第8章 单因素试验的统计分析
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并满足
其中， x
t
i 0
, bj 0, eij 0
…
…
为样本平均数；
ti 为第i处理效应（i=1,2,
, k );
, n)；
bj
eij
为第j区组效应（j=1,2,
N (0, 2 ) 分布。 为随机误差，且相互独立，遵从
表7.1 单因素随机区组资料的方差分析和期望均方
期望均方 变异来源 DF SS MS 固定模型
. . .
33.7
如A品种的相对生产力（%）＝36.6/33.3=109.9%
＆8.2
完全随机设计
一、各处理等重复
二、各处理不等重复
华南热带农业大学农学院
唐燕琼制
wenku.baidu.com、各处理等重复
设有A因素有k个处理，每一处理有n个观察值， 则全试验共有nk个观察值，资料整理形式如表8.1： 处理 重复 1 2 ： j ： n 1 x11 x12 ： x1j ： x1n T1 2 … i … k
稻田类型
yi
14.57 12.17
10.00 10.29
12 13 14 15 15 16 17 14 10 11 13 14 11
9 2 10 11 12 13 12 11 8 10 12
102 73
80 72
7 6
8 7
i
Ⅲ Ⅳ
12 11 10 9
T=327 y 11.68 n
28
求得：
y 21
SAS另例
D
28
27
29
32
第一步：整理资料，计算矫正数及各种平方和
总和平方 T 336 C 7056 观察值个数 kn 4 4
2 2
ss总 ssT x c 18 21 ... 32 c 602
2 2 2 2
722 922 ... 1162 ss处理 sst c c 504 n 4 ss机误 sse ssT sst 602 504 98
Cx /N
2 SST xij C 2 ..
xi2. SSt ( ) C ni SSe SST SSt dfT N 1, dft k 1; dfe dfT dft
P113
SAS分析 例[6.11]某病虫测报站调查4种不同类型的水稻田28块，每 块田所得稻纵卷叶螟的百丛虫口密度列于表6.15，试问不同 类型稻田的虫口密度有否显著差异？ 编 1 Ⅰ Ⅱ 2 3 4 5 6 号 7 8 Ti ni
e2 n 2 e2
试验误差 (n-1)(k-1) SSe MSe 总变异 nk-1 SST
例[6.1]以A，B，C，D4种药剂处理水稻种 子其中A为对照，处理各得4个苗高观察值 （cm）其结果如表6.2，试进行方差分析。
表6.2 药剂 A B C 水稻不同处理苗高（cm） 苗高观察 18 21 20 13 20 10 24 15 26 17 22 14 总和Ti 平均 yi 72 18 92 56 116 T 336 23 14 29
Ti.
2
第二步：列方差分析表并进行F测验
变异来源 药剂 误差 总变异 Df 3 15 SS 504 MS 168 8.17 F F0.05 F0.01 5.95
20.56＊＊ 3.49
602 40.13
F测验结论：药剂间对苗高的效应差异达极显著。
第四步
多重比较（SSR法或Duncan测验)
首先 计算比较标准
处理间变异τi=(μi- μ)
总体符号
处理内变异εij=( xij- μi)
i 1,2,...,k ; j 1,2,...,n
表7.2 单因素处理等重复资料的方差分析和期望均方
期望均方 变异来源 处理间 DF k-1 SS MS F MSt/MSe 固定模型 随机模型
SSt MSt
e2 n 2 e2
A 16.2
D 17.3
C 17.6
B 18.3
E 13.6
A 16.2
F 17.5
B 17.6
E 13.9
D 17.8
C F 17.8 17.6
B 18.6
表6.16 表6.15资料的方差分析
变异来源 稻田类型间 误差 总变异
DF 3 24 27
SS 96.13 129.98 226.11
MS 32.04 5.42
F 5.91**
F0.01 4.72
多重比较：（略）
不同点：平均重复次数no
ni2 1 n0 ni k 1 ni
其次 进行均数间两两比较 1.列梯形表法 查LSRa
处理
D B
平均数 （ yi ） 29 23
yi -14
15** 9 **
差异 yi -18
11**
*
yi -23
6*
5
A
C
18
14
4
查LSRa
2.划线法 29cm（D） 23cm(B) 18cm(A) 14cm(C)
3.标记字母法
处理
查LSRa 差异显著性 0.05 0.01 a b c c A AB BC C
区组因素：
由于这类试验往往只研究因素A的处理效应，
而划分区组是为提高试验精确度而采用的局部 控制手段，它不是一个真正的试验因素，故属 单因素试验。
一、单因素随机区组的线性模型和期望均方
对于k个处理、n个区组的单因素随机区组试验（数据结构见 表） ，样本中每一个观察值的线性模型为：
xij x ti bj eij
I 37.0 36.4 38.0 31.5 36.5 35.2 30.6 28.4 30.6 35.2
II 36.5 36.8 37.0 30.8 35.0 32.0 32.9 25.8 29.7 32.3
III 35.5 34.0 34.5 29.5 31.0 30.1 27.7 23.6 28.3 30.5
2 2 e k 2 e n 2 2 e
随机模型
2 e2 k
区组间
处理间 试验误差 总变异
n-1
k-1 nk-1
SSb MSb
SSt MSt SST
e2 n 2 e2
(n-1)(k-1) SSe MSe
二、单因素随机区组试验结果分析示例
SAS另例
要判断某品种的生产力确优于对照，其相对
生产力一般至少应超过对照10%以上；相对
生产力仅超过对照5%左右的品种，宜继续试
验，再作结论。 B品种产量最高，超过对照19.3%；C品种 超过对照11.7%，它们确是优于对照，但不 能作出D品种确优于对照的结论。
作物产量习惯于用每亩产量表示，其折算方法依改算系 数cf，得到对照的亩产量 cf=666.67 / nA （12.1）
165.5 183.1 188.9 165.5 188.5 167.5 . . .
175.0 172.5 187.0 194.5 150.5 162.0
33.1 36.6 37.8 33.1 37.7 33.5 . .
35.0 34.5 37.4 38.9 30.1 32.4
33.3
109.9 113.5 99.4 113.2 . . . 102.4 111.0 115.4 89.3
109.0 107.2 109.5 91.8 102.5 97.3 91.2 77.8 88.6 98.0
36.3 35.7 36.5 30.6 34.2 32.4 30.4 25.9 29.5 32.7
对邻近CK的（%）=（某品种总产量 / 邻近CK总产量）×100
各品种对邻近CK的百分数表示各品种相对 生产力的指标。
＆8.3
随机区组设计
设有A和B两个因素，A因素有k个处理，B因素
有n个处理，每一组合仅有1个观察值，则全试
验共有nk个观察值，其资料类型如下表：
B因素( n个区组）
华南热带农业大学农学院
唐燕琼制
组合内只有单个观察值的两向分组资料
A因素 B1 B 因 素 B2 Bn …… 总计Ti. 平均 xi.
第八章 单因素试验的统计分析
＆8.1
＆8.2
对比法和间比法试验
完全随机设计
＆8.3
＆8.4
随机区组设计
拉丁方设计
＆8.5
缺区估计原理及方法
华南热带农业大学农学院
唐燕琼制
＆8.1 对比法和间比法试验
一、对比法
[例12.1] 有A、B、C、D、E、F 6个玉米品 种的比较试验，设标准品种CK，采用3次重复 的对比设计，田间排列、小区测量结果在表 12.1，小区计产面积40m2，试作分析。
C (327) 2 / 28 381889 .
SST 122 132 ... 122 C 404500 381889 226.11 . .
SSt 1022 / 7 732 / 6 802 / 8 722 / 7 C 96.13
SSe SST SSt 129.98
A1 A2 ： Ak
总和T.j
X11
X21 ： xk1 T.1
x12
x22 ： xk2 T.2
…
… … … …
X1n
X2n ： xkn T.k
T1.
T2. ︱ Tk. T..
x1. x2 . xk .
x ..
平均x. j
x.1 x.2
... x.n
▲单因素随机区组试验：
试验因素： A因素( k个处理） B因素( n个区组）
【例7.1】有一烤烟品种产量比较试验，供试品种有A、B、C、 D、E、F共六个品种，其中D为对照，采用随机区组设计，四次 重复，小区计产面积60㎡其田间排列和小区产量如下图，试作 分析。 E C A F D B Ⅰ 13.7 16.6 15.3 17.0 16.4 18.0 Ⅱ A 14.9
F 18.2
CK1 A B C D Ck2 . . .
CK3 I J K L CK4
35.9 37.1 39.8 38.2 37.3 33.0 . . .
36.0 29.0 36.3 43.0 29.4 35.2
. . .
29.0 35.8 28.9 28.9 34.0 28.8 . .
29.6 31.1 37.4 36.2 32.9 28.2
二、间比法
[例12.2] 有12 个小麦新品系鉴定试验，
另加一推广品种CK，采用5次重复间比法
设计，田间排列在表12.2，试作分析。
首先，计算前后两个对照产量的平均数CK. 然后，计算各品系产量相对应CK的百分率， 即相对生产力。
P227
表12.2 小麦品系鉴定试验（间比法）的产量结果与分析
品系 各重复小区产量（kg） I „ V 总和Tt 平均 相邻对 照平均 对对照的%
D B A C
苗高 平均数 （cm） 29 23 18 14
该试验除A与C处理无显著差异外，D与B及A、C处理间 差异显著性达到 ＝0.05水平。处理B与A、D与B、A与C无极 显著差异；D与A、C，B与C呈极显著差异。
二、各处理不等重复(了解）
当重复数不等时，各项平方和、自由度、 多重比较中标准误的计算略有不同。 设处理数为k；各处理重复数n1 ,n2 ,…,nk ； 试验观察值总数为N=Σni。
MSe 8.17 SE 1.4292 1.43 n 4
LSR ,k SSR ( df e ,k ) S x
p 2 3 4 SSR0.05 SSR0.01 LSR0.05 LSR0.01 3.08 3.23 3.33 4.32 4.55 4.68 4.40 4.62 4.76 6.18 6.51 6.69
A是小区计产面积，以m2为单位；n 是小区数目。
对照区总产量=109.9+91.8+91.2+98.0=390.0（kg）
cf=666.67 / (12×40)=1.3889
所以对照种亩产量=390.0×1.3889=541.7（kg）
A品种亩产量=541.7×98.3%=532.5（kg）
„„，依次类推
x21 … xi1 … xk1 x22 … xi2 … xk2 ： … ：… ： x2j … xij … xkj ：… ：… ： x2n … xin … xkn T2 … Ti … Tk
平均xi.
和 Ti.
x1. x2.
... xk .
T xij
每一个观察值的线性模型为：
xij i ij
华南热带农业大学农学院
唐燕琼制
表12.1 玉米品比试验（对比法）的测量结果分析
品种 名称 CK A B CK C D CK E F CK 各重复小区产量 （kg） 总和Tt 平均 对邻 近CK 的% 100.0 98.3 119.3 100.0 111.7 106.7 100.0 85.3 90.4 100.0
其中， x
t
i 0
, bj 0, eij 0
…
…
为样本平均数；
ti 为第i处理效应（i=1,2,
, k );
, n)；
bj
eij
为第j区组效应（j=1,2,
N (0, 2 ) 分布。 为随机误差，且相互独立，遵从
表7.1 单因素随机区组资料的方差分析和期望均方
期望均方 变异来源 DF SS MS 固定模型
. . .
33.7
如A品种的相对生产力（%）＝36.6/33.3=109.9%
＆8.2
完全随机设计
一、各处理等重复
二、各处理不等重复
华南热带农业大学农学院
唐燕琼制
wenku.baidu.com、各处理等重复
设有A因素有k个处理，每一处理有n个观察值， 则全试验共有nk个观察值，资料整理形式如表8.1： 处理 重复 1 2 ： j ： n 1 x11 x12 ： x1j ： x1n T1 2 … i … k
稻田类型
yi
14.57 12.17
10.00 10.29
12 13 14 15 15 16 17 14 10 11 13 14 11
9 2 10 11 12 13 12 11 8 10 12
102 73
80 72
7 6
8 7
i
Ⅲ Ⅳ
12 11 10 9
T=327 y 11.68 n
28
求得：
y 21
SAS另例
D
28
27
29
32
第一步：整理资料，计算矫正数及各种平方和
总和平方 T 336 C 7056 观察值个数 kn 4 4
2 2
ss总 ssT x c 18 21 ... 32 c 602
2 2 2 2
722 922 ... 1162 ss处理 sst c c 504 n 4 ss机误 sse ssT sst 602 504 98
Cx /N
2 SST xij C 2 ..
xi2. SSt ( ) C ni SSe SST SSt dfT N 1, dft k 1; dfe dfT dft
P113
SAS分析 例[6.11]某病虫测报站调查4种不同类型的水稻田28块，每 块田所得稻纵卷叶螟的百丛虫口密度列于表6.15，试问不同 类型稻田的虫口密度有否显著差异？ 编 1 Ⅰ Ⅱ 2 3 4 5 6 号 7 8 Ti ni
e2 n 2 e2
试验误差 (n-1)(k-1) SSe MSe 总变异 nk-1 SST
例[6.1]以A，B，C，D4种药剂处理水稻种 子其中A为对照，处理各得4个苗高观察值 （cm）其结果如表6.2，试进行方差分析。
表6.2 药剂 A B C 水稻不同处理苗高（cm） 苗高观察 18 21 20 13 20 10 24 15 26 17 22 14 总和Ti 平均 yi 72 18 92 56 116 T 336 23 14 29
Ti.
2
第二步：列方差分析表并进行F测验
变异来源 药剂 误差 总变异 Df 3 15 SS 504 MS 168 8.17 F F0.05 F0.01 5.95
20.56＊＊ 3.49
602 40.13
F测验结论：药剂间对苗高的效应差异达极显著。
第四步
多重比较（SSR法或Duncan测验)
首先 计算比较标准
处理间变异τi=(μi- μ)
总体符号
处理内变异εij=( xij- μi)
i 1,2,...,k ; j 1,2,...,n
表7.2 单因素处理等重复资料的方差分析和期望均方
期望均方 变异来源 处理间 DF k-1 SS MS F MSt/MSe 固定模型 随机模型
SSt MSt
e2 n 2 e2
A 16.2
D 17.3
C 17.6
B 18.3
E 13.6
A 16.2
F 17.5
B 17.6
E 13.9
D 17.8
C F 17.8 17.6
B 18.6
表6.16 表6.15资料的方差分析
变异来源 稻田类型间 误差 总变异
DF 3 24 27
SS 96.13 129.98 226.11
MS 32.04 5.42
F 5.91**
F0.01 4.72
多重比较：（略）
不同点：平均重复次数no
ni2 1 n0 ni k 1 ni
其次 进行均数间两两比较 1.列梯形表法 查LSRa
处理
D B
平均数 （ yi ） 29 23
yi -14
15** 9 **
差异 yi -18
11**
*
yi -23
6*
5
A
C
18
14
4
查LSRa
2.划线法 29cm（D） 23cm(B) 18cm(A) 14cm(C)
3.标记字母法
处理
查LSRa 差异显著性 0.05 0.01 a b c c A AB BC C
区组因素：
由于这类试验往往只研究因素A的处理效应，
而划分区组是为提高试验精确度而采用的局部 控制手段，它不是一个真正的试验因素，故属 单因素试验。
一、单因素随机区组的线性模型和期望均方
对于k个处理、n个区组的单因素随机区组试验（数据结构见 表） ，样本中每一个观察值的线性模型为：
xij x ti bj eij
I 37.0 36.4 38.0 31.5 36.5 35.2 30.6 28.4 30.6 35.2
II 36.5 36.8 37.0 30.8 35.0 32.0 32.9 25.8 29.7 32.3
III 35.5 34.0 34.5 29.5 31.0 30.1 27.7 23.6 28.3 30.5
2 2 e k 2 e n 2 2 e
随机模型
2 e2 k
区组间
处理间 试验误差 总变异
n-1
k-1 nk-1
SSb MSb
SSt MSt SST
e2 n 2 e2
(n-1)(k-1) SSe MSe
二、单因素随机区组试验结果分析示例
SAS另例
要判断某品种的生产力确优于对照，其相对
生产力一般至少应超过对照10%以上；相对
生产力仅超过对照5%左右的品种，宜继续试
验，再作结论。 B品种产量最高，超过对照19.3%；C品种 超过对照11.7%，它们确是优于对照，但不 能作出D品种确优于对照的结论。
作物产量习惯于用每亩产量表示，其折算方法依改算系 数cf，得到对照的亩产量 cf=666.67 / nA （12.1）
165.5 183.1 188.9 165.5 188.5 167.5 . . .
175.0 172.5 187.0 194.5 150.5 162.0
33.1 36.6 37.8 33.1 37.7 33.5 . .
35.0 34.5 37.4 38.9 30.1 32.4
33.3
109.9 113.5 99.4 113.2 . . . 102.4 111.0 115.4 89.3
109.0 107.2 109.5 91.8 102.5 97.3 91.2 77.8 88.6 98.0
36.3 35.7 36.5 30.6 34.2 32.4 30.4 25.9 29.5 32.7
对邻近CK的（%）=（某品种总产量 / 邻近CK总产量）×100
各品种对邻近CK的百分数表示各品种相对 生产力的指标。
＆8.3
随机区组设计
设有A和B两个因素，A因素有k个处理，B因素
有n个处理，每一组合仅有1个观察值，则全试
验共有nk个观察值，其资料类型如下表：
B因素( n个区组）
华南热带农业大学农学院
唐燕琼制
组合内只有单个观察值的两向分组资料
A因素 B1 B 因 素 B2 Bn …… 总计Ti. 平均 xi.
第八章 单因素试验的统计分析
＆8.1
＆8.2
对比法和间比法试验
完全随机设计
＆8.3
＆8.4
随机区组设计
拉丁方设计
＆8.5
缺区估计原理及方法
华南热带农业大学农学院
唐燕琼制
＆8.1 对比法和间比法试验
一、对比法
[例12.1] 有A、B、C、D、E、F 6个玉米品 种的比较试验，设标准品种CK，采用3次重复 的对比设计，田间排列、小区测量结果在表 12.1，小区计产面积40m2，试作分析。
C (327) 2 / 28 381889 .
SST 122 132 ... 122 C 404500 381889 226.11 . .
SSt 1022 / 7 732 / 6 802 / 8 722 / 7 C 96.13
SSe SST SSt 129.98
A1 A2 ： Ak
总和T.j
X11
X21 ： xk1 T.1
x12
x22 ： xk2 T.2
…
… … … …
X1n
X2n ： xkn T.k
T1.
T2. ︱ Tk. T..
x1. x2 . xk .
x ..
平均x. j
x.1 x.2
... x.n
▲单因素随机区组试验：
试验因素： A因素( k个处理） B因素( n个区组）
【例7.1】有一烤烟品种产量比较试验，供试品种有A、B、C、 D、E、F共六个品种，其中D为对照，采用随机区组设计，四次 重复，小区计产面积60㎡其田间排列和小区产量如下图，试作 分析。 E C A F D B Ⅰ 13.7 16.6 15.3 17.0 16.4 18.0 Ⅱ A 14.9
F 18.2
CK1 A B C D Ck2 . . .
CK3 I J K L CK4
35.9 37.1 39.8 38.2 37.3 33.0 . . .
36.0 29.0 36.3 43.0 29.4 35.2
. . .
29.0 35.8 28.9 28.9 34.0 28.8 . .
29.6 31.1 37.4 36.2 32.9 28.2
二、间比法
[例12.2] 有12 个小麦新品系鉴定试验，
另加一推广品种CK，采用5次重复间比法
设计，田间排列在表12.2，试作分析。
首先，计算前后两个对照产量的平均数CK. 然后，计算各品系产量相对应CK的百分率， 即相对生产力。
P227
表12.2 小麦品系鉴定试验（间比法）的产量结果与分析
品系 各重复小区产量（kg） I „ V 总和Tt 平均 相邻对 照平均 对对照的%
D B A C
苗高 平均数 （cm） 29 23 18 14
该试验除A与C处理无显著差异外，D与B及A、C处理间 差异显著性达到 ＝0.05水平。处理B与A、D与B、A与C无极 显著差异；D与A、C，B与C呈极显著差异。
二、各处理不等重复(了解）
当重复数不等时，各项平方和、自由度、 多重比较中标准误的计算略有不同。 设处理数为k；各处理重复数n1 ,n2 ,…,nk ； 试验观察值总数为N=Σni。
MSe 8.17 SE 1.4292 1.43 n 4
LSR ,k SSR ( df e ,k ) S x
p 2 3 4 SSR0.05 SSR0.01 LSR0.05 LSR0.01 3.08 3.23 3.33 4.32 4.55 4.68 4.40 4.62 4.76 6.18 6.51 6.69
A是小区计产面积，以m2为单位；n 是小区数目。
对照区总产量=109.9+91.8+91.2+98.0=390.0（kg）
cf=666.67 / (12×40)=1.3889
所以对照种亩产量=390.0×1.3889=541.7（kg）
A品种亩产量=541.7×98.3%=532.5（kg）
„„，依次类推
x21 … xi1 … xk1 x22 … xi2 … xk2 ： … ：… ： x2j … xij … xkj ：… ：… ： x2n … xin … xkn T2 … Ti … Tk
平均xi.
和 Ti.
x1. x2.
... xk .
T xij
每一个观察值的线性模型为：
xij i ij
华南热带农业大学农学院
唐燕琼制
表12.1 玉米品比试验（对比法）的测量结果分析
品种 名称 CK A B CK C D CK E F CK 各重复小区产量 （kg） 总和Tt 平均 对邻 近CK 的% 100.0 98.3 119.3 100.0 111.7 106.7 100.0 85.3 90.4 100.0