(整理)平面解析几何教案

第十章 平面解析几何

10.1直线方程

教学内容及其要求：

一、教学内容

1. 直线的倾斜角与斜率

2. 直线的方程

3. 直线的平行与垂直

4. 两条直线的交点及点到直线的距离

二、教学要求

1. 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握斜率公式，并会运用。

2. 掌握直线的点斜式、斜截式和一般式方程，能较熟练地根据已知条件求直线方程。

3. 掌握两直线平行和垂直的充要条件，并会熟练运用。

4. 掌握求两直线交点的方法并会运用。

5. 熟记点到直线的距离公式并会运用。

简单介绍直线方程的概念

我们把0kx y b -+=（y kx b =+转换过来）叫做直线l 的方程，反过来说直线l 的方程表示就是0kx y b -+=。

例1 已知直线l 的方程为2360x y ++=（1）求直线l 与坐标轴交点的坐标。（2）判断点1(1,1)M -、210(2,)3

M -是否在直线l 上。 解：（1）要求坐标轴上的点，我们可以知道在x 轴上坐标(,0)x ，在y 轴上坐标(0,)y 把(,0)x 带入方程，得3x =-

把(0,)y 带入方程，得2y =-

（2）要问点是否在直线上，我们只需把点的坐标带入方程，方程左右相等，那么点就在直线上，否则就是不在。

把1(1,1)M -带入方程左边，左边7=≠右边，所以点不在直线上。

把210(2,)3

M -带入方程左边，左边0==右边，所以点在直线上。

例2 已知直线l 的方程为3120x y -+=（1）求直线l 与坐标轴交点的坐标。（2）判断点1(2,6)M --、2(2,3)M -是否在直线l 上。

解：（1）要求坐标轴上的点，我们可以知道在x 轴上坐标(,0)x ，在y 轴上坐标(0,)y 把(,0)x 带入方程，得4x =-

把(0,)y 带入方程，得12y =

（2）要问点是否在直线上，我们只需把点的坐标带入方程，方程左右相等，那么点就在直线上，否则就是不在。

把1(2,6)M --带入方程左边，左边12=≠右边，所以点不在直线上。 把2(2,3)M -带入方程左边，左边21=≠右边，所以点不在直线上。

10.1.1 直线的倾斜角和斜率

1、直线的倾斜角

（1）定义：沿x 轴正方向，逆时针旋转到与直线重合时所转的最小正角记作∂，那么∂就叫做直线l 的倾斜角。

（2）图像表示：

（3）倾斜角的范围：000180≤∂

2、直线的斜率

（1）定义：直线的倾斜角∂0(90)∂≠的正切值叫做这条直线的斜率。通常用k 表示。 即tan k =∂ 000(0180,90)≤∂∂≠

（2）斜率的四种情况：1、当00∂=时，0k =；

2、当00090∂

时，0k ； 3、当090∂=时，k 不存在；

4、当0090180∂，0k 。

（3）已知直线上两点求直线斜率：111(,)p x y 、222(,)p x y 图可不画

21

21y y k x x -=-(21x x ≠)

若：21x x =，直线垂直与x 轴，这条直线的斜率不存在。

例 1 经过点(3,2)A 、(1,6)B -两点的直线的斜率和倾斜角？

解：212162113

y y k x x --===---- tan 1k =∂=- 000(0180,90)≤∂

∂≠

0135∂= 所以直线的斜率为-1，倾斜角为0135。

例 2 已知直线直线1l 的倾斜角0

60∂=，直线1l 与直线2l 互相垂直，求1l 、2l 的斜率？ 解：直线1l

的斜率：011tan tan60k =∂=

因为12l l ⊥，00026090150∂=+=

022tan tan150k =∂== 例 3 习题 书后练习

8.1.2 直线的方程

1、点斜式方程：00(,)P x y ，斜率k

00()y y k x x -=-

例 1 求经过点(2,4)，倾斜角为0

45的直线的方程?

解：根据已知条件得

02x =、04y =、0tan 451k == 带入点斜式方程：

00()y y k x x -=-

41(2)y x -=⨯-

2y x =+

例 2 已知经过点(1,2)A 、点(3,5)B -的直线方程？

解：2121523314

y y k x x --===---- 带入点斜式方程：

00()y y k x x -=-

3

2(1)4

y x -=-⨯- 31144

y x =-+ 2、斜截式方程：斜率k ，纵截距b

y kx b =+

例 3 求与y 轴交与点(0,3)B -且倾斜角为

4π的直线方程？ 解：先解释下纵截距b

(0,)B b 3b =-

tan 14k π

==

带入斜截式方程；

y kx b =+

3y x =-

例 4 已知横截距为2a =、纵截距2b =-，求直线l 的方程？

解：根据题意得：

点(2,0)、(0,2)-

212120102

y y k x x ---===-- 带入斜截式方程；

y kx b =+

2y x =-

3、直线的一般方程

把上面4个例子改成就行0Ax By c ++=

10..1.3 两直线平行和垂直

1、两直线平行

定义：1212l l k k ⇔=

例 1 已知过点(4,3)-且平行与直线250x y +-=的直线方程？

解：把一般方程改写成斜截式方程

250x y +-=⇒25y x =-+

22k =-

1212l l k k ⇔=

∴12k =-

带入点斜式方程：

00()y y k x x -=-

32(4)y x +=-⨯-

25y x =-+

2、两直线垂直

定义：12121l l k k ⊥⇔⋅=-

例 1 已知过点(1,2)-且垂直与直线250x y +-=的直线方程？

解：把一般方程改写成斜截式方程

250x y +-=⇒1522

y x =-+