微分运算法则
一、微分的概念讲解
d2 y f ( x)d x2;
(6)
当 x 是中间变量( y f ( x), x (t) ) 时, 二阶微分
为
d2 y d( f ( x)dx ) f ( x)d xd x f ( x)d(d x)
f ( x)d x2 f ( x)d2 x.
(7)
依次下去, 可由 n 1 阶微分求 n 阶微分: dn y d (dn1 y) d( f (n1)( x) dxn1) f (n)( x)d xn .
对 n 2 的 n 阶微分均称为高阶微分. 高阶微分不
具有形式不变性. 当 x 是自变量时, y f ( x) 的二
阶微分是
一、微分的概念
微分从本质上讲是函数增量中关于自变量增量的 线性部分, 请先看一个具体例子. 设一边长为 x 的正方形, 它的面积 S = x 2 是 x 的函 数. 如果给边长 x 一个增量 Δ x , 正方形面积的增量 Δ S ( x x)2 x2 2x x ( x)2 由两部分组成 : Δ x 的线性部分 2xΔx 和 Δ x 的高阶部分( Δ x )2.因 此, 当边长 x 增加一个微小量 Δx 时, Δ S 可用Δx
它比 (6) 式多了一项 f ( x)d2 x, 当 x (t) 时,
d2 x (t)dt 2 不一定为 0, 而当 x 为自变量时,
d2 x 0.
例4 设 y f ( x) sin x , x (t) t 2, 求 d2 y.
解法一 先将 x (t) 代入 y f ( x), 得 y sin t 2,
sin x x, tan x x, ln1 x x, ex 1 x.
例5 试求 sin 33o 的近似值 ( 保留三位有效数字 ).
微分概念及其计算
y f (x0 x) f (x0) f (x0 )x f (x0 x) f (x0) f (x0)x
令 x x0 x f (x) f (x0) f (x0)(x x0 )
使用原则: 1) f (x0 ), f (x0 ) 好算 ; 2) x 与x0 靠近.
在点 可微 , 则
y f (x0 x) f (x0 ) Ax o(x)
lim y lim ( A o(x) ) A
x0 x x0
x
故
在点 的可导, 且
说明
由定理4.5，我们得到
dy f (x0 )x
当 y x 时，y' 1,dy dx 1 x x,
称x为自变量的微分, 记作 则有 dy f (x) dx
在点 的可导, 则
lim y x0 x
f (x0 )
y x
f (x0 )
( lim 0 ) x0
故Hale Waihona Puke y f (x0 )x x f(x0)x o(x)
即 dy f (x0 )x
线性主部
定理4.5 函数 在点
在点 可微的充要条件是
处可导, 且
即
dy f (x0 )x
证: “必要性”
已知
第四章 微商与微分
第二节 微分概念及其计算
一、微分的定义 二、微分的几何意义 三、基本微分公式与微分运算法则 四、微分在近似计算中的应用
导数的定义
定义 设函数f (x)在 U(x0) 有定义,且 x0+x U(x0).
如果极限 lim f (x0 x) f (x0 ) lim y a 存在,
说明: y f (x0 )x o(x) dy f (x0 )x
一微分的定义二微分的基本公式三微分的四则运算法则
v udx u vdx vdu udv.
定理3.9 设u=u(x)，v=v(x)可微，且 v 0 ，则 u 可微,
v
且有
d(u v)Fra bibliotekvdu v2
udv.
证 d(u) (u)dx vv
uv v2
uv dx
v
udx v2
u
vdx
vdu v2
微分及其运算
一、微分的定义 二、微分的基本公式 三、微分的四则运算法则 四、微分形式的不变性 五、微分在近似计算中的应用
一、微分的定义
当正方形的边长从 x0 变到 x0 x 时，相应的面积 增量 S (x0 x)2 x02 2x0x (x)2 .函数增量 S 分成两部分，一部分是 x 的线性部分 2x0 x ，一部 分是关于x 的高阶无穷小 (x)2 o(x).
即
f (x) f (x0 ) f (x0 ) (x x0 ).
当 f (x0 ), f (x0 ) 容易计算时，就可以用上述的 近似公式来计算 x0附近点的函数值.
例6 计算 2的近似值. 解 1.96 1.4, 令 f (x) x,则
2 f (2) f (1.96) f '(1.96) (2 1.96) 1.4 1 0.04 1.414 3. 2 1.4
五、微分在近似计算中的应用
设y=f(x)在 x0 可导，当自变量从 x0 变到x(即取得 增量 x x x0)，则有
x f (x) f (x0 ) f (x0 ) (x x0 ) o(x x0 ). 当x很接近 x0 时，即| x || x x0 |很小时，就有近 似公式
f (x) f (x0 ) f (x0 ) (x x0 )，
微分的运算法则推导
微分的运算法则有以下几条：1. 常数法则：对于常数c，有d(cx)/dx = c，即常数的导数为0。
2. 乘法法则：对于函数u(x)和v(x)，有d(uv)/dx = u'v + uv'，即两个函数的乘积的导数等于其中一个函数的导数乘以另一个函数，再加上另一个函数的导数乘以第一个函数。
3. 除法法则：对于函数u(x)和v(x)，有d(u/v)/dx = (u'v - uv')/v²，即一个函数除以另一个函数的导数等于分子函数的导数乘以分母函数，再减去分子函数乘以分母函数的导数，最后除以分母函数的平方。
4. 加法法则：对于函数u(x)和v(x)，有d(u + v)/dx = u' + v'，即两个函数的和的导数等于两个函数的导数的和。
5. 减法法则：对于函数u(x)和v(x)，有d(u - v)/dx = u' - v'，即两个函数的差的导数等于第一个函数的导数减去第二个函数的导数。
6. 复合函数法则（链式法则）：对于复合函数y = f(g(x))，有dy/dx = f'(g(x)) * g'(x)，即复合函数的导数等于外层函数对内层函数的导数乘以内层函数对自变量的导数。
7. 幂函数法则：对于函数y = x^n，其中n是常数，有dy/dx = nx^(n-1)，即幂函数的导数等于指数乘以自变量的指数减1次方。
8. 指数函数法则：对于函数y = a^x，其中a是常数且a>0且不等于1，有dy/dx = ln(a) * a^x，即指数函数的导数等于该函数的自然对数乘以原函数。
9. 对数函数法则：对于函数y = log_a(x)，其中a是常数且a>0且不等于1，有dy/dx = 1/(x*ln(a))，即对数函数的导数等于1除以自变量的自然对数和底数的乘积。
微分公式和运算法则
(cos x)sin x
d(cos x)sin xdx
(tan x)sec2 x
d(tan x)sec2xdx
(cot x)csc2x
d(cot x)csc2xdx
(sec x)sec x tan x
d(sec x)sec x tan xdx
(csc x)csc x cot x
d(csc x)csc x cot xdx
§ 2.2.1 微分概念
一、微分的定义
引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其
边长由 变到
问此薄片面积改变了多少?
设薄片边长为 x , 面积为 A , 则
当x在 取
得增量 时, 面积的增量为
关于△x 的
时为
线性主部 高阶无穷小
故
称为函数在 的微分
1
定义1: 若函数
在点 的增量可表示为
( A 为不依赖于△x 的常数)
解: 已知球体体积为
镀铜体积为 V 在
时体积的增量
因此每只球需用铜约为 (g)
17
2.误差估计 某量的精确值为 A , 其近似值为 a , 称为a 的绝对误差 称为a 的相对误差 若 称为测量 A 的绝对误差限 称为测量 A 的相对误差限
18
误差传递公式 :
若直接测量某量得 x , 已知测量误差限为
12
§ 2.2.3 高阶微分
1、二阶微分：一阶微分的微分称为二阶微分。记作
且有
（1）
2、n 阶微分：n-1阶微分的微分称为n阶微分，记作
且有
（2）
3、高阶微分：二阶以及二阶以上的微分统称为高阶微分。
例设
（2）求
解由
得
依公式（1）得 类似地，依公式（2）得
微分公式及运算法则
微分公式及运算法则好的，以下是为您生成的文章：咱今天就来唠唠微分公式及运算法则这档子事儿。
还记得我上大学那会儿，有一次和同学一起去参加数学竞赛的培训。
那老师一上来就讲微分，我当时心里就犯嘀咕：“这能有多难？”结果老师在黑板上刷刷写了一堆公式和例题，我瞬间就懵了。
先来说说微分的基本公式吧。
就像咱们熟悉的幂函数的微分公式，若有函数 \(y = x^n\) ，那么它的微分 \(dy = nx^{n-1}dx\) 。
这就好比你爬楼梯，每一级的高度就像是 \(x^n\) ，而你每次抬脚的跨度就是\(nx^{n-1}dx\) 。
再看看指数函数的微分公式，比如 \(y = e^x\) ，它的微分就是 \(dy= e^xdx\) 。
这就好像是一只充满活力的小兔子，始终以恒定的速度往前蹦跶，不管啥时候，它的变化速度都不变。
还有三角函数的微分，像 \(y = \sin x\) ，微分 \(dy = \cos xdx\) ； \(y = \cos x\) ，微分 \(dy = -\sin xdx\) 。
这俩就像一对欢喜冤家，一个动的时候另一个就跟着变，而且变化的规律还挺有趣。
说完基本公式，咱们再聊聊运算法则。
加减法则相对简单，两个函数相加或相减的微分，就等于它们各自微分的和或差。
比如说 \(y = u(x) ± v(x)\) ，那么 \(dy = du(x) ± dv(x)\) 。
这就好比你把两堆苹果合在一起或者拿走一部分，计算总数变化的时候，分别算每一堆的变化再相加或相减就行。
乘法法则稍微复杂点，若 \(y = u(x)v(x)\) ，那么 \(dy = u(x)dv(x) + v(x)du(x)\) 。
这就像两个人一起干活，每个人的贡献都要算进去，才能知道总的成果变化。
除法法则呢，对于 \(y = \frac{u(x)}{v(x)}\) ，它的微分 \(dy =\frac{v(x)du(x) - u(x)dv(x)}{v^2(x)}dx\) 。
第二章第3节-函数的微分
故 在点 可导, 且
定理 2.6 函数 在点
在点 x0 可微的充要条件是 处可导, 且 即
d y f ( x0 )x
“充分性” 已知 在点 的可导, 则
y lim f ( x0 ) x 0 x y f ( x0 ) x
Hale Waihona Puke d y 3 x x.2 0
(1)
( 2)
2 当x 很小时, y dy 3 x0 x.
定理 2.6 函数 在点
在点 x0 可微的充要条件是 处可导, 且 即
d y f ( x0 )x
证: “必要性”
已知
在点
可微 , 则
y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x)
dy f ( x) 导数也叫作微商 dx
例1.
求 y x 2 在 x 1, x 0.01 时的微分。
x 1 x 0.01
解: d y
2 x x
x 1
0.02
x 0.01
例2. 求y=x3在x=2处的微分, 以及当x=0.1时在x=2 处的微分。
dx 3 x 2 dx 3x 2 x ( x dx ) 解: dy ( x )
1 x2 dx ; (16) d (arccot x) dx 2 . (15) d (arctan x) 1 x2 1 x
2.四则运算微分法则
设 u(x) , v(x) 均可微 , 则
du dv vdu udv
3. 复合函数的微分法则 均可导 , 则
(C 为常数)
(10)d (cot x) csc 2 xdx ;
函数的四则运算的微分法则
(csc x) csc x cot x
(a x ) a x ln a
(e x ) e x
(log
x a
)
1 x ln
a
(ln x) 1 x
(arcsin x) 1 1 x2
d(sec x) sec x tan xdx
d(csc x) csc x cot xdx
y e与t ln x复合而成，
dy
et
e ln x
dx
x
x
x x 1 .
x
验证了第一节的例二.
由上例可见，初等函数的求导必须熟悉. (a)基本初等函数的导数公式； (b)复合函数的分解； (c)复合函数的求导公式.
复合函数的分解过程熟悉后，可以不写 中间变量，而直接写出结果.
d (a x ) a x ln adx
d (e x ) e xdx
d
(log
x a
)
1 x ln a
dx
d(ln x) 1 dx x
d(arcsin x) 1 dx 1 x2
(arccos x) 1 1 x2
d(arccos x) dx 1 x2
(arctan x) 1 1 x2
于是有
y x
1 x
, 因为
f
( x)连续,
y
所以当x 0时,必有y 0
故f ( x) lim y x0 x
lim 1 y0 x
1
( y)
( ( y) 0)
即 f ( x) 1 . y
( y)
例5.求 y arcsin x 的导数.
一、微分的定义二、微分的基本公式三、微分的四则运算法则
dy | x x0 , 或df | x x0 , 即 dy | x x0 A x.
定理3.7 y=f(x)可微的充分必要条件是y=f(x)可导，且 有 dy f ( x)dx .
dy 由于 f ( x) ，即函数的导数等于函数的微 dx 分与自变量微分之比，因此导数也称微商.
证
d(u v) (u v)dx (u v)dx
udx vdx du dv.
d(uv) (uv)dx (uv uv)dx
v udx u vdx vdu udv.
u 定理3.9 设u=u(x)，v=v(x)可微，且 v 0 ，则 可微, v u vdu udv 且有 d ( ) . 2 v v
(a 0,a 1).
d tan x sec2 xdx.
d cot x csc xdx.
2
d sec x sec x tan xdx. d csc x csc x cot xdx.
1 d arsin x dx. 2 1 x 1 d arccos x dx. 2 1 x
当立方体的边长从 x0 变到 x0 x 时，相应的体 积增量
3 2 2 V ( x0 x) 3 x0 3 x0 x (3x0 (x) 2 (x) 3 ).
函数增量 V 分成两部分，一部分是 x 的线性部分
2 3x0 x, 一部分是关于 x 的高阶无穷小
1 d arctan x dx . 2 1 x 1 d arccot x dx . 2 1 x
三、微分的四则运算法则
定理3.8 设u=u(x)，v=v(x)可微 ，则 u v , u , v可微， 且有
微分的四则运算法则
微分的四则运算法则微分是数学中的一个重要分支，它以求导数为主要内容，是数学分析领域中最基本、最重要的内容之一。
在微分学中，微分的四则运算法则是非常重要的基础知识之一，本文将深入介绍微分的四则运算法则。
一、常数函数求导在微分学中，常数函数是指一个函数在定义域上的函数值都是一个确定的常数，如f(x) = 3或f(x) = 1/2等。
对于常数函数f(x) = c，其导数就是0，即f'(x) = 0。
二、幂函数求导幂函数是指f(x) = x^n的形式，其中n是一个正整数。
对于幂函数f(x) = x^n，其导数就是f'(x) = nx^(n-1)。
例如f(x) = x^3，则f'(x) = 3x^2。
三、指数函数求导指数函数是指f(x) = a^x的形式，其中a是一个正实数。
对于指数函数f(x) = a^x，其导数是f'(x) = a^xlna，其中lna是以e为底的自然对数函数。
例如f(x) = 2^x，则f'(x) = 2^xln2。
四、对数函数求导对数函数是指f(x) = loga(x)的形式，其中a是一个正实数且不等于1。
对于自然对数函数f(x) = ln(x)，它的导数就是f'(x) = 1/x。
当a不等于e 时，对数函数f(x) = loga(x)的导数可以用换底公式转化为f'(x) =1/(xlna)。
例如f(x) = log2(x)，则f'(x) = 1/(xln2)。
五、三角函数求导在微分学中，三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
对于正弦函数和余弦函数，它们的导数分别是它们的导函数cos(x)和-sin(x)，即(f(x))' = cos(x)和(g(x))' = -sin(x)。
对于正切函数f(x) = tan(x)，它的导数是f'(x) = sec^2(x)，其中sec(x)是secant函数，是cos(x)的倒数。
高等数学：第三讲 微分的运算法则
例1 已知 y x2ex ，求微分dy.
解 dy d(x2ex )
法 二
dy f (x)dx
exd(x2 ) x2d(ex )
f (x) (x2ex )
ex 2xdx x2 exdx 2xex x2ex
(2xex x2ex )dx dy (2xex x2ex )dx
例题：
dy f (x)dx
3 一阶微分形式不变性
谢谢
微分的运算法则
目录
01 微分的基本公式 02 微分的四则运算法则 03 复合函数的微分法则
1.微分的基本公式
由微分公式 dy f (x)dx, 可知： 导数的基本公式
(C) 0
(x ) x1
(sin x) cos x (cos x) sin x (tan x) sec2 x (cot x) csc2 x
(ax ) ax ln a
(ex ) ex
(loga
x)
1 x ln a
(ln x) 1 x
微分的基本公式
d(sec x) sec x tan xdx
d(csc x) csc x cot xdx
d(ax ) ax ln adx
d(ex ) exdx
d(loga
x)
1 x ln
a
dx
d(ln x) 1 dx x
微分的基本公式
d(C) 0
d(x ) x1dx
d(sin x) cos xdx d(cos x) sin xdx d(tan x) sec2 xdx d(cot x) csc2 xdx
1.微分的基本公式
导数的基本公式
(sec x) sec x tan x
(csc x) csc x cot x
微分的运算法则_微分在近似计算中的应用
1 0.02 3
y dy
1 1.02 1 0.02 （3）套y dy 3
3
1.02 1.0067
练习
插入视频中间
运用微分计算 9998 的近似值可得，9998 99.99.
A. √
B. ×
参考答案：A
第五节 小结
一.函数的微分
微分的定义、公式、几何意义
我们发现 y = f (u) , 当 u 为中间变量 时的微分形式与 u 为自变量时的微分的形 式相同 , 均为 dy = f (u) du , 这种性质称为 函数的微分形式不变性 .
例1
已知函数y ln(2 x )，求dy.
方法一
3
解
利用dy ydx可得 :
3
3 dy ln(2 x ) dx 3 (2 x ) 3 6 x dx dx x 2x 2x
所以, 球的体积增量大约为62.8 厘米。
立方
例3
求3 1.02的近似值
解
y
3
x
x 0.02
（1）设函数
x0 1
y f ( x0 x) f ( x0 ) f (1.02) f (1) （2）算y与dy
3 1.02 3 1
dy
1 1 2 3 yx 3 x x 3 2 x 3 x
二.微分的运算法则
1.微分基本公式
导数的基本公式
1 (x ) x
微分的基本公式
dx x 1dx
da x a x ln adx
1 d loga x dx x ln a
(a x ) a x ln a
1 (log a x) x ln a
微分公式运算法则
微分公式运算法则一、微分公式概述微分公式是指用于计算函数导数的公式。
微分公式包括常用公式和特殊公式两类。
常用公式包括常数公式、变量公式和常用函数公式等，特殊公式包括指数公式、对数公式、三角函数公式等。
二、微分公式的运算法则计算函数导数时，需要遵循以下几条运算法则：1、常数公式若y=k，则y'=02、变量公式若y=x^n（n为常数），则y'=nx^(n-1)3、常用函数公式若y=f(x)，则y'=f'(x)4、级数公式若y=∑a_nx^n（a_n为常数），则y'=∑na_nx^(n-1)5、指数公式若y=a^x（a为常数），则y'=a^xln(a)6、对数公式若y=ln(x)，则y'=1/x7、三角函数公式若y=sin(x)，则y'=cos(x)若y=cos(x)，则y'=-sin(x)若y=tan(x)，则y'=sec^2(x)三、微分公式的应用微分公式在数学和工程领域有着广泛的应用。
例如，它可以用来计算函数的导数和单位增量，也可以用来求解求最大值和最小值的问题。
此外，微分公式也被广泛用于物理学、化学、生物学等领域。
四、微分公式的发展微分公式在历史上有着悠久的传承。
早在古希腊时期，希腊数学家就已经提出了微分概念并研究出了相应的计算方法。
随着数学理论的发展，微分公式也在不断优化和改进。
例如，在现代数学中，我们已经有了更加精确和高效的计算方法，使得微分公式的计算更加方便和快捷。
五、总结微分公式是用于计算函数导数的公式。
它包括常用公式和特殊公式两类。
计算函数导数时，需要遵循一些运算法则。
微分公式在数学和工程领域有着广泛的应用，并在历史上有着悠久的传承。
在现代数学中，微分公式也得到了进一步的发展和优化。
全微分加减运算法则
全微分加减运算法则
微分在数学中的定义：由函数B=f(A)，得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分，微分的中心思想是无穷分割。
微分是函数改变量的线性主要部分。
微积分的基本概念之一。
相关性质：
通常把自变量x的增量Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx = Δx。
于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx。
函数因变量的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。
因此，导数也叫做微商。
当自变量X改变为X+△X时，相应地函数值由f(X)改变为f(X+△X)，如果存在一个与△X无关的常数A，使f(X+△X)-f(X)和A·△X之差是△X→0关于△X的高阶无穷小量，则称A·△X是f(X)在X的微分，记为dy，并称f(X)在X可微。
一元微积分中，可微可导等价。
记A·△X=dy，则dy=f′(X)dX。
例如：d(sinX)=cosXdX。
微分计算法则
微分是微积分中的核心概念之一，用于描述函数在某一点的变化率。
微分计算法则包括以下几个常见规则：
1. 常数法则：
若f(x) = C，其中C为常数，则f'(x) = 0。
2. 幂法则：
若f(x) = x^n，其中n为实数，则f'(x) = nx^(n-1)。
3. 和差法则：
若f(x) = g(x) ±h(x)，则f'(x) = g'(x) ±h'(x)。
4. 乘法法则：
若f(x) = g(x) * h(x)，则f'(x) = g'(x) * h(x) + g(x) * h'(x)。
5. 商法则：
若f(x) = g(x) / h(x)，则f'(x) = [g'(x) * h(x) - g(x) * h'(x)] / [h(x)]^2。
6. 链式法则：
若f(x) = g(h(x))，则f'(x) = g'(h(x)) * h'(x)。
7. 反函数法则：
若y = f(x) 满足f'(x) ≠0，且f(x)有反函数x = g(y)，则g'(y) = 1 / f'(x)，其中x = g(y)。
以上是微分计算中常用的法则，它们可以用来求解不同类型的函数的微分。
需要注意的是，这些法则适用于基本函数和复合函数，并且还可以通过组合和应用这些法则来求解更复杂的函数的微分。
此外，还有一些其他的微分计算法则，如指数函数和对数函数的微分法则，三角函数的微分法则等，这些法则在具体的计算中也很常用。
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( lim 0 )
x0
故 y f ( x0 ) x x f ( x0 ) x o( x)
即 d y f ( x0 ) x
说明: y f ( x0 ) x o( x)
d y f ( x0 )x
当 f ( x0 ) 0 时 , y y lim lim x 0 f ( x0 ) x x 0 d y 1 y lim 1 f ( x0 ) x 0 x 所以 x 0 时 y 与 d y 是等价无穷小, 故当 x
x
d y f ( x) dx
dy f ( x) dx
导数也叫作微商
x0 x
例如, y x 3 ,
dy
x2 dx 0.02
3x 2 dx
0.24 x2 dx 0.02
又如, y arctan x , 1 dy dx 2 1 x
基本初等函数的微分公式 (见 P116表)
很小时, 有近似公式
y dy
微分的几何意义
切线纵坐标的增量
d y f ( x0 )x tan x
当 x 很小时, y d y
dy
y
y f ( x)
当 y x 时，
y
y x dx
称 x 为自变量的微分, 记作 dx
则有 从而
记
O
x0
y o(x) lim lim ( A )A x 0 x x 0 x
故 在点 可导, 且
定理 : 函数
在点
在点 x0 可微的充要条件是 处可导, 且 即
d y f ( x0 )x
已知 “充分性” 在点 可导, 则
y lim f ( x0 ) x 0 x y f ( x0 ) x
2 xe
x
2 2
x
2
d(1 e )
e d (x ) e 2 xdx
dx
x2
x2
x2
2
x2
2
1 ex
例2. 设
求
解: 利用一阶微分形式不变性 , 有
d( y sin x) d(cos( x y)) 0 sin x d y y cos x dx sin( x y) (dx d y) 0 y cos x sin( x y) dy dx sin( x y) sin x
使用原则: 1) f ( x0 ) , f ( x0 ) 好算 ;
2) x 与 x0 靠近 .
特别当 x0 0 , x 很小时,
f ( x) f (0) f (0)x
常用近似公式: ( x 很小)
1 x
证明: 令 f ( x) (1 x)
得 f (0) 1, f (0)
二、 微分运算法则
设 u(x) , v(x) 均可微 , 则
du dv vdu udv
5. 复合函数的微分
分别可微 , 则复合函数 的微分为
(C 为常数)
f (u ) ( x) dx d y f (u ) du
du
微分形式不变
例1.
解:
求
dy
1 1 e 1 1 ex 1 1 e
关于△x 的 x 0 时为 高阶无穷小 线性主部
x0
2 A x0
x0 x
故 称为函数在 x0 的微分
定义: 若函数
在点 x0 的增量可表示为
A x o(x)
( A 为不依赖于△x 的常数) 则称函数 y f ( x) 在点
可微, 而 A x 称为 即
的微分, 记作
d y A x
第五节 函数的微分
一、微分的概念
第二章
二、微分运算法则
三、微分在近似计算中的应用
一、微分的概念
引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其
边长由 x0 变到 x0 x , 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 A x 2 , 当 x 在 x0 取 得增量 x 时, 面积的增量为 2 x x ( x ) 0 x
y 0
O
x0 x0 x
x
2. d(arctane )
d tan x 3 3. sec x d sin x
x
1 1 e 2 x
e x 1 e
de x
2 x
dx
1 4. d ( cos 2 x C ) sin 2 x d x 2
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5. 设
求
由方程
y f ( x0 )x o( x)
当 x 很小时, 得近似等式:
y f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 )x f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 ) x
令 x x0 x
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )(x x0 )
当 x 很小时,
x x
1 x
x
例4. 求
的近似值 .
解: 设 f ( x) sin x , 取
π 则 dx 180
π π 29 π ) π sin cos ( sin 29 sin 6 180 180 6 1 3 (0.0175) 2 2
例5. 计算
的近似值 .
解:
(243 2)
1 5
35 243
2 1 3 (1 )5 243 1 2 3 (1 ) 5 243
3.004938
(1 x) 1 x
例6. 有一批半径为1cm 的球 , 为了提高球面的光洁度,
要镀上一层铜 , 厚度定为 0.01cm , 估计一下, 每只球需
8(1) ; 9(2) ;
备用题
1. 已知
解：因为 求
所以
2. 已知
求
解:方程两边求微分, 得
2. 微分运算法则
微分形式不变性 : d f (u ) f (u ) d u ( u 是自变量或中间变量 ) 3. 微分的应用 近似计算 估计误差
思考与练习
1. 设函数 的图形如下, 试在图中标出的点
x0 处的 d y , y 及 y d y , 并说明其正负 .
y
y dy 0 d y 0
确定,
解: 方程两边求微分, 得
3 x 2 d x 3 y 2 d y 3 cos 3x d x 6 d y 0 1 当 x 0 时 y 0 , 由上式得 d y x 0 d x 2
作业
P123 1;
3 (4) , (7) , (8) , (9) , (10) ;
4 ; 5;
定理: 函数
在点 x0 可微的充要条件是 即
d y f ( x0 )x
定理 : 函数
在点
在点 x0 可微的充要条件是 处可导, 且 即
d y f ( x0 )x
证: “必要性”
已知
在点
可微 , 则
y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x)
用铜多少克 .
解: 已知球体体积为
镀铜体积为 V 在
R 1 R 0.01
时体积的增量
4 πR 2 R R 1
R 0.01
0.13 (cm 3 )
因此每只球需用铜约为
8.9 0.13 1.16 ( g )
内容小结
1. 微分概念 • 微分的定义及几何意义 • 可微 可导
例3. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:
2 C ) xdx (1) d( 1 x 2
(C为任意常数)
(2) d(
1 sin t
C ) cos t d t
说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容. 注意: 数学中的反问题往往出现多值性.
注意
三、 微分在近似计算中的应用