《数论算法》教案5章(二次同余方程与平方剩余)

第5章 二次同余方程与平方剩余

内容 1. 二次同余方程，平方剩余 2. 模为奇素数的平方剩余

3. 勒让德符号、雅可比符号

4. 二次同余方程的求解

要点

二次同余方程有解的判断与求解 5.1 一般二次同余方程

（一） 二次同余方程

2ax ＋bx ＋c ≡0（mod m ），（a 0（mod m ））（1）

（二） 化简

设m ＝k k

p p p αααΛ2121，则方程（1）等价于同余方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡++≡++≡++）

（）（）（k k p c bx ax p c bx ax p c bx ax αααmod 0mod 0mod 02221221Λ

Λ ⇒2ax ＋bx ＋c ≡0（mod αp ）， （p

a ） （2）

（三） 化为标准形式

p ≠2，方程（2）两边同乘以4a ， 422x a ＋4abx ＋4ac ≡0（mod αp ）

()22b ax +≡2b －4ac （mod

αp ）

变量代换， y ＝2ax ＋b （3）

有

2y ≡2b －4ac （mod αp ） （4）

当p 为奇素数时，方程（4）与（2）等价。即

● 两者同时有解或无解；有解时，对（4）的每个解

()p y y mod 0≡，

通过式（3）（x 的一次同余方程，且（p , 2a ）＝1，所以解数为1）给出（2）的一个解()p x x mod 0≡，由（4）的不同的解给出（2）的不同的解；反之亦然。

● 两者解数相同。

结论：只须讨论方程2x ≡a （mod αp ） （5）

【例5.1.1】化简方程7x 2＋5x －2≡0（mod 9）为标准形式。 （解）方程两边同乘以4a ＝4×7＝28，得

196x 2＋140x －56≡0（mod 9）

配方 (14x ＋5) 2－25－56≡0（mod 9）

移项 (14x ＋5) 2≡81（mod 9）

变量代换y ＝14x ＋5

得 y 2≡0（mod 9）

（解之得y ＝0, ±3，从而原方程的解为

x ≡114-(y －5)≡15- (y －5)

≡2(y －5)≡2y －10≡2y －1

≡－7, －1, 5≡－4, －1, 2（mod 9））

（四） 平方剩余

【定义5.1.1】设m 是正整数，a 是整数，m a 。若同余方程

2x ≡a （mod m ） （6）

有解，则称a 是模m 的平方剩余（或二次剩余）；若无解，则称a 是模m 的平方非剩余（或二次非剩余）。

【例】1是模4平方剩余，－1是模4平方非剩余。

【例】1、2、4是模7平方剩余，3、5、6是模7平方非剩余。

问题：

（1）设正整数a是模p的平方剩余，若记方程（6）中的解为x≡a（mod m），那么此处的平方根a（mod

m）与通常的代数方程2x＝a的解a有何区别？

（2）如何判断方程（6）有解？

（3）如何求方程（6）的解？

（五）例

【例5.1.2】求以15为模的所有平方剩余和平方非剩余。

（解）直接计算12，22，...，142得模15的平方剩余（实际只需计算12，22， (72)

1，4，9，10，6

平方非剩余：2，3，5，7，8，11，12，13，14

【例5.1.3】求满足方程E：2y≡3x＋x＋1（mod 7）的所有整点（即坐标为整数的点）。

（解）对x＝0，1，2，3，4，5，6分别解出y：

x＝0，2y≡1（mod 7），y≡1，6（mod 7）

x＝1，2y≡3（mod 7），无解

x＝2，2y≡4（mod 7），y≡2，5（mod 7）

x＝3，2y≡3（mod 7），无解

x＝4，2y≡6（mod 7），无解

x＝5，2y≡5（mod 7），无解

x＝6，2y≡6（mod 7），无解

所以，满足方程的点为（0, 1），（0, 6），（2, 2），（2, 5）。

附：方程E ：2y ≡3x ＋x ＋1的图形称为椭圆曲线。

5.2 模为奇素数的平方剩余与平方非剩余

方程2x ≡a （mod p ）, (a,p)＝1 （1）

结论：方程（1）要么无解，要么有两个解（因为()2x -＝2x ）。 （p ＝时，方程恰好1个解）

5. 2. 1 平方剩余的判断条件

【定理5.2.1】（欧拉判别条件）设p 是奇素数，(a,p)＝1，则

（i ）a 是模p 的平方剩余的充要条件是

()21-p a ≡1（mod p ） （2）

（ii ）a 是模p 的平方非剩余的充要条件是 ()21-p a ≡－1（mod p ） （3）

并且当a 是模p 的平方剩余时，同余方程（1）恰有两个解。

（证）先证p a 时，式（2）或（3）有且仅有一个成立。 由费马定理1-p a ≡1（mod p ）

()()22

1-p a －1≡0（mod p ） ()()()()112

121+---p p a a ≡0（mod p ） （4） 即 11--p a p ＝()()()()112121+---p p a a

但()()()1,12121+---p p a a ＝1或2且p ＞2。

⇒p 能整除()()()()

11121+---p p a a ，但p 不能同时整除()121--p a 和()121+-p a （否则，p 能整除它们的最大公因子1或2） ⇒由式（4）知式（2）或（3）有且仅有一式成立。