理论力学例题

vB
B
vA
A
P
（2） 已知vA 、vB的大小（不等）
A B
v
A
A
v
A
v A AB, v B AB
（3）当平面运动刚体在另一固定面上只滚 动而不滑动（纯滚动）时，瞬心 P 即为两物体的接触点。 M
v
B
v
B
P B
P
vM
v0
A B
P
（纯滚动）
P
v
B
v
A
几点说明：
(a) 瞬心P可不在平面运动刚体上，可在其延伸部分。 (b) 瞬心P 的位置是变化的。 (c) 瞬心P 速度为零，但加速度不为零。 (d) 一个平面图形仅有一个瞬心P，不同的平面图形有不同的瞬心P。
平面图形上任两点的速度在 其连线上的投影彼此相等。
情形（1）、（2）的特殊情况：
（a）已知vA 、vB 的方向，且vA 、vB 互相平行 （b）已知vA 、vB 的大小相等， 瞬心在无穷远，即： 由瞬心法，得：
A
B
90o
90o
vA
v A AB, v B AB
vB
v
A
AP , BP
大小：？ 方向： ？
（4）由三角关系求出所求量。
例： 图示椭圆规。已知 ：AB =l=20㎝， vA=20㎝/s，φ=30°，C为杆AB 的中点。试求 ：vB 、ωAB 、 vC 。
解： 杆AB —— 平面运动
选A点 —— 基点
由
v
B
v B = v A + v BA

vBA
三、刚体平面运动的方程
直线 AB 位置的确定：
y
平面图形S
B
xA , y A ,
O
xA
A

x A x A (t )
y A y A (t )
—— 刚体平面运动的方程
y
A
x
(t )
点 A 称为基准点 —— 简称基点 特殊情况： (1) 若φ= 常数，AB 的方位不变， 若 xA= 常数、 yA= 常数， 刚体作平动。 则刚体作定轴转动。
例： 图示机构。OB 线水平，当 B 、D 和 F 在同一铅垂线上时，DE 垂直于 EF，曲柄 OA 正好在铅垂位置。已知 OA = BD = DE = 100mm， EF = 173.2 mm ，ω0=4（1/s）。试求 vF 、ωEF 。
解： 分析各刚体的运动： （1）杆AB —— 平面运动
vA
A B
vA vB v A 0 AP BP
该瞬时平面图形的角速度ω = 0，该瞬时平面图形作平 动 ———— 简称瞬时平动。
v
B
瞬时平动刚体上各点的速度相等
v A cos vB cos
物理意义： 刚体上任两点间距离不变。 几点说明： （1）已知三个量，求第4个量； （2）不能求平面图形的角速度； （3）投影不仅大小相等，且方向相同。
vBA
vB

B
AB
vA vA
A
与刚作平动区别：
A
B
90o
90o
（1）仅在该瞬时， ω = 0，刚体上各点
的速度相同。
vA
vB
v
A
（2）该瞬时， 刚体上各点的加速度不同，
A B
B
如： AB 杆作瞬时平动
vA
A
v
B
vB
A
a A aB
a
A
0 a B
B
• 基点法
vB v A vBA
vE DE DCE 400 (mm/s )
方向垂直于DE
（3）三角形板DCE ——定轴转动
vC DC BC BC 4(1 / s) DC DC
（4）杆EF —— 平面运动
由E 、F 点的速度可知，杆 EF 的瞬 心为PEF 。
vA
vE EPEF EF
(2)
例：
圆轮A，半径为R，沿直线向右作纯滚动，轮心A的速度：v0 = 常数。 试求圆轮的平面运动方程。
x A v0t
y A R 常数 x A v0t R R
—— 圆轮的平面运动方程
y
B
A0 B0
v0

A
yA x
xA
§8-3 求平面图形内各点速度
一、基点法
vr va 平面图形－S ve 定系－Oxy 基点－A 动系－Ax´y´
A
β=60° vCA AB l / 2 20(cm/s)
vC 20 (cm/s)
§10 –4
1. 瞬心
(即：vP = 0)
平面图ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的瞬时速度中心
ω S vB C B P vC
一、速度瞬心的概念与速度瞬心法
某瞬时，平面图形上速度为零的点，称为瞬时速度中 心，简称“瞬心”，用字母 “ P ” 表示。
3 6
P ABC
O D
2
§10 –5 平面图形内各点的加速度
一、加速度合成的基点法
y
选A 点为基点（即在A点固定平动坐标系）
由牵连为平动的加速度合成定理，有
a r a BA
n a rn a BA
a a BA a e a A
B
r

τ n aa ae a r a r
vB vBA
B A
优点：既能求速度，也能求 。 缺点: 计算比较繁琐。
• 速度投影法
vA vA
vB AB v A AB
S
优点：计算简便，快捷。 缺点: 无法求出图形的角速度 。

若选取速度为零的点作为基点，则求解速度问题 的计算会大大简化，同时也能求出图形的角速度。
例： 图示滚压机构。滚子B沿水平面作纯滚动，曲柄OA半径为 r = 0.5m，转 动角速度为ω = π(rad/s)，滚子的半径为 R = 0.5m，连杆AB 的长度为 l = 0.866 m。试求当曲柄与水平面交角为60°时，滚子的角速度ωB 。 解： （1）杆AB —— 平面运动
A
2. 速度瞬心法 vA
以瞬心P为基点，则任一点A的速度为
v A v P v AP
大小： 方向：
v A v AP
vA= vAP=AP·ω
v A AP 指向与ω的转向一致
—— 速度瞬心法
2. 瞬心 P 的确定方法 （1） 已知vA 、vB 的方向， 且vA 、vB不平行。
y
y´ S B
vA

平面图形的角速度－ 基点速度－ vA
A
O
x´
x
速度合成定理－
va= ve+
vr
基点法解题步骤：
（1）分析各刚体的运动，取平面运动刚体研究；
（2）分析与平面运动刚体连接点的运动，选 取运动已知的点为基点； （3）由基点法的速度 合成定理确定其余量；
v B = v A + v BA
v
C
CD
v
B
二、速度投影法
v B = v A + v BA
将上式两边分别向AB连线投影，有
vBA
vB

B
AB
v B AB v A AB v BA AB
vA vA
v B AB v A AB
即：
0
A
v A cos vB cos
——速度投影定理
由速度投影定理，得
vB cos30 v A vA r vB cos 30 3/2 0.5 1.814 (m/s ) 3/2
（2）滚子B —— 平面运动 瞬心为P
由速度瞬心法，得
vA
60° 30°
vB
vB BP B R B
vB 1.814 B 3.628 (rad/s) R 0.5
BC
vC
杆 AB 用瞬时平动。
vB v A OA 0 100 4 400 (mm/s )
D 点为杆 BC 的瞬心
v B DCE
vE
（2）杆BC —— 平面运动
vB BD BC
BC
vC DC BC
DCE
vB 400 4(1 / s) BD 100
aa ae a r a rn
a a a B
A
O
aA

x
a B B 点的加速度 a A 基 点A 的加速度 a BA B 点相对于基点 A n a BA 的加速度 a BA
τ n a B a A a BA a BA
平面图形内任一点的加速度，等于随基点的平动加速度与绕基点转动的法向、 切向加速度的矢量和。 —— 基点法
vC
β
C
vB v A cot 34.6(cm/s) vBA v A / sin 40(cm/s)
vA
vCA
ωAB
B
vA
AB vBA / l 2(rad/s)

vA
vC v A vCA
2 2 vC v A vCA 2v A vCA cos
EPEF EF cot 30 300 (mm )
BC
vC
vB
BCE
30
vE
EF
PEF
EF
vE 400 1.333(1 / s) EPEF 300
vF
vF FPEF EF
FPEF EF / sin 30 346 .4(mm )
vF 461 .9(mm/s )
讨论： 若只求vF ，则用何方法简便？
（2）用点的合成运动方法分析套筒C 的运动
动点： 套筒C 动系： 固结于杆O2D上（定轴转动）
va ve vr ve va / 2
vB
v a vC
vr vA
30
ve
30
O D
2
ve ve va vC 2l 2l O2C l