微分运算法则

x
d y f ( x) dx
dy f ( x) dx
导数也叫作微商
x0 x
例如, y x 3 ,
dy
x2 dx 0.02
3x 2 dx
0.24 x2 dx 0.02
又如, y arctan x , 1 dy dx 2 1 x
基本初等函数的微分公式 (见 P116表)
( lim 0 )
x0
故 y f ( x0 ) x x f ( x0 ) x o( x)
即 d y f ( x0 ) x
说明: y f ( x0 ) x o( x)
d y f ( x0 )x
当 f ( x0 ) 0 时 , y y lim lim x 0 f ( x0 ) x x 0 d y 1 y lim 1 f ( x0 ) x 0 x 所以 x 0 时 y 与 d y 是等价无穷小, 故当 x
定理: 函数
在点 x0 可微的充要条件是 即
d y f ( x0 )x
定理 : 函数
在点
在点 x0 可微的充要条件是 处可导, 且 即
d y f ( x0 )x
证: “必要性”
已知
在点
可微 , 则
y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x)
关于△x 的 x 0 时为 高阶无穷小 线性主部
x0
2 A x0
x0 x
故 称为函数在 x0 的微分
定义: 若函数
在点 x0 的增量可表示为
A x o(x)
( A 为不依赖于△x 的常数) 则称函数 y f ( x) 在点
可微, 而 A x 称为 即
的微分, 记作
d y A x
确定,
解: 方程两边求微分, 得
3 x 2 d x 3 y 2 d y 3 cos 3x d x 6 d y 0 1 当 x 0 时 y 0 , 由上式得 d y x 0 d x 2
作业
P123 1;
3 (4) , (7) , (8) , (9) , (10) ;
4 ; 5;
例3. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:
2 C ) xdx (1) d( 1 x 2
(C为任意常数)
(2) d(

1 sin t
C ) cos t d t
说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容. 注意: 数学中的反问题往往出现多值性.
注意
三、 微分在近似计算中的应用
很小时, 有近似公式
y dy
微分的几何意义
切线纵坐标的增量
d y f ( x0 )x tan x
当 x 很小时, y d y
dy
y
y f ( x)
当 y x 时，
y
y x dx
称 x 为自变量的微分, 记作 dx
则有 从而
记

O
x0
第五节 函数的微分
一、微分的概念
第二章
二、微分运算法则
三、微分在近似计算中的应用
一、微分的概念
引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其
边长由 x0 变到 x0 x , 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 A x 2 , 当 x 在 x0 取 得增量 x 时, 面积的增量为 2 x x ( x ) 0 x
使用原则: 1) f ( x0 ) , f ( x0 ) 好算 ;
2) x 与 x0 靠近 .
特别当 x0 0 , x 很小时,
f ( x) f (0) f (0)x
常用近似公式: ( x 很小)
1 x
证明: 令 f ( x) (1 x)

得 f (0) 1, f (0)
的近似值 .
解:
(243 2)
1 5
35 243
2 1 3 (1 )5 243 1 2 3 (1 ) 5 243
3.004938
(1 x) 1 x
例6. 有一批半径为1cm 的球 , 为了提高球面的光洁度,
要镀上一层铜 , 厚度定为 0.01cm , 估计一下, 每只球需
2. 微分运算法则
微分形式不变性 : d f (u ) f (u ) d u ( u 是自变量或中间变量 ) 3. 微分的应用 近似计算 估计误差
思考与练习
1. 设函数 的图形如下, 试在图中标出的点
x0 处的 d y , y 及 y d y , 并说明其正负 .
y
y dy 0 d y 0
y o(x) lim lim ( A )A x 0 x x 0 x
故 在点 可导, 且
定理 : 函数
在点
在点 x0 可微的充要条件是 处可导, 且 即
d y f ( x0 )x
已知 “充分性” 在点 可导, 则
y lim f ( x0 ) x 0 x y f ( x0 ) x
y f ( x0 )x o( x)
当 x 很小时, 得近似等式:
y f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 )x f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 ) x
令 x x0 x
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )(x x0来自百度文库)
y 0
O
x0 x0 x
x
2. d(arctane )

d tan x 3 3. sec x d sin x
x
1 1 e 2 x
e x 1 e
de x
2 x
dx
1 4. d ( cos 2 x C ) sin 2 x d x 2
5. 设
求
由方程
用铜多少克 .
解: 已知球体体积为
镀铜体积为 V 在
R 1 R 0.01
时体积的增量
4 πR 2 R R 1
R 0.01
0.13 (cm 3 )
因此每只球需用铜约为
8.9 0.13 1.16 ( g )
内容小结
1. 微分概念 • 微分的定义及几何意义 • 可微 可导
2 xe
x
2 2
x
2
d(1 e )
e d (x ) e 2 xdx
dx
x2
x2


x2
2
x2
2
1 ex
例2. 设
求
解: 利用一阶微分形式不变性 , 有
d( y sin x) d(cos( x y)) 0 sin x d y y cos x dx sin( x y) (dx d y) 0 y cos x sin( x y) dy dx sin( x y) sin x
二、 微分运算法则
设 u(x) , v(x) 均可微 , 则
du dv vdu udv
5. 复合函数的微分
分别可微 , 则复合函数 的微分为
(C 为常数)
f (u ) ( x) dx d y f (u ) du
du
微分形式不变
例1.
解:
求
dy
1 1 e 1 1 ex 1 1 e
8(1) ; 9(2) ;
备用题
1. 已知
解：因为 求
所以
2. 已知
求
解:方程两边求微分, 得
当 x 很小时,
x x
1 x
x
例4. 求
的近似值 .
解: 设 f ( x) sin x , 取
π 则 dx 180

π π 29 π ) π sin cos ( sin 29 sin 6 180 180 6 1 3 (0.0175) 2 2
例5. 计算