排列组合与二项式定理及概率应用综合
专题六 排列组合、二项式定理及概率统计
专题六:排列组合、二项式定理及概率统计第一课时 排列组合、二项式定理备考要点:1、正确理解两个原理、基本概念、基本公式、基本方法，并在此基础上，分析和解决一些简单的应用题，包括在概率中的相关计算，都是排列组合的重点，应强化必要的训练。
2、二项式定理是进一步学习概率论和数理统计的基础，把握二项式及其展开式的相互联系和应用是重点，从近几年高考试题看，涉及二项式定理的考题应注意：不是给出单一的二项式而是给出两个二项式的乘积求特定项；二项式定理的应用及二项式定理与其他知识的综合题有加强考查的可能。
典例分析：1.设A={1,2,….n},用n S 表示A 的所有非空真子集中各元素之和,n B 表示A 的子集个数,则2lim n n nS n B →∞= . 2.从1到9的九个数中取三个偶数四个奇数,试问:(1)组成多少个没有重复数字的七位数?(2)上述七位数中三个偶数排在一起的有几个?(3)在(1)中的七位数中,偶数排在一起,奇数也排在一起的有几个?(4)在(1)中任意两偶数都不相邻的七位数有几个?3.已知()1n ax -展开式的第p,p+1,p+2三项的二项式系数构成等差数列,第n+1-p 与第n+2-p 项的系数之和为0,而()11n ax +-展开式的第p+1与p+2项的二项式系数之比为1:2.(1)求()11n ax +-展开式的中间项(; (2)求n (1-ax)的展开式中系数最大的项.课堂练习：1．一个七位号码1234567a a a a a a a ，如果前面三位数码123a a a 与456a a a 或567a a a 相同（可能三者都一样），则称此号码为“可记忆的”，如果127,,,a a a 可取的数码为0、1、2、…、9中的任一个，则不同的“可记忆的”的号码共有 个。
2．设1234,,,a a a a 是1,2,3,4的任一排列，f 是{1,2,3,4}到{1,2,3,4}的一一映射，且满足f(i)≠i,记数表12341234()()()()a a a a f a f a f a f a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
排列组合、二项式定理与概率统计
排列组合、二项式定理与概率统计
概率统计与排列组合和二项式定理是数学中的重要知识。
它们主要用来解释和计算物理实验的概率，以及理解事件出现的概率统计规律。
排列组合是概率统计的基础，是指在一组数中，每个数字的位置不同的可能的组合数。
它的公式有:A(n,m)=n(n-1)...(n-m+1)。
这里的A表示从n个中取出m个的排列数。
二项式定理（亦称二项分布定理）是研究一个随机变量满足二项分布的定理。
它是推导概率统计解决一些问题的重要方法，它通过如下公式来计算事件发生的概率：
C(n,k)=An,m/k!，其中n表示试验次数，m表示成功的次数，k表示重复的次数。
概率统计用来研究不同事件出现的可能性和规律。
这些规律会告诉我们正发生的事件的可能性有多大，并帮助我们更好地解释现象。
概率统计的计算和分析是一个复杂的过程，需要全面的、简易的的方法。
排列组合、二项式定理等工具是进行概率统计分析的有力帮助，它们可以帮助我们了解不同事件出现的概率，并对现象加以解释和推断。
(最新经营)排列组合二项式定理与概率及统计
主讲人：黄冈中学高级教师汤彩仙一、复习策略排列与组合是高中数学中从内容到方法均比较独特的一个组成部分，是进一步学习概率论的基础知识，该部分内容，不论其思想方法和解题均有特殊性，概念性强，抽象性强，思维方法新颖，解题过程极易犯“重复”或“遗漏”的错误，且且结果数目较大，无法一一检验，因此给考生带来一定困难．解决问题的关键是加深对概念的理解，掌握知识的内于联系和区别，科学周全的思考、分析问题．二项式定理是进一步学习概率论和数理统计的基础知识，把握二项展开式及其通项公式的相互联系和应用是重点．概率则是概率论入门，目前的概率知识只是为进一步学习概率和统计打好基础，做好铺垫．学习中要注意基本概念的理解，要注意与其他数学知识的联系，要通过一些典型问题的分析，总结运用知识解决问题的思维规律．纵观近几年高考，排列、组合、二项式定理几乎每年必考，考题多以选择题、填空题出现，题小而灵活，涉及知识点均于两三个左右，综合运用排列组合知识，分类计数和分步计数原理；二项式定理及二项式系数的性质计算或论证一些较简单而有趣的小题也于高考题中常见，概率及概率统计的内容，从近几年新课程卷高考来看，每年均有一道解答题，占12分左右．排列与组合的应用题，是高考常见题型，其中主要考查有附加条件的应用问题.解决这类问题通常有三种途径:(1)以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数.（4）某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；（5）某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”；于求解排列与组合应用问题时，应注意：(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题；(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；(3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；(4)列出式子计算和作答．二、典例剖析题型一：排列组合应用题解决此类问题的方法是：直接法，先考虑特殊元素（或特殊位置），再考虑其他元素（或位置）；间接法，所有排法中减去不合要求的排法数；对于复杂的应用题，要合理设计解题步骤，一般是先分组，后分步，要求不重不漏，符合条件．例1、（08安徽理12）12名同学合影，站成了前排4人后排8人．现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（）A．B．C．D．解：从后排8人中选2人共种选法，这2人插入前排4人中且保证前排人的顺序不变，则先从4人中的5个空挡插入一人，有5种插法；余下的一人则要插入前排5人的空挡，有6种插法，故为；综上知选C．例2、（08湖北理6）将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为（）A．540B．300C．180D．150解：将5分成满足题意的3份有1，1，3与2，2，1两种，所以共有种方案，故D正确．例3、四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放于同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放于同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（）A．96B．48C．24D．0解：由题意分析，如图，先把标号为1，2，3，4号化工产品分别放入①②③④4个仓库内共有种放法；再把标号为5，6，7，8号化工产品对应按要求安全存放：7放入①，8放入②，5放入③，6放入④；或者6放入①，7放入②，8放入③，5放入④；两种放法．综上所述：共有种放法．故选B．例4、于正方体中，过任意两个顶点的直线中成异面直线的有____________对．解法一：连成两条异面直线需要4个点，因此于正方体8个顶点中任取4个点有种取法．每4个点可分共面和不共面两种情况，共面的不符合条件得去掉.因为于6个表面和6个体对角面中均有四点共面，故有种．但不共面的4点可构成四面体，而每个四面体有3对异面直线，故共有对．解法二：一个正方体共有12条棱、12条面对角线、4条体对角线，计28条，任取两条有种情况，除去其中共面的情况：（1）6个表面，每个面上有6条线共面，共有条；（2）6个体对角面，每个面上也有6条线共面，共有条；（3）从同一顶点出发有3条面对角线，任意两条线均共面，共有，故共有异面直线－－－=174对．题型二：求展开式中的系数例5、（08广东理10）已知（是正整数）的展开式中，的系数小于120，则__________．解：按二项式定理展开的通项为，我们知道的系数为，即，也即，而是正整数，故只能取1．例6、若多项式，则a9等于（）A．9B．10C．－9D．－10解：=∴．例7、展开式中第6项与第7项的系数的绝对值相等，求展开式中系数最大的项和系数绝对值最大的项．解：，依题意有，∴n=8．则展开式中二项式系数最大的项为．设第r＋1项系数的绝对值最大，则有．则系数绝对值最大项为．例8、求证：．证：（法一）倒序相加：设①又∵②∵，∴，由①＋②得：，∴，即．（法二）：左边各组合数的通项为，∴．（法三）：题型三：求复杂事件的概率例9、（08福建理5）某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（）A．B．C．D．解：由．例10、甲、乙两个围棋队各5名队员按事先排好的顺序进行擂台赛，双方1号队员先赛，负者被淘汰，然后负方的队员2号再与对方的获胜队员再赛，负者又被淘汰，一直这样进行下去，直到有一方队员全被淘汰时，另一方获胜，假设每个队员的实力相当，则甲方有4名队员被淘汰，且最后战胜乙方的概率是多少？解：根据比赛规则可知，一共比赛了9场，且且最后一场是甲方的5号队员战胜乙方的5号队员，而甲方的前4名队员于前8场比赛中被淘汰，也就是于8次独立重复试验中该事件恰好发生4次的概率，可得，又第9场甲方的5号队员战胜乙方的5号队员的概率为，所以所求的概率为．题型四：求离散型随机变量的分布列、期望和方差例11、某先生居住于城镇的A处，准备开车到单位B处上班.若该地各路段发生堵车事件均是相互独立的，且于同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图．（例如：A→C→D算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为，路段CD 发生堵车事件的概率为（1）请你为其选择一条由A到B的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；（2）若记路线A→C→F→B中遇到堵车次数为随机变量，求的数学期望解：（1）记路段MN发生堵车事件为MN．因为各路段发生堵车事件均是独立的，且于同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线A→C→D→B中遇到堵车的概率P1为=1－[1－P（AC）][1－P（CD）][1－P（DB）]=1－；同理：路线A→C→F→B中遇到堵车的概率P2为1－P（（小于）．路线A→E→F→B中遇到堵车的概率P3为1－P（（小于）．显然要使得由A到B的路线途中发生堵车事件的概率最小．只可能于之上三条路线中选择．因此选择路线A→C→F→B，可使得途中发生堵车事件的概率最小．（2）路线A→C→F→B中遇到堵车次数可取值为0，1，2，3．答：路线A→C→F→B中遇到堵车次数的数学期望为例12、如图所示，甲、乙两只小蚂蚁分别位于一个单位正方体的点和点，每只小蚂蚁均可以从每一个顶点处等可能地沿各条棱向各个方向移动，但不能按原线路返回．比如，甲于处时可以沿、、三个方向移动，概率均是；到达点时，可能沿、两个方向移动，概率均是，已知小蚂蚁每秒钟移动的距离为1个单位．(Ⅰ)若甲、乙两只小蚂蚁均移动1秒钟，则它们所走的路线是异面直线的概率是多少？它们之间的距离为的概率是多少？(Ⅱ)若乙蚂蚁不动，甲蚂蚁移动3秒钟后，甲、乙两只小蚂蚁之间的距离的期望值是多少？解：(Ⅰ)甲蚂蚁移动1秒可以有三种的走法：即沿、、三个方向，当沿方向时，要使所走的路线成异面直线，乙蚂蚁只能沿、C1C方向走，概率为，同理当甲蚂蚁沿方向走时，乙蚂蚁走、C1C，概率为，甲蚂蚁沿时，乙蚂蚁走、，概率为，因此他们所走路线为异面直线的概率为；甲蚂蚁移动1秒可以有三种走法：即沿、、三个方向，当甲沿方向时，要使他们之间的距离为，则乙应走，此时的概率为，同理，甲蚂蚁沿方向走时、甲蚂蚁沿方向走时，概率均为，所以距离为的概率为．(Ⅱ)若乙蚂蚁不动，甲蚂蚁移动3秒后，甲乙两个蚂蚁之间距离的取值有且只有两个：和，当时，甲是按以下路线中的一个走的：、、、、、，所以其概率为，当时，甲是按以下路线中的一个走的：、、、、、、所以其概率为，所以三秒后距离期望值为．例13、（08湖北理17）袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n=1，2，3，4）.现从袋中任取一球．ξ表示所取球的标号．（Ⅰ）求ξ的分布列，期望和方差；（Ⅱ）若η=aξ－b，Eη=1，Dη=11，试求a，b的值．解：（1）的分布列为：0 1 2 3 4所以．（2）由，得，即，又，所以当时，由，得；当时，由，得．，或，即为所求．题型五：统计知识例14、（08广东）某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．已知于全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法于全校抽取64名学生，则应于三年级抽取的学生人数为（）一年级二年级三年级女生373男生377 370A．24B．18C．16D．12解：依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是500，即总体中各个年级的人数比例为，故于分层抽样中应于三年级抽取的学生人数为．答案：C例15、于某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布．已知成绩于90分之上（含90分）的学生有12名．（Ⅰ）试问此次参赛学生总数约为多少人？（Ⅱ）若该校计划奖励竞赛成绩排于前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？可共查阅的（部分）标准正态分布表．0 1 2 3 4 5 6 7 8 91. 2 1. 3 1. 4 1.0.88490.90320.91920.9710.88690.90490.92070.9710.8880.90660.92220.97260.89070.90820.92360.9730.89250.90990.92510.9730.89440.91150.92650.9740.89620.91310.92780.9750.8980.91470.92920.9750.89970.91620.93060.9760.90150.91770.93190.9769 2. 0 2. 130.97720.982190.97780.98260.97830.98320.97880.983480.97930.983840.97980.98420.98030.984660.98080.98520.98120.985470.98170.9857解：（Ⅰ）设参赛学生的分数为，因为～N(70，100)，由条件知，P(≥90)＝1－P（<90）＝1－F(90)＝1－＝1－(2)＝1－0.9772＝0.0228．这说明成绩于90分之上（含90分）的学生人数约占全体参赛人数的2.28%，因此，参赛总人数约为≈526（人）．（Ⅱ）假定设奖的分数线为x分，则P(≥x)＝1－P（<x）＝1－F(90)＝1－＝＝0.0951，即＝0.9049，查表得≈1.31，解得x＝83.1．故设奖的分数线约为83.1分.感谢您的阅读。
排列组合二项式定理与概率统计(文理全)
n! n(n 1) (n m 1) (m≤n) (n m)!
An n =n! =n(n―1)(n―2) ·„·2·1. ②组合数公式： C n
m
n! n(n 1) (n m 1) m!(n m)! m (m 1) 2 1
r n r
(r=0,1,2,„,n).
n
n n 1 2 ； ②若 n 是偶数， 则中间项(第 1 项)的二项公式系数最大， 其值为 C n 若 n 是奇数， 则中间两项(第 2 2
n3 项和第 项)的二项式系数相等，并且最大，其值为 C n 2 = C n 2 . 2
1 2 n n ③所有二项式系数和等于 2n，即 C 0 n +C n ＋C n +„+C n =2 .
－ －n rຫໍສະໝຸດ r r+1 项是 Tr+1 =C r b. na
－
⑵ 二项展开式的通项公式
n r r 二项展开式的第 r+1 项 Tr+1=C r b (r=0,1,…n)叫做二项展开式的通项公式。 na
－
⑶ 二项式系数的性质 ①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等， 即 Cn = Cn
k k P( X k ) Cn p (1 p)nk， (k 0， 1 ， 2， ，n) ．此时称随机变量 X 服从二项分布，记作 X ~ B(n，p) ，并称 p 为成
功概率． 三、考点剖析 考点一：排列组合 1、解排列组合题的基本思路： ① 将具体问题抽象为排列组合问题，是解排列组合应用题的关键一步 ② 对“组合数”恰当的分类计算是解组合题的常用方法； ③ 是用“直接法”还是用“间接法”解组合题，其前提是“正难则反” ； 2、解排列组合题的基本方法： ① 优限法：元素分析法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置； ② 排异法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。 ③ 分类处理：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类计数原理得出结论；注意：分类不 重复不遗漏。 ④ 分步处理：对某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决；在解题过程中， 常常要既要分类，以要分步，其原则是先分类，再分步。 ⑤ 插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件
高考排列组合二项式定理和概率综合运用精讲
排列组合二项式定理和概率一、知识整合二、考试要求：1．掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题.2．理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题.3．理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题.4．掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题.5．了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义.6．了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率.7．了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率.8．会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率.Ⅰ、随机事件的概率例1 某商业银行为储户提供的密码有0，1，2，…，9中的6个数字组成.(1)某人随意按下6个数字，按对自己的储蓄卡的密码的概率是多少？(2)某人忘记了自己储蓄卡的第6位数字，随意按下一个数字进行试验，按对自己的密码的概率是多少？解 （1）储蓄卡上的数字是可以重复的，每一个6位密码上的每一个数字都有0，1，2，…，9这10种，正确的结果有1种，其概率为6101，随意按下6个数字相当于随意按下610个，随意按下6个数字相当于随意按下610个密码之一，其概率是6101. (2)以该人记忆自己的储蓄卡上的密码在前5个正确的前提下，随意按下一个数字，等可能性的结果为0，1，2，…，9这10种，正确的结果有1种，其概率为101. 例2 一个口袋内有m 个白球和n 个黑球，从中任取3个球，这3个球恰好是2白1黑的概率是多少？（用组合数表示）解 设事件I 是“从m 个白球和n 个黑球中任选3个球”，要对应集合I 1，事件A 是“从m 个白球中任选2个球，从n 个黑球中任选一个球”，本题是等可能性事件问题，且Card(I 1)= 123)(,n m n m C C A Card C ⋅=+，于是P(A)=3121)()(nm n m C C C I Card A Card +⋅=. Ⅱ、互斥事件有一个发生的概率例3在20件产品中有15件正品，5件次品，从中任取3件，求：（1）恰有1件次品的概率；（2）至少有1件次品的概率.解 （1）从20件产品中任取3件的取法有320C ，其中恰有1件次品的取法为15215C C 。
排列组合二项式定理与概率统计
排列组合二项式定理与概率统计重点知识回顾1. 排列与组合⑴ 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理和分步有关, 分类计数原理与分类有关⑵ 排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合,⑶排列与组合的主要公式_r —r+1 项是 T r+1 =C n a n r b r .⑵二项展开式的通项公式二项展开式的第r+1项T r+1=c n a n —r b r （r=0,1,…叫）做二项展开式的通项公式。
⑶二项式系数的性质① 在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等， 即 c n = c n r （r=0,1,2，…,n ）.项和第n 3项）的二项式系数相等，并且最大，其值为2A n = n! =n(n — 1)(n — 2)....... 2 • 1.②组合数公式：c mn! n(n 1)(n m 1)(m < n)m!( n m)!m (m 1) 2 1③组合数性质： ①c m ㈡ m (m < n)② c 0 c ； c n 2c ； 2n③ Cn Cnc 4Cnc 1c 3CnCn2n12.二项式定理⑴二项式定理(a +b)n =C 0a n+c n a n — 1 rb+ …+C n a n r b r +… + c n b n ,其中各项系数就是组合数c n，展开式共有n+1项，第问题•区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关,与顺序有关的属于排列问题, 与顺序无关的属于组合问题求共有多少种方法的①排列数公式:A mn! (n m)!n(n 1) (n m 1) (m <n)②若n 是偶数，则中间项（第 n 1项）的二项公式系数最大,2n其值为c 2 ；若旦古数，则中间两项（第n 12n 是奇C n 2 = C n 2③ 所有二项式系数和等于2n ，即C 0+c 1 + C 2+…+c n =2n .④ 奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和， 即 C n +c n +…=c n +c n + …=2n 1.3.概率(1)事件与基本事件：随机事件:在条件S T ,可能发生也可能不发生的事件 事件 诒宀击” 不可能事件:在条件S T , 一定不会发生的事件确定事件必然事件:在条件S T , 一定会发生的事件基本事件：试验中不能再分的最简单的“单位”随机事件；一次试验等可能的产生一个基本事件；任意两 个基本事件都是互斥的；试验中的任意事件都可以用基本事件或其和的形式来表示.(2) 频率与概率：随机事件的频率是指此事件发生的次数与试验总次数的比值.频率往往在概率附近摆 动，且随着试验次数的不断增加而变化，摆动幅度会越来越小•随机事件的概率是一个常数，不随具体的实验 次数的变化而变化.(3) 互斥事件与对立事件：几何概型：每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度(面积或体积)成比例.两种概型中每个基本事件出现的可能性都是相等的，但古典概型问题中所有可能出现的基本事件只有有限 个，而几何概型问题中所有可能出现的基本事件有无限个.(5)古典概型与几何概型的概率计算公式：古典概型的概率计算公式：P(A)A 包含的基本事件的个数 基本事件的总数几何概型的概率计算公式：P(A)构成事件A 的区域长度(面积或体积) 试验全部结果构成的区域长度(面积或体积)两种概型概率的求法都是“求比例” ，但具体公式中的分子、分母不同.(6) 概率基本性质与公式(4)古典概型 与几何概型：古典概型：具 有“等可能发生的 有限个基本事件” 的概率模型.再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列。
高一数学排列组合二项式定理及其应用分析总结归纳
02
二项式定理及其应用
二项式定理的展开式
二项式定理：(a+b)^n = a^n + n*a^(n-1)*b + n*(n-1)/2*a^(n-2)*b^2 + ... + b^n 展开式特点：每一项的系数是n的阶乘除以(n-k)的阶乘 展开式应用：求解组合问题、概率问题、数列问题等 展开式计算：利用公式进行计算，注意系数和指数的变化规律
多项式定理的应用：在数学、 物理、工程等领域有广泛应用
多项式定理的证明：通过数学 归纳法进行证明
多项式定理的推广：将二项式 定理推广到更高阶的多项式
二项式定理的扩展形式
二项式定理的推广：从n次方推广到任意次方 二项式定理的拓展：从整数推广到实数 二项式定理的推广和拓展：从二项式定理推广到多项式定理 二项式定理的推广和拓展：从二项式定理推广到组合定理
用
期望值：二项 式定理在期望 值计算中的应
用
方差：二项式 定理在方差计
算中的应用
在统计学中的应用
概率计算：二项式定理可以用于计算概率，例如计算抛硬币、掷骰子等事件的概率。 统计推断：二项式定理可以用于统计推断，例如进行假设检验、参数估计等。 统计模型：二项式定理可以用于建立统计模型，例如建立线性回归模型、逻辑回归模型等。 数据分析：二项式定理可以用于数据分析，例如进行数据清洗、数据可视化等。
计算期望：二项 式定理可以用来 计算期望，如 E(X) = Σ[k * P(X=k)]
在代数中的应用
求解多项式方 程：利用二项 式定理求解多
项式方程
求函数值：利 用二项式定理
求函数值
求极限：利用 二项式定理求
极限
求导数：利用 二项式定理求
排列组合、二项式定理、概率及统计
一、复习策略
纵观近几年高考，排列、组合、二项式定理几乎每年必考， 考题多以选择题、填空题出现，题小而灵活，涉及知识点都 在求解排列与组合应用问题时，应注意： 在两三个左右，综合运用排列组合知识，分类计数和分步计 排列与组合是高中数学中从内容到方法都比较独特的一个组 成部分，是进一步学习概率论的基础知识，该部分内容，不 数原理；二项式定理及二项式系数的性质计算或论证一些较 (1)把具体问题转化或归结为排列或组合 简单而有趣的小题也在高考题中常见，概率及概率统计的内 论其思想方法和解题都有特殊性，概念性强，抽象性强，思 容，从近几年新课程卷高考来看，每年都有一道解答题，占 问题； 维方法新颖，解题过程极易犯“重复”或“遗漏”的错误， 12分左右． 并且结果数目较大，无法一一检验，因此给考生带来一定困 排列与组合的应用题，是高考常见题型，其中主要考查有附 (2)通过分析确定运用分类计数原理还是 难．解决问题的关键是加深对概念的理解，掌握知识的内在 加条件的应用问题.解决这类问题通常有三种途径:(1)以元 联系和区别，科学周全的思考、分析问题． 分步计数原理； 素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.(2)以 二项式定理是进一步学习概率论和数理统计的基础知识，把 位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位 握二项展开式及其通项公式的相互联系和应用是重点． (3)分析题目条件，避免“选取”时重复 置.(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不 概率则是概率论入门，目前的概率知识只是为进一步学习概 符合要求的排列数或组合数.（4）某些元素要求必须相邻时， 和遗漏； 率和统计打好基础，做好铺垫．学习中要注意基本概念的理 可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考 解，要注意与其他数学知识的联系，要通过一些典型问题的 虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；（5） (4)列出式子计算和作答． 分析，总结运用知识解决问题的思维规律． 某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相 邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”；
高三数学排列与组合、二项式定理及概率知识系统讲解(启东名师)
高三数学排列与组合、二项式定理及概率知识系统讲解●知识考点1．正确理解和掌握分类计数原理及分步计数原理．利用分类计数原理及分步计数原理解决实际问题．234561，和按事件发生的连续过程“分步”．2．对于含有多个限制条件的问题，应先分析每个限制条件，然后综合考虑是用“直接法”(优先考虑多个限制条件) 逐个满足限制条件；还是用“间接法”(排除法) 先不考虑限制条件的问题, 然后排除不合条件的情形；有时也可用先局部满足限制条件、放弃部分限制条件方法进行；有时需用集合的对应关系来分析；有时可选择不同的途径进行思考；以便对照检验，防止重复或遗漏；有时也可用数字缩小来检验．3．解排列与组合应用题常用的方法有：直接计算法与间接计算法；分类法与分步法；元素分析法和位置分析法；插空法和捆绑法等八种．4． 解排列与组合应用题经常运用的数学思想是：①分类讨论思想；②转化思想；③对称思想． 5．二项式定理实质是公式222()2a b a ab b +=++、33223()33a b a a b ab b +=+++的推广, 它 揭示了二项式的n 次幂的展开式在项数、系数、次数等方面的联系, 特别是通项公式即展开式第1r +项67=●典例精析【例1】从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任）， 要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（ ）A．210种B．420种C．630种D．840种解析本题考查排列、组合的基础知识，以及综合运用知识解决实际问题的能力．选出3位老师后，派到3个班担任班主任的不同排法是一个简单的排列问题．因此，解决问题的关键是要确定从9位老师中选出符合要求的3位老师的选法．由于存在不同情況，所以需要分类讨论，在每一种情况中，又需应用组合的意义及分步原理．由此可看出，本题综合考查了考生对排列、组合意义的理解，分步原理的应用，以及分类Ca解析解法一：（直接法）当首位排2，次位排3时，有P33－1种；次位排4、5时有2P33种，共计17种；当首位排3，P44种，共计24种；当首位排4，次位排3时，有P33－1种；次位排1、2时有2P33种，共计17种；以上总计17+24+17=58种．解法二：（间接法）不作限定时有55P120种；当首位排1或5时，各有P44种，共计48种不满足要求；当首位排2，次位排1时，有P33种；而次位排3时有1种，共计7种不满足要求；当首位排4，次位排5时，有P 33种；而次位排3时有1种，共计7种不满足要求； 因此共有120－48－7－7=58种排法，即58个数． 【答案】C【例5】若)(...)21(2004200422102004R x x a x a x a a x ∈++++=-，则(解 将一班3位同学视为一个整体，将这一整体与其他班的5位同学进行全排列,共有6633A A 种方法，并且他们之间共留下了7个空隙，将余下的二班的2位同学分别插入,共有27A 种方法，故一班有3位同学恰好被排在一起，而二班的2位同学没有排在一起排法总数为6633A A 27A .故所求的概率为 2011010276633=A A A A .【答案】B 【例7】甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为41,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为121,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为2.,（Ⅰ）求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；（Ⅱ）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；（Ⅲ）假设某人连续2次未击中．．．目标,则停止射击.问:乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？ 分析本题主要考查相互独立事件同时发生或互斥事件发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力.解(1)记“甲连续射击4次至少有一次末中目标”为事件A 1，由题意知，射击4次，相当于作4次独立重复试验，故)(1)(11A P A P -=＝.8165)32(14=- 答：甲连续射击4次至少有一次末中目标的概率为：.8165 （2）记“甲射击4次，恰有2次射中目标”为事件A 2，“乙射击4次，恰有3次射中目标”为事件B 2，，2名新队员的排法有 2A ．7 B ．7 C ．7 D ．73. (2006年全国高考安徽卷)设常数0a >，42ax⎛+ ⎝展开式中3x 的系数为32，则a ＝__ _ ． 4. (2006年全国高考全国Ⅰ卷)安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有___ ______种．（用数字作答）5.(2006年全国高考山东文科卷) 盒中装着标有数字1，2，3，4的卡片各2张，从盒中任意任取3张，每张卡片被抽出的可能性都相等，求：(Ⅰ)抽出的3张卡片上最大的数字是4的概率；(Ⅱ)抽出的3张中有2张卡片上的数字是3的概念；(Ⅲ)抽出的3张卡片上的数字互不相同的概率.6，8.(2006年全国高考四川文科卷) 某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9,0.8,0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8,0.7,0.9，所有考核是否合格相互之间没有影响 （Ⅰ）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率； （Ⅱ）求这三人该课程考核都合格的概率．（结果保留三位小数）高考链接答案:6. 解：（I ）“抽出的3张卡片上最大的数字是4”的事件记为A ，由题意149)(3816222612=++=C C C C C A P （II ）“抽出的3张中有2张卡片上的数字是3”的事件记为B ，则283)(381622==C C C B P（III ）“抽出的3张卡片上的数字互不相同”的事件记为C ，“抽出的3张卡片上有两个数字相同”的事件记为D ，由题意，C 与D 是对立事件，因为73)(36162214==C C C C D P , 所以74731)(1)(=-=-=D P C P . 7. 设A i 表示事件“第二箱中取出i 件二等品”，i =0，1；B i 表示事件“第三箱中取出i 件二等品”，i =0，1，， 解法1：()()123123123123P C P A A A A A A A A A A A A =+++()()()()123123123123P A A A P A A A P A A A P A A A =+++0.90.80.30.90.20.70.10.80.70.90.80.7=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 0.902=解法2：()()1P C P C =-()1231231231231P A A A A A A A A A A A A =-+++()()()()1231231231231P A A A P A A A P A A A P A A A ⎡⎤=-+++⎣⎦()10.10.20.30.90.20.30.10.80.30.10.20.7=-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯10.098=- 0.902=所以，理论考核中至少有两人合格的概率为0.902（Ⅱ）记“三人该课程考核都合格” 为事件D()()()()112233P D P A B A B A B =⋅⋅⋅⋅⋅⎡⎤⎣⎦()()()112233P A B P A B P A B =⋅⋅⋅⋅⋅()()()()()()112233P A P B P A P B P A P B =⋅⋅⋅⋅⋅0.90.80.80.80.70.9=⨯⨯⨯⨯⨯ 0.254016=0.254≈所以，这三人该课程考核都合格的概率为0.254。
排列组合、二项式定理与概率及统计
主讲人：黄冈中学高级教师汤彩仙一、复习策略排列与组合是高中数学中从内容到方法都比较独特的一个组成部分，是进一步学习概率论的基础知识，该部分内容，不论其思想方法和解题都有特殊性，概念性强，抽象性强，思维方法新颖，解题过程极易犯“重复”或“遗漏”的错误，并且结果数目较大，无法一一检验，因此给考生带来一定困难．解决问题的关键是加深对概念的理解，掌握知识的内在联系和区别，科学周全的思考、分析问题．二项式定理是进一步学习概率论和数理统计的基础知识，把握二项展开式及其通项公式的相互联系和应用是重点．概率则是概率论入门，目前的概率知识只是为进一步学习概率和统计打好基础，做好铺垫．学习中要注意基本概念的理解，要注意与其他数学知识的联系，要通过一些典型问题的分析，总结运用知识解决问题的思维规律．纵观近几年高考，排列、组合、二项式定理几乎每年必考，考题多以选择题、填空题出现，题小而灵活，涉及知识点都在两三个左右，综合运用排列组合知识，分类计数和分步计数原理；二项式定理及二项式系数的性质计算或论证一些较简单而有趣的小题也在高考题中常见，概率及概率统计的内容，从近几年新课程卷高考来看，每年都有一道解答题，占12分左右．排列与组合的应用题，是高考常见题型，其中主要考查有附加条件的应用问题.解决这类问题通常有三种途径:(1)以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数.（4）某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；（5）某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”；在求解排列与组合应用问题时，应注意：(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题；(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；(3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；(4)列出式子计算和作答．二、典例剖析题型一：排列组合应用题解决此类问题的方法是：直接法，先考虑特殊元素（或特殊位置），再考虑其他元素（或位置）；间接法，所有排法中减去不合要求的排法数；对于复杂的应用题，要合理设计解题步骤，一般是先分组，后分步，要求不重不漏，符合条件．例1、（08安徽理12）12名同学合影，站成了前排4人后排8人．现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（）A．B．C．D．解：从后排8人中选2人共种选法，这2人插入前排4人中且保证前排人的顺序不变，则先从4人中的5个空挡插入一人，有5种插法；余下的一人则要插入前排5人的空挡，有6种插法，故为；综上知选C．例2、（08湖北理6）将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为（）A．540 B．300 C．180 D．150解：将5分成满足题意的3份有1，1，3与2，2，1两种，所以共有种方案，故D正确．例3、四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（）A．96 B．48 C．24 D．0解：由题意分析，如图，先把标号为1，2，3，4号化工产品分别放入①②③④4个仓库内共有种放法；再把标号为5，6，7，8号化工产品对应按要求安全存放：7放入①，8放入②，5放入③，6放入④；或者6放入①，7放入②，8放入③，5放入④；两种放法．综上所述：共有种放法．故选B．例4、在正方体中，过任意两个顶点的直线中成异面直线的有____________对．解法一：连成两条异面直线需要4个点，因此在正方体8个顶点中任取4个点有种取法．每4个点可分共面和不共面两种情况，共面的不符合条件得去掉.因为在6个表面和6个体对角面中都有四点共面，故有种．但不共面的4点可构成四面体，而每个四面体有3对异面直线，故共有对．解法二：一个正方体共有12条棱、12条面对角线、4条体对角线，计28条，任取两条有种情况，除去其中共面的情况：（1）6个表面，每个面上有6条线共面，共有条；（2）6个体对角面，每个面上也有6条线共面，共有条；（3）从同一顶点出发有3条面对角线，任意两条线都共面，共有，故共有异面直线－－－=174对．题型二：求展开式中的系数例5、（08广东理10）已知（是正整数）的展开式中，的系数小于120，则__________．解：按二项式定理展开的通项为，我们知道的系数为，即，也即，而是正整数，故只能取1．例6、若多项式，则a9等于（）A．9 B．10 C．－9 D．－10解：=∴．例7、展开式中第6项与第7项的系数的绝对值相等，求展开式中系数最大的项和系数绝对值最大的项．解：，依题意有，∴n=8．则展开式中二项式系数最大的项为．设第r＋1项系数的绝对值最大，则有．则系数绝对值最大项为．例8、求证：．证：（法一）倒序相加：设①又∵②∵，∴，由①＋②得：，∴，即．（法二）：左边各组合数的通项为，∴．（法三）：题型三：求复杂事件的概率例9、（08福建理5）某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（）A．B．C．D．解：由．例10、甲、乙两个围棋队各5名队员按事先排好的顺序进行擂台赛，双方1号队员先赛，负者被淘汰，然后负方的队员2号再与对方的获胜队员再赛，负者又被淘汰，一直这样进行下去，直到有一方队员全被淘汰时，另一方获胜，假设每个队员的实力相当，则甲方有4名队员被淘汰，且最后战胜乙方的概率是多少？解：根据比赛规则可知，一共比赛了9场，并且最后一场是甲方的5号队员战胜乙方的5号队员，而甲方的前4名队员在前8场比赛中被淘汰，也就是在8次独立重复试验中该事件恰好发生4次的概率，可得，又第9场甲方的5号队员战胜乙方的5号队员的概率为，所以所求的概率为．题型四：求离散型随机变量的分布列、期望和方差例11、某先生居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班. 若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图．（例如：A→C→D算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为，路段CD发生堵车事件的概率为（1）请你为其选择一条由A到B的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；（2）若记路线A→C→F→B中遇到堵车次数为随机变量，求的数学期望解：（1）记路段MN发生堵车事件为MN．因为各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线A→C→D→B中遇到堵车的概率P1为=1－[1－P（AC）][1－P（CD）][1－P（DB）]=1－；同理：路线A→C→F→B中遇到堵车的概率P2为1－P（（小于）．路线A→E→F→B中遇到堵车的概率P3为1－P（（小于）．显然要使得由A到B的路线途中发生堵车事件的概率最小．只可能在以上三条路线中选择．因此选择路线A→C→F→B，可使得途中发生堵车事件的概率最小．（2）路线A→C→F→B中遇到堵车次数可取值为0，1，2，3．答：路线A→C→F→B中遇到堵车次数的数学期望为例12、如图所示，甲、乙两只小蚂蚁分别位于一个单位正方体的点和点，每只小蚂蚁都可以从每一个顶点处等可能地沿各条棱向各个方向移动，但不能按原线路返回．比如，甲在处时可以沿、、三个方向移动，概率都是；到达点时，可能沿、两个方向移动，概率都是，已知小蚂蚁每秒钟移动的距离为1个单位．(Ⅰ)若甲、乙两只小蚂蚁都移动1秒钟，则它们所走的路线是异面直线的概率是多少？它们之间的距离为的概率是多少？(Ⅱ)若乙蚂蚁不动，甲蚂蚁移动3秒钟后，甲、乙两只小蚂蚁之间的距离的期望值是多少？解：(Ⅰ)甲蚂蚁移动1秒可以有三种的走法：即沿、、三个方向，当沿方向时，要使所走的路线成异面直线，乙蚂蚁只能沿、C1C方向走，概率为，同理当甲蚂蚁沿方向走时，乙蚂蚁走、C1C，概率为，甲蚂蚁沿时，乙蚂蚁走、，概率为，因此他们所走路线为异面直线的概率为；甲蚂蚁移动1秒可以有三种走法：即沿、、三个方向，当甲沿方向时，要使他们之间的距离为，则乙应走，此时的概率为，同理，甲蚂蚁沿方向走时、甲蚂蚁沿方向走时，概率都为，所以距离为的概率为．(Ⅱ)若乙蚂蚁不动，甲蚂蚁移动3秒后，甲乙两个蚂蚁之间距离的取值有且只有两个：和，当时，甲是按以下路线中的一个走的：、、、、、，所以其概率为，当时，甲是按以下路线中的一个走的：、、、、、、所以其概率为，所以三秒后距离期望值为．例13、（08湖北理17）袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n=1，2，3，4）.现从袋中任取一球．ξ表示所取球的标号．（Ⅰ）求ξ的分布列，期望和方差；（Ⅱ）若η=aξ－b，Eη=1，Dη=11，试求a，b的值．解：（1）的分布列为：0 1 2 3 4所以．（2）由，得，即，又，所以当时，由，得；当时，由，得．，或，即为所求．题型五：统计知识例14、（08广东）某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（）一年级二年级三年级女生373男生377 370A．24 B．18 C．16 D．12解：依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是500，即总体中各个年级的人数比例为，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为．答案：C例15、在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布．已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名．（Ⅰ）试问此次参赛学生总数约为多少人？（Ⅱ）若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？可共查阅的（部分）标准正态分布表．0 1 2 3 4 5 6 7 8 91.2 1.3 1.41.92.0 2.1 0.88490.90320.91920.97130.97720.98210.88690.90490.92070.97190.97780.98260.8880.90660.92220.97260.97830.98300.89070.90820.92360.97320.97880. 98340.89250.90990.92510.97380.97930.98380.89440.91150.92650.97440.97980.98420.89620.91310.92780.97500.98030.98460.89800.91470.92920.97560.98080.98500.89970.91620.93060.97620.98120.98540.90150.91770.93190.97670.98170.9857解：（Ⅰ）设参赛学生的分数为，因为～N(70，100)，由条件知，P(≥90)＝1－P（<90）＝1－F(90)＝1－＝1－(2)＝1－0.9772＝0.0228．这说明成绩在90分以上（含90分）的学生人数约占全体参赛人数的2.28%，因此，参赛总人数约为≈526（人）．（Ⅱ）假定设奖的分数线为x分，则P(≥x)＝1－P（<x）＝1－F(90)＝1－＝＝0.0951，即＝0.9049，查表得≈1.31，解得x＝83.1．故设奖的分数线约为83.1分.。
精品教案：排列组合、二项式定理、概率、统计
条件概率：在事件B已 经发生的情况下，计算 事件A发生的概率，即 P(A∣B)=P(A∩B)/P(B)
04
统计
统计的定义
统计是对数据进 行收集、整理、 分析和解释的科 学
统计方法常用于 研究数据的分布 规律和特征
统计在各个领域 都有广泛应用， 如经济学、社会 学、生物学等
统计的主要目的 是为决策提供数 据支持，帮助人 们做出科学合理 的决策
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排列组合在金融领域的应用： 投资组合优化、风险评估、
决策理论等。
排列组合在游戏设计中的应 用：游戏策略、AI算法、 概率计算等。
排列组合的解题技巧
理解概念：排 列组合的概念 是解题的基础， 需要理解并掌
握。
掌握公式：排 列组合的公式 是解题的关键， 需要熟练掌握
并运用。
分类讨论：对 于复杂的问题， 需要进行分类 讨论，将问题 分解成若干个 简单的问题。
统计的公式和定理
内容1：统计的公式和定理 内容2：统计的公式和定理 内容3：统计的公式和定理 内容4：统计的公式和定理
统计的应用
数据分析：对大量数据进行整理、分析和解释，以揭示其内在规律和趋势 预测模型：利用统计方法对未来进行预测和推断，例如市场预测、气象预报等 决策制定：基于统计数据为决策者提供依据，例如制定政策、投资决策等 质量控制：通过统计技术对生产过程进行监控和评估，以确保产品质量符合标准
二项式定理的解题技巧
掌握二项式定理 的基本公式和展 开式
理解各项系数和 字母指数的含义 和作用
掌握二项式定理 的通项公式及其 应用
学会利用赋值法 简化计算和提高 计算效率
03
概率
排列、组合、二项式定理及概率与统计知识总结
专题八： 排列、组合、二项式定理、概率与统计梁书果 徐伟一、考点审视1． 突出运算能力的考查。
高考中无论是排列、组合、二项式定理和概率题目，均是用数值给出的选择支或要求用数值作答，这就要求平时要重视用有关公式进行具体的计算。
2． 有关排列、组合的综合应用问题。
这种问题重点考查逻辑思维能力，它一般有一至两个附加条件，此附加条件有鲜明的特色，是解题的关键所在；而且此类问题一般都有多种解法，平时注意训练一题多解；它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于中等偏难（理科）的题目。
3． 有关二项式定理的通项式和二项式系数性质的问题。
这种问题重点考查运算能力，特别是有关指数运算法则的运用，同时还要注意理解其基本概念，它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于基础题。
4． 有关概率的实际应用问题。
这种问题既考察逻辑思维能力，又考查运算能力；它要求对四个概率公式的实质深刻理解并准确运用；文科仅要求计算概率，理科则要求计算分布列和期望；它一般以一小一大（既一道选择题或填空题、一道解答题）的形式出现，属于中等偏难的题目。
5． 有关统计的实际应用问题。
这种问题主要考查对一些基本概念、基本方法的理解和掌握，它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于基础题。
二、考试要求：排列、组合与二项式定理部分：1．掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题.2．理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题.3．理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题.4．掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题.概率部分：5．了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义.6．了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率.7．了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率.8．会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率.概率统计部分：⑴了解随机变量、离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列。
二项式定理与排列组合的应用知识点总结
二项式定理与排列组合的应用知识点总结在数学中，二项式定理与排列组合是两个重要的概念。
二项式定理是代数中的一项基本定理，而排列组合是组合数学中的重要概念。
本文将对二项式定理和排列组合的应用进行知识点总结。
一、二项式定理二项式定理是数学中的一个重要定理，它是关于二项式与幂的展开公式。
二项式定理的公式表达如下：(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + ... + C(n, n) * a^0 * b^n其中，C(n, k)表示组合数，即从n个元素中选择k个元素的组合数。
组合数的计算公式为：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)二项式定理给出了二项式的展开公式，使我们可以快速求解幂指数较大的二项式。
其应用广泛，包括代数、概率统计等领域。
二、排列组合排列组合是组合数学中的一个分支，研究的是从给定的元素集合中选取出若干元素，按照一定规则进行排列或组合的方法。
排列和组合的计算公式如下：排列：P(n, k) = n! / (n-k)!组合：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)其中，n表示元素的总个数，k表示选取的元素个数。
排列组合在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在概率统计中，排列组合可用于计算事件发生的可能数；在密码学中，排列组合可用于计算密码的破解难度；在传统的魔方游戏中，排列组合可用于计算还原魔方的步骤等。
三、应用举例1. 掷硬币问题：将一枚硬币连续投掷3次，求出正反面出现的不同可能性。
解：根据排列组合的知识，将硬币的正反面看作两个元素，共有2个元素，从中选择3个元素排列，即为排列问题。
根据排列问题的计算公式，可得 P(2, 3) = 2! / (2-3)! = 2。
故，正反面出现的不同可能性为2种。
2. 发牌问题：从一副扑克牌中，随机抽出5张牌，在这5张牌中有几种同花色的可能性？解：根据排列组合的知识，将扑克牌的花色看作4个元素，从4个元素中选取1个元素，即为组合问题。
排列组合和二项式定理及概率统计知识点
排列组合二项定理 知识要点一、两个原理.1. 乘法原理、加法原理.2. 可．以有．．重复．．元素．．的排列. 从m 个不同元素中，每次取出n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = m n .. 例如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：nm 种）二、排列.1. ⑪对排列定义的理解.定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑫相同排列.如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同.⑬排列数.从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号mn A 表示.⑭排列数公式：),,()!(!)1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-=+--=注意：!)!1(!n n n n -+=⋅ 规定0! = 1111--++=⋅+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 11--=m n m n nA A 规定10==n n n C C 2. 含有可重元素．．．．．．的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于!!...!!21k n n n n n =.例如：已知数字3、2、2，求其排列个数3!2!1)!21(=+=n 又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数1!3!3==n .三、组合.1. ⑪组合：从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.⑫组合数公式：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C mn mmm n mn-=+--== ⑬两个公式：①;m n n mn CC -= ②mn m n m n C C C11+-=+①从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素，因此从n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合.（或者从n+1个编号不同的小球中，n 个白球一个红球，任取m 个不同小球其不同选法，分二类，一类是含红球选法有1m n 111m n C C C --=⋅一类是不含红球的选法有mn C ）②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m 个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n 个元素中再取m-1个元素，所以有C 1-m n ，如果不取这一元素，则需从剩余n 个元素中取出m 个元素，所以共有C mn 种，依分类原理有mn m n m n C C C11+-=+.⑭排列与组合的联系与区别.联系：都是从n 个不同元素中取出m 个元素.区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系. ⑮①几个常用组合数公式 n n nn n n C C C 2210=+++ 11111121153142011112++--++++++-+=+==++=+++=+++k n k n k n k n m n m m n m m m m m m n n n n n n n n C n C k nC kC C C C C C C C C C C C②常用的证明组合等式方法例. i. 裂项求和法. 如：)!1(11)!1(!43!32!21+-=++++n n n （利用!1)!1(1!1n n n n --=-） ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.v. 递推法（即用m n m n m n C C C 11+-=+递推）如：413353433+=+++n n C C C C C . vi. 构造二项式. 如：nn n n n n C C C C 222120)()()(=+++证明：这里构造二项式n n n x x x 2)1()1()1(+=++其中n x 的系数，左边为22120022110)()()(n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C +++=⋅++⋅+⋅+⋅-- ，而右边nn C 2= 四、排列、组合综合.1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型： ①直接法.②排除法. n 个不同座位，例：A 、B 两个不能相邻，则有排列法种数为-2n A 2211A A n ⋅-. ③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，②有n 件不同商品，若其中A 、B 排在一起有2211A A n n ⋅--.③有n 件不同商品，若其中有二件要排在一起有112--⋅n n n A A . ④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.例如：n 个元素全排列，其中m 个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？mm n m n m n A A 1+---⋅（插空法），当n – m+1≥m, 即m≤21+n 时有意义.⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n 个元素进行全排列有n n A 种，)(n m m 个元素的全排列有m m A 种，由于要求m 个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n 个元素排成一列，其中m 个元素次序一定，共有m mn n A A 种排列方法.例如：n 个元素全排列，其中m 个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）…n = n ！/ m ！；解法二：（比例分配法）m m n n A A /.⑦平均法：若把kn 个不同元素平均分成k 组，每组n 个，共有k knnn n k n kn A C C C )1(-⋅.例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有3!224=C⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题.例如：124321=+++x x x x 的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为4321,,,x x x x 显然124321=+++x x x x ，故（4321,,,x x x x ）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解),,,(4321y y y y ，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如图所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数311C .注意：若为非负数解的x 个数，即用n a a a ,...,21中i a 等于1+i x ，有A a a a A x x x x n n =-+-+-⇒=+++1...11...21321，进而转化为求a 的正整数解的个数为1-+n n A C .⑨定位问题：从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列规定某r 个元素都包含在内，并且都排在某r 个指定位置则有rk r n r r A A --.x 2x 4例如：从n 个不同元素中，每次取出m 个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少种排法？固定在某一位置上：11--m n A ；不在某一位置上：11---m n m n A A 或11111----⋅+m n m m n A A A （一类是不取出特殊元素a ，有mn A 1-，一类是取特殊元素a ，有从m-1个位置取一个位置，然后再从n-1个元素中取m-1，这与用插空法解决是一样的） ⑩指定元素排列组合问题.i. 从n 个不同元素中每次取出k 个不同的元素作排列（或组合），规定某r 个元素都包含在内 。
排列组合、二项式定理与概率(学生)
排列、组合、二项式定理是自主招生必考的内容之一。
这类试题相对于其他试题来说，具有较强的独立性，它通常以实际问题为背景，主要考查分析问题、解决问题的能力以及应用意识和实践能力。
对于二项式定理，不仅要掌握其正向运用，而且要学会逆向运用和变式使用，有时先作适当变形后再展开；有时需适当配凑后逆用二项式定理。
二项式定理及其展开式系数的性质是解决许多数学问题的重要工具，如：整除或求余数（余式）问题，组合数的求和式组合恒等式的证明问题，近似计算问题等等。
对于利用二项式定理判断整除问题：往往需要构造对偶式；对于处理整除性问题，往往构造对偶式或利用与递推式的结合。
概率也是自主招生必考内容之一，这类试题通常与实际联系较为密切，相对于其它知识，具有较强的独立性，主要考查五类事件（随机事件、等可能事件、互斥事件、相互独立事件、独立重合试验）的概率、古典概型与几何概型、条件概率、离散型随机变量的概率分布与方差，考查应用意识、实践能力以及推理论证能力。
另外自主招生考试中还常常将本部分内容有多项式、数论等知识结合，难度一般较大。
一、补充知识1、二项式系数之间有如下性质：①∑=nk kn C 1＝2n ； ②C r n ＝C r n n -，0≤r ≤n ； ③C 1-r n ＋C r n ＝C r n 1+④当n 为偶数时，C 0n <C 1n<…<C 2n n ， C 2n n > C 12+n n>…>C n n ； 当n 为奇数时，C 0n<C 1n<…<C21-n n＝C21+n n> C121++n n>…> C n n 。
2、求值：=+++= 630n n n C C C A3、①计算=+++++nn k n n n nC kC C C 2124、如果事件A 1，A 2，…A n 彼此互斥，那么有P(A 1+A 2+…+A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ).5、如果事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，则有P(A 1·A 2·…·A n )=P(A 1)·P(A 2)·…·P(A n ).6、条件概率：在事件A 已经发生的条件下，事件B 发牛的概率称为条件概率，记为P(B ｜A)．我们有 P(AB)=P(A)P(B ｜A)．即P(B ｜A)= P(AB )P(A )注意P(B ｜A)，P(B)，P(A ｜B)的不同．P(B)是事件B 上发生的概率(没有条件)；P(B ｜A)是A 已经发生的条件下，B 发生的概率；P(A ｜B)是B 已经发生的条件下，A 发生的概率．7.费尔马小定理：对于任意自然数a 以及任一素数p ，差a p -a 可被p 整除. 证明 (1+a)p ＝1+C p 1a+C p 2a 2+…+C p r a r +…+C p p-1a p-1+a p .显然，C p 1,C p 2,…,C p p-1都是整数，又因C p r ＝!)1()1(r r p p p +-- ，由于分母r!中各因数都小于p ，且p 是素数，所以r!中各因数没有一个可整除p ，从而!)1()1(r r p p p +-- 必定是整数，即C p r 必定是p 的倍数，因此，C p 1a 、C p 2a 2、…、C p r a r 、…、C p p-1a p-1都应当是P 的倍数，∴(1+a)p ＝1+a p +pm(m∈N).两边同减1+a,得(1+a)p -(1+a)＝a p -a+pm.下面用数学归纳法证明(1+a)p -(1+a)能被p 整除.当a ＝1时，得2p -2＝1p -1+pm 可被p 整除.假定a ＝k-1时，k p -k 能被p 整除，因为(1+k)p -(1+k)＝k p -k+pm ，所以(1+k)p-(1+k)可被p 整除，即a ＝k 时，成立，故对任何自然数，a p-a+pm 可被p 整除，从而定理获证.二、常用方法、结论1. =kkC2.①=+++++nn k n n n nC kC C C 212 ；②=+++++nn k n n n C n C k C C 222212 ； ③=++++2222120)()()()(n n n n n C C C C ； ④=++++--022110m r n r m n r m n r m n C C C C C C C C 。
排列组合二项式定理概率与统计高考分析
排列组合二项式定理概率与统计高考分析一，高考考察高考对排列组合以及二项式定理的考查,往往以填空题或者选择题为主,题小而灵活，且往往较难.还有一种趋势,与其他知识综合，例如排列组合与概率、排列组合与不等式、二项式定理与函数、二项式定理与不等式等.不过从近3年湖北高考试卷中,还没出现这种题型.高考对统计、概率内容的考查，往往以实际应用题出现，这既是这类问题的特点，也符合高考发展的方向。
概率应用题文科侧重于古典概率,基本上是排列与组合的分类问题，理科侧重于分布列与期望。
应用题近几年的高考有以概率应用题替代传统应用题的趋势，05年高考概率统计应用题多数省份出现在解答题前三题的位置，有个别省份有后移的趋势，如05年全国卷I、05年辽宁试卷出现在解答题第20题，可见概率统计在高考中属于中档题，二．复习建议在复习中应重点做到以下几个方面：1、重视概率统计的基本知识、基本技能、基本方法的复习要做到：①四个了解，即了解随机事件的统计规律性；随机事件的概率；互斥事件；相互独立事件．②四个会，即会用排列组合基本公式计算等可能事件的概率；会用互斥事件的概率加法公式计算事件的概率；会用独立事件的概率乘法公式计算事件的概率；会计算事件在n次独立重复试验中恰发生k次的概率；③理科还应重点掌握离散型随机变量分布列和数学期望。
2、重视教材的基础作用教材是学习数学基础知识，形成基本技能的“蓝本”，是高考试题的重要知识载体。
对05年全国各地高考试卷概率应用题背景统计：(1)以“摸球”为背景的有山东卷、浙江卷、广东卷；(2)以“体育竞赛（比赛胜负、射击、投篮命中率）”为背景的有全国卷II、江苏卷、北京卷、福建卷；(3)其它的还有象投掷硬币（江西卷）、旅游（湖南）、照明（湖北）等，这些背景在教材中均可找到与其相关的习题、例题。
可见高考试卷中的概率统计试题，大多数试题源于教材，特别是客观题都是从课本上的练习题或习题改编的，既使是综合题，也是由教材例、习题的组合、加工和拓展而成，充分表现出教材的基础作用。
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第一讲 排列组合概念及简单应用排列和排列数公式A m n＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！(n －m )！(m ，n ∈N *，并且m ≤n ) A n n ＝n ！＝n ×(n －1)×(n －2)×…×3×2×1. 规定：0！＝1.组合与组合数公式1．组合数公式C mn ＝A m n A m m ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！＝n ！m ！(n －m )！(m ，n ∈N *，并且m ≤n )2．组合数的性质(1)C m n ＝C n－mn(2)C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n常规题型一、投信问题1、个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同. （1）从两个口袋里各取一封信，有多少种不同的取法？（2）把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的放法？ 2、五位旅客到一个城市出差，这个城市有6家旅馆，有多少种住宿方法？ 3、12名旅客在一辆火车上，共有六个车站，有多少种下车方案？ 4、3个同学在一座只有两个楼梯的楼上下楼，有几种下楼方案？二、染色问题1、如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数.2. 如图所示，用五种不同的颜色分别给A ，B ，C ，D 四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有________种．3.用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2，…，9的9个小正方形(如图)，使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1,5,9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有________种．解析：把区域分为三部分，第一部分1,5,9，有3种涂法．第二部分4,7,8，当5,7同色时，4,8各有2种涂法，共4种涂法；当5,7异色时，7有2种涂法，4、8均只有1种涂法，故第二部分共4＋2＝6种涂法．第三部分与第二部分一样，共6种涂法．由分步乘法计数原理，可得共有3×6×6＝108种涂法．答案：108三、相邻问题、间隔问题、特殊位置问题，特殊元素问题、甲不在某位乙不在某位问题有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.（1）选其中5人排成一排；（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；（3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；（4）全体排成一排，女生必须站在一起；（5）全体排成一排，男生互不相邻；（6）全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人.（7）甲必须站在中间（8）甲不能站在开头,乙不站在排尾。
四、顺序一定问题1、7名同学排成一排，甲必须在乙的左边，有多少种排队方法？2、7名同学排成一排，甲在乙的左边，乙在丙的左边，共有几种排队方法？五、平均分配与不平均分配问题1、有6本书，平均分成三组，共有多少种分配方法？2、有6本书，平均分成三组，共有多少种分配方法？3、六本不同的书分成1本，2本，3本，共有多少种分配方法？4、六本不同的书分成1本，2本，3本，然后分给甲、乙、丙三位同学，共有多少种分配方法？5、6本不同的书，分成两个1本，一个四本三组，分给三位同学，共有多少种不同的分发？六、综合1、用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数：（1）奇数；（2）偶数；（3）大于3 125的数.解（1）144（个）.（2）156（个）.（3）162(个).2、（12分）男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员3名，女运动员2名；（2）至少有1名女运动员；（3）队长中至少有1人参加；（4）既要有队长，又要有女运动员.4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？5、摄影师要为5名学生和2位老师拍照，要求排成一排，2位老师相邻且不排在两端，不同的排法共有（）A.1 440种B.960种C.720种D.480种6、宿舍楼内的走廊一排有8盏灯，为节约用电又不影响照明，要同时熄掉其中3盏，但这3盏灯不能相邻，则不同的熄灯方法种数为.（用数字作答）基础训练1．从1，2，3，4，5，6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有（）A.9个B.24个C.36个D.54个解析选出符合题意的三个数有12339C C=种方法，每三个数可排成336A=个三位数，∴共有9×6=54个符合题意的三位数2.已知{1，2}⊆X⊆{1,2,3,4,5}，满足这个关系式的集合X共有（）A.2个B.6个C.4个D.8个解析由题意知集合X中的元素1，2必取，另外，从3，4，5中可以不取，取1个，取2个，取3个.故有012333338C C C C+++=（个）3.某中学要从4名男生和3名女生中选派4人担任奥运会志愿者，若男生甲和女生乙不能同时参加，则不同的选派方案共有（）A.25种B.35种C.840种D.820种解析若选男生甲，则有3510C=种不同的选法；同理，选女生乙也有10种不同的选法；两人都不选有455C=种不同的选法，所以共有25种不同的选派方案.4.（2009·湖南理，5）从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（）A.85B.56C.49D.28解析丙不入选的选法有3984C=（种）,甲乙丙都不入选的选法有3735C=（种）.所以甲、乙至少有一人入选，而丙不入选的选法有84-35=49种.5.有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（）A.36种B.48种C.72种D.96种解析恰有两个空位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空.从而共32 3472A A⋅=种排法.例1 有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.（1）选其中5人排成一排；2520（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；5040（3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；3600（4）全体排成一排，女生必须站在一起；576（5）全体排成一排，男生互不相邻；1440（6）全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人.720例2 男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员3名，女运动员2名；120 （2）至少有1名女运动员；246 （3）队长中至少有1人参加；196（4）既要有队长，又要有女运动员.191练习：在7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种？ （1）A ，B 必须当选；120 （2）A ，B 必不当选；252 （3）A ，B 不全当选；672（4）至少有2名女生当选；596（5）选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任.12600例 3 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内. （1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？144 （2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？144 （3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？84练习：已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试,直至找出所有4件次品为止. （1）若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？（2）若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？解 （1）先排前4次测试，只能取正品，有 种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有2242C A ⋅种测法，再排余下4件的测试位置，有44A 种测法.所以共有不同排法 424644103680A A A ⋅⋅=种.（2）第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现.所以不同测试方法共有11344634()576A C C A ⋅⋅=种.第二讲 二项式定理及其应用一、 定理1.公式(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *)叫做二项式定理2. 通项T k ＋1＝C k n an －k b k 为展开式的第k ＋1项． 3．二项式系数与项的系数 (1)二项式系数二项展开式中各项的系数C k n (k ∈{0,1，…，n })叫做二项式系数． (2)项的系数项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同的概念． 4．二项式系数的性质(1)对称性：在二项展开式中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C m n ＝C n －m n. (2)增减性与最大值：二项式系数C k n，当k <n ＋12时，二项式系数逐渐增大；当k >n ＋12时，二项式系数逐渐减小．当n 是偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n 是奇数时，中间两项的二项式系数最大．(3)各二项式系数的和：(a ＋b )n 的展开式的各个二项式系数的和等于 2n ，即C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n. (4)奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即C 0n ＋C 2n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋…＝2n －1. 5. 二项展开式系数最大项的求法如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1，二、常规题型 专题一题型一：二项式定理的逆用；例：12321666 .nn n n n n C C C C -+⋅+⋅++⋅=练：1231393 .n nn n n n C C C C -++++=题型二：利用通项公式求nx 的系数；例：在二项式n的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有3x 的项的系数？练：求291()2x x-展开式中9x 的系数？题型三：利用通项公式求常数项； 例：求二项式210(x 的展开式中的常数项？练：求二项式61(2)2x x-的展开式中的常数项？练：若21()nx x+的二项展开式中第5项为常数项，则____.n =题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；例：求二项式9展开式中的有理项？题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；例：若n 展开式中偶数项系数和为256-，求n .练：若n的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。