2006考研数二真题及解析

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题：1-6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (1) 曲线4sin 52cos x xy x x+=-的水平渐近线方程为(2) 设函数2301sin ,0(),0xt dt x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰ 在0x =处连续，则a =(3) 广义积分22(1)xdxx +∞=+⎰(4) 微分方程(1)y x y x-'=的通解是(5) 设函数()y y x =由方程1yy xe =-确定，则x dy dx==(6) 设2112A ⎛⎫= ⎪- ⎝⎭,E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+,则B = .二、选择题：9-14小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (7) 设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0,f x f x x '''>>为自变量x 在点0x 处的增量，y 与dy 分别为()f x 在点0x 处对应增量与微分，若0x >，则( ) (A)0dy y << (B)0y dy <<(C)0y dy <<(D)0dy y <<(8) 设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则0()xf t dt ⎰是( )(A)连续的奇函数 (B)连续的偶函数(C)在0x =间断的奇函数(D)在0x =间断的偶函数(9) 设函数()g x 可微，1()(),(1)1,(1)2,g x h x e h g +''===则(1)g 等于( )(A)ln31-(B)ln31--(C)ln21--(D)ln21-(10) 函数212x x xy c e c e xe -=++满足的一个微分方程是( )(A)23xy y y xe '''--= (B)23xy y y e '''--=(C)23xy y y xe '''+-=(D)23xy y y e '''+-=(11) 设(,)f x y 为连续函数，则14(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于( )(A)2210(,)x xdx f x y dy -⎰(B)2210(,)x dx f x y dy -⎰(C)2210(,)y yf x y dx -⎰(D)2210(,)y dy f x y dx -⎰(12) 设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0,y x y ϕ'≠已知00(,)(,)x y f x y 是在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是( ) (A)若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''==则 (B)若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''=≠则(C)若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''≠=则 (D)若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''≠≠则(13) 设12,,,s ααα均为n 维列向量，A 是m n ⨯矩阵，下列选项正确的是( ) (A)若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性相关. (B)若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性无关.(C)若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性相关. (D)若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性无关.(14) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭，则( )(A)1.C P AP -=(B)1.C PAP -= (C).TC P AP =(D).TC PAP =三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)试确定常数,,A B C 的值，使得23(1)1()xe Bx Cx Ax o x ++=++，其中3()o x 是当0x →时比3x 高阶的无穷小.(16)(本题满分10分)求arcsin xxe dx e⎰ (17)(本题满分10分)设区域22{(,)|1,0}D x y x y x =+≤≥，计算二重积分2211DxyI dxdy x y +=++⎰⎰ (18)(本题满分12分)设数列{}n x 满足10x π<<，1sin (1,2,)n n x x n +==(I) 证明lim n n x →∞存在，并求该极限;(II) 计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. (19)(本题满分10分)证明：当0a b π<<<时，sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++. (20)(本题满分12分)设函数()(0,)f u +∞在内具有二阶导数，且(22Z fx y=+满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂(I)验证()()0f u f u u'''+=; (II)若(1)0,(1)1f f '==, 求函数()f u 的表达式. (21)(本题满分12分)已知曲线L 的方程221,(0),4x t t y t t⎧=+≥ ⎨=-⎩(I) 讨论L 的凹凸性;(II) 过点(1,0)-引L 的切线，求切点00(,)x y ，并写出切线的方程; (III) 求此切线与L (对应0x x ≤的部分)及x 轴所围成的平面图形的面积. (22)(本题满分9分)已知非齐次线性方程组1234123412341,4351,31x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪+++=⎩ 有3个线性无关的解.(I) 证明此方程组系数矩阵A 的秩()2r A =; (Ⅱ) 求,a b 的值及方程组的通解. (23)(本题满分9分)设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1TTαα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(I) 求A 的特征值与特征向量;(II) 求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得TQ AQ =Λ.2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题 (1)【答案】15y =【详解】 由水平渐近线的定义及无穷小量的性质----“无穷小量与有界函数的乘积是无穷小量”可知4sin lim lim 52cos x x x x y x x →∞→∞+=-4sin 1lim2cos 5x xx x x→∞+=-10lim 50x →∞+=-15= 0x →时1x 为无穷小量，sin x ，cos x 均为有界量. 故，15y =是水平渐近线.(2)【答案】13【详解】按连续性定义，极限值等于函数值，故lim ()x f x →23sin lim xx tx →=⎰220sin()lim 3x x x →洛220lim 3x x x →=13= 注：00型未定式，可以采用洛必达法则；等价无穷小量的替换22sin x x(3)【答案】12 【详解】222222001111(1)2(1)212xdx dx x x x +∞+∞+∞==-⋅=+++⎰⎰(4) 【答案】xCxe-.【详解】分离变量，(1)dy y x dx x-=⇒(1)dy x dx y x -=⇒1(1)dy dx y x =-⇒1dy dx dx y x =-⎰⎰⎰ ⇒ln ln y x x c =-+ ⇒ln ln yx x cee-+= ⇒xy Cxe-=(5)【答案】e -【详解】题目考察由方程确定的隐函数在某一点处的导数.在原方程中令0(0)1x y =⇒= .将方程两边对x 求导得yyy e xe y ''=--，令0x =得(0)y e '=-(6) 【答案】 2【详解】由已知条件2BA B E =+变形得，2BA E B -=⇒()2B A E E -=, 两边取行列式, 得()244B A E E E -===其中，2110112120111A E ⎡⎤⎡⎤-=-==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦， 222E 4E == 因此，2422E B A E ===-.二、选择题. (7)【答案】A 【详解】方法1： 图示法.因为()0,f x '>则()f x 严格单调增加；因为()0,f x ''> 则()f x 是凹函数，又0x >，画2()f x x =的图形y结合图形分析，就可以明显得出结论：0dy y <<. 方法2：用两次拉格朗日中值定理000()()()y dy f x x f x f x x '-=+--(前两项用拉氏定理)0()()f x f x x ξ''=- (再用一次拉氏定理)0()()f x x ηξ=-'', 其中000,x x x x ξηξ<<+<<由于()0f x ''>，从而0y dy ->. 又由于0()0dy f x x '=>，故选[]A 方法3： 用拉格朗日余项一阶泰勒公式. 泰勒公式：000()()()()f x f x f x x x '=+-()20000()()()()2!!n n n f x f x x x x x R n ''+-++-+，其中(1)00()()(1)!n nn fx R x x n +=-+. 此时n 取1代入，可得20001()()()()()02y dy f x x f x f x x f x ξ'''∆-=+∆--∆=∆> 又由0()0dy f x x '=∆>，选()A .(8)【答案】(B ) 【详解】方法1：赋值法特殊选取1,0()0,01,0x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，满足所有条件，则0,0(),0x x x f t dt x x x ≥⎧==⎨-<⎩⎰ .它是连续的偶函数. 因此，选(B )方法2：显然()f x 在任意区间[],a b 上可积，于是0()()xF x f t dt =⎰记处处连续，又()()()()()s txxxF x f t dt f t dt f s ds F x =----==--==⎰⎰⎰即()F x 为偶函数 . 选 (B ) .(9)【答案】(C )【详解】利用复合函数求导法1()()g x h x e +=两边对x 求导⇒1()()()g x h x g x e +''=将1x =代入上式，⇒1(1)12g e+=⇒1(1)ln 1ln 212g =-=--. 故选(C ).(10)【答案】(C )【详解】题目由二阶线性常系数非齐次方程的通解，反求二阶常系数非齐次微分方程，分两步进行，先求出二阶常系数齐次微分方程的形式，再由特解定常数项.因为212x x xy c e c e xe -=++是某二阶线性常系数非齐次方程的通解，所以该方程对应的齐次方程的特征根为1和-2，于是特征方程为2(1)(2)20λλλλ-+=+-=，对应的齐次微分方程为-20y y y '''+=所以不选(A )与(B )，为了确定是(C )还是(D )，只要将特解xy xe *=代入方程左边，计算得()()-23xy y y e ***'''+=，故选(D ). (11) 【答案】()C【详解】记14(cos ,sin )(,)Dd f r r rdr f x y dxdy πθθθ=⎰⎰⎰⎰，则区域D 的极坐标表示是：01r ≤≤ ，04πθ≤≤. 题目考察极坐标和直角坐标的互化问题，画出积分区间，结合图形可以看出，直角坐标的积分范围（注意 y x = 与 221x y += 在第一象限的交点是2222，）），于是 22:0,12D y y x y ≤≤≤≤-所以，原式2210(,)y ydy f x y dx -=. 因此选 ()C(12) 【答案】D 【详解】方法1： 化条件极值问题为一元函数极值问题。