的。
故而，我们可以利用其内在的关联性，通过选取一定的数学模型和计算方法，对之作一些必要的预测。
鉴此，本研究报告拟采用一定的预测技术，借助一定的计算软件，对今后10余年间大陆从台湾进口液化品贸易量作一个初步的预测。
(1) 模型的选择经认真考虑，我们选取了灰色系统作为预测的技术手段，因为两岸化工品贸易具有的受到外界的因素影响大和受调查条件限制数据采集很难完全的两大特点，正好符合灰色系统研究对象的主要特征，即“部分信息已知，部分信息未知”的不确定性。
灰色系统理论认为，对既含有已知信息又含有未知信息或不确定信息的系统进行预测，就是在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程进行的预测。
尽管这一过程中所显示的现象是随机的，但毕竟是有序的，因此这一数据集合具有潜在的规律。
灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。
本报告以灰色预测模型，对两岸间化工品贸易进行的预测如下： 灰色预测模型预测的一般过程为： ① 一阶累加生成（1-AGO ） 设有变量为)0(X的原始非负数据序列)0(X =[)1()0(x ,)2()0(x ,…)()0(n x ] （1.1）则)0(X的一阶累加生成序列)1(X =[)1()1(x ,)2()1(x …)()1(n x ] （1.2）式中)()(1)0()1(i x k x ki ∑== k=1,2…n② 对)0(X进行准光滑检验和对进行准指数规律检验设)1()()()1()0(-=k x k x k ρ k=2,3…n （1.3） 若满足)(k ρ<1、)(k ρ∈[0,ε]（ε<0.5），)(k ρ呈递减趋势，则称)0(X 为准光滑序列，则)1(X具有准指数规律。
国赛赛题解析(五)2005A 长江水质的评价和预测(灰色预测和多元线性回归)
二、问题二
问题分析：
问题二是由历史数据来确定长江干流的主要污染源 事实上这 问题二是由历史数据来确定长江干流的主要污染源，事实上这 是一个微分方程的反问题。 较好的思路： ①利用简化的一维水质模型(连续形式或差分形式)研究污染物 的降解作用，从而可以确定各地区污染物的浓度变化。 ②考虑干流上排污源的影响，并假设排污点在江段内均匀分布， 或者所有的排污源都集中在某一点处等处理方法，这些都是合理的 做法。 最后根据各江段排污量的多少确定主要的污染源在哪里。
10
一、问题提出
附件4：1995年~2004年长江流域水质报告
说明： (1) 表中河长单位为km 说明 k ，比例单位为 比例单位为% 。 (2) 水文年是指在一年内所有检测数据的平均值。 (3) 根据统计资料，每年长江的枯水期为1月～4月，丰水期为5月～10月，平水期为11月 ～12月 月。
2014/8/18 版权所有，请勿传播 11
上一节课程回顾
1、构成“综合评价”的问题必须要有五个要素:“被评价 对象，评价指标，权重系数，综合评价模型(函数)和评价 者 。 者” 2、解决综合评价问题的一般步骤是：“明确评价目的； 确定被评价对象；建立评价指标体系；评价指标的标准化 处理；确定相对权重系数；选择或构造综合评价模型；计 算各系统的综合评价值，并进行排序或分类”。这是任何 一个综合评价问题都必须要做的工作。 个综合评价问 必 做的 作
1 灰色系统的定义和特点
灰色系统基本概念 灰色系统产生于控制理论的研究中。 若一个系统的内部特征是完全已知的 若 个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是充足完全 即系统的信息是充足完全 的，我们称之为白色系统。 若 个系统的内部信息是 无所知 若一个系统的内部信息是一无所知，一团漆黑，只能从它同外部 团漆黑 只能从它同外部 的联系来观测研究，这种系统便是黑色系统。 灰色系统介于 者之间 灰色系统的 部分信息是已知的 灰色系统介于二者之间，灰色系统的一部分信息是已知的，一部 部 分是未知的。 区别白色和灰色系统的重要标志是系统各因素间是否有确定的关 系。
多元线性回归与灰色联合模型在湖泊水质预测中的应用
ＷＡ Ｚ ｅ ｇ Ｌ Ｙ ， ＷＡ Ｇ Ｘ ａ—ｕ Ｌ Ｕ Ｘ ｎ ， ＬＵ Ｘ ｕ ｈ ａ ＷＡ Ｇ Ｈ ｉ ／ Ｎ ｈ ｎ 。 Ｉ ｅ Ｎ ｉ ｌ ， Ｉ ｉｇ ｏ Ｉ ｉ－ ｕ ， Ｎ ｕ－ ｄ ｊｅ
Ａｂｔａｔ Ａ ｃｒｉｇｔ ｔｅｐ ｍ ｒ ｃｅ ｓｙｉｄｘｓ ｓｃ ｓ ｈ ｄｘｏ ｅｓｌ ｆ ｅｍａｇｎｃａｉ， Ｈ － ｎ Ｐ ｓ ｃ ： ｃｏｄｎ ｒ ａｙ ｈｍｉｒ ｎ ｅｅ （ ｈａ ｅｉ ｅ ｆｈ ａ ｓ ｒ ｎａｉ ｃ Ｎ ３Ｎ ａｄＴ ） ｒ ｏｈ ｉ ｔ ｕ ｔ ｎ ｔ ｔｏ ｐ ｄ ｉ ｋ ｎ ｅｒｌ ｅ ｃｏｓ ｓｃ ｓ ｏ ｕａｏ ，ｎ ｕｔ ｒ ｕｔ ｎｖｌｅａｄｓｗ ｇ ｕｎｉ ）ｂ ｓ ｇｔｅｍｅ ｏ ｆ ｎａｌ ｅａｄｔ ａ ｄｆ ｔｒ （ ｈａ ｐ ｌｔｎ ｉ ｓ ｐｏ ｃ ｏ ａ ｎ ｅ ａｅｑ ａｔｙ， ｙｕｉ ｔ ｄｏ ａ ｈ ｅｔ ａ ｕ ｐ ｉ ｄ ｒ ｙ ｄ ｉ ｕ ｔ ｎ ｈ ｈ
湖泊 水质污 染 预测Ｉ． Ｉ实质 上是 根据 现 有 湖 区社 １ 会经济 和 湖泊水 质 监测 资料 ．对 湖 泊水 域 的环 境 质
量 与 湖泊 流域地 区 的社会 经 济进 行 系统 分 析 ．找 出
理统计 方 法 不仅 可 以提供 变 量 间相 关 关 系 的数学
表 达式 ．而且 可 以利 用概 率 统 计 知识 对此 关 系进行 分析 。 以判 别 其 有 效性 ； 可 以利 用 关 系 式 ， 还 由一 个 或多个 变 量值 ． 预测 和控制 另 … 个 变量 的取 值 。 进
Ｋｅ ｒ ｓ Ｍｕ ｉａ ｌｔ ｉｅｒｔ ｅ ｒｓｉｎ Ｔ ｅｗ ｔｒｑ ａｉ ｒｃ ｓ Ｇｒ ｙＭｏ ｅ ｙ ｗｏ ｄ ： ｈ ｖ ｒ ｅｌ ａｉ ｒｇｅｓｏ ａ ｎ ｙ ｉ ｈ ａｅ ｕ ｌ ｙｆ ｅ ａ ； ｔ ｏ ｅ ｄ ｌ
基于灰色线性回归组合模型的航班起降架次预测研究
通过上述的灰色线性回归组合模型，从民航机场生产 少时，该模型无法进行较为准确的预测，需要寻求其它的更
为综合的预测手段并建立合适的预测模
1290
实际起降架次 预测起降架次
型来进行预测分析。综合上述分析，该模
型的可操作性良好，对于增长型的航班起
降架次的预测准确度也较好，预测结果可
1090
为了解未来空中交通流量的发展趋势及
combined, and the gray linear regression combined model is used to combine the number of flights over the years to predict the number of
future flights. Through the comparative analysis of the predicted results and actual data, the predicted results of flight takeoffs and landings
对于 m=1，有
对于 m=2，有
Value Engineering
· 143 ·
表 1 飞机起降架次统计表
年份
2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020
实际起降架次数（万） 305.7 348.6 394.1 422.6 484.1 553.2
统计公报中选取 2005-2020 年民航飞机起降架次的数据[5]，
并进行预测及分析。
2005-2020 年航班的起降架次实际值及预测值如表 1
对于 m=n-3，有
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预测未来2015年到2020年的货运量灰色预测模型是通过少量的、不完全的信息，建立数学模型并做出预测的一种预测方法.当我们应用运筹学的思想方法解决实际问题，制定发展战略和政策、进行重大问题的决策时，都必须对未来进行科学的预测. 预测是根据客观事物的过去和现在的发展规律，借助于科学的方法对其未来的发展趋势和状况进行描述和分析，并形成科学的假设和判断.灰色系统的定义灰色系统是黑箱概念的一种推广。
我们把既含有已知信息又含有未知信息的系统称为灰色系统.作为两个极端，我们将称信息完全未确定的系统为黑色系统；称信息完全确定的系统为白色系统.区别白色系统与黑色系统的重要标志是系统各因素之间是否具有确定的关系。
建模原理模型的求解原始序列为：)16909 15781 13902 12987 12495 11067 101499926 9329 10923 7691())6(),...1(()0()0()0(==x x x构造累加生成序列)131159,114250,98469,84567,71580,59085,48018,37869,27943,18614,7691())6(),...1(()1()1()1(==x x x归纳上面的式子可写为称此式所表示的数据列为原始数据列的一次累加生成，简称为一次累加生成.对(1)X 作紧邻均值生成,....2))1()((21)()1()1()1(=-+=k k z k z k zMATLAB 代码如下：x=[7691 18614 27943 37869 48018 590857 71580 84567 98469 114250 131159]; z(1)=x(1); for i=2:6z(i)=0.5*(x(i)+x(i-1)); endformat long g z z =Columns 1 through 37691 13152.5 23278.5Columns 4 through 632906 42943.5319437.5Columns 7 through 9331218.5 78073.5 91518Columns 10 through 11106359.5 122704.5 因此)53551.5 42943.5 3290623278.5 13152.5 ())5(),...1(()1()1()1(==z z z构造B 矩阵和Y 矩阵；对参数ˆα进行最小二乘估计，采用matlab 编程完成解答如下：B=[[ -13152.5 -23278.5 -32906 -42943.5 -319437.5 -331218.5 -78073.5 -91518 -106359.5 -122704.5]',ones(10,1)];Y=[18614 27943 37869 48018 59085 71580 84567 98469 114250 131159]'; format long g a=inv(B'*B)*B'*Y结果如下：a =-0.0850401176809297 59277.2079622774即∂=-0.085，u=59277 ∂u= -697376.471 则GM(1,1)白化方程为59277x 085.0)1(=-dtdx 预测模型为：697376.471-471.705067)1(ˆk *0.085)1(e k x =+再次通过线性回归模型对货运量进行预测：线性回归预测模型：一、定义一元线性回归预测是处理因变量y 与自变量x 之间线性关系的回归预测法.二、模型的建立：1，设年份y, 货运量x y 随x 的变化函数，建立一元线性回归方程：Y=β0 + β1x其中β0、β1称为回归系数。
散点图如下：首先根据x 、y 的现有统计数据，在直角坐标系中作散点图，观察y 随x 而变是否为近似的线性关系。
若是，则求出的β0、β1值，就可确定其数学模型，然后由x 的未来变化去求相应的y 值。
,2，确定方法—最小二乘法使拟合的数值与实际值的总方差为最小，即拟合程度最好，则得两者之差e i根据极值原理，式（7.4.6）对a 、b 分别求偏导，并令其=0，得)()(()()222iiiiQ i i a a a b a aa b a bx y y x y x ∂∂=∂∂∂=---∂=-----∑∑∑三，模型的求解：运用MATLAB 软件对数据进行一元线性回归分析：代码如下：x=[1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 ]'; x=[ones(11,1) x];y=[7691 10923 9329 9926 10149 11067 12495 12987 13902 15781 16909]'; plot(x,y, '+');[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x)b,bint ,stats ,rcoplot(r,rint);()()()()()()()()222i i i i i i i Q y b x x y i b b y b x b x b y b x xy x x y x x ∂∂⎡⎤=---∑⎣⎦∂∂∂⎡⎤⎡⎤=-----⎣⎦⎣⎦∂⎡⎤=-----⎣⎦∑∑()()()()()()2002(7.4.8)i i i i xy xxx x y y b x x ix x y y b x xiS S =---=---==-∑∑∑∑令其，即所以结果：b =1.0e+006 *-1.57960.0008bint =1.0e+006 *-2.0027 -1.15650.0006 0.0010stats =1.0e+005 *0.0000 0.0007 0.0000 9.6571（注：1.0e+006 *为1*10^6 后同理）因为，p<0.05,所以可知回归方程为y=-1579600 + 800x 先观察观察模型残差：如图所示，应该剔除第2组数据。
MATLAB代码为：x=[1991 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 ]';x=[ones(10,1) x];y=[7691 9329 9926 10149 11067 12495 12987 13902 15781 16909]'; plot(x,y, '+');[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x)b,bint ,stats ,rcoplot(r,rint);结果为：b =1.0e+006 *-1.78790.0009bint =1.0e+006 *-2.0512 -1.52460.0008 0.0010stats =1.0e+005 *0.0000 0.0025 0.0000 3.0216（其中：1.0e+006 *为1*10^6）同理1.0e+005 * 为1*10^5剔除之后结果如下：将异常数据去除后，再次对去除异常点的数据进行最小二乘法拟合一个多元回归模型，残差图如下：因为，p<0.05, 无异常数据可剔除因此，可知最终回归方程为y=-1787900 + 900x,对ployfit拟合的函数进行评价与估计。
运用polyconf函数对多项式评价和置信区间估计，matlab代码如下：x=[1991 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 ];y=[7691 9329 9926 10149 11067 12495 12987 13902 15781 16909];[p,S]=polyfit(x,y,1)结果为：p =1.0e+006 *0.0009 -1.7879S =R: [2x2 double]df: 8normr: 1.5547e+003对2015年的货运量预测，即y=polyconf(p,2015)y =2.8793e+004DELTA =2.7899e+003（其中）所以预测区间为：[（2.8793e+004）-（2.7899e+003）, （2.8793e+004）+（2.7899e+003）] 即，2015年的货运量在（26003.1 31582.9）之间。
同理对2016年的货运量预测，即y =2.9695e+004DELTA =2.9065e+003所以预测区间为：[（2.9695e+004）-（2.9065e+003）, （2.9695e+004）+（2.9065e+003）] 即，2016年的货运量在（26788.5 32601.5）之间。
对2017年的货运量预测，即y =3.0596e+004DELTA =3.0244e+003所以预测区间为：[（3.0596e+004）- （3.0244e+003）, （3.0596e+004）+（3.0244e+003）] 即，2017年的货运量在（27571.6 33620.4）之间。
对2018年的货运量预测，即y =3.1498e+004DELTA =3.1433e+003所以预测区间为：[（3.1498e+004）- （3.1433e+003）, （3.1498e+004）+（3.1433e+003）]即，2018年的货运量在（28354.7 34641.3）之间。
对2019年的货运量预测，即y =3.2399e+004DELTA =3.2633e+003所以预测区间为：[（3.2399e+004）-（3.2633e+003）, （3.2399e+004）+ （3.2633e+003）] 即，2019年的货运量在（29135.7 35662.3）之间。
对2020年的货运量预测，即y =3.3301e+004DELTA =3.3842e+003所以预测区间为：[（3.3301e+004）-（3.3842e+003）, （3.3301e+004）+（3.3842e+003）] 即，2020年的货运量在（29916.8 36685.2）之间。
附：MATLAB代码：1，x=[1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 ]';x=[ones(11,1) x];y=[7691 10923 9329 9926 10149 11067 12495 12987 13902 15781 16909]';plot(x,y, '+');[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x)b,bint ,stats ,rcoplot(r,rint);2，x=[1991 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 ]';x=[ones(10,1) x];y=[7691 9329 9926 10149 11067 12495 12987 13902 15781 16909]';plot(x,y, '+');[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x)b,bint ,stats ,rcoplot(r,rint);3，x=[1991 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 ];y=[7691 9329 9926 10149 11067 12495 12987 13902 15781 16909];[p,S]=polyfit(x,y,1)y=polyconf(p,2015)。