排列组合与二项式定理及概率应用综合

第一讲 排列组合概念及简单应用

排列和排列数公式

A m n

＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！

(n －m )！(m ，n ∈N *，并且m ≤n ) A n n ＝n ！＝n ×(n －1)×(n －2)×…×3×2×1. 规定：0！＝1.

组合与组合数公式

1．组合数公式

C m

n ＝A m n A m m ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！＝n ！m ！(n －m )！(m ，n ∈N *，并且

m ≤n )

2．组合数的性质

(1)C m n ＝C n

－m

n

(2)C m n ＋1＝C m n ＋C m －

1n

常规题型

一、投信问题

1、个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同. （1）从两个口袋里各取一封信，有多少种不同的取法？

（2）把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的放法？ 2、五位旅客到一个城市出差，这个城市有6家旅馆，有多少种住宿方法？ 3、12名旅客在一辆火车上，共有六个车站，有多少种下车方案？ 4、3个同学在一座只有两个楼梯的楼上下楼，有几种下楼方案？

二、染色问题

1、如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数.

2. 如图所示，用五种不同的颜色分别给A ，B ，C ，D 四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有________种．

3.用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2，…，9的9个小正方形(如图)，使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1,5,9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有________种．

解析：把区域分为三部分，第一部分1,5,9，有3种涂法．第二部分4,7,8，当5,7同色时，4,8各有2种涂法，共4种涂法；当5,7异色时，7有2种涂法，4、8均只有1种涂法，故第二部分共4＋2＝6种涂法．第三部分与第二部分一样，共6种涂法．由分步乘法计数原理，可得共有3×6×6＝108种涂法．

答案：108

三、相邻问题、间隔问题、特殊位置问题，特殊元素问题、甲不在某位乙不在某位问题有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.

（1）选其中5人排成一排；

（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；

（3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；

（4）全体排成一排，女生必须站在一起；

（5）全体排成一排，男生互不相邻；

（6）全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人.

（7）甲必须站在中间

（8）甲不能站在开头,乙不站在排尾。

四、顺序一定问题

1、7名同学排成一排，甲必须在乙的左边，有多少种排队方法？

2、7名同学排成一排，甲在乙的左边，乙在丙的左边，共有几种排队方法？

五、平均分配与不平均分配问题

1、有6本书，平均分成三组，共有多少种分配方法？

2、有6本书，平均分成三组，共有多少种分配方法？

3、六本不同的书分成1本，2本，3本，共有多少种分配方法？

4、六本不同的书分成1本，2本，3本，然后分给甲、乙、丙三位同学，共有多少种分配方法？

5、6本不同的书，分成两个1本，一个四本三组，分给三位同学，共有多少种不同的分发？

六、综合

1、用0、1、

2、

3、

4、5这六个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数：（1）奇数；（2）偶数；（3）大于3 125的数.

解（1）144（个）.

（2）156（个）.

（3）162(个).

2、（12分）男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？

（1）男运动员3名，女运动员2名；

（2）至少有1名女运动员；

（3）队长中至少有1人参加；

（4）既要有队长，又要有女运动员.

4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.

（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？

（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？

（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？

5、摄影师要为5名学生和2位老师拍照，要求排成一排，2位老师相邻且不排在两端，不同的排法共有（）

A.1 440种

B.960种

C.720种

D.480种

6、宿舍楼内的走廊一排有8盏灯，为节约用电又不影响照明，要同时熄掉其中3盏，但这3盏灯不能相邻，则不同的熄灯方法种数为.（用数字作答）

基础训练

1．从1，2，3，4，5，6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有（）

A.9个

B.24个

C.36个

D.54个

解析选出符合题意的三个数有12

339

C C=种方法，每三个数可排成3

36

A=个三位数，

∴共有9×6=54个符合题意的三位数

2.已知{1，2}⊆X⊆{1,2,3,4,5}，满足这个关系式的集合X共有（）

A.2个

B.6个

C.4个

D.8个

解析由题意知集合X中的元素1，2必取，另外，

从3，4，5中可以不取，取1个，取2个，取3个.故有0123

33338

C C C C

+++=（个）

3.某中学要从4名男生和3名女生中选派4人担任奥运会志愿者，若男生甲和女生乙不能同时参加，则不同的选派方案共有（）

A.25种

B.35种

C.840种

D.820种

解析若选男生甲，则有3

510

C=种不同的选法；同理，选女生乙也有10种不同的选法；两人都

不选有4

55

C=种不同的选法，所以共有25种不同的选派方案.

4.（2009·湖南理，5）从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（）

A.85

B.56

C.49

D.28

解析丙不入选的选法有3

984

C=（种）,甲乙丙都不入选的选法有3

735

C=（种）.

所以甲、乙至少有一人入选，而丙不入选的选法有84-35=49种.

5.有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（）

A.36种

B.48种

C.72种

D.96种

解析恰有两个空位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空.从而共

32 3472

A A

⋅=种排法.

例1 有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.

（1）选其中5人排成一排；2520

（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；5040

（3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；3600

（4）全体排成一排，女生必须站在一起；576

（5）全体排成一排，男生互不相邻；1440

（6）全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人.720

例2 男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多