梁的剪力、弯矩方程和剪力、弯矩图

5.4.1 梁的剪力、弯矩方程和剪力、弯矩图

梁在外力作用下，各个截面上的剪力和弯矩一般是不相等的。若以横坐标表示横截面沿梁轴线的位置，则剪力Q 和弯矩M 可以表示为坐标的函数，即

它们分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。

与绘制轴力图或扭矩图一样，可用图线表明梁的各截面上剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况。作图时，取平行于梁轴线的直线为横坐标轴，值表示各截面的位置；以纵坐标表示相应截面上的剪力、弯矩的大小及其正负，这种表示梁在各截面上剪力和弯矩的图形，称为剪力图和弯矩图。

例5-1 简支梁AB 承受承受均布荷载作用，如图 5 - 10a 所示。试列出剪力方程和弯矩方程，并绘制剪力图和弯矩图。

解：(1) 计算支反力以整梁为研究对象，利用平衡条件计算支反力。由于简支梁上的载荷对于跨度中央截面是对称的，所以 A 、 B 两端的支反力应相等，即

(1)

方向如图。

(2) 建立剪力、弯矩方程以梁左端A 为的坐标原点，取坐标为的任意横截面的左侧梁段为研究对象。设截面上的剪力Q () 、弯矩M () 皆为正，如图5-10b 所示。由平衡方程

将(1) 式代入上面两式，解得

（ 2 ）

（ 3 ）

(2) 、(3) 两式分别为剪力方程和弯矩方程。

(3) 绘制剪力图、弯矩图由式(2) 可知，剪力图为一直线。只需算出任意两个截面的剪力值，如A 、B 两截面的剪力，即可作出剪力图，如图5 - 10c 所示。

由式(3) 可知，弯矩图为一抛物线，需要算出多个截面的弯矩值，才能作出曲线。例如计算下列五个截面的弯矩值：当时, M =0 ；当

时，；当时，。由此作出的弯矩图，如图5-10d 所示。

由剪力图和弯矩图可知，在靠近A 、B 支座的横截面上剪力的绝对值最大，其值为

在梁的中央截面上，剪力Q ＝0 ，弯矩为最大，其值为

例5-2 简支梁AB 承受集中力偶M0作用，如图 5 - 11a 所示。试作梁的剪力图、弯矩图。

解：(1) 计算支反力由平衡方程分别算得支反力为

反力R A的方向如图，R B为负值，表示其方向与图 5 - 11a 中假设的方向相反。两个支反力形成的力偶矩刚好与集中力偶M0平衡。

(2) 建立剪力、弯矩方程由于梁上作用有集中力偶，剪力、弯矩方程同样应分段列出。利用截面法分别在AC 与CB 段内截取截面，根据截面左侧( 或右侧) 梁段上的外力，列出剪力方程和弯矩方程为

AC 段

(1)

(2)

CB 段

(3)

(4)

(3 )绘制剪力、弯矩图由(1) 、(3)两式可知，两段梁上的剪力相等，因此,AB 梁的剪力图为一条平行于x 轴的直线( 图5-11b) 。由(2) 、(4)两式可知，左右两段梁上的弯矩图各为一条斜直线，如图 5 - 11c 所示。由图可见，对于a

而且，在集中力偶作用处，弯矩图有突变，其突变量等于集中力偶矩的数值。

例5-3 简支梁AB 承受集中力P 作用，如图 5 - 12a 所示。试列出剪力方程和弯矩方程，并绘制剪力图和弯矩图。

解：(1) 计算支反力以整梁为研究对象，利用平衡条件计算支反力。由平衡方程

求得

方向如图5 - 12a 所示。

(2 ) 建立剪力、弯矩方程由于梁在C 截面上作用集中力P ，在建立剪力方程和弯矩方程时，必须分为AC 、CB 两段来考虑。

在AC 段内，距 A 点x 处取一横截面，其左侧梁段上向上的支反力只R A 引起正值剪力和正值弯矩，则AC 段上的剪力方程和弯矩方程分别为

(1)

(2)

在CB 段内，距 A 端x 处取一横截面，其左侧梁段上除R A 之外，还有向下的集中力P 。P 将引起负值剪力和负值弯矩，因此，任一截面上的剪力方程和弯矩方程分别为

(3)

(4)

实际上，在列出CB 段的内力方程时，选用右侧梁段更为简便。

(3) 绘制剪力、弯矩图由(1) 、(3) 两式可知，AC 、CB 两段上剪力分别为常数，故剪力图为两条平行于x 轴的直线，如图5-12b 所示，由(2) 、

(4) 两式可知，弯矩方程均为线性函数，故弯矩图为两条斜直线，如图5 - 12c 所示。由内力图可知，当a ＞b 的情况下，绝对值最大的剪力在CB 段上，其值为。最大弯矩在集中力作用点处，其值为。在诙截面处，剪力图上有突变，其突变量等于集中力的数值。

5.4.2 刚架的剪力、弯矩方程和剪力、弯矩图

在工程中，常常遇到几根杆件组成的框架结构。例如，图5-13 所示的钻床机架由AB 、BC 两根直杆刚性连接而成。在结点 B 处，两杆的截面不能发生相对转动。或者说，在结点处两杆间的夹角保持不变，这样的结点称为刚结点，具有刚结点的框架称为刚架。如果刚架的支座反力和内力均能由静力平衡条件确定，这样的刚架称为静定刚架。直杆内力图的绘制方法，基本上适用于刚架。

例5-4 平面刚架ABC ，承受图 5 - 14a 所示载荷作用，已知，试作刚架的弯矩图。

解：(1) 计算支反力利用刚架的平衡条件确定支座反力。设固定铰 A 的反力X A,Y A，可动铰C 的反力为Y A，则

(2) 建立弯矩方程并作弯矩图在BC 杆上，以C 为原点，取坐标x 1 。由于集中力P 的作用，BC 杆上的弯矩方程应分段列出。

CD 段

DB 段

在AB 杆上，以 A 为原点，取坐标x 2 。则该杆的弯矩方程为

根据各段的弯矩方程作出刚架弯矩图，如图5-14b 所示。在绘制弯矩图时一般规定把弯矩图画在杆件弯曲变形凹入的一侧，也就是画在杆件受压的一侧