第8章 单因素试验的统计分析
单因素试验
• 同时考虑如下 Cr2 个假设的检验问题，
H
ij 0
： i
j ，i
j, i,
j
1,2,
,r ．
•
样本均值
yi
应是
i
的很好估计，若
H
ij 0
为真，
yi y j
不应过大，过大就应拒绝
H
ij 0
．
5.效应模型
在单因子试验中，对水平 A1, A2 , , Ar 的选择方式有二种： •r 个水平 A1, A2 , , Ar 是特定的，如四个玉米品种，现要
3.单因素试验的方差分析
设 A 表示欲考察的因素，它的 r个不同水平，对应
的作指若标干视次作重复r 试个验总：体nX1,1n, X2 ,2.,....n.Xr .r（. 每可个等水重平复下也，可我不们等
重复），同一水平的
的一个样本：X i1, X i2 ,
ni 个结果，就是这个总体
...X ini .
0
H
1：
2 a
0
若拒绝
H
0
，就意味着
2 a
>0，从而认定
A
的随机效应存
在显著差异，
2 a
愈大，此种差异就愈大。
在方差分析中，总平方和的分解和检验的统计量都
与固定效应完全一样，只是各平方和的含义略有差别。
谢谢！ 请老师和同学们指正！
如今我们选用不平衡设计，即A1, A2, A3, A4分别制作
了7,5,6,6个样品，共有24个样品等待测试。
2.单因素试验举例——随机化
• 这里一次测试就是一次试验，试验次序要随机化。
因子 A 的水平
试验编号
A1
单因素随机区组试验设计-东北农业大学植物科学与技术试验教学中心
东北农业大学本科课程教学大纲课程名称:田间试验与统计方法英文名称：Field Experiment and Statistic-method 课程编号：01600008j适用专业：草业科学、植物生产类总学时数:40总学分：2。
5大纲主撰人:李文霞内容简介《试验设计与统计分析》是一门收集整理数据、分析数据, 并根据数据进行推断的科学。
本课程为高等农业院校农学类专业的专业基础课，主要讲授有关田间试验的基本知识和统计分析的基本方法和技能，为学习专业课程奠定基础，使学生具备承担科学试验,正确分析和评价科学试验结果及其可靠性的能力。
教学大纲一、课堂讲授部分(一）分章节列出标题、各章节要点及授课时数(务必将要点写清楚）第1章绪论一、基本内容1.1 农业科学试验的任务和要求1学时1。
1.1 农业科学试验和田间试验1.1。
2 农业科学试验的任务和来源1.1.3 农业科学试验的基本要求1。
2 试验误差及其控制2学时1.2。
1 试验误差1.2.2 试验误差的来源1。
2.3试验误差的控制1.3 生物统计学与农业科学试验1学时1.3。
1 部分生物统计学基本概念1。
3.2 生物统计学的形成与发展1。
3。
3 生物统计学在农业科学试验中的作用和注意问题二、教学目的与要求要求学生掌握农业科学试验的基本要求、试验误差的概念、来源和控制、部分生物统计学的概念，了解农业科学试验的任务和来源、生物统计学在农业科学试验中的作用和注意问题。
三、重点与难点重点：农业科学试验的基本要求、试验误差的概念、来源和控制、部分生物统计学的概念难点：试验误差的概念和生物统计学的基本概念的理解第2章试验的设计和实施一、基本内容2.1 试验方案1学时2.1。
1 试验方案的概念和类别2。
1.2 处理效应2.1。
3 试验方案的设计要点2。
2 试验设计原则1。
5学时2。
2.1 重复2.2。
2 随机排列2。
2.3 局部控制2。
3 小区技术0.5学时2。
3.1 小区2。
第八章 单因素试验结果的统计分析 《试验设计与统计分析》PPT课件
• 单因素试验指仅研究一个供试因素若干处理间的 效应是否有显著差异的试验.
• 按试验设计的类型单因素试验可分为： • 顺序排列试验 • 单因素完全随机试验 • 单因素随机区组试验 • 拉丁方试验
❖ 第一节 对比和间比试验的统计分析(自学) ❖ 第二节 完全随机试验设计的统计分析 ❖ 完全随机设计：是所有的处理和重复小区在
5.88361.089132 4.96
• 查出α=0.05与α=0.01的临界SSR值 ，乘以， 即得各最小显著极差，所得结果列入表8.9。
表8.9 棉花品种株高新复极差检验的LSR值
p2345
SSR 2.95 3.10 3.18 3.25
0.05
SSR 4.02 4.22 4.33 4.40
0.01
A 33.5 28.5 30.5 32.5 28.0 27.0 6 180.0 30.0
B 31.0 30.5 27.0 26.5 30.0 28.9 6 173.9 29.0
C 25.5 23.5 26.5 28.5 27.6
5 131.6 26.3
D 36.0 33.4 31.6 34.9
4 135.9 34.0
E 32.5 27.5 25.0 24.5 合计
4 109.5 27.4 25 730.9（T..）
• 解：已知：品种数k=5，各品种重复次数n1= n2=6, n3=5, n4= n5=4。
• ①自由度与平方和的分解 • 总自由度
• dfT= Σni – 1 = 25-1 =24 • 品种间自由度
• 平均数多重比较的计算差异
• 平均数标准误
sx
se2 ( 1 1 ) 2 nA nB
单因素试验的方差分析
单因素试验的方差分析
在方差分析中,我们将要考察的指标称为试验指标，影响 试验指标的条件称为因素(或因子),常用A、B、C, …来表示. 因 素可分为两类，一类是人们可以控制的；一类是人们不能控 制的。 例如，原料成分、反应温度、溶液浓度等是可以控制 的，而测量误差、气象条件等一般难以控制。 以下我们所说 的因素都是可控因素，因素所处的状态称为该因素的水平。 如果在一项试验中只有一个因素在改变，这样的试验称为单 因素试验，如果多于一个因素在改变，就称为多因素试验.
一、单因素试验方差分析的统计模型
例9.1 为求适应某地区的高产水稻的品种( 因素或因子) , 现选了 五个不同品种( 水平)的种子进行试验, 每一品种在四块试验田上进 行试种。假设这 20块土地的面积与其他条件基本相同, 观测到各块 土地上的产量( 单位: 千克) 见表9–1。
在这个问题目中, 要考察的指标是水稻的产量, 影响产量的因
分析的统计模型 .
方差分析的任务是对于模型(9. 1 ) , 检验 s 个总体 N ( 1 , 2) , …, N
( s , 2)的均值是否相等, 即检验假设
H0 : 1 2 s H1 : 1 , 2 , s , 不全相等。
（9.2）
为将问题( 9. 2 ) 写成便于讨论的形式, 采用记号
s nj
ST
(xij x)2
j1 i1
(9.3)
这里
x
1 n
s j 1
nj i1
xij ，
ST能反应全部试验数据之间的差异，又称
为总变差 Aj下的样本均值
x
j
1 n
nj i1
xij
(9.4)
注意到
(xij x )2 (xij x j x j x )2 =(xij x j )2 (x j x )2 2(xij x j )(x j x )
数理统计14(方差分析)
总变异
统计量
其中
称为组间均方 (mean square between groups) 或因素均方 (mean square factor),
MSE
SSE nk
称为组内均方 (mean square within groups)
或误差均方 (mean square error),
第一节 单因素方差分析
一、方差分析的原理和方法
效应 (effect): 在试验中的试验结果。 因素 (factor): 影响试验结果的条件。 水平 (lever): 因素所处的不同状态或内部分类。 方差分析的目的：是探讨不同因素、不同水平
之间效应的差异，从而考察各因素对试 验结果是否有显著影响。
试验中只有一个因素取不同的水平进行试 验，而其他因素保持不变，这样的试验称为 单因素试验 (one factor trial), 相应的方差分 析就是单因素方差分析。
表8-5 例8-1的方差分析表
方差 离差
来源 平方和
Source 组间
(因素)
组内 (误差)
总和 (总变差)
SS 442.7
160.5 603.2
自由 度 df 4
15
19
均方
MS 110.68
10.7
F值 MSA MSE
10.34
P值 P<0.05
临界值 F
F0.05(4,15) =3.06
第二节 多重比较
温度(℃) 60 65 70 75 80 合计 86 80 83 76 96
xi j
89 83 90 81 93
91 88 94 84 95
90 84 85 82 94
概率论与数理统计单因素试验的方差分析讲课文档
乙 1580 1640 1640 1700 1750
丙 1460 1550 1600 1620 1640 1740 1660 1820
丁
第三页，共21页。
1510 1520 1530 1570 1680 1600
第三页，共21页。
引例
灯泡的使用寿命——试验指标
灯丝的配料方案——试验因素（唯一的一个） 四种配料方案（甲乙丙丁）——四个水平
第十八页，共21页。
第十八页，共21页。
例2的上机实现步骤
1、输入原始数据列，并存到A，B，C列；
第十九页，共21页。
第十九页，共21页。
2、选择Stat>ANOVA>one-way(unstacked)
第二十页，共21页。
各水平数据放同一列 各水平数据放在不同列
第二十页，共21页。
第二十一页，共21页。
r
SSE
i1
ni
T 2 X ij n j1
r2 i
i1 i
第十五页，共21页。
ni
其中 T i X ij , j1 同一水平 下观测值 之和
r
T Ti i1
所以观测 值之和
第十五页，共21页。
例2 P195 2 以 A、B、C 三种饲料喂猪，得一个月后每猪 所增体重（单位：500g）于下表，试作方差分析。
饲料
增重
A
51
40
43
48
B
23
25
26
C
23
28
解：T1 51404348182,
T2 232526 74,
T 1 8 2 7 4 5 1 3 0 7
T3 232851
dfAr12, dfEnr936,
单因素实验
对每个棉花含量水平进行五次试验，于是得到 了抗拉强度观测值表。我们知道该实验是单因 素五个水平重复五次的实验。从表中以及散点 图中，得知，
第一：棉花含量影响抗拉强度
第二：含30%左右的棉花强度能使成品布的抗 拉强度达到最大值
可是我们想要检验的是5个水平的棉花百分率 的平均强度之间的差别，会检验五个均值都相
word
（七）方差分析的非参数方法 当正态性假定不能认为是合理的情况下，实验者 希望有不依赖于正态性假定的检验法来代替方差 分析的F检验法，运用Kruskal-Wallis检验法可以 解决这一问题，首先将观察值 按y升ij 序排列，然 后将每一观察值用它的秩（名次） 来代替， 最小的观察值的秩是1，如果有相同的观Ri察j 值用 平均秩表示。
算出
F统计量的值
第三：查临界值
第四：判断
第五：列方差分析表
变差来源 处理之间 误差 总和
平方和 SS处理
SSE SST
自由度
a-1 N-a N-1
均方
F0
MS处理
MSE
F0
MS处理 MSE
单因素试验的随机效应模型的a个水平是 在总体
随机选取的，平方和的分解式还是一致的，
关检意于验 义各的处理水HH平10 ::效应tt22 的 0差0 异的假设是没有
单因素实验
一、方差分析引例
产品开发工程师考虑能使一种新的合成纤 维的抗拉强度增加的方案，这种纤维织出 的布是用来缝制男士衬衫的，从以前的经 验得知，抗拉强度受到棉花在纤维中所占 的百分率的影响，开始，他预测增加棉花 含量会增大强度，他还知道，如果成品布 须具有他所希望的质量特性的话，棉花含 量应该在10%到40%之间，工程师决定检 验棉花百分率为五个水平的样本，水平是 15%，20%，25%，30%，35%。同时，还
第八章_单因素方差分析(1)
a
如果我们只研究这 a个不同处理，则有
i 0,
且每个
是常数。
i
i 1
i i为第i个处理的平均数。
ij
是y
的试验的随机误差（也
ij
称为噪声）。固定效应模型
我们假定ij相互独立且服从正态分布N(0, 2)。
因此，方差分析假定yij～N( i , 2 ),这是方差分析的条件。
❖ （三）因素处理效应和实验模型的分类
因此，两两 t检验的精确性有待提高 。
正确答案：
进行关于 a(a 3)个样本平均数差异的假 设检验， 应使用一种更为合理的 统计分析方法－方差分 析。
❖ 二、方差分析的几个概念
1、方差分析（analysis of variance）：将试验数据的总变异分 解成不同来源的变异，从而评定不同来源的变异相对重要性 的一种统计方法。
2、试验指标（experiment index）：为衡量试验结果的好坏或 处理效应的高低，在试验中具体测定的性状或观测的项目。
3、试验因素（experiment factor）：试验中所研究的影响试验 指标的因素：单因素、双因素或多因素试验。
4、因素水平（level of factor）：因素的具体表现或数量等级。
答：常采用第五章里讲的t检验法。
现在，如何进行a 个样本的平均数差异的假设检验（a 3）？
某人答：两两进行t检验。
评论：这种方法是不行的。
主要原因有三：
原因（1）：检验的工作量大
当有a个样本平均数，两两组合，就有a(a 1) 个平均数的差。 2
例如，a 10时，就有109＝45个平均数的差。 2
yi•
1 n
yi•表示第i个处理所有数据的平均值
第8章-单因素试验结果分析
100
9
36.6 33.3 109.9
6
B 39.8 42.0 36.8 41.4 28.9 188.9 37.8 33.3 113.5
2
C 38.2 39.9 25.4 33.1 28.9 165.5 33.1 33.3
99.4
10
D 37.3 43.2 39.1 34.9 34.0 188.5 37.7 33.3 113.2
111.0
6
K 43.0 34.2 41.2 39.9 36.2 194.5 38.9 33.7 115.4
1
L 29.4 23.0 30.8 34.1 32.9 150.5 30.1 33.7
89.4
13
CK4 35.2 38.7 27.4 32.5 28.2 162.0 32.4
§2 随机排列设计的试验结果统计分析
1、方差分析
区组 品种
Ⅰ
A 10.9
1）求和：Tk；Tr ；T B 10.8 C 11.1
2）平方和的分解
D 9.1
E 11.8
ST S
xi2j
xij 2 F
G
n
10.1 10.0
H 9.3
计算校正系数C:
Tr 83.1
Ⅱ
Ⅲ
Tk
9.1 12.2 32.2 10.7
12.3 14.0 37.1 12.4
x2
x
n
按 SHIFT S-VAR 1 EXE 按 SHIFT S-VAR 2 EXE 按 SHIFT S-VAR 3 EXE
x
σn (大样本）
σn-1 (小样本）
品种
苗高观察值
A
18
21
第八章单因素试验结果的统计分析[实践]
![第八章单因素试验结果的统计分析[实践]](https://img.taocdn.com/s3/m/8b715158842458fb770bf78a6529647d272834ed.png)
第八章单因素试验结果的统计分析•单因素试验指仅研究一个供试因素若干处理间的效应是否有显著差异的试验.•按试验设计的类型单因素试验可分为：•顺序排列试验•单因素完全随机试验•单因素随机区组试验•拉丁方试验第一节对比和间比试验的统计分析(自学)第二节完全随机试验设计的统计分析完全随机设计：是所有的处理和重复小区在整个试验空间完全随机排列的设计方法。
只满足试验设计三项基本原则中的重复和随机排列两项原则。
•如：k = 5，n = 3的完全随机排列示意图主要优点：对各处理的重复次数没有限制，可以相等也可以不相等不足之处：没有遵循局部控制原则，所以要求试验地较为均匀一致，不存在有明显方向性的肥力差异，一般不用于田间试验。
•根据每一处理的重复次数或重复的设计方法不同, 又分为：①组内观察值数目相等；②组内观察值数目不等的完全随机试验；③组内又可分为亚组的完全随机试验一、组内观察值数目相等的完全随机试验设计的统计分析组内观察值数目相等的完全随机试验是各处理重复次数相等的试验。
设有k个处理，每处理均有n个重复观察值，共设kn个观察值；其资料的数据结构模式类型见第7章表7.1。
其试验结果的方差分析方法列于表8.1。
表7.1 k个处理每处理n个重复观察值的完全随机试验数据符号表表7.1 nk个观察值的单向分组资料模式表8.1 组内观察值数目相等的完全随机试验的方差分析•〔例8.1〕研究6种棉花种子包衣剂对棉花生长的影响，设TW1为对照。
采用盆栽试验，各种子包衣剂处理播种5盆，完全随机设计。
出苗一定时期后测定棉花苗高（cm），其结果如下。
试检验各种子包衣剂与对照的棉花平均苗高差异显著性及各种子包衣剂棉花平均苗高间的差异显著性。
表8.2 6种棉花种子包衣剂的棉花苗高结果(cm)•解：已知：处理数k=6，重复次数n=5，共有kn=6×5=30个观察值。
•1、自由度及平方和的分解•总自由度df T = nk– 1 =6 × 5 – 1 =30 – 1 =29•处理自由度df t = k– 1 =6 – 1 =6 – 1 =5•误差自由度df e = df T–df t =29 – 5 =24或df e = n(k– 1) =6 ×( 5 – 1) =24 – 1 =23•矫正数总平方和SS T =Σx2－C=22.92+22.32+……+23.72-C=45.763处理平方和误差平方和SS e=SS T－SS t=45.763－44.463=1.3002、F 检验和列方差分析表统计假设H O：μ1= μ2=…= μ6；H A：μi不“全相等”(即至少有一个不等号)将上述计算的各项自由度、平方和、均方结果,按变异来源列出方差分析表(表8.5)。
《概率论与数理统计》习题及答案 第八章
《概率论与数理统计》习题及答案第 八 章1.设12,,,n X X X 是从总体X 中抽出的样本,假设X 服从参数为λ的指数分布，λ未知,给定00λ>和显著性水平(01)αα<<，试求假设00:H λλ≥的2χ检验统计量及否定域. 解 00:H λλ≥选统计量 200122nii XnX χλλ===∑记212nii Xχλ==∑则22~(2)n χχ,对于给定的显著性水平α，查2χ分布表求出临界值2(2)n αχ,使22((2))P n αχχα≥=因 22χχ>，所以2222((2))((2))n n ααχχχχ≥⊃≥，从而 2222{(2)}{(2)}P n P n αααχχχχ=≥≥≥ 可见00:H λλ≥的否定域为22(2)n αχχ≥.2．某种零件的尺寸方差为21.21σ=,对一批这类零件检查6件得尺寸数据（毫米）：32．５6, 29.6６, 31.64, 30.00, 2１.87, 3１．0３。
设零件尺寸服从正态分布,问这批零件的平均尺寸能否认为是3２.50毫米(0.05α=）．解 问题是在2σ已知的条件下检验假设0:32.50H μ= 0H 的否定域为/2||u u α≥ 其中29.4632.502.45 6.771.1X u -==⨯=-0.0251.96u =，因|| 6.77 1.96u =>,所以否定0H ，即不能认为平均尺寸是3２．５毫米。
3．设某产品的指标服从正态分布,它的标准差为100σ=，今抽了一个容量为26的样本,计算平均值15８0，问在显著性水平0.05α=下,能否认为这批产品的指标的期望值μ不低于160０。
解 问题是在2σ已知的条件下检验假设0:1600H μ≥0H 的否定域为/2u u α<-，其中 158016005.1 1.02100X u -==⨯=-.0.051.64u -=-.因为0.051.02 1.64u u =->-=-,所以接受0H ，即可以认为这批产品的指标的期望值μ不低于１600.４．一种元件,要求其使用寿命不低于1０00小时，现在从这批元件中任取２５件,测得其寿命平均值为９5０小时,已知该元件寿命服从标准差为100σ=小时的正态分布，问这批元件是否合格?（0.05α=)解 设元件寿命为X ，则2~(,100)X N μ,问题是检验假设0:1000H μ≥． 0H 的否定域为0.05u u ≤-，其中95010005 2.5100X u -==⨯=-0.05 1.64u = 因为0.052.5 1.64u u =-<-= 所以否定0H ,即元件不合格.5.某批矿砂的５个样品中镍含量经测定为(%)X : 3.25,3.27,3.24,3.26,3.24设测定值服从正态分布,问能否认为这批矿砂的镍含量为3.25(0.01)α=？解 问题是在2σ未知的条件下检验假设0: 3.25H μ=0H 的否定域为 /2||(4)t t α>522113.252,(5)0.00017,0.0134i i X S X X S ===-⨯==∑0.005(4) 4.6041t =3.252 3.252.240.3450.013X t -==⨯=因为0.005||0.345 4.6041(4)t t =<=所以接受0H ，即可以认为这批矿砂的镍含量为3．２5.6．糖厂用自动打包机打包，每包标准重量为１00公斤，每天开工后要检验一次打包机工作是否正常，某日开工后测得9包重量(单位：公斤)如下: 99.3,98.7,100.5,101.2,98.3,99.7,99.5,102.1,100.5 问该日打包机工作是否正常(0.05α=；已知包重服从正态分布)?解 99.98X =,92211(()) 1.478i i S X X ==-=∑， 1.21S =,问题是检验假设0:100H μ=0H 的否定域为/2||(8)t t α≥. 其中99.9810030.051.21X t -==⨯=-0.025(8) 2.306t =因为0.025||0.05 2.306(8)t t =<= 所以接受0H ，即该日打包机工作正常.7．按照规定,每10０克罐头番茄汁中，维生素C 的含量不得少于2１毫克，现从某厂生产的一批罐头中抽取1７个,测得维生素C 的含量（单位：毫克)如下 22,21,20,23,21,19,15,13,16, 23,17,20,29,18,22,16,25.已知维生素C 的含量服从正态分布,试检验这批罐头的维生素含量是否合格。
统计学第八章 单因素方差分析(1)
称为处理平方 处理平方 和，记为 SSA
总平方和SST＝处理平方和SSA＋误差平方和SSe
即， ( y ij − y •• ) = n∑ ( y i • − y •• ) + ∑∑ ( y ij − y i• ) 2 ∑∑
2 i =1 j =1 i =1 i =1 j =1 a n 2 a a n
i =1 j =1
a
n
= n∑ ( y i• − y •• ) + 2∑ [( y i• − y •• )∑ ( y ij − y i• )] + ∑∑ ( y ij − y i • )
2 i =1 i =1 j =1 i =1 j =1
a
a
n
a
n
j =1
∑ ( y ij − y i • ) = 0
换句话说，采用两两t检验法，要进行45次t检验，程序太繁琐。
原因（2）：检验的I 型错误增大，从而检验的 可靠性低
a = 2 时， H 0 只有一个，即
µ 1＝ µ 2
a = 3 时， H 0 有 3 个，即 µ 1＝ µ 2， µ 2＝ µ 3， µ 1＝ µ 3
a = 5时，H 0 有10个，即µ1＝µ 2，µ 2＝µ3， , µ 4＝µ5 L
二、方差分析的几个概念
1、方差分析（analysis of variance）：将试验数据的总变异分 解成不同来源的变异，从而评定不同来源的变异相对重要性 的一种统计方法。 2、试验指标（experiment index）：为衡量试验结果的好坏或 处理效应的高低，在试验中具体测定的性状或观测的项目。 3、试验因素（experiment factor）：试验中所研究的影响试验 指标的因素：单因素、双因素或多因素试验。 4、因素水平（level of factor）：因素的具体表现或数量等级。
单因素试验的方差分析
j
μ 各个随机误差 ε ij 相互独立， 1 , μ 2 , , μ s 和 σ
未知.
单因素试验表 部分总体 样 本 A1 A2 … As
X11
X21
· · ·
X12 …
X22 … Xn22 … T.2 …
X 2
· · ·
X1s
X2s
· · ·
…
Xn11 样本和T.j 样本均值 X j T.1
是 σ 的无偏估计
.
结合定理(1)(2)(3)，有
F S A /( s 1 ) S E /( n s ) ~ F ( s 1, n s )
ST ，SA ，SE 的计算方法
n
j
记 T j 化简得
i1
X
ij
， T
j1 i1
s
2
s
n
j
X
ij
T
j1
s
j
j1 i1
s
n
j
(X
ij
X
j )
2
说明：
SE 表示在每个水平下的样本值与该水平下的样本 均值的差异，它是由随机误差引起的，所以，称SE是 误差（组内）平方和.
平方和分解公式：
ST S A S E
证明：S
i1
s
n
j
(X
ij
X)
2
( X
j1 i1
2
都是未知参数。
在水平Aj下进行nj次独立试验，得样本
X 1 j， X
2 j
， ，X
nj j
，
则
记
X
ij
第八章_两因素试验的统计分析
II
62 65 61
III
61 68 61
IV
60 65 60
激素3
激素4 激素5
64
62 61
67
65 62
63
62 62
61
64 65
例2:两因素完全随机试验 -组合内有重复观察值
施用A1、A2、A3三 种肥料于B1、B2、 B3 三 种 土 壤 ， 以 小麦为指示作物 ， 每处理组合种3盆， 得产量结果表如下。 试作方差分析。
A3
1 2 3
两因素随机区组试验
设有A和B两个试验因素，各具a和b个水平，共
有ab个处理组合，作随机区组设计，有r次重复， 则该试验共得rab个观察值.
肥力 区组I 区组II 区组III A1B1 A2B3 A3B1 A3B3 A3B2 A1B3 A2B2 A1B2 A2B1 A2B3 A3B1 A1B2 A3B2 A1B3 A2B2 A1B3 A3B1 A2B1 A2B2 A3B3 A1B1 A1B2 A3B3 A2B3 A2B1 A1B1 A3B2
主区误差：测验区组间和主处理水平间均方的差异显著性 副区误差：测验副处理水平间和AXB互作均方的显著性
主区误差：测验区组间和主处理水平间均方的差异显著性 副区误差：测验副处理水平间和AXB互作均方的显著性
实例
例1.进行多效唑对水仙植株矮化效果研究，设 置4个不同浓度处理及1个对照(不加多效唑)。 测得株高结果如下表，试对结果进行分析。
水仙株高测定结果(cm)
处理 1 2 3 4 5(CK) 37.8 33.2 30.5 29.8 39.5 39.2 34.6 29.6 30.8 36.7 34.5 35.7 34.2 32.5 40.2 株高(cm ) 36.4 37.4 33.1 31.6 38.9 35.2 33.1 32.1 28.7 42.1 33.1 34.8 30.5 27.9 35.6 30.9 34.6 31.4 26.9 40.5 35.6 33.9 31.5 29.8 39.7 平均 35.3 34.7 31.6 29.8 39.2
单因素实验
• （一）方差分析的基本假设条件 第一：正态性 模型中的误差满足均值为0，方差为 2 的正态分 布，而检验正态性假设有残差直方图法和正态 概率图法。 第二：方差齐性 2 2 a Y1 , Y2 ,....Ya 是来自a个总体N(1 , 1 )、N(2 , 2 )、...N(a , a )的，
• 我们的目标是要检验各处理或水平对实验有无 影响并去估计它们的影响程度。 • 提出原假设 H 0 : 1 2 .... a
备择假设 H1 : i j 至少有一对（i，j） 在提出原假设时，有 i 0 第i个处理的均值
a
i i
i 1
（i=1,2…..a）
a ci 2 d s VE a 1 Fa a 1, e i 1 mi
所以 d s1 10.69和d s 2 7.78 ，d1 d s1 结论 是 1 1 3 4 5 等于0，所以可以说没 有强有力的证据说处理均值1和3作为一组和以 处理均值4和5为一组之间有差异，同样的道理可 以说处理1和4的平均抗拉强度之间有显著性差异。 第二：最小显著性差异法（LSD） 检验 H 0：i j
i 1
i 1
检验统计量 式中的 Ve和ve 分别为误差均方及其自由度 当 d d s 时，否定对照 =0的原假设。为了说明 这一问题，举个例子 在开始的引例中，假设感兴趣的对照是 1 1 2 3 4 和 2 1 4 。对照的检验 统计值是 d1 y1. y3. y4. y5. 5 和 d2 11.80 ，由 于 Ve 8.06和ve 20以及F 4.43
单因素实验
• • • • 一、方差分析引例 二、方差分析的基本概念 三、方差分析基本原理 四、方差分析的几点说明
单因素试验统计分析
单因素试验统计分析作业题1 为什么对比法和间比法试验不能正确地估计试验误差？对比法和间比法试验的统计分析方法有何异同？2 完全随机设计、随机区组设计和拉丁方设计的统计分析方法有何异同？在处理间相互比较时，以小区平均数、处理总数或亩产量进行比较的标准误有何关系？DLSD法与LSR法有何异同？3 如何估计随机区组试验的缺区产量？4 下左表为大豆品种比较试验的产量结果（kg），对比法设计，小区计产面积100m2，试做分析。
最后结果以亩产量表示。
5 下右表为水稻品系比较试验的产量结果（kg），间比法设计，试做分析。
品种重复I 重复II 重复III 品系重复I 重复II 重复III 重复IV CK 40.6 39.9 33.5 CK 7.9 7.4 7.2 7.2A 40.1 36.8 34.6 A 7.0 6.9 6.3 6.9B 38.0 39.9 33.9 B 6.9 6.7 6.6 7.1CK 31.4 33.6 29.4 C 6.2 6.6 6.0 6.7C 41.4 35.5 33.7D 6.0 6.0 5.8 6.1D 43.2 36.2 31.2 CK 6.9 7.1 6.8 6.7CK 35.5 32.8 27.7 E 7.0 7.2 7.4 7.0E 41.3 29.8 25.6F 6.6 6.7 6.4 6.6F 34.6 29.7 37.2G 7.1 7.5 7.2 7.6CK 38.2 32.3 29.6 H 6.1 6.2 6.5 6.6CK 7.1 7.3 7.5 7.26 从3块水稻田排出的水中各取3个水样，每个水样分析含盐量2次，得结果如下。
试测验（1）同一稻田不同水样的含盐量有无差别？（2）不同稻田的含盐量有无差别？稻田 1 2 3水样 1 2 3 1 2 3 1 2 3含盐量 1.1 1.3 1.2 1.3 1.3 1.4 1.8 2.1 2.2 (mg/L) 1.2 1.1 1.0 1.4 1.5 1.2 2.0 2.0 1.97 下左表为小麦栽培试验的产量结果（kg），随机区组设计，试做分析。
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165.5 183.1 188.9 165.5 188.5 167.5 . . .
175.0 172.5 187.0 194.5 150.5 162.0
33.1 36.6 37.8 33.1 37.7 33.5 . .
35.0 34.5 37.4 38.9 30.1 32.4
33.3
109.9 113.5 99.4 113.2 . . . 102.4 111.0 115.4 89.3
CK1 A B C D Ck2 . . .
CK3 I J K L CK4
35.9 37.1 39.8 38.2 37.3 33.0 . . .
36.0 29.0 36.3 43.0 29.4 35.2
. . .
29.0 35.8 28.9 28.9 34.0 28.8 . .
29.6 31.1 37.4 36.2 32.9 28.2
A 16.2
D 17.3
C 17.6
B 18.3
E 13.6
A 16.2
F 17.5
B 17.6
E 13.9
D 17.8
C F 17.8 17.6
B 18.6
表6.16 表6.15资料的方差分析
变异来源 稻田类型间 误差 总变异
DF 3 24 27
SS 96.13 129.98 226.11
MS 32.04 5.42
F 5.91**
F0.01 4.72
多重比较：（略）
不同点：平均重复次数no
ni2 1 n0 ni k 1 ni
华南热带农业大学农学院
唐燕琼制
表12.1 玉米品比试验（对比法）的测量结果分析
品种 名称 CK A B CK C D CK E F CK 各重复小区产量 （kg） 总和Tt 平均 对邻 近CK 的% 100.0 98.3 119.3 100.0 111.7 106.7 100.0 85.3 90.4 100.0
A是小区计产面积，以m2为单位；n 是小区数目。
对照区总产量=109.9+91.8+91.2+98.0=390.0（kg）
cf=666.67 / (12×40)=1.3889
所以对照种亩产量=390.0×1.3889=541.7（kg）
A品种亩产量=541.7×98.3%=532.5（kg）
„„，依次类推
二、间比法
[例12.2] 有12 个小麦新品系鉴定试验，
另加一推广品种CK，采用5次重复间比法
设计，田间排列在表12.2，试作分析。
首先，计算前后两个对照产量的平均数CK. 然后，计算各品系产量相对应CK的百分率， 即相对生产力。
P227
表12.2 小麦品系鉴定试验（间比法）的产量结果与分析
品系 各重复小区产量（kg） I „ V 总和Tt 平均 相邻对 照平均 对对照的%
y 21
SAS另例
D
28
27
29
32
第一步：整理资料，计算矫正数及各种平方和
总和平方 T 336 C 7056 观察值个数 kn 4 4
2 2
ss总 ssT x c 18 21 ... 32 c 602
2 2 2 2
722 922 ... 1162 ss处理 sst c c 504 n 4 ss机误 sse ssT sst 602 504 98
稻田类型
yi
14.57 12.17
10.00 10.29
12 13 14 15 15 16 17 14 10 11 13 14 11
9 2 10 11 12 13 12 11 8 10 12
102 73
80 72
7 6
8 7
i
Ⅲ Ⅳ
12 11 10 9
T=327 y 11.68 n
28
求得：
A1 A2 ： Ak
总和T.j
X11
X21 ： xk1 T.1
x12
x22 ： xk2 T.2
…
… … … …
X1n
X2n ： xkn T.k
T1.
T2. ︱ Tk. T..
x1. x2 . xk .
x ..
平均x. j
x.1 x.2
... x.n
▲单因素随机区组试验：
试验因素： A因素( k个处理） B因素( n个区组）
并满足
其中， x
t
i 0
, bj 0, eij 0
…
…
为样本平均数；
ti 为第i处理效应（i=1,2,
, k );
, n)；
bj
eij
为第j区组效应（j=1,2,
N (0, 2 ) 分布。 为随机误差，且相互独立，遵从
表7.1 单因素随机区组资料的方差分析和期望均方
期望均方 变异来源 DF SS MS 固定模型
区组因素：
由于这类试验往往只研究因素A的处理效应，
而划分区组是为提高试验精确度而采用的局部 控制手段，它不是一个真正的试验因素，故属 单因素试验。
一、单因素随机区组的线性模型和期望均方
对于k个处理、n个区组的单因素随机区组试验（数据结构见 表） ，样本中每一个观察值的线性模型为：
xij x ti bj eij
Cx /N
2 SST xij C 2 ..
xi2. SSt ( ) C ni SSe SST SSt dfT N 1, dft k 1; dfe dfT dft
P113
SAS分析 例[6.11]某病虫测报站调查4种不同类型的水稻田28块，每 块田所得稻纵卷叶螟的百丛虫口密度列于表6.15，试问不同 类型稻田的虫口密度有否显著差异？ 编 1 Ⅰ Ⅱ 2 3 4 5 6 号 7 8 Ti ni
109.0 107.2 109.5 91.8 102.5 97.3 91.2 77.8 88.6 98.0
36.3 35.7 36.5 30.6 34.2 32.4 30.4 25.9 29.5 32.7
对邻近CK的（%）=（某品种总产量 / 邻近CK总产量）×100
各品种对邻近CK的百分数表示各品种相对 生产力的指标。
e2 n 2 e2
试验误差 (n-1)(k-1) SSe MSe 总变异 nk-1 SST
例[6.1]以A，B，C，D4种药剂处理水稻种 子其中A为对照，处理各得4个苗高观察值 （cm）其结果如表6.2，试进行方差分析。
表6.2 药剂 A B C 水稻不同处理苗高（cm） 苗高观察 18 21 20 13 20 10 24 15 26 17 22 14 总和Ti 平均 yi 72 18 92 56 116 T 336 23 14 29
2 2 e k 2 e n 2 2 e
随机模型
2 e2 k
区组间
处理间 试验误差 总变异
n-1
k-1 nk-1
SSb MSb
SSt MSt SST
e2 n 2 e2
(n-1)(k-1) SSe MSe
二、单因素随机区组试验结果分析示例
SAS另例
I 37.0 36.4 38.0 31.5 36.5 35.2 30.6 28.4 30.6 35.2
II 36.5 36.8 37.0 30.8 35.0 32.0 32.9 25.8 29.7 32.3
III 35.5 34.0 34.5 29.5 31.0 30.1 27.7 23.6 28.3 30.5
C (327) 2 / 28 381889 .
SST 122 132 ... 122 C 404500 381889 226.11 . .
SSt 1022 / 7 732 / 6 802 / 8 722 / 7 C 96.13
SSe SST SSt 129.98
其次 进行均数间两两比较 1.列梯形表法 查LSRa
处理
D B
平均数 （ yi ） 29 23
yi -14
15** 9 **
差异 yi -18
11**
*
yi -23
6*
5
A
C
18
14
4
查LSRa
2.划线法 29cm（D） 23cm(B) 18cm(A) 14cm(C)
3.标记字母法
处理
查LSRa 差异显著性 0.05 0.01 a b c c A AB BC C
＆8.3
随机区组设计
设有A和B两个因素，A因素有k个处理，B因素
有n个处理，每一组合仅有1个观察值，则全试
验共有nk个观察值，其资料类型如下表：
B因素( n个区组）
华南热带农业大学农学院
唐燕琼制
组合内只有单个观察值的两向分组资料
A因素 B1 B 因 素 B2 Bn …… 总计Ti. 平均 xi.
处理间变异τi=(μi- μ)
总体符号
处理内变异εij=( xij- μi)
i 1,2,...,k ; j 1,2,...,n
表7.2 单因素处理等重复资料的方差分析和期望均方
期望均方 变异来源 处理间 DF k-1 SS MS F MSt/MSe 固定模型 随机模型
SSt MSt
e2 n 2 e2
D B A C
苗高 平均数 （cm） 29 23 18 14
该试验除A与C处理无显著差异外，D与B及A、C处理间 差异显著性达到 ＝0.05水平。处理B与A、D与B、A与C无极 显著差异；D与A、C，B与C呈极显著差异。
二、各处理不等重复(了解）